Использование нечёткого клеточного автомата для моделирования динамических процессов в средах с памятью Текст научной статьи по специальности «Математика»

Марценюк М.А.1, Селетков И.П.2

1 Пермский государственный национальный исследовательский университет, г.Пермь, доктор ф.-м. наук., профессор, заведующий кафедры Компьютерных систем и телекоммуникаций, тгсп @ psu.ru

2 Пермский государственный национальный исследовательский университет, г.Пермь, ассистент кафедры компьютерных систем и телекоммуникаций, ¡5е1е1коу@ gmail . сот

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕЧЁТКОГО КЛЕТОЧНОГО АВТОМАТА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СРЕДАХ С ПАМЯТЬЮ

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА

Нечеткая логика, нечеткий клеточный автомат, динамические процессы, среды с памятью.

АННОТАЦИЯ

Рассмотрена модель клеточного автомата с памятью, построенная с использованием нечеткой логики. Показано, что использование методов нечеткой логики в моделях клеточных автоматов позволяет повысить гибкость алгоритмов, упростить формализацию знаний эксперта. Для всех вычислений применяется матричный подход нечеткой логики, позволяющий упростить реализацию алгоритма и уменьшить требования к вычислительным ресурсам. В качестве конкретного примера обсуждается задача расчета поля температуры с учётом эффекта температурной памяти.

Введение

Понятие «клеточного автомата» (КА) было впервые введено Дж. Фон Нейманом [1] для реалистичного моделирования пространственно-протяжённых систем [2]. В последние десятилетия предложенные модели получили особенно значительное распространение в таких областях, как моделирование химических и биологических процессов [3,4], решение задач математической физики, обработке изображений [5, 6], моделировании социальных систем [7] и многих других. Обзор современных применений модели клеточных автоматов для решения научных и технических задач представлен в книгах [8, 9] и других источниках.

Как отмечает в своём предисловии к книге [10] известный эксперт в теории КА профессор Т. Тоффоли (TToffo1i), 50 лет исследований выявили, что КА-модели систем в своей основе служат концептуальным инструментом познания. Эти исследования также выявили особое место КА: они дают наибольший вклад в понимании сложных систем на стадии разработки их концептуальных моделей.

Перейдём теперь к более детальному описанию КА. Клеточный автомат состоит из упорядоченного массива данных (клеток) С = {С;,г = 1,2,...,п} , которые описывают поле С(£) (пространственное распределение) исследуемой величины в текущий момент времени I Далее во введении для простоты (но без ограничения общности) считается, что размерность dim(C)=1. Обработка массива Сй логическим автоматом по единому набору правил /позволяет вычислить массив в последующий момент времени ^ + Д ^ : С + Д ^ )= / (С )) . Здесь и далее мы отличаем понятия «клеточный автомат (КА)» и «логический автомат (ЛА)»: КА включает в себя массив Сй и способ его обработки - ЛА, т.е. КА=С(^)+ЛА. Функцию /часто называют правилом работы автомата. В литературе были предложены несколько алгоритмов работы логического автомата:

• Автомат без памяти или комбинационная схема (КС), действующая по чётко определённым правилам (ЧКС). Эта модель автомата является наиболее распространённой [8].

• В последнее время появились также модели, основанные на использовании чётких автоматов с памятью (ЧАП) [11].

Однако чёткие модели не охватывают всех возможностей применения клеточных автоматов. Поэтому были начаты разработки моделей клеточных автоматов с нечётким управлением, в основе которых лежит нечёткая комбинационная схема (НКС) [12, 13].

Целью данной работы является развитие теории клеточных автоматов, в которых для

обработки массива используются нечёткие комбинационные схемы и нечёткие автоматы с памятью (НАП).

В качестве содержательного примера рассмотрена задача о моделировании нестационарного поля температуры в среде, обладающей тепловой памятью. Как показано в работах [16, 17, 18] уравнение теплопроводности в общем случае содержит слагаемые, зависящие от температуры среды в предшествующие моменты времени. Такое уточнение классической схемы теплопроводности оказывается необходимым для решения задач прецизионного управления температурой высокоточных систем.

