CC BY
30
УДК 373.2
Лобанова Наталья Ивановна
Астраханский государственный университет lobantchik@yandex.ru
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОНЯТИЙНЫХ КАРТ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СИСТЕМЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
В статье рассмотрено использование понятийных карт и блок-схем, являющихся одной из стратегий достижения целостности знаний старшеклассников, усвоения основных положений, терминов и понятий, при изучении элементов теории дифференциальных уравнений в системе дополнительного образования. Приведены результаты экспериментов и анкетирования, дано их сопоставление с основными теоретическими выводами. Показано, что в процессе такого обучения у старшеклассников формируется система фундаментальных знаний в области дифференциальных уравнений, они приобретают новые научные знания как в области теоретической математики, так и в области прикладной математики, развивают математическую интуицию. Применение понятийных карт и блок-схем с целью достижения целостности знаний старшеклассников, приводит к их глубине, прочности, осознанности, связывают с другими разделами математики в рамках осуществления принципов непрерывности, преемственности и системности образования.
Ключевые слова: понятийная карта, блок-схема, дифференциальное уравнение, старшеклассники, эксперимент, анкетирование.
В работах специалистов [6, с. 2; 7, с. 3; 8, с. 3] дано обоснование возможности и целесообразности изучения начальных разделов теории дифференциальных уравнений в системе дополнительного образования на основе практико-ориентированного подхода, связывающего их с другими науками посредством сюжетов и явлений реальной действительности, с учетом принципов непрерывности, преемственности и системности образования.
Известно, что для более глубокого усвоения любого раздела изучаемой дисциплины обучающемуся важно, если это возможно, иметь ясное представление о структуре соответствующего раздела, понимать и видеть этапы его возникновения, становления и развития.
С этой точки зрения весьма прозрачно и понятно для старшеклассников выглядит классическая теория некоторых классов дифференциальных уравнений первого порядка. Преимущество этой теории над многими другими разделами математики состоит в том, что здесь без привлечения дополнительных вспомогательных сведений из других разделов математики, легко просматривается естественный непосредственный переход от дифференциального и интегрального исчислений, изучаемых в старших классах, к простейшим дифференциальным уравнениям с разделёнными переменными и далее к линейным уравнениям, к уравнению Бернулли и, наконец, к более сложному дифференциальному уравнению Риккати, которое характерно тем, что интегрируемо в квадратурах лишь в некоторых случаях (когда известно какое-нибудь его частное решение). Таким образом, выполняются педагогические требования последовательности и непрерывности в обучении.
Важную роль для создания условий системности в обучении, для глубокого и ясного понимания таких тем как, например, линейные дифференци-
альные уравнения, нелинейные уравнения Бернулли и Риккати могут сыграть и играют понятийные карты и тесно связанные с ними блок-схемы решения этих уравнений.
Понятийные карты - пространственные построения, требующие от обучающихся тщательного выявления глубинной структуры изучаемого материала. С их помощью можно отобразить структуру знаний обучающегося и показать, как новая информация встраивается в то, что уже известно [12, с. 108; 1, с. 69].
Понятийные карты предоставляют собой простой способ оценки качества понимания при изучении фундаментальных понятий теории дифференциальных уравнений таких как уравнение разрешенное и не разрешенное относительно производной, общее решение и частное решение, общий интеграл и частный интеграл, интегральная кривая, начальное условие, задача Коши и других.
Предварительно к разработке понятийных карт должны быть отобраны наиболее употребляемые понятия, связанные с темой предмета [1, с. 69]. Например, понятийная карта представленная на рисунке 1.
Важным аспектом в понятийных картах является их иерархическая структура. Понятийные карты должны быть организованы таким путем, когда наиболее общие и значимые понятия появляются наверху карты. По мере того, как мы спускаемся по карте вниз, ранг представленных понятий уменьшается. Понятия, с одним и тем же самым рангом должны появиться на карте примерно, на одном и том же уровне [1, с. 71].
