CC BY
37
УДК 533.601
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 3
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО НЕРАВЕНСТВА ЛЕВИНА—СТЕЧКИНА В ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Р. Н. Мирошин
С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
Теория локального взаимодействия (ТЛВ) — полуэмпирическая теория для расчета аэродинамических сил и моментов без решения задачи обтекания тела потоком. Она используется на этапе эскизного проектирования летательного аппарата, когда требуется выбрать оптимальную его форму среди множества вариантов. Исток этой теории — знаменитая формула Исаака Ньютона для давления при неупругом отражении атомов газа поверхностью, применяемая два столетия при определении ветровой нагрузки на здания и сооружения [1]. В связи с развитием сверхзвуковой авиации и космонавтики потребовалось уточнить формулу Ньютона, что было сделано в СССР в середине минувшего столетия [2-4]. ТЛВ нашла себе также применение в задачах проникания ударника в преграду [5].
В настоящей статье показано, как в рамках ТЛВ оценить аэродинамический коэффициент снизу посредством неравенства, обобщающего классическое неравенство Левина—Стечкина, на примере коэффициента лобового сопротивления.
Далее рассматриваются осесимметричные выпуклые летательные аппараты, образующая которых определяется параметрически как (1(7), г(7)}, 7 а < 7 ^ 7в.
Согласно ТЛВ, безразмерный коэффициент С (а) реакции среды на движущееся в ней тело (например, коэффициент аэродинамического сопротивления) выглядит следующим образом [3, с. 116]:
где Бм — характерная площадь тела (выбирается так, чтобы коэффициент выражался в единицах, а не в десятках), tg в = г'/1', а С в (а) —коэффициент реакции острого кругового конуса с углом полураствора в под углом атаки а с единичным радиусом основания. Угол атаки а — угол между осью тела и направлением набегающего потока. Формула (1) отражает тот факт, что ТЛВ — частный случай метода касательных конусов.
Коэффициент реакции Св(а) для упомянутого конуса известен [3, с. 116]:
(1)
(2)
где 1 (Я) = 1 при Я > 0, J(Я) = 0 при Я < 0,
я = (^ - Ро)(Р1 - ро = 8т(в - а), Р1 = 8т(в + а),
(3)
© Р. Н. Мирошин, 2013
а / (4) —так называемая функция реакции, аккумулирующая в себе физику взаимодействия газа и поверхности обтекаемого тела. Например, для (модифицированной) формулы Ньютона при вычислении коэффициента лобового сопротивления функция реакции имеет вид
если 0 < 4 < 1,ро > 0,
/ (4) Нп , (4)
I 0, если — 1 < 4 < 0.
Другие модели /(4) см. в [2-5]. Здесь 4 = сов(п, V), т.е. косинус местного угла падения (угла между внутренней нормалью «(7) к поверхности и вектором скорости V набегающего потока).
Представление (1) ранее использовалось нами для выяснения причин, объясняющих хорошее совпадение экспериментальных данных и формулы Ньютона (4) (см. [6]). Далее мы найдем нижнюю границу для Сд(а), а тем самым по (1) и для С (а) любого другого выпуклого тела. В качестве модели функции реакции берем модели типа (4), когда / (4) = 0 при —1 < 4 < 0, т. е. обращающиеся в нуль в области собственной тени. Кроме того, ограничимся такими а и в, чтобы 0 < ро < Р1. В этом случае
Св(а) = —!— ГЩ*. (5)
^ 7 7Г81П/? .]ро л/Д У ^
Инструментом для оценки интеграла (5) послужит прием, разработанный при выводе неравенства Левина—Стечкина в теории функций вещественного переменного [8], а для примера возьмем модель (4). Изложим этот прием, модифицировав его для интеграла по интервалу [а, 6] вместо [0,1] первоисточника [8] и дополнив процессом ортогонализации.
Напомним, что две функции у (4) и ^(4) называются ортогональными в [а, 6], если
/ у>(г) л = 0.
Рассмотрим интеграл
I = I /(4) 9(4) А, 0 < а < 6,
«/ а
предполагая,что 9(4) —выпуклая непрерывная в (а, 6) функция, т. е.
и (4) =
1 1 1
¿о ¿1 4 9(4о) 9(41) 9(4)
> 0 при а < 4о < < 6. (6)
С помощью процесса ортогонализации [9, с. 157] из системы функций {1,4, /(4)} построим систему {1,М(4),у(4)} ортогональных функций в [а, 6]. Сначала строим ортогональный к 1 полином М(4) = ац + 4, полагая
ро рЪ
/ М(4) = 0, / М2 (4) = ^
аа
откуда получаем
а + 6 . а + 6 (6 — а)3 . .
«ю =--М(*) = (7)
На втором шаге включим в процесс ортогонализации функцию /(г):
у(г) = Я20 + а21М(г) - /(г). (8)
Коэффициенты 020 и а21 в (8) определяются из условий ортогональности у(г) к 1 и к М (¿):
Ь р ь
/ у(г) ¿г = 0, / у(г) м(г) ¿г = о, (9)
«/а «/а
т. е.
ЬЬ а2о(6 - а) = /(г) а21^1 = м(г) /(г) (10)
аа
Очевидно, функция (6) и (г) имеет только два нуля в (а, 6) —это ¿о и г 1, причем в [а, ¿о) и в (¿1,6] она положительна, а в (¿о ,¿1) —отрицательна. Если у у(г) тоже только два нуля, г*, и у (г) < 0 в [а, го) и (£* ,6), а в интервале (¿*,г*) функция у (г) положительна, то, отождествив г* и г* соответственно с ¿о и ¿1, получим
ЬЬ
/ и (г) у(г) ¿г = (г1 - ¿о )/ д(г) у(г) ¿г < о.