Модель нечёткой клеточной комбинационной схемы

Модель НКС применяется в тех случаях, когда предметная область описывается экспертом лингвистическими (словесными) правилами или, когда трудно разработать достаточно простую математическую модель предметной области, и необходима высокая гибкость в настройках системы управления; когда требуется расширить область значений входных параметров «чёткой» комбинационной схемы без введения дополнительных правил и др. Отметим также, что нечёткий клеточный автомат без памяти или нечёткая комбинационная схема, являются разновидностью непрерывного клеточного автомата [13].

Покажем на примере, как может быть построен нечёткий клеточный автомат. Состояние каждой ячейки описывается с помощью лингвистической переменной У , принимающей ряд значений, например, У а = «Низкое», Уь = «Среднее», ..., У z = «Высокое». Эти значения количественно задаются некоторыми нечёткими подмножествами Ga,Gb, Gz универсума 5 с помощью векторных функций Ца (5), Ць (5), Цг (5) (где 5 £ 5 ), определяющих степень принадлежности точек универсума 5 подмножествам Ga,Gb,Gz. Универсальное множество (универсум) состояний 5 ячейки НКС определим как 5 ={0,1,...,Бтах} .

Вычисления будем производить в матричном виде [19, 20] и для этого вводим компоненты функций принадлежности Ца(5) = (ца0,Ца 1) , Ць(5)=(цЬ0,ЦЬ 1),..., . Истинностные компоненты этих векторов Ца 1 , МЬ 1 ,-■ совпадают с функциями принадлежности, введёнными Заде [21], а «ложные» - определяются равенствами Ца0 = 1-Ма 1, МЬ0=1-МЬ1 ,-■ Как показано в [20], переход к векторному описанию нечётких переменных позволяет ввести операции над ними, наиболее естественно обобщающие операции чёткой логики, а также ввести непротиворечивую меру нечёткости, используя известную формулу Шеннона.

Алгоритм работы НКС формулируется на языке лингвистических переменных У :

t +Л Г т-,/ t t t \

Yi =Г(у,-1,у,-,Yi+1), (1)

где аргументы у—, у|, у^ функции Г описывают соответственно состояния соседних ячеек с

• 1 • • . 1 ^ t+Лt

номерами 1-1,1,1 +1 в момент времени ^ yi - это состояние ячейки с номером I в последующий момент времени Г + Д Г (в формуле (1) для простоты считается, что размер г окрестности О равен 1). Функция Г задаётся логическими правилами следующего вида «Если текущие состояния ячеек у— ="Низкое", у\ ="Низкое" и ="Низкое", то новое состояние ячейки

уГ +дг=у0 ("Низкое") и т.п.

Правила (1) могут быть записаны в явном виде с помощью логических операций конъюнкции, дизъюнкции и импликации следующим образом:

Е! г Г . Г )_. Г+Д Г

(Укл-1 Л УиЛ У т^+1) Уп^ , (2)

к, I, т

где индексы к ,1,т,п, определяют конкретные значения лингвистических переменных У , например, у— ="Низкое", уЬ+ДГ ="Среднее", а у^+ДГ ="Высокое" и т.п. В выражении (2) введена матрица гк,1,т,п, компоненты которой, в зависимости от значений индексов к,1,т,п, равны 0 или 1. Тем самым задаются правила работы «если ..., то.» рассматриваемой НКС (см. подробнее [19-20]). Символами Л , ^ обозначены нечёткие логические операции конъюнкции и импликации соответственно, которые в окончательном результате сводятся к матричным операциям над значениями функций принадлежности Ца (5) , Ць (5) ,..., Цг(5) .

Численная реализация работы НКС на основе правил (2) строится следующим образом. В

текущий момент времени t считаются известными параметры - текущие состояния каждой

.. .. „ t+A t

ячейки. Цель расчета - найти параметры 5; на следующем шаге по времени с помощью нечётких правил (2).

На первом этапе решения этой задачи проведём фаззификацию заданных переменных, вычисляя значения функций Ц,а (5) , ць (5) ,..., (5) при 5 = st. Полученные численные значения подставим в (2) вместо соответствующих значений лингвистических переменных У .

Р ( 5 )= Е Ч,1,т,п1^к ( ^-1 )Л^ /( 5 )Л^ т ( 5^+1 ( 5 )] , (3)

к,1,т,п

где введена вспомогательная векторная функция р (5) , позволяющая определить новое

t+л t

состояние ячейки 5; .

