Использование межпредметных связей при преподавании высшей математики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 51:621.1

В. В. Игнатенко, кандидат физико-математических наук доцент (БГТУ);

Е. И. Бавбель, кандидат технических наук, старший преподаватель (БГТУ)

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ СВЯЗЕЙ ПРИ ПРЕПОДАВАНИИ

ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Статья посвящена вопросам преподавания высшей математики в технических вузах на современном этапе развития высшей школы. В статье рассмотрены такие важные вопросы, как соответствие программ по высшей математике запросам выпускающих кафедр. Показано, как это делается для специальности «Лесоинженерное дело» в БГТУ. Приведен перечень реальных производственных задач, решаемых с использованием математических методов, и показано, как это отражено в курсе высшей математики.

Article is devoted to questions of teaching of the higher mathematics in technical colleges at the present stage of development of the higher school. In article such important questions as compliance of programs on the higher mathematics to inquiries of letting-out chairs are considered. It is shown as it «Forestry Engineering» in BSTU is done for specially. The list of the real production tasks solved with use of mathematical methods is provided, and is shown, how it is reflected in a course of the higher mathematics.

Введение. Научно-технический прогресс предъявляет повышенные требования к качеству подготовки специалистов, которые в своей работе все чаще сталкиваются с задачами, требующими, кроме профессиональной подготовки, знания методов обработки результатов наблюдений, планирования эксперимента, математических методов моделирования и оптимизации. Все это требует фундаментального математического образования инженеров. В связи с этим уместно напомнить высказывание академика И. Г. Александрова - создателя плана ГОЭРЛО: «Наши молодые инженеры плохо владеют математическими методами — это уже не инженеры, а монтеры... Инженер в полном смысле этого слова немыслим без знания математики. Ничего нельзя сделать без математики: мост построить нельзя, плотину — нельзя, гидростанцию — нельзя. Сокращать объем преподавания математики — преступление. Надо изучать ее как можно в большем объеме, а главное как можно основательнее» [1].

Основная часть. Следует отметить, что в последние годы произошло значительное сокращение часов по высшей математике в учебных планах, а также сильно снизился уровень подготовки по математике в средней школе. С другой стороны, значительно возросли требования к современному инженеру. Естественно, возникает вопрос: как достичь поставленной цели при сложившихся условиях? Одним из способов является составление рабочих программ с учетом потребностей выпускающих и специальных инженерных кафедр. Если раньше программа по высшей математике состояла из набора классических разделов, то сейчас она должна быть ориентирована на конкретные специальности.

Для этого лектор, составляющий рабочую программу по математике, должен совместно с ведущими специалистами выпускающих и специальных инженерных кафедр рассмотреть производственные и технические задачи, которые инженер данной специальности должен решать с помощью математических методов. Исходя из этого принимается решение, какие разделы должны включаться в программу, а также выбирается глубина их изучения.

Поясним, как это делается для специальности «Лесоинженерное дело». Лектором, читающим курс высшей математики для данной специальности, совместно с преподавателями кафедр транспорта леса и технологии и техники лесной промышленности были выявлены разделы высшей математики, необходимые для изучения специальных дисциплин, и глубина их использования. Кроме этого, основной упор был сделан на реальные производственные задачи, решаемые с использованием математических моделей, а также на математические методы их решения.

В результате определился следующий перечень задач:

— получение эмпирических зависимостей;

-обработка и анализ результатов наблюдений;

— оптимальное расположение погрузочных пунктов при разработке лесосек нетрадиционной формы;

— оптимальное использование ресурсов;

— оптимальная раскряжевка хлыстов;

— оптимальная загрузка оборудования;

— оптимизация парка автопоездов для вывоза древесины;

— оптимизация грузопотоков древесины (транспортная задача);

86

ISSN 1683-0377. Труды БГТУ. 2012. № 8. Учебно-методическая работа

— анализ работы одномашинных и многомашинных лесозаготовительных систем без запаса и с запасом;

— анализ работы лесоскладских систем со специализацией потоков по видам сырья;

— оптимизация расположения лесных дорог в лесосырьевой базе [2].

