CC BY
58
УДК 620.19:519.213+519.216.3
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РОСТА ЕДИНИЧНЫХ КОРРОЗИОННЫХ ДЕФЕКТОВ ПРИ ОЦЕНКЕ НАДЕЖНОСТИ ТРУБОПРОВОДНЫХ СИСТЕМ
Л. В. Полу ян
USAGE OF STOCHASTIC GROWTH MODELS OF SPORADIC CORROSIVE DEFECTS AT RELIABILITY ASSESSMENT OF PIPELINE SYSTEMS
L.V. Poluyan
Предложен способ нахождения прогнозных оценок параметров коррозионных дефектов на основе фактических данных внутритрубной дефектоскопии. Получены оценки функций плотности распределения вероятностей глубины коррозии, являющейся функцией случайных величин начальной глубины коррозии, параметров уравнения скорости коррозии и времени эксплуатации трубопровода. Показано их применение в алгоритме оценки надежности дефектных сечений трубопроводов.
Ключевые слова: коррозионные дефекты, внутритрубная дефектоскопия, оценка надёжности трубопроводов.
The article offers a method to find the predictive estimates of corrosive defects parameters on the base of actual data of intratubal defectoscopy. The estimates of probability density functions of corrosion penetration which is the function of random variables of initial corrosion penetration, parameters of corrosion rate equation and time of pipeline maintenance are obtained. Their usage in the algorithm of defective pipeline sections reliability assessment.
Keywords: corrosive defects, intratubal defectoscopy, pipeline eliability assessment.
Постановка задачи. Пусть размер коррозионного дефекта (далее для определенности рассматривается его глубина a{t)) с течением времени растет и этот процесс описывается дифференциальным уравнением [1]
^«о
ш
где a{t) - некоторая функция независимой переменной t, принимающая в точке t = t0 заданное
начальное значение я(/0) = aQ; К , п - некоторые эмпирические коэффициенты, численные значения которых получаются по данным наблюдений натурных или лабораторных экспериментов, а также путем соответствующего анализа результатов внутритрубной дефектоскопии (ВТД).
Требуется, используя результаты ВТД (единственной или их последовательности) и зная время, прошедшее с момента пуска трубопровода в эксплуатацию, дать состоятельную статистическую оценку скорости роста коррозии и степени опасности каждого дефекта.
Поскольку a(t) в любой момент времени /е[^0,г) является случайной величиной, она имеет ту или иную функцию плотности распределения вероятностей (ФПВ) и задача сводится к определению ФПВ глубины коррозии а{V) - функции случайной величины а0 в любой момент
времени t Е [/0, Г).
Решение. Предположим, что а (V) - взаимно однозначная функция, тогда ФПВ для плотности вероятности /[#(0] имеет вид [2]:
/[<я(0] = /{а0[а(О]}
dan
da(t)
В случае если а (7) не является взаимно однозначной, то необходимо разделить интервал изменения переменной а0 на интервалы, в которых эта функция будет взаимно однозначной.
Рассмотрим алгоритмы построения /[#(/)] в зависимости от вида входящих в уравнение (1) параметров К, п и начальной глубины дефекта а0 для случаев, когда а{ ^ - линейная и не-
линейная относительно аргумента а0.
В табл. 1 приведены семь вариантов исходных данных.
