CC BY
8ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ЭВОЛЮЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ ПОИСКА КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ СТРУКТУР СЕТЕЙ КАМПУСОВ
Пятаев О.В. (pytaev@kis.ru) Нижегородский Государственный Технический Университет
Задача оптимизации структуры сетей кампусов достаточно актуальна. В то же время эта задача очень сложна вследствие ее большой размерности и целочисленности параметров. Формулировка задачи структурной оптимизации кампусной сети приводится в [1]. Под определением структуры кампусной сети будем понимать определение топологии сети (способа объединения узлов сети), выбор пропускной способности каналов связи, определение размещения коммутаторов, выбор моделей коммутаторов. В качестве критерия оценки решений принимается стоимость создания проектируемой кампусной сети. Показатели надежности и производительности сети задаются в виде ограничений. В настоящей статье рассматривается один из вариантов решения этой задачи, основанный на известном методе эволюционного моделирования - генетическом алгоритме.
Термин «генетический алгоритм» (ГА) был введен в 1975 году Д.Голдбергом, и обозначает раздел эволюционного моделирования, заимствующий методические приемы из теоретических положений популяционной генетики [2]. Идея ГА основывается на использовании принципов, лежащих в основе процессов эволюции для поиска глобального экстремума многоэкстремальной функции. При решении задачи с помощью ГА ее параметры задачи кодируются в виде бинарной цепочки, называемой хромосомой. Алгоритм оперирует с множеством хромосом, или популяцией. Каждой хромосоме ставится в соответствие функция приспособленности, которая обычно прямо пропорциональна целевой функции задачи проектирования. Во время работы алгоритма происходит эволюция популяции хромосом, в процессе которой улучшается средняя приспособленность популяции. Новые хромосомы образуются в результате действия генетических операторов (ГО) на хромосомы из старой популяции. Чем выше уровень приспособленности хромосомы, тем чаще она участвует в порождении новых особей. Постепенно значения хромосом сходятся к оптимальному решению. К достоинствам ГА относятся высокая скорость поиска решения сложных задач, возможность распараллеливания вычислений, комплексная, а не поэтапная оптимизация задачи.
Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 96 1 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/087.pdf
Мы применяли ГА к решению задачи оптимизации структуры кампусной сети по следующей схеме. В качестве особей популяции выступают различные структуры сети. Функция приспособленности особи равна стоимости синтезируемой сети. Чем меньше значение функции, тем приспособленней считается особь. Порождение новой структуры сети проходит в два этапа. На первом этапе путем применения различных ГО к старым структурам синтезируется новая топология сети. На втором этапе с помощью специального алгоритма однозначно определяются оптимальные для синтезированной топологии пропускные способности каналов связи, число каналов связи и модели коммутаторов, стоимость сети. Нами рассматривалось два варианта реализации первого этапа алгоритма. Первый вариант заключается в кодировании матрицы, описывающей топологию сети, в виде бинарной цепочки, и использовании стандартных ГО, оперирующих с хромосомами. Использование стандартных ГО приводит к получению топологий сети, не всегда удовлетворяющих топологическим ограничениям, в частности требованиям древовидности структуры. Для исправления таких структур в алгоритм приходиться добавлять стадию «ремонта» хромосомы, который отнимает значительное время. Результаты исследования алгоритма, работающего по данной схеме, приводятся в статье [3].
Второй вариант реализации первого этапа алгоритма заключается в использовании специализированных ГО, позволяющих сразу получать топологии, удовлетворяющие ограничениям. При действии специализированных ГО структура сети представляется в виде неориентированного мультиграфа. Множество разрешенных ребер в графе делится на два подмножества - ребра, соединяющие абонента с коммутатором (АК), и ребра, соединяющие коммутатор с коммутатором (КК). Ребра, соединяющие абонента с абонентом, являются запрещенными. Было разработано четыре специализированных оператора: графовый кроссовер, графовая мутация, оператор удаления коммутатора, оператор замены коммутатора. Приведем описание этих операторов.
Графовый кроссовер. Есть две родительских структуры (СР), представленных графами Г^^.ЯД Г2=(К2,ЯД На базе этих структур требуется получить две структуры-потомка (СП) Г1 =( V Я ), Г2 =(У2 ,Я2 ), образующихся смешиванием ребер первой и второй СР.