Анализ понятийной карты, представленной на рисунке 1, показывает, что дифференциальные уравнения первого порядка распадаются на два основных класса (на две основные иерархии): уравнения разрешенные относительно производной, то есть дифференциальные уравнения вида
124
Вестник КГУ 2018
© Лобанова Н.И., 2018
Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнения разрешённые относительно производной
у =f(_x,y)
Уравнения, не разрешённые относительно производной
F(x,y,y) = 0
Общее решение
Частное решение
т
Интегральная кривая
Общий интеграл Частные случаи F(y,y ) =0 и F(x,y ) = 0
1 1
Частный интеграл Уравнения Лагранжа и Клеро
Задача Коши Особое решение
Рис. 1. Понятийная карта по теме «Основные понятия теории дифференциальных уравнений»
у = f(x, у), и уравнения не разрешённые относительно производной, то есть дифференциальные уравнения вида F(x,y,y ) = 0. Изучение первого класса уравнений вполне доступно обучающимся старших классов и им уделяется основное внимание в системе дополнительного образования. Что касается второго класса уравнений, то они гораздо сложнее и изучаются студентами в вузах в курсе высшей математики, о них старшеклассникам достаточно иметь лишь общее представление.
Кроме основных понятий теории дифференциальных уравнений первого порядка, особое внимание старшеклассников должно быть обращено на знание основных классов таких уравнений и наиболее рационального порядка их изучения:
- уравнения с разделенными переменными;
- уравнения с разделяющимися переменными;
- однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним;
- линейные однородные и неоднородные уравнения;
- уравнение Бернулли;
- уравнения в полных дифференциалах.
В качестве примера на рисунке 2 представлена понятийная карта по теме «Основные классы дифференциальных уравнений». Для каждого из представленных на этом рисунке классов диффе-
ренциальных уравнений разработаны классические методы интегрирования. Эти методы полезно представлять в виде блок-схем, показывающих принятый порядок интегрирования (решения) соответствующих уравнений.
В связи с приведенными выше понятийными картами следует отметить, что изучению понятий высшей математики, их взаимосвязи и структуре посвящены многие работы, отличающиеся своими подходами. Так Л.И. Токарева [11] выделяет блочно-иерархическую структуру системы понятий и доказывает необходимость установления связей между понятиями (внутрисистемные, внутрипредметные, межсистемные и межпредметные); С.В. Иванова [4] формирует понятия высшей математики путем включения в специальную систему знаний на основе учебных понятийных образований; И.В. Ки-сельников [5] устанавливает связи между новыми понятиями и ранее изученными, выделяя четыре мыслительных действия: уподобление, абстрагирование, обобщение и выделение новых свойств и отношений в объектах [10, с. 5]; Н.Ю. Милованов рассматривает основные подходы по формированию понятий математического анализа и обосновывает идею о том, что одним из приёмов по формированию данных понятий в систему является приём перекодирования [9, с. 45]. Все эти подходы заслу-
Рис. 2. Понятийная карта по теме «Основные классы дифференциальных уравнений»
Рис. 3. Блок-схема решения уравнения Бернулли
Рис. 4. Блок-схема процесса составления дифференциального уравнения
живают внимания и применимы в соответствии с целью проводимого научного исследования.
С понятийными картами тесно связаны блок-схемы (алгоритмы), предоставляющие в нашем случае методы интегрирования основных классов дифференциальных уравнений. В качестве примера, приведём блок-схему решения уравнения Бер-нулли (рис. 3).
При изучении теории дифференциальных уравнений важное значение имеет умение не толь-
ко решать, но и составлять дифференциальные уравнения, описывающие реальные явления, понятные для старшеклассников. Поэтому большое внимание при изучении этой темы следует уделять практико-ориентированным задачам, ясно и убедительно демонстрирующим важное прикладное значение соответствующей теории.
В результате решения достаточного количества таких задач (см., например, [6, с. 4-7; 7, с. 6; 8, с. 5-10]), старшеклассники естественно приходят
Вестник КГУ Л 2018
126
к следующей блок-схеме составления дифференциального уравнения (рис. 4).