Исходные данные для построения ФПВ
/[«(')]
Таблица 1
Вид функции а{V) Вариант Распределение начальной глубины дефекта а0о) = ао (СВ) Параметры, входящие в уравнение (1)
К n
Линейная 1 Экспоненциальное /(а0) = Лехр(-Аа0), а0е[о,а0гаах] Я - известный параметр распределения |. const 1
2 Логнормал f(a\- г ехр ьное (ill Qg - ЬУ ? [ения -:твенно const 1
/ \ао) 2^ a^\2nd где Ъ и d2 - известные пара математическое ожидание и ди 2d2 1метры распреде! [сперсия соответс
3 Произвольное const 1
Нелинейная 4 Произвольное const n < 0
5 Произвольное const 0 < n < 1 n > 1
6 Произвольное const const
7 произвольное CB CB
Вариант 1. В любой фиксированный момент времени ^ е преобразование а0 в
описывается линейным оператором:
а(0 = а„ехр [£(/-*„)], (2)
поэтому вид распределения а (7) не изменится. Выразив а0 из (2), подставив его в /(#0) и умножив правую часть этого распределения на производную по а (7) :
dan
1
da (01 ехР[л:<7-г0)]’
где левая часть - абсолютная величина якобиана преобразования, получим ФПВ я (7), /е[/0,г):
/М0]=
я
ехр
И'
■ ехр<
Xa(t)
ехр [л:(/-/„)]_
Вариант 2. Зная для а0 зависимость между т, сг2 и параметрами Ь, б/2, определим матожи-дание тп1 и дисперсию а] функции а (7) из системы уравнений:
] • т = ехр ( ьх А
К ч
ехр\^2К(V - /0)J • сг2 = ехр1 -1 ехр^2^ + |,
решая которую относительно неизвестных значений параметров Ъг и с}2 функции распределения /[а(0] ,получим
/[а(о] =-----
+ 1
171
х ехр
1п -
а(і)
И-л)]
ехр
К(ґ - ?0) + 1п т--------1п
2
Ґ 9 Л
V"7
+ 1
21п
+ 1
т
Вариант 3
1. В распределении /(я0) подсчитаем число К известных параметров.
2. Возьмем К центральных моментов распределения /(а0).
3. Каждый центральный момент умножим на линейный множитель в соответствующей степени.
4. Решим систему уравнений относительно К неизвестных параметров.
5. Полученные К параметров и подставим в выражение для /(а0), затем
правую часть умножим на производную
сіа (ґ)
и для любого момента времени / є , Т7) опре-
делим распределение /[«і-
Вариант 4. Следуя алгоритму, изложенному для варианта 3, придем к распределению:
сІа(
Аналогично определяется /[#(/)] для варианта 5.
Вариант 6. Задаются АГ, « и решается дифференциальное уравнение (1) в виде: я(V) = из которого определяются границы а{/)гаш и я(0тах изменения функции
при / <е [/0,г). Далее, следуя варианту 3, получим:
/[«(')]=/К [<■(')]}■
Пример. Для экспоненциального распределения а0 имеем / (а0) - /. ехр (-Яа0 ). Я = 1.
Пусть = О, К-1, п — 1, тогда решение (1) определится как afy = aQQxpt. При
a0 mm = °> а0 max = 5 (ММ) И 1 = 1 (ГОД) ОПреДвЛЯЮТСЯ О (f = l)^ = CtQ ^ СХР1 = 0 ;
alt = 1) = an exp 1 « 13,6 и т.д. для каждого момента времени A, Построенные ФПВ
' ' max Umax z 5
показаны на рис. 1.
Рис. 1. Изменение ФПВ роста глубины дефекта во времени
Вариант 7. Параметры а0, и в (1) являются случайными величинами с известными распределениями /а (<я0), /к (А:), /п(р) на множествах возможных значений а0 е. А, к е К, п е N. Находится общее решение дифференциального уравнения (1), разрешаемое относительно любой величиныа0,к,п ) (например, относительной ), и после ряда известных преобразований /[#(/)] примет вид:
г ■(»)
-«+1 _„+! -Дп
fa («0 )/„(”)
(-W + 1)я(/)
da^dn,
(3)
интегрирование производится в пределах N е [о,оо), А е [о,оо).
Например, при распределении параметров а0,к,п по логнормальному закону первый сомножитель в (3) равен:
12
л=-
lt
а(t)
-п +1
■ап
-п+\
ф-~ndk
схр <
lg ( ( \~n + l -n+1 ^ alt) —aQ - h
t °k
\ J
2d,
а два другие сомножителя определяются соответственно по формулам:
/а(ао) =
1
<я0л/2;га^
ехр
(^Др -Ьа)2
2с12
л М
1
т\2кс1
V п
ехр
ре»-Л)2
2с12
в которых значения параметров <1к,Ь1с,с1а,Ьа,с1г1, Ъп задаются специалистами.
Если а0,к,п распределены по закону Вейбулла, то первый сомножитель в (3) равен:
II / \-л + 1 _„ + 1 а ) — а0 Рк-' ехр--
Гк {ук
<о)
-п +1 _л+1
- ап
Рк
а два других сомножителя находятся аналогично предыдущему случаю.
Параметры /3 и у во всех распределениях определяются, исходя из анализа фактических данных, накапливаемых в ходе эксплуатации и ремонта трубопроводов.
