Использование модели кокса- ингерсолла-росса для прогнозирования сдвига кривой доходности. Проблема идентификации параметров модели Текст научной статьи по специальности «Математика»

экономика

УДК 519.233.22

Использование модели Кокса-Ингерсолла-Росса для прогнозирования сдвига кривой доходности. Проблема идентификации параметров модели

Аннотация. В статье рассматривается модель Кокса-Ингерсолла-Росса, записанная в виде стохастического дифференциального уравнения диффузионного типа, которая используется для прогнозирования сдвига кривой доходности. Основная проблема данной модели - оценка ее параметров. Правильная оценка параметров подтверждает целесообразность использования модели. Поэтому крайне важно иметь наиболее точный метод идентификации ее параметров. В данной работе изучается двухшаговый метод оценки параметров модели с использованием их калибровки. Калибровка необходима для перехода к модели с меньшим числом параметров. Сначала проводится оценка новых параметров путем минимизации функции потерь. Далее оцениваются начальные параметры модели за счет максимизации функции правдоподобия Гаусса по одному параметру, от которого зависят начальные параметры модели. Модель дает возможность оценить всю временную структуру в будущие моменты времени, используя полученные оценки параметров.

Ключевые слова: спот-ставка; временная структура; модель Кокса-Ингерсолла-Росса; лемма Ито; калибровка модели; функционал потерь; функция правдоподобия Гаусса.

Abstract. in this paper I consider the Cox-Ingersoll-Ross mean-reverting square root diffusion model of the short interest rate dynamics for forecasting of the yield curve shifts. The key problem appears when we assess the model parameters. The correct estimation allows further use of the model for forecasting purposes. Therefore we need to have the most exact method for the identification. In this framework I have studied two-stage estimation of the model parameters by using calibration of the last. Such calibration is necessary for transformation to the model with less parameters. As the first step I estimate these parameters by using loss functional, the minimum value of which provides the best estimation. The next step is estimation of the initial parameters by using standard Gaussian likelihood function dependent on one parameter. The maximum value of such function provides the best estimation of this single parameter, and the initial values dependent on it become given. Having the best estimated parameters one can assess the whole term structure for further time horizons through the formulas described in the model.

Keywords: spot rate; term structure; yield curve; Cox-Ingersoll-Ross model; Ito's lemma; model calibration; loss functional; Gaussian likelihood function.

Гайнуллина Д. Р.,

студентка магистратуры Финансового университета Н dina-gajnuLLina@yandex.ru

Безрисковая процентная ставка является одним из ключевых компонентов финансовых рынков. Существует множество моделей, позволяющих оценить кривые доходности безрисковых облигаций - государственных облигаций,

выпущенных в национальной валюте. Модели бывают одно- и многофакторными, т.е. учитывающими влияние различных экономических показателей, ожиданий инвесторов относительно будущих цен и т. д. В моделях используются различные методы прогнозирования кривой доходности. Наиболее простое решение - это плоская временная структура, которая рассматривается в рамках работы Мако-лея [1]. Она дала толчок к появлению более сложных стохастических моделей - общего равновесия и с отсутствием арбитража. Примером равновесных являются диффузионные модели Мертона, Васичека, Чена и Кокса-Ингерсолла-Росса. Модели с отсутст-

Научный руководитель: Попов В.Ю., доктор физико-математических наук, профессор.

вием арбитража разработали Халл и Уайт, а также Хит, Джарроу и Мортон.

Известно, что невозможно максимально точно описать колебание процентной ставки. Кроме того, форма кривой доходности различна для разных финансовых рынков. Тем не менее во многих моделях базовым предположением является зависимость цены облигации от одной стохастической переменной, спот-ставки. Такие модели называются однофакторными. Однако в своей работе Чапман и Пирсон доказывают, что 88% вариации кривой доходности объясняется одним фактором [2]. Целью данной работы является описание теоретических аспектов применения однофакторной модели Кокса-Ингерсолла-Росса для прогнозирования сдвига кривой доходности. Основная проблема в применении данной модели - оценка ее параметров. Поскольку модель дает оценку будущего значения спот-ставки исходя из значений конкретных параметров, оценка параметров служит ключевым моментом при прогнозировании сдвигов кривой доходности. Таким образом, важно выбрать правильный подход для оценки параметров, который будет максимально учитывать всю имеющуюся информацию об исторических значениях спот-ставок. Один из таких подходов будет описан в данной работе.