С учетом этих требований разработана рабочая программа по высшей математике. Так, при изучении темы «Определенный интеграл и его приложения» в качестве примера решается задача оптимального расположения погрузочных пунктов при разработке лесосек нетрадиционной формы.

Задачи анализа работы одномашинных и многомашинных лесозаготовительных систем без запаса и с запасом, лесоскладских систем со специализацией потоков по видам сырья и ряд других решаются с помощью дифференциальных уравнений Колмогорова. Целый ряд задач, сформулированных выше, решается методами линейного программирования. С учетом этого в программу были включены разделы «Теория массового обслуживания» и «Линейное программирование», которых раньше не было. Из программы были исключены такие разделы, как «Ряды Фурье», «Криволинейные и поверхностные интегралы». Часть вопросов, включенных в программу, но мало используемых, носят ознакомительный характер, например, «Кратные интегралы».

Для усвоения наиболее важных тем программой предусмотрены шесть лабораторных работ (раньше этого не было). Каждый студент выполняет лабораторную работу индивидуально.

На кафедре высшей математики Белорусского государственного технологического университета разработан, апробирован и издан лабораторный практикум «Высшая математика. Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ» с грифом Министерства образования Республики Беларусь [3].

Пособие содержит девять лабораторных работ по следующим разделам математики: получение эмпирических зависимостей; математическая статистика; линейное программирование; теория массового обслуживания; численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных.

Структура построения лабораторных работ следующая: сначала излагается теоретический материал, необходимый для выполнения конкретной лабораторной работы. Затем приводятся образцы решения задач. Причем вначале приводится подробное решение конкретной задачи на персональном компьютере при по-

мощи Excel, а потом ее решение с использованием стандартных программ. Такой подход позволяет научить студента не просто формально решать задачу на компьютере, а понимать сущность и особенности используемого метода. Далее приводится перечень вопросов для самоконтроля, и только после этого студент приступает к выполнению индивидуального задания. Задания лабораторных работ подобраны в соответствии со спецификой специальности.

Например, лабораторная работа по математической статистике (в которой изучаются методы систематизации и обработки результатов наблюдений массовых, однородных, случайных явлений для выявления существующих закономерностей и которая используется студентами при написании отчетов по преддипломной практике) включает:

1) исходные данные: например, результаты измерения диаметров бревен, которые поступают на распиловку деревообрабатывающего предприятия;

2) задание: записать интервальный статистический ряд; построить гистограмму относительных частот; найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график; вычислить выборочное среднее значение и несмещенную оценку дисперсии; определить гипотетическую плотность закона распределения; определить теоретические частоты и проверить согласование данных выборки с гипотетическим законом распределения с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости; найти доверительный интервал для математического ожидания в случае нормально распределенной случайной величины с заданной доверительной вероятностью.

После выполнения лабораторной работы происходит ее защита. Итоги всех лабораторных работ каждого студента фиксируются в отдельной папке, затем оформляются в виде отчета и выводятся на печать или сохраняются в электронном виде.

Поскольку многие из сформулированных выше производственных задач решаются с помощью математических моделей, то особое внимание уделяется построению математических моделей реальных производственных задач. Как отмечает академик В. И. Арнольд, «умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования» [4].

Следует выделить следующие этапы построения и использования математических моделей.

Во-первых, нужно правильно и четко сформулировать производственную задачу. Выбор

и формулировка таких задач производится сотрудниками кафедры высшей математики и выпускающих кафедр.

Во-вторых, следует составить адекватные математические модели, которые описывают данные классы задач. Модели должны быть достаточно простыми и в то же время должны отражать сущность описываемых процессов и объектов.