Кроме того, при решении практико-ориентиро-ванных задач и формулировке логических выводов у старшеклассников развивается также математическая интуиция, являющаяся важной компонентой их творческого потенциала. Математическая интуиция помогает осознать смысл (геометрический или физический) исследуемой прикладной задачи, выбрать эффективные методы ее решения с помощью дифференциальных уравнений.
Рассмотренные выше положения проверялись нами экспериментально применительно к первому уровню развития критического мышления -разъяснению (пониманию) ситуации. О развитии этого уровня можно судить по степени владения навыками составления понятийных карт и блок-схем [1, с. 71].
На обучение составлять понятийные карты и блок-схемы, включающее в себя знакомство с техникой работы, отводится два занятия. На этих занятиях рассматриваются следующие вопросы.
1. Что представляют собой понятийные карты и блок-схемы, какие основные элементы они включают.
2. Содержание интеллектуальных стандартов: легкость понимания, конкретность, значимость, уместность.
3. Выбор темы раздела, которую старшие подростки уже усвоили, и отбор фундаментальных понятий.
4. Определение ранга выделенных понятий по уровням, в зависимости от степени значимости (наиболее значимые находятся вверху карты), с учетом, что несколько различных понятий могут быть одного ранга.
5. Создание индивидуальных понятийных карт, используя иерархичность понятий.
6. Объединение индивидуальных понятийных карт или блок-схем в одну общую после обсуждения и создания новых карт и схем. Наиболее высокую оценку получат общие понятийные карты или блок-схемы, которые иллюстрируют несколько путей интерпретирования отношений между понятиями.
7. Критерии оценивания понятийных карт или блок-схем с учетом, что наиболее высокую оценку получают общие понятийные карты и блок-схемы, которые иллюстрируют несколько путей интерпретирования отношений между понятиями.
Для самостоятельного построения понятийных карт и блок-схем, старшеклассникам выдаются методические пособия согласно [2, с. 4; 3, с. 27]. Им рекомендуется разработать индивидуальные понятийные карты и блок-схемы по пройденным темам, которые впоследствии будут оценены и индивидуально проанализированы.
Для оценки качества составления понятийных карт и блок-схем были выделены четыре уровня
учебных достижений старшеклассников: начальный, средний, достаточный и высокий. При этом высокий уровень - от 85% и выше; достаточный -от 75% до 84%; средний: 60-75% и имеем начальный, который составляет менее 60% от максимально возможного числа баллов.
Оценка качества составления понятийных карт и блок-схем характеризует глубину понимания учебной темы и поэтому должна коррелироваться с тестовыми показателями учебных достижений старшеклассников, особенно тогда, когда тест ориентирован на категорию понимания учебных целей, по Б. Блуму [1, с. 72]. Тест был ориентирован на проверку правильности интерпретации ключевых понятий дифференциальных уравнений. Тест содержал двадцать заданий, который максимально оценивался в двадцать баллов.
Предметом исследования (овладение навыками составления понятийных карт и блок-схем) были выбраны группы старшеклассников, обучающихся в секции «Математика плюс» в Центре внешкольной работы г. Зеленокумска, которые изучали элементы теории дифференциальных уравнений. При усвоении этого раздела, старшеклассники разрабатывают самостоятельно восемь «Понятийных Карт» и блок-схем, охватывающие восемь тем раздела:
1) дифференциальные уравнения первого порядка, основные понятия. Задача Коши;
2) уравнения с разделенными и разделяющимися переменными;
3) однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним;
4) линейные однородные и неоднородные уравнения;
5) уравнение Бернулли и Риккати;
6) уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним;
7) геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям;
8) физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
По пройденным темам проводилось тестирование.
Для отображения динамики роста показателей старшеклассников в составлении понятийных карт и качества знаний, были проведены два среза: в начале и конце изучения раздела.