Для реализации логических операций в формуле (3) используем матричный метод. Логические операции над векторными переменными описаны в [19, 20]: хЛу = С(х) -у х — у= I(х) -у , где С (х) и I (х) известные 2x2 матрицы, а точка «•» обозначает матричное умножение квадратной матрицы на матричный столбец, составленный из компонент вектора у .

Требуемый для решения задачи расчёт чёткого значения результата 5-+Л t (дефазификация) может быть реализован с помощью найденной функции р (5) «центроидным» методом:

5F 1( 5) d5

J

- allS

s = ^-ГТТ' (4)

J F Л s) ds

all S

где F1 (s) - истинностная компонента векторной функции F (s) . Полученный результат вычислений s мы отождествляем со значением нового состояния ячейки, в которое она переходит:

t+Д t — ,-r-v

si =s . (5)

Далее этот расчёт повторяется для всех ячеек массива. Моделирование поля температуры

Применим описанный метод для расчёта поля температуры образца при заданных начальных условиях. При разработке алгоритма тепловая задача решалась для теплоизолированного образца (при отсутствии теплового потока на границах области). Подобные требования предъявляются на производстве, где в установке есть несколько точечных источников тепла, а цель управления ими состоит в том, чтобы сформировать с заданный профиль распределения температуры во всём объёме установки [22].

Для обеспечения возможности визуализации результатов ограничимся двумерной задачей, однако все дальнейшие выводы могут быть произведены и для трёхмерной задачи.

Разобьём всю плоскость образца на отдельные ячейки. Количество ячеек выбирается в зависимости от требований к пространственной детализации решения. Для рассмотренного ниже численного примера выбрано поле размером 25 на 25 ячеек.

Введём параметры задачи и области их определения (универсальные множества):

• T-температура образца, T£[0,300]0 C .

• тt j - температура у-го элемента образца (ячейки) в момент времени t.

• Х - коэффициент теплопроводности образца, X е[ 0,400]^ —-р- (необходимость

(м •К)

введения этого универсума и соответствующих лингвистических переменных обусловлена различием правил изменения температуры образца в зависимости от теплопроводности материала);

• ^ - относительный коэффициент потерь тепла в третьем измерении (по нормали к плоскости образца) за один шаг по времени A t в одной ячейке, 0,1 ] . Величина ^ считается равной нулю, если этими потерями можно пренебречь.

Для алгоритмического описания процессов, происходящих в ячейке, введём следующие лингвистические переменные:

• а - «температура ячейки», принимающая значения: аа - «очень низкая», аь - «низкая», ас - «средняя», аd - «высокая», ае - «очень высокая»;

• в - «величина коэффициента теплопроводности» принимающая значения: в а - «низкий», вЬ - «высокий»;

• У - «величина коэффициента потерь тепла», принимающая значения: У а - «низкий», Уь - «средний», Ус - «высокий».

Все термы лингвистических переменных количественно описываются нечёткими подмножествами введённых универсальных множеств. В свою очередь нечёткие подмножества задаются векторными функциями принадлежности Ца(тГ , Цр(х) , Цу(^) . Возможный вариант зависимости истинностных частей этих функций от их аргументов приведён на рис. 1.

а)

200 з

Температурав ячейке образна Г-'у. "С

б)

в)

Я Э

к ^

п. с

I I

Л Е-.

н о

О н

'Л

■г.5

1 В1 1 В2 1 вэ

1 1

Относительный козффпцпент потерь тепла у

Рис.1. Графики функций принадлежности элементов универсальных множеств подмножествам, описывающим термы лингвистических переменных: а) «Температура ячейки», б) «Величина коэффициента теплопроводности», в) «Величина коэффициента потерь тепла»,где

А1. «Очень низкая», А2. «Низкая», А3. «Средняя», А4. «Высокая», А5. «Очень высокая»,

Б1. «Низкий», Б2. «Высокий»,

В1. «Низкий», В2. «Средний», В3. «Высокий».