Пусть Я0=Я1пЯ2 - множество каналов связи, совпадающих у СР1 и СР2; Я*=Я1иЯ2-Я0 -множество каналов связи, различных у СР1и СР2. На первом этапе действия оператора считаем, что Г1 =Г1, Г2 =Г2. Разделим множество Я* на два подмножества Я*=ЯаиЯк, где ЯаЯ* -подмножество ребер вида АК, ЯкаЯ* - подмножество ребер вида КК.
Формирование структуры потомка производится в два этапа. На первом этапе создаются абонентские подключения структур потомков, на втором этапе формируются магистральные подключения.
Шаг 1. Создание множества связей АК структур-потомков.
Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 962 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/087.pdf
Шаг 1.1. Пусть А* - множество всех вершин-абонентов, инцедентных ребрам из множества Яа, т - мощность этого множества. Выбираем случайное число т] абонентов, 1 < т] < т-1, из множества А*, сформировав множество А]*сА*.
Шаг 1.2. Удаляем из множества Я] все ребра, инцедентные абонентам множества А]* (обозначим множество таких ребер как Я](А] *)): Я] =Я] - Я](А] *). Этим удалением мы отключаем в СП1 абонентов множества А]* от коммутаторов. Аналогичную операцию проводим с СП2: Я2 =Я2 -Я2(А]*).
Шаг 1.3. Добавляем к множеству Я] ребра из множества Я2, инцедентные вершинам из множества А]*: Я] =Я] иЯ2(А]*). Таким образом, мы подключаем отключенных на шаге 1.2 абонентов в СП1 с помощью подключений, взятых в СР2. Аналогичное подключение проводим в СП2: Я2 =Я2 иЯ](А]*).
Шаг 2. Формируем соединения коммутаторов в структурах-потомках.
Шаг 2.1. Пусть тк - мощность множества Я . Случайным образом разобьем множество Я на два подмножества с мощностью т^/2 каждый: Як=Я]иЯк2, Я] пЯ2=0.
Шаг 2.2. В СП1 и СП2 удаляем все связи вида КК: Я/=Я/- Я](К]); Я2=Я2- Я2(К2).
Шаг 2.3. В структурах-потомках выбираем случайные стартовые коммутаторы: к/ в СП1 и к2 в СП2.
Шаг 2.4. Множество коммутаторов СП1 делим на два подмножества: К]=К/иК/, К/пК/=0. Здесь К]0 - множество связанных коммутаторов; К]] - множество изолированных коммутаторов. На этом шаге множество К]0 состоит из одного стартового коммутатора: К]0={к] Аналогично разбиваем множество К2: К2=К20 иК2], К2опК2]=0, К20={к2 ].
Шаг 2.5. Для СП1 ищем ребро Ту, соединяющее любую вершину из множества К]0 с вершиной из множества К]]. Поиск такого ребра производим в следующем порядке:
1 . Ищем ребро в множестве Я0.
2. Если в Я0 такое ребро не найдено, то производим поиск в множестве Як].
3. Если ребро не найдено в
Як],
то выбираем случайным образом ребро из списка всех
возможных ребер.
Найденное ребро Ту добавляем в множество Я]. Подключенный коммутатор переводим из множества К]] в множество К]0.
Аналогично для СП2 ищем ребро, соединяющее любую вершину из множества К20 с вершиной из множества К2].
Шаг 2.6. Если множества К]] и К2] - не пустые, переходим на шаг 2.5. Если множества К]] и К2] - пустые, то все коммутаторы подключены в сеть, действие оператора считаем законченным.
Графовая мутация. Есть СР, представленная графом Г=(^Я). На базе этой структуры необходимо получить СП Г = (V,Я ). На первом этапе действия оператора считаем, что Г = Г.
Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 963 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/087.pdf
Шаг 1. Выбираем случайное ребро т™еЯ, и удаляем это ребро.
Шаг 2. Определяем вид выбранного ребра: АК или КК. Если ребро вида КК, то переходим на шаг 4.