Чтобы понять принцип определения цены облигации в стохастических однофакторных моделях, опишем теоретические аспекты модели Кокса- Ин-герсолла-Росса, а затем перейдем к методам оценки параметров этой модели.

Пусть Р Т) - цена бескупонной облигации с номиналом 1 у.е. в момент времени Т со сроком погашения Т, тогда Р (Т,Т) = 1. Доходность к погашению Я Т) определяется следующим образом:

И (^ Т) = -1Т-ПпР (^ Т). (1)

Тогда кривая доходности есть зависимость Д (£, Т) от Т. Временная структура процентной ставки представляет собой зависимость между доходностью и временем до погашения облигации Т-1.

Спот-ставка - начальное значение кривой доходности, определяется следующим образом:

п=я (ь, г) =-д1пР (г, т) дт\г=т. (2)

Допустим, что спот-ставка гЬ подчиняется непрерывному марковскому стохастическому процессу с возвратом к постоянному среднему:

йп=р (ц-П) сИ+а^ПйшЬ, (3)

где [шЬ, £ >0} - стандартный винеровский процесс; р, а - положительные константы, при этом Р - скорость возврата к среднему, ц - постоянное среднее, а - волатильность процесса. Первое слагаемое стандартно для авторегрессионных моделей и означает, что процентная ставка возвращается к своему постоянному среднему значению со скоростью, пропорциональной разности постоянного среднего и процентной ставки. Второе слагаемое -гетероскедастичная ошибка, за счет которой колебания процентной ставки больше в периоды, когда процентная ставка принимает большие значения.

Безрисковая процентная

ставка является одним из ключевых

компонентов финансовых рынков

Согласно лемме Ито цена облигации подчиняется следующему стохастическому процессу [3, с.386]:

йР= (ЗРд1+^гдРдг+12аг2д2Рдг2) (И+огдРдг(1ш=\ р. (С, Т) (И+о (С, Т) йш, (4)

где ^г=р аг= а^гС.

В моделях используются различные методы прогнозирования кривой доходности. Наиболее простое решение - это плоская временная структура, которая рассматривается в рамках работы Маколея

Для хеджирования облигации используем портфель из двух облигаций с различными сроками погашения: П=Р1 (С, Т1, г) +5Р2 (С, Т2, г), т.е. одной облигации со сроком погашения Т1 и 8 облигаций со сроками погашения Т2. Нужно определить 5 таким образом, чтобы минимизировать риск. Тогда, используя (4), получим дельту портфеля за промежуток времени сИ\

^П= (р.1+8р.2) <И+ (а1+8а2) йш. (5)

Чтобы портфель был безрисковым, необходимо условие: а1+8а2 = 0, откуда 8=-а1а2.

Тогда получаем оценку хеджированного портфеля:

^П= (Д1-а1а2А2) (И. (6)

Так как портфель безрисковый, его доходность должна определяться безрисковой спот-ставкой, т.е.

йП=гП&. Приравняв с (6), получаем следующее соотношение: гР1-р1а1=гР2-р[2а2.

Это соотношение верно для облигаций с любым сроком погашения, т.е. не зависит от Т. Тогда

X (^ Т) =р (г, Т) -г (^ Р (^ Т) а (^ Т). (7)

Показатель X (I, Т) называется рыночной ценой риска, так как показывает увеличение ожидаемой мгновенной ставки доходности облигации за дополнительную единицу риска.

Известно, что невозможно максимально точно описать колебание процентной ставки. Кроме того, форма кривой доходности различна для разных финансовых рынков

Объединим уравнения (4) и (7):

а=агдРдг р=ХагдРдг+гР=дРдЬ+^гдРдг+12аг 2д2Рдг2.