Эксперт формулирует правила передачи тепла между ячейками в виде:

«Если в данный момент времени температура ячейки с номерами /— 1, ]-1 а|_

и-1

= ае

(«очень высокая»), и температура в ячейке с номерами /— 1, j а— } = ае («очень высокая»), и т.д., и коэффициент потерь тепла У=Уа («низкий»), и коэффициент теплопроводности Р = РС («высокий»), то температура в центральной ячейке (г ,}) окружности на следующем шаге будет а[+Л 1=ае («очень высокой»). Зависимость между лингвистическими переменными условно выглядит следующим образом:

t + А t_тл, t t t t t

йк,1,] = Г ( а11,1 — 1,]—1 ,а12,1—1,]>а13,1 — 1,} +1 ,а14,(,}— 1 ,а15,1,] , ,,,

t t t t в ) . (6) а 16, г,}+1 ,а 17,1 +1,} —1 ,а18,1 +1, ],а 19,1 +1, ] +1, Рш, Уп )

В правилах и формуле (10) анализируется температура в ячейках окрестности Мура первого порядка.

С целью упрощения и унификации дальнейшего алгоритма в данной задаче можно применить дополнительное преобразование. Без внешних воздействий температура во всей системе стремится к равновесному значению. Поэтому, вместо того, чтобы анализировать температуру в каждой ячейке отдельно, можно найти среднюю температуру по окрестности О ячейки и анализировать её. Перепишем (6) с учётом того, что а| г } теперь характеризует среднюю температуру окрестности:

ак+А}=Г(аи},Уп). (7)

В таком виде можно без изменения дальнейшего алгоритма использовать различные формы и размеры окрестностей.

С помощью логических операций правила записываются в следующем виде:

Е 4,1,ш,п (а1,1,]ЛвшЛУп)-ак+А} , (8)

1,ш,п

где £к,1,ш,п - матрица выходов НКС.

Запишем все правила в виде таблицы (табл. 1).

Т а б л и ц а 1. Таблица выходов нечеткой клеточной комбинационной схемы «тепловое поле» на языке

лингвистических переменных

№ 1 т п к № 1 т п

1 а Ь а а 7 с Ь а

2 Ь Ь Ь а 8 d Ь Ь

3 с Ь с а 9 е Ь с

4 Ь Ь а Ь 10 d Ь а

5 с Ь Ь Ь 11 е Ь Ь

6 d Ь с Ь 12 е Ь а

Полученная в соответствии с заданными условиями и алгоритмом (1)-(5) система позволяет проводить анализ различных динамических температурных процессов, в частности, температурных волн и их дисперсии. Произведём расчёт изменения температурного поля в квазилинейном образце при гармоническом граничном условии (9) рис. 2.

<о = -С™* -(0.5-0.5005(0.02 -г)) [9)

300 250 200 150 100 50 0

/ / №

\ч

4=157 t=200 t=250 t=314

Номер ячейки 60

в)

Рис.2. Результаты расчётов поля температуры в квазилинейном образце при гармоническом граничном условии (18) в моменты времени а) Г = 157 -А Г , б) Г =251 -А Г , в) поперечные профили температурной

волны в некоторые моменты времени.

Модель нечёткого клеточного автомата с памятью

Классические модели клеточных автоматов (см., например, [2, 8, 9]) подразумевают под собой функционал клеточных комбинационных схем. Фактически хранится и используется только текущее значение исследуемой величины в каждой клетке. При этом история изменения значений в клетках никак не анализируется.

В работе [11] предложена модель «чёткого» клеточного автомата с памятью, в которой для каждой ячейки, кроме значения основной исследуемой величины хранится «состояние», отражающее историю изменения исследуемой величины.

С нашей точки зрения полезной также является модель нечёткого клеточного автомата с памятью (НКАП). По аналогии с «чёткими» клеточными автоматами, НКАП состоит из массива клеток, содержащих информацию о текущем значении исследуемой величины и истории её изменения, а также вычислительное устройство (логический автомат), определяющее переходы клеток между состояниями. Вычислительное устройство представляет собой нечёткий автомат.

Как показано в работе [14], в случае конечной памяти нечёткий автомат можно эквивалентно заменить модифицированной нечёткой комбинационной схемой (МНКС) без потери функциональности. Причём в такой модели не требуется описывать «состояния» ячеек, и достаточно хранить историю изменения исследуемой величины в виде массива-очереди.