Шаг 3. Если ребро вида АК, то в результате удаления ребра т™ мы отключили одного из абонентов от сети. Обозначим этого абонента как а™. Вершину графа, соответствующую абоненту а™ обозначим
Выбираем случайный коммутатор ктеК, и подключаем к нему абонента а™. Вершину графа, соответствующую коммутатору кт обозначим у^. Для подключения абонента добавим в множество Я ребро т
Переходим на шаг 5.
Шаг 4. Если удаленное ребро было вида КК, то в результате удаления ребра образовалось два изолированных поддерева. Выбираем случайное ребро т^ вида КК из множества всех возможных ребер, объединяющее два любых коммутатора, принадлежащих разным поддеревьям. Добавляем это ребро в множество Я .
Шаг 5. Переходим на шаг 1, до тех пор, пока алгоритм не повторится заданное число раз.
Удаление коммутатора. Есть СР, представленная графом Г=(У,Я), необходимо получить СП: Г =(У,Я ). На первом этапе действия алгоритма полагаем, что Г=Г .
Для описания действия оператора введем понятие пустой коммутатор. Пустой коммутатор - это коммутатор, к которому подходит только один канал связи. Такой коммутатор не может выполнять его функцию - коммутировать какие-либо каналы связи. Считаем, что стоимость такого коммутатора равна 0, пропускная способность инцедентного ему канала связи также равна 0, этот канал связи не занимает ни одного порта у второго инцедентного ему коммутатора. При решении задачи оптимизации структуры сети возникновение одного или нескольких пустых коммутаторов означает, что в возможном месте размещения коммутатора коммутатор не устанавливается. Удалением коммутатора будем называть удаление всех связей какого-либо коммутатора, кроме одной связи вида КК.
Пусть К0 - множество пустых коммутаторов графа Г; К1 - множество непустых коммутаторов. Очевидно, что К=К0иК1, К0пК1 =0. Если в множестве
К1
есть только один
коммутатор, то вместо оператора удаления коммутатора вызываем оператор замены коммутатора.
Шаг 1. Выбираем случайный коммутатор к/еК1. Удалим этот коммутатор, т.е. превратим его в пустой коммутатор, переключив все его связи на остальные коммутаторы из множества К1. Перемещаем удаляемый коммутатор в множество К0: К1=К1- кК0=К0ик,1. Обозначим множество подключенных к этому коммутатору абонентов как А(к/), множество подключенных к к/ коммутаторов как К(к/).
Шаг 2. Удаляем все ребра, инцедентные к/: Я' = Я - Я(кД
Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 964 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/087.pdf
Шаг 3. Переключение абонентов, подключенных к к/ к другим коммутаторам. Для каждой вершины графа Г уеА(к/) случайно выбираем вершину у^еК1 и создаем ребро тдобавляем его в множество Я : Я =Я ит^. В результате все абоненты, которые были подключены к коммутатору к/, переключаются к другим непустым коммутаторам.
Шаг 4. Среди удаленных на шаге 2 ребер могли оказаться ребра вида КК, в результате удаления которых в графе Г' образовываются изолированные подграфы. На шаге 4 производим объединение этих подграфов в дерево без образования новых непустых коммутаторов.
Шаг 4.1. Выбираем случайный стартовый коммутатор к/еК1. В множестве вершин V выделяем подмножество вершин, входящих в основное дерево, V0, к которому на этом этапе принадлежит только к/, и подмножество V1, к которому принадлежат все остальные вершины.
Шаг 4.2. Все вершины уе V1, от которых существует путь до к/, переносим в множество V0.
Шаг 4.3. Если множество V1=0, то переходим на шаг 5.
Шаг 4.4. Если множество значит в графе Г' еще остались изолированные подграфы.
Выбираем случайное ребро твида КК, такое, что у^е V0 и у^е
К1, у^е V1. Выбор ребра производим
в следующем порядке:
1. Сначала пытаемся найти ребро т^ так, чтобы у^еК1.
2. Если все ке
К1
уже перенесены в множество V0, то выбираем у^е К0.
Добавляем ребро т^ в граф Г : Я =Я ! т¡.¿.
Шаг 4.5. После подключения ребра т^ переходим на шаг 4.2.
Шаг 5. Конец действия оператора удаления коммутатора.