Переписав, получим следующее уравнение в частных производных для определения цены бескупонной облигации:

дРдЬ+ (£ (р-П) -ХаЫг) дРдг+

+ 12аг2д2Рдг2-гР=0, (8)

где (0, Т), г>0 и выполняется начальное условие Р (Т, Т, г) = 1.

В модели Кокса-Ингерсолла-Росса параметр Х=Х^га, где X - константа.

Существует явное решение уравнения (8) [4, с.393]:

Р (Т-т, Т, г) =А (т) е-В (т) г, (9)

где т=Т^е [0, Т] и функции А (т), В (т) имеют вид:

А (т) = [уехр [у+р+Х] т/2]

ехр (ут) -1В (т)] 20ца2/; (10)

В (т) =2 (ехр (ут) -1) (Р+Х+у)

(ех р (ут)-1)+2у, (11)

где у=V (Р+Х) 2+2о2.

Таким образом, оценив параметры модели Кок-са-Ингерсолла-Росса, можно получить кривую доходности в каждый момент времени путем дисконтирования расчетной цены облигации. Существуют различные подходы для оценки параметров моделей

процентных ставок. К ним относятся обобщенный метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод Монте-Карло. Все они широко используются, но не всегда дают точные результаты. Мы рассмотрим двухшаговый подход к оценке параметров модели. Первый шаг - это минимизация функционала потерь, дающего оценку качества аппроксимации множества фактических кривых доходностей и экспериментально полученных кривых. Второй шаг - максимизация функции правдоподобия, ограниченной этой кривой. Для применения данного подхода необходима калибровка модели, т.е. сокращение числа параметров путем замены. Оценка параметров модели с помощью исторических данных - это метод внутренней оценки. Существуют также методы внешней оценки, которые опираются не только на статистические данные исследуемого процесса, но и на экспертные оценки.

Рассмотрим калибровку модели, позволяющую заменить четыре параметра модели на три:

$=е-у, г/=р+Х+у2у, <;=2Рц.а2, (12)

где у=V (Р+Х) 2+2о2.

Переходя к начальным параметрам, получаем Р=у (2т]-1) -X о=у-^2т) (1-ц), ц=$о22р, где у=-1п%.

Переходя к новым параметрам в формулах (10), (11), получаем

А (т) = К (1-п) тЛ (1-^т) +$т] <;, (13)

В (т) = -ИпЦ (1-^т) +%т. (14)

Следует отметить, что параметры п, О определены в пространстве 0= (0,1) * (0,1) * (0,^), в то время как начальные параметры (р, а, ц, X) определены в пространстве Б= (0,ю) 3х1Я. Тогда оператор перехода из D в О является гладким и существует обратный оператор, значения которого зависят от параметра X.

Определение 1. Функционал потерь - это взвешенное по времени расстояние фактических кривых доходностей {Р]1,]=1,..., т] и множества кривых до-ходностей, полученных в результате численной реализации {Я]Х,]=1,.., т] в моменты времени /=1, ..., п, определяющееся из соотношения цена-доходность:

А]е-В]Р01=е-Я]1т], (15)

где п=Я01 - спот-ставка в моменты времени /=1, ..., п, А]=А (т]) и В]=В (т]), где 0=т0<т1<---<тт - сроки погашения облигаций в различные моменты времени, значения которых формируют кривую доходности.

Функционал определяется следующим образом:

и ц, (¡) =1т£1п£ (Щ1-Щ1) 2т]2т=1т]=1. (16)

Предложение 1. С учетом формулы (15) и в терминах среднеожидаемой временной структуры и ко-вариаций функционал потерь может быть записан следующим образом:

и д =1т£ [(уЕ (Я]) -В]Е (И0) + + 1пА]) 2+Т) (т)П)-В]№)} тп]=1. (17)

Выражение (17) более удобно для вычислительных целей, поскольку содержит всю статистическую информацию о кривых доходностей для различных моментов времени, такую как математическое ожидание и ковариация временной структуры.

Как видно из формул (16), (17), функционал нелинейный, здесь мы сталкиваемся с первой проблемой при оценке параметров модели, а именно минимизацией нелинейного функционала.