Рассмотрим построение такого автомата на конкретном примере. Недавние исследования [16, 17, 18] показывают, что уравнение теплопроводности в общем случае содержит слагаемое, зависящее от температуры среды в предшествующие моменты времени. Иными словами, среда обладает температурной памятью:

д(х,0=—ХУ Г(х,0-§Ут(х,0 , (10)

Где Т(Х,Г) - так называемое температурное смещение

Г

Т(х,г) = Т(х,0) + / Т(x,s)ds . (11)

0

Предположим, что в данный момент уже рассчитано предварительное значение температуры в ячейке (часть с коэффициентом X ) по описанному выше (1)-(5) алгоритму. Определим вклад памяти § . Для этого найдём среднее за определённое количество шагов по времени значение температуры в ячейке:

1-1 I

5 = 0

—< — 5 А Г

ти

где

памяти.

<}= Ь

— Г—5АГ - . . . т

X, } - температура в соответствующей ячейке в момент времени Г — 5 А Г , Ь

(12)

глубина

Введём лингвистические переменные

0

• а - «температура в ячейке», принимающая значения: аа - «очень низкая», аь - «низкая», ас - «средняя», аё - «высокая», ае - «очень высокая»;

• Л - «величина коэффициента влияния памяти вещества», принимающая значения Ла -«низкая», Ль - «высокая».

Графики истинностных частей векторных функций принадлежности Ца(т 1}) и приведены на рис.1.а, и на рис. 3.

1.2-

и Ё

I %

50 100

Ксеффгщпенг влияния гемпе^ат^нпп п а>шш 4 - В т.^м К)

Рис.3. Графики истинностных компонент векторных функций принадлежности значений коэффициента влияния памяти нечётким подмножествам, описывающим термы 1) Л а «низкая» и 2) Ль «высокая» лингвистической переменной «Величина коэффициента влияния памяти вещества»

Задаём лингвистические правила в следующем виде «Если разница средней по времени температуры и текущей температуры ае «очень высокая», и влияние памяти Ль «высокое», тогда необходимо изменить текущую температуру на величину ае с учётом знака».

С помощью логических операций правила записываются в следующем виде:

1 -Ь 1+А г

Е

1,ш

(13)

Перечислим все правила в виде таблицы: Т а б л и ц а 2. Таблица выходов нечеткой модифицированной клеточной комбинационной схемы «тепловое

поле» на языке лингвистических переменных

№ 1 т к № 1 т к

1 а а а 6 с Ь с

2 а Ь а 7 d а Ь

3 Ь а а 8 d Ь d

4 Ь Ь Ь 9 е а с

5 с а Ь 10 е Ь е

Для численного расчёта строим вспомогательную векторную функцию

(г ) = П , [с )} (£)] (г ) - (14)

Чёткое значение добавочного вклада памяти в температуру ячейки с номерами {,} находится центроидным методом:

| гО] ( г) с1т

т,

t+l_ Тпж

пш

| О, ' (т)сЗт

(15)

Вкладом памяти в модели можно управлять двумя способами:

6. Изменять глубину памяти L . В случае моделирования только по уравнению Фурье L = 1.

7. Изменять коэффициент влияния памяти § .

Построим для сравнения профили волны в квазилинейной среде с гармоническим

граничным условием (9) при L = 1, L = 2 , L = 5 и ^ = 100 , рис.4.

10

0

10 15 20

Номер ячейки, в направлении нормали к фронту волны

Рис.4. Профили температурной волны в квазилинейном образце с гармоническим граничным условием (17) с параметрами 1) L= 1, 2) L = 2 , 3) L = 5 , ^ = 100 в момент времени t = 314 -А t .

Из рис.4. видно, что наличие памяти делает систему более инерционной.

Выводы

Показано, что задачу расчёта поля температуры в динамических условиях можно решить с помощью нечётких клеточных автоматов без памяти или нечётких комбинационных схем.

Учёт эффекта температурной памяти, предлагаемый как уточнение в современной литературе, можно осуществить с помощью нечётких клеточных автоматов с памятью или нечётких клеточных модифицированных комбинационных схем.

Принципиальное отличие развиваемого подхода от представленных в литературе (см., например, [16, 17, 18]) состоит в том, что здесь не используется какой-либо численной схемы для решения интегро-дифференциального уравнения, к которому сводится эта задача при её описании в указанных источниках. Предлагаемая модель обладает большой гибкостью, так как у разработчика есть возможность увеличивать или уменьшать глубину памяти, изменять как функции принадлежности, которыми описываются значения лингвистических переменных, так и логические формулы, по которым задаётся работа автомата.

Литература

1. 2. 3.

4.

5.

9.

10. 11. 12.

13.

14.