Замена коммутатора. Есть СР, представленная графом Г=(^Я), необходимо получить СП: Г =(У ,Я ). На первом этапе действия алгоритма полагаем, что Г=Г . Выделяем в множестве К: К0 - подмножество пустых коммутаторов графа Г; К1 - подмножество непустых коммутаторов. Если К0=0, то вместо оператора замены коммутатора вызываем оператор удаления коммутатора.
Шаг 1. Выбираем случайные коммутаторы к/еК1, кс0еК. В результате действия оператора произойдет переключение всех связей коммутатора к/ на коммутатор кс0. Перемещаем удаляемый коммутатор в множество
К0: К1=К1- к! К0=К0ика1. Перемещаем заменяющий коммутатор в множество К1: К0=К0- кс0, К1=К1икс0.
Обозначим множество подключенных к удаляемому коммутатору абонентов как А(кЛ), множество подключенных к к/ коммутаторов как К(к/).
Шаг 2. Удаляем все ребра, инцедентные
к!: Я' = Я - Я(кД
Шаг 3. Переключение абонентов, подключенных к к/ к коммутатору кс0. Пусть коммутатору кс0 в графе Г соответствует вершина у^. Для каждой вершины графа Г у1еА(к^1) создаем ребро т^ и добавляем его в множество Я : Я =Я У т^.
Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 965 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/087.pdf
Шаг 4. Объединение изолированных подграфов в графе Г в дерево. Этот шаг алгоритма совпадает с шагом 4 оператора удаления коммутатора.
Шаг 5. Конец действия оператора замены.
Для оценки влияния различных ГО на скорость сходимости алгоритма и на качество получаемых решений нами проводились эксперименты на случайно синтезированных сетях с числом узлов от 10 до 100. Для каждой сети рассчитывались усредненные значения, взятые по 10 найденным решениям. Оценивалось как само решение (насколько минимальна стоимость найденной структуры сети), так и скорость поиска этого решения. На графиках, характеризующих эффективность решений, показывается отличие найденного решения от наименьшего из всех найденных решений для данной структуры. На графиках, характеризующих скорость поиска решений, показывается отличие скорости поиска решения от скорости поиска решения для данной структуры сети алгоритмом с оптимальными настройками.
Эксперименты показали, что операторы одноточечного и двухточечного кроссовера практически не отличаются ни по скорости сходимости, ни по качеству находимых решений. Эти ГО используются при первом подходе к применению ГА. Использование второго подхода и графового кроссовера вместо стандартных видов кроссовера приводит к сокращению времени поиска решения на 5-10%, и к улучшению найденных решений в среднем на 4-8% (рис. 1). Сокращение времени объясняется тем, что в результате действия стандартных операторов часто образовываются структуры с циклическими соединениями или изолированными подграфами, которые требуют «ремонта» хромосомы. В результате «ремонта» добавленные изменения в структуру-потомка могут отмениться, и структура-потомок придет к виду одного из родителей, действие такого оператора никакой информации о поведении целевой функции не несет, что
2 .а
« 15 я §
н 8
о и
= 2
£ э
3 -а
р я
О ё
я
12%
8%
4%
0%
». - - . - -
10 30 50 70
Число узлов в сети
■ ■ - Одноточечный — - Двухточечный —
90
•Графовый
8
Г
£
О
20% —
10%
0%
V -\\
\\ . V, \\ У- - —- ■ ^ * ■ -> *
10 30 50 70 _Число узлов в сети
90
Одноточечный--Двухточечный-Графовый
а) б)
Рис. 1. Эффективность различных видов кроссовера: а) - оценка эффективности найденного решения; б) - оценка времени поиска решения.
приводит к некоторому снижению качества решений. Результаты экспериментов подтверждаются данными других исследователей ГА. Например в [4] также говорится о предпочтительности специальных видов кроссовера, разработанных для конкретной задачи, по сравнению со стандартными.
Замена стандартного оператора мутации графовой мутацией приводит к сокращению времени поиска на 5-20% без улучшения качества находимых решений (рис. 2). Значительное сокращение времени поиска связано с тем, что стандартная мутация происходит равномерно по всей хромосоме. При этом часто мутируются связи вида «абонент-абонент», которые в структуре сети являются запрещенными, а доля их значительна по сравнению со связями остальных видов.