аа
Подставив (8) в это неравенство, заключаем, что
р Ь р Ь р ь
/ д(г) /(г) ¿г > а2о / д(г) ¿г + а21 / м(г) д(г) ¿г. (11)
./а ./а ./а
Неравенство (11) обобщает известное неравенство Левина—Стечкина [10, Д. 8]. То, что у у(г) есть по крайней мере два нуля, следует из наличия у у(г) двух соотношений ортогональности (9) (см. [8, с. 408]). Поэтому неравенство (11) окажется справедливым, если, исходя из свойств /(г), удастся доказать, что у у(г) нулей на самом деле не более двух.
Применим неравенство (11) к интегралу
Г Р1
I = п всв(а)=/ /(¿) 9(г) ¿г,
■' Р0
где а = ро > 0 и 6 = р1 < 1 определены в (3), С в (а) задается формулой (5), а / (г) — формулой Ньютона (4),
^¡у = -*)• (12)
Дважды дифференцируя д(г) в (12) по г, убеждаемся, что #''(г) > 0 при г € (ро,Р1), т.е. функция д(г) в (ро,р1) выпуклая. Подставив а, 6 и /(г) из (4) в (7)—(10), находим, что в системе ортогональных функций {1, М (г), у (г)}
Р0( 2 , , N 12Р0 А Р0 + Р1
а20 = у(р0 +/91Д/9о + /91), а21 = _ з ( С1----с0
где
/■Р1 р4 — /"Р1 р5 —
С0 = / ^ = Р^Л0 ) С1= = Р^Л0 _
Ло 4 Ло 5
Так как
получаем
у (4) =2ро(— 43 + В4 — С),
где
13 С=-(р? + 4р?р0+4р1р§ + рЗ) >0, в = -(3р2+4р1р0 + 3р2) >0.
По правилу знаков Декарта [11], так как у(4) имеет две перемены знака, у у(4) при 4 > 0 или два нуля, или ни одного. Поскольку у(4) удовлетворяет двум соотношениям ортогональности, у нее как минимум есть два нуля в (ро,Р1), т.е. у у(4) точно два нуля, 4* и 4*, в (ро,Р1). Имеющийся максимум у(4) в (ро,р1) положительный. Таким образом, у(4) < 0 в (ро,4*) и (4*, р*) и у(4) > 0 в (4*, 4*). Следовательно, справедливо неравенство (11) для 9(4) в виде (12) и /(4) в виде (4):
/• Р1 Г Р1
I > а2о / 9(4) + а21 / 9(4) М(4) ¿4. (13)
^ Р0 ^ Р0
Так как
/• Р1 /• Р1
/ 9(4) ¿4 = п, / 9(4) М(4) ¿4 = 0,
"'Рп "'Рп
' Р0 ^ Р0
неравенство (13) принимает окончательный вид
I > 2роп(р2 + р2)(р1 + ро). (14)
Сравним это неравенство с неравенством, получающимся при замене 9(4) на шт 9(4) = 2/(р1 — ро):
1> 4ро(р2 + ро)(р1 + ро), (15)
т. е. неравенство (14) точнее неравенства (15).
Таким образом, по крайней мере для модели Ньютона (4) в теории локального взаимодействия мы получили нижнюю границу для коэффициента лобового сопротивления конуса практически без вычислений. Для любой другой модели ТЛВ на указанном пути получается неравенство (11), если удастся доказать, что у(4) имеет только два нуля в (ро,р1). Известные пока модели ТЛВ все представляются полиномами второй, третьей или четвертой степени (см. [2-4]) по 4, так что решать вопрос о количестве нулей можно после небольших выкладок также по правилу знаков Декарта.
Литература
1. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. 220 с.
2. Мирошин Р.Н., Халидов И. А. Теория локального взаимодействия. Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1991. 276 с.
3. Мирошин Р. Н., Халидов И. А. Локальные методы в механике сплошных сред. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 304 с.
4. Бунимович А. И., Дубинский А. В. Развитие теории локального взаимодействия // Исследования по истории физики и механики, 1991-1992. М., 1997. С. 198-219.
5. Ben-Dor G., Dubinsky A., Elperin T. Applied high-speed plate penetration dynamics. Dordrecht: Springer, 2006. 357 p.
6. Мирошин Р. Н. Асимптотика по малому углу атаки коэффициента реакции осесим-метричного тела в теории локального взаимодействия // Аэродинамика: Сб. статей / под ред. Р. Н. Мирошина. СПб.: Изд-во НИИ Химии СПбГУ, 2002. С. 120-129.
7. Мирошин Р. Н. Метод моментов в аэродинамике. СПб.: Изд-во ВВМ, 2012. 141 с.
8. Карлин С., Стадден В. Чебышёвские системы и их применение в анализе и статистике / пер. с англ.; под ред. С. М. Ермакова. М.: Мир, 1976. 568 с.
9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: в 2 т. / пер. с англ. Н. Я. Виленкина. М.: Наука, 1966. Т. 2. 205 с.
10. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства / пер. с англ. В. И. Левина с доп. В. И. Левина и С. Б. Стечкина. М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1948. 456 с.
11. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа: в 2 т. / пер. с нем. Д. А. Райкова. М.: Наука, 1978. Т. 2. 431 с.
Статья поступила в редакцию 28 марта 2012 г.
