CC BY
208
Вестник СГУГиТ, вып. 1 (29), 2015
УДК 528.48
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ИНЖЕНЕРНО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Александр Михайлович Дегтярёв
Полоцкий государственный университет, 211440, Беларусь, г. Новополоцк, ул. Блохина, 29, доцент кафедры геодезии и кадастров, e-mail: almide@tut.by
Вадим Викторович Ялтыхов
Полоцкий государственный университет, 211440, Беларусь, г. Новополоцк, ул. Блохина, 29, доцент кафедры прикладной геодезии и фотограмметрии, e-mail: vad311@rambler.ru
В статье рассмотрена задача восстановления геометрии прямоугольного объекта с оптимальной коррекцией по результатам координирования его четырех углов. Предложены два метода решения этой задачи:
- метод, основанный на решении системы уравнений связи координат четырех корректируемых точек с выбранными параметрами на основе метода наименьших квадратов;
- метод, основанный на решении систем уравнений путем прямой минимизации целевой функции методом обобщенного приведенного градиента с помощью процедуры «Поиск решения» в Excel.
Ключевые слова: метод наименьших квадратов, оптимизация, восстановление геометрии сооружения, поиск решения в Excel.
OPTIMIZATION METHODS FOR ENGINEERING GEODESY PROBLEMS SOLUTION
Alexander M. Degtyarev
Polotsk State University, 211440, Belarus, Novopolotsk, 29 Blokhina St., Assoc. Prof., Department of Geodesy and Cadastres, e-mail: almide@tut.by
Vadim V. Yaltykhov
Polotsk State University, 211440, Belarus, Novopolotsk, 29 Blokhina St., Assoc. Prof., Department of Applied Geodesy and Photogrammetry, e-mail: vad311@rambler.ru
The problem of rectangular object geometry restoration (with optimal correction) by the results of its four angles coordination is considered. Two techniques for this problem solution are offered:
- the technique based on the solution of combined equations for referring the coordinates of four points to be corrected to the chosen parameters based on the least squares method;
- the technique based on the combined equations solution with direct minimization of the objective function by generalized reduced gradient using the procedure of «search for solution» in Excel.
Key words: least squares method, optimization, restoration of structure geometry, search for solutions in Excel.
Роль и значение инженерной (прикладной) геодезии в развитии цивилизации известны и с течением времени все более возрастают [1-6]. В этой связи
24
Геодезия и маркшейдерия
особо актуальным стал вопрос оптимизации, в том числе автоматизации решения инженерно-геодезических задач [7, 8]. С целью дальнейшего развития данного направления рассмотрим математические основы этого вопроса.
Методы оптимизации процессов получили распространение в науке в конце XVIII - начале XIX в. благодаря работам Эйлера, Лагранжа и Коши. В геодезии с начала XIX в. оптимизация, в виде минимизации, получила широчайшее распространение в форме метода наименьших квадратов (МНК), после блестящих работ Г аусса, Лежандра, Лапласа и многих других. Основное использование метода того времени - это уравнительные вычисления. И только во второй половине ХХ в. ряд работ (см., например [9, 10, 11] и др.) показали возможность использования этого замечательного математического аппарата при обработке результатов других геодезических работ. К ним, в первую очередь, относят проектирование оптимальной оформляющей линии, или плоскости, оптимизацию при выверке положения прямолинейных и криволинейных плоских и пространственных конструкций и ряд других. Одна из таких задач, которая была сложно разрешима в недавнем прошлом и решаема на современном этапе развития измерительной и вычислительной техники, - это задача восстановления геометрии объектов прямоугольной формы с оптимальным передвижением исходных точек.
Пусть требуется восстановить геометрию прямоугольного объекта с минимальной коррекцией, по результатам координирования четырех углов объекта: (хх, ух), (x2, у2), (x3, у3), (x4, y4) - «измеренные» величины (рис. 1).
Очевидно, что перемещение в проектное состояние - прямоугольник - реальных точек 1, 2, 3 и 4 связано со сдвигом координированных точек объекта на некоторое расстояние и в некотором направлении.