Анализ результатов показал, заметное уменьшение числа обучаемых с низким уровнем знаний более чем в два раза. Также наблюдалась положительная динамика роста показателей старшеклассников в учебном тестировании, в первую очередь - уменьшение количества старшеклассников с низким уровнем знаний и со средним - в 2,6 раза и соответствующему повышению общего качества знаний.
Одновременно оценивалась эффективность использования понятийных карт по ответам на следующие вопросы:
- Дает ли положительные результаты использование понятийных карт и блок-схем в процессе обучения?
- Становится ли интересным процесс обучения при использовании новых методов?
- Наблюдается ли повышение мотивации обучения, при работе в группах?
- Способствуют ли новые методики расширению и углублению знаний?
- Повышает ли Вашу эффективность групповая работа?
- Можете ли Вы свободно размышлять, самостоятельно искать новые знания и высказать свое мнение в процессе обучения?
Анкетирование старшеклассников показало, что использование понятийных карт и блок-схем в обучении дает положительные результаты, выражающиеся в том, что появляется интерес к изучаемому материалу и его глубокое понимание, повышаются мотивация обучения и самооценка, коммуникационные навыки, умение задавать вопросы и свободно высказать свое мнение в процессе обучения. Все это позволяет нам сформулировать следующее заключение.
В системе дополнительного образования, руководствуясь принципами его целостности, необходимо укреплять математическую подготовку слушателей. Наиболее эффективно, на наш взгляд, это можно осуществлять на теории элементарных дифференциальных уравнений, выбрав в качестве одной из основных стратегий достижения целостности знаний старшеклассников, понимания основных положений, терминов и понятий, использование понятийных карт и блок-схем. Методика их использования гармонично сочетает как эмпирические, так и теоретические методы научных исследований. При этом следует учитывать особенности обучения в плане понимания изучаемого материала, опосредованные содержательным наполнением каждого из разделов учебного предмета.
Можно утверждать, что в процессе такого обучения у старшеклассников формируется система фундаментальных знаний в области теоретической математики, развиваются способности к использованию прикладной математики, к проявлению математической интуиции.
Сформулированные в работе основные теоретические выводы нашли подтверждение в результатах экспериментов и анкетирования, показавших, что использование понятийных карт и блок-схем действительно повышает уровень целостности знаний, их глубину, прочность, осознанность, широту междисциплинарных связей в рамках осуществления принципов непрерывности, преемственности и системности образования.
Библиографический список
1. Аммосова Н.В., Зелинская Г.А. Понятийные карты как средство понимания учебных материа-
лов в вузе // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. - 2006. -Т. 15 - № 4 - С. 67-75.
2. Зелинская Г.А., Зелинский М.М. Структурирование учебных материалов на основе понятийных карт // Известия Волгоградского государственного технического университета. - 2008. - № 5 (43). -С. 43-46.
3. Графические организаторы учебных материалов по «Экономической теории» / сост.: Г.А. Зелинская, М.М. Зелинский. - Астрахань, 2008. - 34 с.
4. Иванова С.В. Обучение студентов доказательству на основе системы учебных понятийных образований высшей математики // Математика в образовании. - Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 2010. - С. 95-102.
5. Кисельников И.В. Поэтапное описание процесса обучения математическим понятиям в системе обеспечения качества обучения математике // Теория и практика общественного развития. -Краснодар: ХОРС, 2011. - С. 173-177.
6. Лобанова Н.И. Элементы теории дифференциальных уравнений в системе дополнительного образования // Интернет-журнал «Мир науки». -2016. - Т. 4. - № 6. - С. 1-8.
7. Лобанова Н.И. Применение рабочих тетрадей при оценивании качества знаний обучающихся по дифференциальным уравнениям в рамках системы дополнительного образования // Интернет-журнал «Мир науки». - 2017. - Т. 5. - № 4. - С. 1-8.
8. Лобанова Н.И., Аммосова Н.В. Обучение методу моделирования средствами дифференциальных уравнений при решении геометрических задач в системе дополнительного образования школьников // Современные проблемы науки и образования. - 2017. - № 5. - С. 1-12.