Модель роста дефекта может быть построена не только при использовании внутритрубных и верификационных измерений, но и с помощью комбинации метода моделирования Монте-Карло с дифференциальным уравнением (1) роста параметра дефекта [3].
Оценка надежности поперечного сечения трубопровода с дефектом произвольных размеров. Остаточная прочность трубопровода оценивается по методике АМ81/А8МЕ ВЗЮ, модифицированной [4] при случайном характере ряда параметров, входящих в уравнения предельных состояний.
Согласно этой методике уравнение определения предельного давления разрушения трубы в зависимости от формы дефекта имеет вид г 2 (ЦТ)
КТ)2
ч
2а Л = 1,11—у—
1
1 -Ж±м-'
р, =1,п-
2а Л
1
31
Л(Т)
для
<20,
для
КТ)2
>20, где М = А 1 + 0,893
КТ)2
Рг - предельное давление разрушения трубы; В - диаметр трубы; ^ - толщина стенки; оу - предел текучести материала трубы; М - фактор Фолиаса; Т - время эксплуатации; с1 (Г) -
глубина дефекта в момент времени Г; / (Г) - длина дефекта в момент времени Т.
Функция предельного состояния (ФПС) единичного поперечного сечения трубопровода имеет вид
\Р1{х1,...,х5)-Рор,
где х1 = t, х2 = Б, х3=10, х4=<30, х5 = ау , х6 = Рор, к параметр, имеющий смысл предупреждающего (тревожного) отказа (обычно равен 0,8). Величина Р^ является случайной, так как зависит от общей геометрии трубы (Д /), прочностных свойств материала трубы и геометрии дефектов, ослабляющих рассматриваемое сечение трубопровода.
Параметры дефекта (глубина и длина дефекта) при активной коррозии изменяются во времени случайным образом и представляются следующими алгебраическими уравнениями [5]:
Г = Г(х1,...,х6,Т):
<ЦТ) = <10+уп-(Т-Т0), 1(Т) = 10+Уас-(Т-Т0),
(5)
где Т0 - время инспекции/диагностики; <30, /0 - начальные значения параметров дефектов; угс , уас - детерминированные или случайные радиальная и продольно-осевая скорости коррозии соответственно.
ФПВ величин с1{Т) и /(Г) находятся по ФПВ входящих в выражения (5) случайных величин при фиксированных Г, согласно описанному выше алгоритму.
Вероятность отказов типа «течь» формально можно записать как
оо
Р}(Т)= \/{х,ТуЬ , где /(х,Т) - ФПВ глубины дефекта. А вероятность отказа типа «раз-
рыв» равна
Р}(Т)= \ДР0Р(Т),Р;1(Т)]С]Р0РС1Р1
здесь / (/’,,,. 7") - распределение рабочего давления как СВ; / (/^) - распределение давления
разрыва сечения трубы с дефектом случайного размера; С1 - область интегрирования.
Интегральная вероятность отказа, связанная с каждым дефектом, определяется по формуле
Р/(т) = Р) (</, т)+р‘ (с1, Т) - Р} {а, Т)Р' (с1, Т),
где />,1 (с/. Т), 1>!/ {(1, Т) - соответственно вероятности отказа из-за превышения или флюктуаций
действующего рабочего давления (разрыв) и глубины дефекта больше допустимой (течь).
Для решения задачи оценки надежности сечения трубы в текущий момент времени Т при заданных условиях прочности используем разложение функции надежности в ряд Грамма-Шарлье-Эджворта [2]:
5 (2) / \ Е (з) / \ Ю*^2 (5)/ ч
где
,? =
ф(г)= I
Мзу {Т)
°${Т)
V о II Ф(г)
V 1
] /^ехр
г_(м,г(Т)
(6)
1
Л, (р^ = ф,^-—7=ОХ^ л/2 п
2
2
тл
(г)
(г)
, ^|2)(2) = (г2 -1^(2),
(Г)
. Центральные моменты 2-го, 3-го и 4-го порядка для СВ У полу-
чены с использованием линеаризации функции У [2] и имеют вид:
М2г{Т) = Ц
1=1
кдхи
■Мъ.{Т)
Ни{Т) = Ъ
1=1
ХМ2х,(Т)М2хЛТ)]-
57
ЭХ:
тх\ ? ->тх6
тх1>-’тх6
> Мзг (Г) ~ У!