Так как при решении поставленной задачи основное условие - минимальный сдвиг реальных точек для приведения объекта в проектное положение, целесообразно использовать математический аппарат оптимизации, или одну из
25
Вестник СГУГиТ, вып. 1 (29), 2015
его самых популярных и разработанных реализаций в виде метода наименьших квадратов. В качестве реализации выберем метод наименьших квадратов в параметрической форме [12]. Для этого назначим необходимое количество параметров, которое должно равняться числу корректируемых точек. В качестве параметров предлагается выбрать координаты x и у первой точки (xb y\), дирек-ционное направление а12 линии 1-2, длины S12 и S14 сторон 1-2 и 1-4, т. е. четыре элемента, через которые несложно выразить координаты корректируемых четырех точек углов объекта. При этом следует учитывать, что у проектного объекта (прямоугольника) углы прямые и стороны попарно равны. Тогда уравнения связи координат четырех корректируемых точек (X, Y) с выбранными параметрами будут иметь вид:
1- я точка X1 = x1; ^
Yi = yi;
2- я точка X2 = x1 + S12 • cos(a12);
Y2=y1 + S12 • sin(a12);
3- я точка X3 = x1 + S12 • cos(a12) + S14 • cos(a12 - 90); (
Y3 = y1 + S12 • sin(a12) + S14 • sin(a12 - 90);
4- я точка X3 = x1 + S14 • cos(a12 - 90);
Y3 = y1 + S14 • sin(a12 - 90).
(1)
Следуя схеме метода наименьших квадратов, линеаризуем систему уравнений связи (1) и перейдем к системе уравнений поправок
v = A • 5p + l,
где матрица плана А имеет вид
(2)
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 cos(a12) 0
0 1 sin(ai2) 0
1 0 cos(a12) cos(a - 90)
0 1 sin(ai2) sin(a - 90)
1 0 0 cos(a - 90)
0 1 0 sin(a12 - 90)
0
0
-Sn ■ sin(a12)
S12 ■ COs(ai2)
-S12 ■ sin(a12) - S14 ■ sin(a12 - 90) S12 ■ cos(a12) + S14 ■ cos(a12 - 90) -S14 ■ sin(a12 - 90)
S14 ■ cos(a12 - 90)
(3)
вектор поправок 5p к вектору параметров р и вектор свободных членов l системы параметрических уравнений поправок, вектор поправок в «измеренные» координаты v
26
Геодезия и маркшейдерия
8р
8Xj
ЪУг
8S„
8S]
8а
14
12
v
X - x X1
Y - У1 vyi
X 2 — X2 VX2
Y2 — У2 ; v = ^2
X3 — X3 VX3
Y3 — y3
X 4 — x4 vx
1 1 1 v
L У4 J
Вектор свободных членов l системы параметрических уравнений поправок является разностью вычисленных координат по приближенным значениям параметров р и уравнениям связи (1) и «измеренных» координат.
Далее, на основе обычной вычислительной схемы МНК, переходим от системы уравнений поправок (2) к совместной системе нормальных уравнений
ATWA -Ър + ATWl = W -Ър + b = 0.
(4)
Система (4) решается итеративно, при задании вектора приближенных значений параметров р0 = (x0 y0 S°2 S°4 а02 и критерия остановки ите-
раций А. Вычислив уравненные параметры по (2), получаем поправки к «измерениям» - координатам и искомое положение проектной фигуры объекта, полученное из текущего исходного при условии минимальных подвижек.
Мы использовали полную линейную модель перемещения объекта с элементами перемещения вида: фиксация, разворот, сдвиг, масштаб. Если фиксировать (т. е. принять за неизменные) некоторые из определяемых выше элементов перехода, то можно получить ряд достаточно часто встречающихся в практике частных случаев:
1. Фиксируется положение одной точки, например (xb y\). Тогда процесс перехода объекта в проектное положение сводится к развороту относительно фиксируемой точки и масштабированию длинами.
2. Фиксируется одна или две длины. Тогда процесс преобразования объекта может быть сведен к сдвигу по осям х и у и развороту фиксированной части объекта.
3. Фиксируется ориентировка объекта. В этом случае переход будет осуществлен путем сдвига по осям х и у и развороту и масштабированию длинами и другими комбинациями.
Рассмотрим численный пример использования полученных формул. Имеем реальные координаты (X, Y)i четырех углов объекта (табл. 1), который ранее представлял из себя прямоугольник.
27
Вестник СГУГиТ, вып. 1 (29), 2015
Координаты углов объекта
Таблица 1
№ X Y
1 41,297 50,532
2 63,069 92,844
3 87,350 81,970
4 60,422 36,268
Выбираем параметры и задаем их приближенные значения
p =( л? л0 Si S0 а02 f = (39 49 50 25 1)Т.