При фиксированных значениях новых параметров П параметр , может быть получен следующим образом.

Предложение 2. Для того чтобы функционал (17) достигал минимума при изменении параметра ,, необходимо выполнение условия оптимальности: дид<;=0, т.е.

1 (1пА])2 =

= -1 [У'Е (Я]) -В]Е (Я0)] 1пА]т]=1т]=1. (18)

Тогда оптимальное может быть найдено по следующей формуле [5, с.36]:

<;о-рЬ=-1 [Т]Е (Я]) -В]Е (Я0)] 1пА] ((, Ш] = = 11 [1пА] (¡>, 4,1)] 2т]=1. (19)

Решение задачи минимизации нелинейного функционала сводится к решению более простых линейных задач. Рассмотрим методы Ньютона-Ра-фсона и Ньютона-Гаусса [6].

Допустим, что задана нелинейная модель регрессии и (х, а). Необходимо минимизировать функционал и по вектору параметров аеЯр\

и (а, XI) =1 [[ (х1, а) -у1] 2И=1. (20)

Идея данного метода заключается в следующем.

1. Выбирается начальное значение аппроксимации а0= (а10,..., ар0).

2. Итерационный процесс организуется следующим образом:

а1+1=сИ-Ы (и" (аЬ)) -IV (аЬ),

где V (аЬ) - градиент функционала и в точке аЬ, и" (М) - матрица Гессе функционала и в точке М, Ы - величина шага, для простоты часто полагается равным 1.

Компоненты градиента и компоненты матрицы Гессе получаются из следующих формул:

дда]и (а) =21 [[ (х1, а) -уг] И=1д[да] (х1, а), (21)

д2да]даки (а) =21д/да] (х1, а) И=1д[дак (х1, а) -21 [[ (х1, а) -у1] д2[да]дак (хЬ, а) И=1. (22)

Основная проблема данного метода - это обращение гессиана на каждой итерации. Модификацией метода в случае гладкости функции / является метод Ньютона-Гаусса. В нем в силу гладкости функция / линеаризуется в окрестности текущего значения вектора аК

/ (х1, а) =[ (х1, аЬ) +1д[да]

(х], а]) (а]-а]г) р]=1. (23)

Тогда если в формуле (22) заменить функцию / на ее линеаризацию, то второе слагаемое полагается равным 0, что значительно упрощает вычисления за счет того, что регрессия сводится к последовательности линейных регрессионных задач. При этом скорость сходимости обоих методов практически одинакова, потому что они являются методами второго порядка.

Основной особенностью реализации данного метода является область определения параметров п, Поскольку эти параметры определены в пространстве 0= (0,1) * (0,1) * (0,ю), а описанная последовательность может не удовлетворять условиям принадлежности данному пространству, с финансовой точки зрения оценка будет неправильной. В модели параметры р, а, ц должны быть положительными, что гарантирует положительное значение В (т). В случае если В (т) становится отрицательным, цена облигации будет увеличиваться вместе с увеличением процентной ставки, что не соответствует теории ценообразования облигаций.

Для того чтобы добиться выполнения условия принадлежности параметров п интервалу (0,1), используем однопериодное отображение в тождественную функцию. Для того чтобы гарантировать положительное значение , используем гладкую аппроксимацию функцией с абсолютными значениями. Допустим, определена гладкая аппроксимация функции д ступенчатыми функциями т.е. д (%) [£] для и полагаем, что \<;\Ъ.=^<;2+Ъ.2-Ъ., где [.] - целая часть, 0<И«1 - произвольно малый параметр. Очевидно,

что д\ [0,1) и д ($) для [0,1). Тогда очевидно, что минимум, достигнутый на всем пространстве КЗ, обращается в минимум в пространстве 0= (0,1) * (0,1) * (0,^) с соответствующими параметрами [д (%),

в тт

Существуют различные подходы для оценки параметров моделей процентных ставок. К ним относятся обобщенный метод моментов, метод максимального правдоподобия, метод Монте-Карло

Таким образом, минимизировав функционал потерь (17) по параметрам п, 0> применяя описанный метод Ньютона-Гаусса, мы получим наилучшую оценку данных параметров. А для того чтобы получить оценку изначальных параметров модели, нужно получить оценку параметра X, от которого зависит каждый из параметров п, полученных в результате минимизации функции потерь.