9. Милованов Н.Ю. Формирование у старшеклассников умения перекодировать информацию (на примере изучения понятий математического анализа) // Мир науки, культуры, образования. -
2016. - № 1 (56). - С. 45-47.
10. Милованов Н. Ю. Методика формирования у старшеклассников системы понятий математического анализа на основе графических представлений: автореф. дис. ... канд. пед. наук. - М.,
2017. - 26 с.
11. Токарева Л.И. Формирование систем математических понятий у учащихся общеобразовательных школ: дис. ... д-ра пед. наук. - М., 2010. -404 с.
12. Халперн Д. Психология критического мышления. - СПб.: Питер, 2000. - 512 с.
References
1. АшшоБОуа N.V., Zelinskaya в.А. Ponyatijnye karty kak sredstvo ponimaniya uchebnykh materialov v vuze // Vestnik KGU im. N. А. Nekrasova. - 2006. -T. 15 - № 4 - S. 67-75.
128
Вестник КГУ 2018
2. Zelinskaya G. А., Zelinskij M.M. Strukturirovanie uchebnykh materialov na osnove ponyatijnykh kart // Izvestiya Volgogradskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. - 2008. - № 5 (43). -S. 43-46.
3. Graficheskie organizatory uchebnykh materialov po «EHkonomicheskoj teorii» // sost.: G.А. Zelinskaya, M.M. Zelinskij. - Аstrakhan', 2008. - 34 s.
4. Ivanova S.V. Obuchenie studentov dokazatel'stvu na osnove sistemy uchebnykh ponyatijnykh obra-zovanij vysshej matematiki // Matematika v obra-zovanii. - Cheboksary: Izd-vo Chuvashskogo un-ta, 2010. - S. 95-102.
5. Kisel'nikov I.V. Poehtapnoe opisanie protsessa obucheniya matematicheskim ponyatiyam v sisteme obespecheniya kachestva obucheniya matematike // Teoriya i praktika obshhestvennogo razvitiya. - Krasnodar: KHORS, 2011. - S. 173-177.
6. Lobanova N.I. EHlementy teorii differentsial'nykh uravnenij v sisteme dopolnitel'nogo obrazovaniya // Internet-zhurnal «Mir nauki». -2016. - T 4. - № 6. - S. 1-8.
7. Lobanova N.I. Primenenie rabochikh tetradej pri otsenivanii kachestva znanij obuchayushhikhsya
po differentsial'nym uravneniyam v ramkakh sistemy dopolnitel'nogo obrazovaniya // Internet-zhurnal «Mir nauki» 2017. - X 5. - № 4. - S. 1-8.
8. Lobanova N.I., Ammosova N.V. Obuchenie metodu modelirovaniya sredstvami differentsial'nykh uravnenij pri reshenii geometricheskikh zadach v sisteme dopolnitel'nogo obrazovaniya shkol'nikov // Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya. -2017. - № 5. - S. 1-12.
9. Milovanov N.YU. Formirovanie u starsheklassnikov umeniya perekodirovat' informatsiyu (na primere izucheniya ponyatij matematicheskogo analiza) // Mir nauki, kul'tury, obrazovaniya. - 2016. -№ 1 (56). - S. 45-47.
10. Milovanov N.YU. Metodika formirovaniya u starsheklassnikov sistemy ponyatij matematicheskogo analiza na osnove graficheskikh predstavlenij: avtoreferat dis. ... kand. ped. nauk: - M., 2017. - 26 s.
11. Tokareva L.I. Formirovanie sistem matematicheskikh ponyatij u uchashhikhsya obshheobrazovatel'nykh shkol: diss. ... d-ra ped. nauk. - M., 2010. - 404 s.
12. Khalpern D. Psikhologiya kriticheskogo myshleniya. - SPb.: Piter, 2000. - 512 s.
IleaarorHKa. IIcHxojiorHa. CoijnoKHHeTHKa J № 1
129