г дуу
\дхи
тх1’-’тх6
■^4 *ЛТ)
6
/,к=1 кк
удхи
тх1,..,тх6
Кдхк)
тх\,..,тх6
Ряд (6) позволяет в произвольный момент времени Т эксплуатации трубы определить численное значение показателя надежности для поперечного сечения трубопровода с дефектом произвольных размеров при заданной функции предельного состояния (4).
Двусторонняя оценка вероятности отказа всего трубопровода определяется по формуле
тах 7>/ (Г) < Рр (Т)<\-П(1 - Р}> (Г)),
1-\
где Р/> - вероятность отказа /-го опасного дефекта (/ = 1я); Р^1 - вероятность отказа всего трубопровода.
Пример оценки надежности трубопровода. Рассмотрен участок трубопровода длиной 10 км со следующим набором дефектов (реальные данные): тип дефектов - внешняя поверхностная коррозия, число дефектов - 415, минимальная и максимальная глубина дефекта - 0,8 и 3,6 мм,
минимальная и максимальная длина дефекта - 9,0 и 3625 мм соответственно. Исходные данные приведены в табл. 2, 3. Предельно допустимая вероятность отказа Р1к - 0,05 .
Таблица 2
Исходные данные для детерминированных величин
Обозначение, размерность Значение
Т0, годы 0
Угс, м/год 0,0006
Уас, м/год 0,0005
Т, годы 0-10
Таблица 3
Исходные данные для СВ
Обозначение, размерность Матожидание, /л Коэффициент вариации, К=сг//и
/, м 0,021 0,02
I), м 0,900 0,02
М 0,200 0,02
с1§, м 0,4/ 0,02
а , МПа 358 0,07
Рор, МПа 7,8 0,1
Оценка вероятности отказа трубопровода выполнена методом ГШЭ для модифицированной нормы прочности ВЗШ. Результаты расчета представлены на рис. 2, из которого видно, что для выбранного набора дефектов надежность трубопровода неизменна до времени Т= 11-12 лет.
Для реализации методики необходимо предварительно провести соответствующую сегментацию трубопровода путем его разделения на статистически однородные по отношению к процессу коррозии отрезки.
Выводы
1. Рассмотрена стохастическая модель активного роста коррозионного дефекта в трубопроводной системе, находящейся в условиях агрессивной внутренней или внешней окружающей среды.
2. Получены оценки функций плотности распределения вероятностей параметров коррозионных дефектов в зависимости от начальных величин параметров, имеющих различные виды распределения в условиях линейной и нелинейной зависимостей от времени, которые могут быть использованы для решения задач определения остаточной прочности и надежности дефектных сечений трубопроводов.
3. Построен алгоритм оценки надежности дефектных сечений трубопроводов на основе представления рядами Грамма-Шарлье-Эджворта всех функций плотности распределения вероятностей, описывающих стохастическое поведение различных параметров трубопроводной системы.
Литература
1. Тимашев, С. А. Надежность больших механических систем / С.А. Тимашев. - М.: Наука, 1982. - 184 с.
2. Пугачев, B.C. Теория вероятностей и математическая статистика/B.C. Пугачев. - М.: Наука, 1979. - 495 с.
3. On-line Method of Reliability Analysis of Pipelines with Growing Defects/ L.V. Poluyan, A.V. Bushinskaya, M.G. Malyukova, S.A. Timashev//ICOSSAR. - Japan. -2009.
4. ASME-B31G. Manual for determining the remaining strength of corroded pipelines. A supplement to ASME B31G code for pressure piping. New York: American Society of Mechanical Engineers, 1991.
5. Ahammed, M. Probabilistic estimation of remaining life of a pipeline in the presence of active corrosion defects/M. Ahammed. - IJP VP 1998; 75:321-329.
Поступила в редакцию 27 июня 2009 г.
Полуян Людмила Владимировна. Заместитель директора по научной работе Научноинженерного центра «Надежность и ресурс больших систем и машин» Уральского отделения РАН. Область научных интересов - надежность и безопасность критичных инфраструктур, вероятностные методы оценки надежности трубопроводных систем.
Poluyan Ludmila Vladimirovna. Deputy Director, Science and Engineering Center «Reliability and Resource of Large Systems and Machines», Ural Branch, Russian Academy of Sciences. Professional interests - reliability and safety of critical infrastructures, probabilistic methods for reliability assessment of pipeline systems.