Оценка параметров модели с помощью исторических данных - это метод внутренней оценки. Существуют также методы внешней оценки, которые опираются не только на статистические данные исследуемого процесса, но и на

экспертные оценки

Перейдем ко второму шагу идентификации параметров модели - максимизации функции правдоподобия, зависящей от одного параметра X. Для реализации данного метода берется функция правдоподобия Гаусса, которая, согласно А.Р. Бергстому, для процесса вида (3) выглядит следующим образом [7, с.133]:

1пЬ (р, а, р) = -12£ (1пу12+е12уИ) т=2,

где у12 = о22@ (1-е-2@) г1-1, е1=г1-е-рг1-1-^ (1-е-р).

Если оценка параметров модели (р, а, ц) реализуется путем максимизации функции правдоподобия на всем множестве 1Я+3, тогда максимум не ограничен. В данной работе мы используем ограниченную максимизацию функции правдоподобия вдоль Х-параметризированной кривой {(рХ.^Х, аХ),ХЕ]}, где]= [-ю, (-2Г1-1) 1п%].

Таким образом, задача сводится к поиску функции максимального правдоподобия, зависящей от одного параметра X, и может быть решена с помо-

щью использования стандартных пакетов для оптимизационных задач, к примеру, в среде Матлаб. Для того чтобы убедиться в точности калибровки, используем коэффициент максимальной вероятности -отношение максимального значения ограниченной функции правдоподобия к максимальному значению неограниченной. Если значение полученного коэффициента стремится к 1 слева, можно утверждать, что приближенные значения параметров модели близки к полученным, дающим максимальное значение неограниченной функции правдоподобия. Тогда оценка параметров процесса (3) для спот-ставки rt может быть применена для оценки всей кривой доходности.

Подведем итог описанного метода. Мы рассмотрели оценку параметров модели с помощью двух-шагового метода: минимизации функционала потерь и максимизации функции правдоподобия. Подход позволяет оценить параметры модели с определенной точностью. Поскольку минимизация нелинейного функционала сводится к линейной задаче, точность можно оценить с помощью R2, показывающего, какая доля вариации переменной объясняется регрессией. Модель позволяет восстановить кривую доходности в зависимости от значения спот-ставки в рассматриваемый период времени. Получив значение спот-ставки для будущего периода, мы можем оценить сдвиг кривой доходности. Недостаток данного метода в том, что он включает информацию прошлых периодов, но никак не учитывает новую информацию, которая может влиять на сдвиги кривой доходности. Поэтому модель лучше всего использовать на наиболее стабильных финансовых рынках.

Литература

1. MacauLay F. Some Theoretical Problems Suggested by the Movement of Interest Rates, Bond Yields and Stock Prices in the United States since 1856. New York: National Bureau of Economic Research, 1938.

2. Chapman D.A., Pearson N. D. Recent advances in estimating term-structure modeLs//FinanciaL Analysts Journal. 2001. 7/1. Рр. 77-95.

3. Халл Дж.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты, 6-е изд. М.— СПб.- Киев: Вильямс, 2008. 1044 с.

4. Cox J. C., IngersoLL J.E., Jr. and Ross St.A. A Theory of the Term Structure of Interest Rates//Econometrica. VoL. 53. № 2 (Mar., 1985). Pp. 385-407.

5. Urbanova-Czajkova A. CaLibration of term structure modeLs: dissertation thesis, facuLty of mathematics, physics and informatics. BratisLava: Comenius University BratisLava, 2007.

6. http://www.machineryLearning.ru 2.5.2 Нелинейная параметрическая регрессия

7. Bergstom A.R. Gaussian estimation of structuraL parameters in higher order continuous time dynamic modeLs//Econometrica. 1983. № 51. Рр. 117-152.