Фон Нейман Д. Теория самовоспроизводящихся автоматов. Пер. с англ. М.: Мир, 1971. 384 с. Тоффоли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов. Пер. с англ. М.: Мир, 1991. 280 с.

Беланков А.Б., Столбов В.Ю. Моделирование процесса формирования микроструктуры при кристаллизации металлов с помощью клеточных автоматов. // Математическое моделирование систем и процессов, №10, 2002. C. 6-16.

Ahmed E. Fuzzy Cellular Automata Models in Immunology. Journal of Statistal Phisics, 1996, Vol. 85, Pp. 291-294.

Zamani S., Javanmard M., Jafarzadeh N., Zamani M. A Novel Image Encryption Scheme Based on Hyper Chaotic Systems and

Fuzzy Cellular Automata. The 22nd Iranian Conference on Electrical Engineering (ICEE 2014), May 20-22, 2014.

Rosin P., Adamatzky A., Sun X. Cellular Automata in Image Processing and Geometry. Emergence, Complexity and

Computation. Springer, Vol. 10, 2014. P. 304.

Sridharan R., Pudi V. Design of Arithmetic Circuits in Quantum Dot Cellular Automata Nanotechnology. Springer, 2015. P. 99.

Mantelas L., Prastacos P., Hatzichristos T., Koutsopoulos K. Using fuzzy cellular automata to access and simulate urban growth. GeoJournal. Springer, 2012. Pp. 13-28.

Mainzer К., Chua L., The Universe as Automaton: From Simplicity and Symmetry to Complexity. Springer. 2012. P. 108. Hoekstra A. G., Kroc J., Sloot P.M.A. Simulating Complex Systems by Cellular Automata. Springer, 2010. P. 393. Salcido A. Cellular Automata - Innovative Modelling for Science and Engineering InTech, 2011. P.440.

Alonso-Sanz R., Martin M. Cellular Automata with Memory. Materials of Wolfram Science Conference 2006. // https://www.wolframscience.com/conference/2006/presentations/materials/alonsosanz.pdf (Accessed 09.02.2015). Cattaneo G., Flocchini P., Mauri G., Vogliotti C.Q., Santoro N. Cellular automata in fuzzy backgrounds. Physica D, 1997, Vol. 105, Pp. 105-120.

Betel H., Flocchini P. On the Relationship between Fuzzy and Boolean Cellular Automata. Electronic Notes in Theoretical Computer Science, 2009, Vol. 252, Pp. 5-21.

Марценюк М.А., Селетков И.П. Приведение конечного нечеткого автомата к нечеткой комбинационной схеме с блоком памяти. // Научно-технические ведомости СПбГПУ Информатика. Телекоммуникации. Управление. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2014. № 6 (210). С. 67-80.

16. Марценюк М. А. Операторно-логические схемы как средство изучения алгоритмов в учебных курсах по математике и информатике. // Прикладная информатика. 2010. №5 (23). С. 43-54.

17. Green A.E., Naghdi P.M. A re-examination of the basic postulates of thermomechanics, Proc. Roy. Soc. London Ser. A 432. 1991. Pp.171-194.

18. Giorgi C, Grandi D., Pata V. On the Green-Naghdi Type III Heat Conduction Model. Mathematics Subject Classification. 2000.

19. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н., Семенов Д.А. Связанные динамические задачи гиперболической термоупругости. / / Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2009. Т. 9, вып. 4(2). С. 94-127.

20. Марценюк М.А., Поляков В.Б., Селетков И.П. Матричная реализация алгоритмов нечеткого вывода. // Научно-технические ведомости СПбГПУ Информатика. Телекоммуникации. Управление. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2012. № 6 (162). С. 133-141.

21. Марценюк М. А. Матричное представление нечеткой логики. // Нечеткие системы и мягкие вычисления. Научный журнал Российской ассоциации нечетких систем и мягких вычислений. 2007. Т. 2, № 3. С. 7-35.

22. Zadeh L.A. Fuzzy Sets. // Information and Control. 1965, Vol.8, pp. 338-353.

23. Марценюк М. А., А.Ю.Ощепков, А.В.Яценко Синтез адаптивного управления температурными полями распределённых объектов. Теория и эксперимент Вестник Пермского университета Вып, 3. Физика. Пермь.: Из-во Перм. ун-та, 1995. С. 11-43.