В-третьих, необходимо подобрать методы решения, которые хорошо реализуются современными средствами математического обеспечения на ЭВМ.

В-четвертых, после получения решения математической модели нужно правильно истолковать полученные результаты и принять рациональное решение по производственной задаче.

Описанный алгоритм, как правило, приводит к построению детерминированных или стохастических математических моделей, которые достаточно хорошо описывают производственные задачи.

В качестве примера рассмотрим задачу оптимальной раскряжевки хлыстов [2]. В лесной промышленности очень важной проблемой является оптимальная раскряжевка хлыстов на сортименты. Она решается ежедневно на любом лесном складе, на биржах сырья деревообрабатывающих предприятий, а в последнее время — и в лесу при сортиментной заготовке древесины. От ее решения зависит эффективность производства, которая применительно к конкретным условиям может оцениваться максимальным объемным выходом целевого сортимента, максимальной стоимостью выпиливаемых сортиментов и другими критериями.

Пусть эффективность производства оценивается выходом деловой древесины. Запишем математическую модель задачи.

Хлысты выбранного диапазона диаметров нужно распилить на т разных сортиментов Ль Jl2, ..., Лт. Объемы этих сортиментов заданы спецификацией. Обозначим их через b\, Ь2, ..., Ът соответственно. Каждый хлыст может быть раскряжеван п различными способами. В результате получается следующий выход сортиментов: при первом способе раскряжевки первого сортимента ац единиц, второго - а2ь ..., т-го - атi единиц; при втором способе раскроя -ßi2, Ö22, ат2 единиц соответственно; при и-м способе - au, а2п, ..., атп единиц. Суммарная стоимость сортиментов, полученных по у'-му способу раскряжевки, равна с,, j -\,п. Встает вопрос, какое количество хлыстов и по какому способу следует раскряжевать, чтобы:

а) объемный выход сортиментов был не менее заданных Ь,, у' = 1,и; б) число хлыстов не превышало имеющихся в запасе И; в) суммарная стоимость сортиментов была максимальной?

Тогда ограничения по выходу сортиментов и числу раскряжеванных хлыстов записываются в виде системы линейных неравенств:

>ьх,

0,2\Х\ "I" €¿22^2 ** ■+а2пХп >ь2,

ßm\X\ + ат2Х2 +

Xj ^ 0, j = 1, п.

Ограничение по числу раскряжеванных хлыстов выглядит следующим образом:

xx + x1 + ... + xj <N.

Целевая функция имеет вид:

Z = qx, + с2х2 +... + спхп —> max.

Таким образом, мы получили задачу линейного программирования максимизации целевой функции при линейных ограничениях, которая в настоящее время достаточно хорошо решается с помощью ЭВМ.

Заключение. Поскольку в технических вузах математика является вспомогательной дисциплиной, то при составлении рабочих программ по математике обязательно должны быть учтены запросы выпускающих кафедр.

Литература

1. Методическое пособие по разделу «Математическое программирование» курса «Прикладная математика» для студентов специальности 0902 / сост.: В. М. Марченко, В. И. Янович. - Минск: БТИ, 1987. - 62 с.

2. Игнатенко, В. В. Моделирование и оптимизация процессов лесозаготовок: учеб. пособие для студентов специальности «Лесоинже-нерное дело» / В. В. Игнатенко, И. В. Турлай, А. С. Федоренчик. - Минск: БГТУ, 2004. - 180 с.

3. Игнатенко, В. В. Высшая математика. Математические методы и модели в расчетах на ЭВМ. Лабораторный практикум: учеб. пособие для студентов специальностей лесотехнического профиля / В. В. Игнатенко, О. Н. Пыж-кова, Л. Д. Яроцкая. - Минск: БГТУ, 2006. -124 с.

4. Арнольд, В. И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели / В. И. Арнольд. — М.: МЦНМО, 2000. - 32 с.

Поступила 02.04.2012