Используя уравнения связи (1), составляем по (2) матрицу плана А и вектор свободных членов l
1 0 0 0 0 -2,297
0 1 0 0 0 -1,532
1 0 0,48755 0 -43,911 56 2,946 11
0 1 0,873095 0 24,520 91 -1,770 45
1 0 0,487555 0,873 09 -31,685 36 -0,298 11
0 1 0,87309 -0,48 755 46,415 34 -4,404 01
1 0 0 0,87 309 12,226 20 -0,385 22
0 1 0 -0,48 755 21,894 43 -0,775 56
А l
Весовую матрицу W примем равной единичной. Вычислив для (4) матрицу нормальных уравнений N, свободный член b и решив систему, получим поправки к параметрам, уравненные параметры, поправки к «измерениям» и уравненные «измерения». Для получения окончательного решения потребовалось две итерации. Конечные результаты представлены в табл. 2.
Таблица 2
Результаты решения задачи по методу наименьших квадратов
Уравненные параметры Уравненные координаты
№ X Y
X1 39,827 1 39,827 49,561
Y1 49,561 2 64,348 93,472
S2 50,294 3 86,242 81,246
S1 25,077 4 61,721 37,335
а 1,0615
28
Геодезия и маркшейдерия
т
Квадратичная форма v pv = 9,711 587 9.
Данную задачу можно решить прямой минимизацией целевой функции Ф, например на основе достаточно часто используемого в практике и в множестве программных пакетов метода обобщенного приведенного градиента (ОПГ). Этот метод является развитием метода приведенного градиента (ПГ) (см. например [13]) который предложил Вульф (1963 г.) для задач линейного программирования с линейными ограничениями. Основная идея метода ОПГ состоит в том, чтобы сократить размерность задачи путем исключения зависимых (базисных) переменных и применить метод ПГ для определения направления спуска и в качестве критерия при установлении оптимальности.
Для решения рассмотренной задачи методами нелинейного программирования воспользуемся процедурой «Поиск решения» в Excel (рис. 2). Здесь исходные координаты помещены в ячейках B11:C14, приближенные значения неизвестных в ячейках D2:D7. В столбце I вычисляется значение 5 по формуле
S = V(хвыч - Хизм )2 + (Увыч - Уизм )2 . (5)
В ячейке F5 вычисляется У 52.
А В С D E F G Н I
1 2 Пара 3 Х1 = 4 ¥1 = 5 а= 6 57 = 7 52= 8 метры 39.000 49.000
1,000 39,6713721 Целевая функция
25.000 50.000
9 Координаты Вычисленные координаты Отклонения
10 № X Y № X Y Dx Dy s
11 1 41,297 50,532 1 ' 39,000 ' 49,000 -2,297 -1,532 2,761
12 2 63,069 92,844 2 ' 66,015 ' 91,074 2,946 -1,770 3,437
13 3 87,350 81,970 3 ' 87,052 ' 77,566 -0,298 -4,404 4,414
14 4 60,422 36,268 4 ' 60', 03 7 ' 35,492 -0,385 -0, 776 0,866
Рис. 2. Запись данных модели для процедуры «Поиск решения»
При запуске функции «Поиск решения» появляется диалоговое окно (рис. 3), в котором необходимо указать ячейку с целевой фикцией, ячейки с неизвестными параметрами, указать опции поиска целевой функции (минимум, максимум и др.) и метод решения.
29
Вестник СГУГиТ, вып. 1 (29), 2015
Рис. 3. Параметры процедуры «Поиск решения» для минимизации целевой функции
В закладке «Параметры» можно изменить установленные по умолчанию параметры поиска решения (рис. 4).
Рис. 4. Параметры процедуры «Поиск решения методом ОПГ»
30
Геодезия и маркшейдерия
В результате выполнения функции «Поиск решения» получаем следующие результаты (рис. 5).
А В С D E F G Н I
1 2 Пэра 3 XI = 4 1 17 = 5 С£= 6 SJ = 7 S2= В метры 39,827 49,561
1,062 9,7115879 Целевая функция
25,077 50,294
9 Координаты Вычисленные координаты Отклонения
10 № X Y № X Y Dx Dy S
11 1 41,297 50,532 1 ' 39,827 ' 49,561 -1,470 -0,971 1,762
12 2 63,069 92,344 2 ' 64,348 ' 93,472 1,279 0,628 1,425
13 3 37,350 31,970 3 ' 86,242 ' 81,246 -1,108 -0,724 1,323
14 4 60,422 36,263 4 ' 61,721 ' 37,335 1,299 1,067 1,631
Рис. 5. Результаты минимизации целевой функции для четырех точек
Область сходимости целевой функции в данном примере достаточно большая. Решение, приведенное на рис. 5, было получено даже с начальными значениями параметров, равными нулю.
Восстановить геометрию прямоугольного объекта с применением функции «Поиск решения» в Excel также возможно при наличии координат только трех точек. Для решения этой задачи в столбце I удаляем значение 5 для исключенной точки (рис. 6).
А В С D Е F G Н 1
1 2 Пара 3 Х1 = 4 ¥1 = 5 а= 6 Sl = 7 S2= 3 метры 41,571 50,395
1,108 0,7908373 Целевая функция
26,889 48,130
9 Координаты Вычисленные координаты Отклонения
10 № X Y № X Y Dx Dy 5
11 1 41,297 50,532 1 ' 41,571 ' 50,395 0,274 -0,137 0,307
12 2 63,069 92,344 2 ' 63,039 ' 93,472 -0,030 0,628 0,629
13 3 37,350 31,970 3 ' 87,105 ' 81,479 -0,245 -0,491 0,549
14 4 60,422 36,263 4 ' 65,637 ' 38,402 5,215 2,134
Рис. 6. Результаты минимизации целевой функции для трех точек
31
Вестник СГУГиТ, вып. 1 (29), 2015
Графическое отображение полученных решений приведено на рис. 7, где черным цветом показан прямоугольник, полученный по 4 точкам, синим и красным - по 3 точкам, исключая поочередно точки 3 и 4.
Рис. 7. Графическое представление полученных решений
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Комплексное обследование гидротехнических сооружений на Чардаринском водо-хранилищие / С. Г. Ожигин, Ж. С. Нугужинов, Е. Н. Хмырова, Н. А. Имракова, М. Б. Ингем-берлина // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 4 (28). - С. 13-18.
2. Статистическое исследование перемещений подпорных стенок по результатам геодезических измерений / Р. В. Шульц, А. А. Анненков, А. М. Хайлак, В. С. Стрилец // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 3 (27). - С. 35-53.
3. Абжапарова Д. А. Математическая обработка инжерено-геодезических сетей в стереографической проекции Гаусса // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 2 (26). - С. 27-32.
4. Сальников В. Г. Современная методика выноса главных осей турбоагрегатов // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 1 (25). - С. 27-33.
5. Зверев Л. А., Мошенжал А. В. О роли метода георадиолокации при полевом обследовании стройплощадок в инженерных изысканиях // Вестник СГГА. - 2014. - Вып. 1 (25). -С. 54-59.
6. Никонов А. В. Особенности применения современных геодезических приборов при наблюдении за осадками и деформациями зданий и сооружений объектов энергетики // Вестник СГГА. - 2013. - Вып. 4 (24). - С. 12-18.
7. Ловягин В. Ф. Идентификация системы проектирования оптимальных трасс // Вестник СГГА. - 2004. - Вып. 9. - С. 36-42.
8. Хорошилов В. С. Оптимизация выбора методов и средств геодезического монтажа технологического оборудования // Вестник СГГА. - 2006. - Вып. 11. - С. 117-124.
9. Димов Л. Применение способа наименьших квадратов к определению наиболее подходящих оформляющих прямых и плоскостей. - М.-Л.: Стройиздат, 1956. - 140 с.
32
Геодезия и маркшейдерия
10. Видуев Н. Г., Гржбовский В. П. Геодезическое проектирование вертикальной планировки. - М.: Недра, 1964. - 210 с.
11. Баран П. И. Геодезические работы при монтаже и эксплуатации оборудования. - М.: Недра, 1990. - 233 с.
12. Маркузе Ю. И., Бойко Е. Б., Голубев В. В. Геодезия. Вычисление и уравнивание геодезических сетей. Справ. пособие. - М.: Картгеоцентр - Геодезиздат, 1994. - 431 с.
13. http://iasa.org.Ua/lections/iso/6/6.7.htm
Получено 10.02.2015
© А. М. Дегтярёв, В. В. Ялтыхов, 2015
33