Число узлов в сети
"мутация_^~Графовая мутация |
б)
Рис. 2. Эффективность различных видов мутации: а) - оценка эффективности найденного решения; б) - оценка времени поиска решения.
— мутация —графовая мутация
а)
Операторы удаления коммутатора и замены коммутатора были объединены в один оператор, поскольку они преследуют одну цель - выводить алгоритм из локальных минимумов, которые образуются при сходимости алгоритма к какой-либо комбинации коммутаторов. Введение совмещенного оператора удаления и замены коммутатора (УЗК) привело к некоторому улучшению качества решения (2-5%) без увеличения скорости поиска решения (рис. 3).
6%
5
5 * §
«Эй 4%
£ о
н
О
0% ч
10
30 50 70
Число узлов в сети
90
— без УЗК
— УЗК
5«
а
и
а о С №
о
а со
16%
и 12%
а
| 8% я
о
а 4% 0%
X — у-—
без УЗК
■УЗК
10 30 50 70 90
Число узлов в сети
а) б)
Рис. 3. Эффективность оператора УЗК: а) - оценка эффективности найденного решения; б) - оценка времени поиска решения.
о 2%
На основании проведенных экспериментальных исследований можно сделать вывод о целесообразности использования графового кроссовера, графовой мутации, оператора УЗК вместо стандартных ГО.
В качестве метода выбора родительской пары использовалось совместное равновероятное применение методов инбридинга и аутбридинга, предложенное в [5]. Данная схема приводила к получению достаточно хороших решений за короткое время работы алгоритма.
12%
в
Н :В
<и z
° в
<и £
В §
^ в
В д
ч В
н
О
8%
4%
0%
10 30 50 70
Число узлов в сети
Пропорциональныйй--Элитный
- Смешанный
90
т о е и
г
и
л т
О
60%
| 40% в
о
пи 20%
н
е м
ре 0%
-20%
* *. ...
\
\ 0 ✓ 3 0 -- 5 0 7 0 9 0
Число узлов в сети
Пропорциональный--Элитный
Смешанный
а) б)
Рис. 4. Эффективность метода комбинированного элитизма: а) эффективности найденного решения; б) - оценка времени поиска решения.
оценка
Существенное влияние на работу ГА оказывает способ отбора особей в новое поколение. Отбор производится среди особей предыдущего поколения и особей, образовавшихся в результате применения ГО. Среди существующих подходов можно выделить различные варианты пропорционального отбора и элитного отбора. При пропорциональном отборе вероятность перехода особи в следующее поколение прямо пропорциональна ее приспособленности. Элитный метод заключается в формировании новой популяции из наиболее приспособленных особей, выбираемых из множества родительских особей и особей, полученных в результате действия ГО. Недостатком такого подхода является риск преждевременной сходимости к локальному минимуму. Нами предлагается комбинация этих методов, идея которой заключается в следующем. Выбор метода отбора в каждом поколении происходит случайно с определенной вероятностью. Периодическое добавление элитного отбора будет приводить к более быстрому схождению алгоритма к найденным экстремумам. Мы использовали применение элитного метода с вероятностью 0,3 и пропорционального метода с вероятностью 0,7. Результаты сравнения различных методов отбора приведены на рис. 4. Как видно из рисунка, использование пропорционального метода отбора ведет к долгому поиску решения, и решения находятся
1
Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 968 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/087.pdf достаточно неэффективные. Применение элитного метода отбора позволяет более быстро находить решения, но они сильно отклоняются от оптимальных. При использовании смешанного метода решение ищется дольше, чем при элитном методе, но в результате находятся более дешевые решения.
Оценку степени приближенности решений, находимых с помощью ГА будем производить путем сравнения с решениями, найденными методом сокращенного перебора. Эксперименты проводились на сетях с числом узлов до 9. Для большего числа узлов поиск оптимального решения был затруднен из-за длительности поиска и технических сложностей, связанных с превышением файла-подкачки максимально допустимого размера. Эксперименты заключались в нахождении решений для одних и тех же сетей переборным методом и ГА. Результаты экспериментов приведены в табл. 1. Поиск решения с помощью ГА повторялся 5 раз для каждой сети, в табл 1 приводятся наихудшие решения из 5 вариантов. Как видно из табл. 1, оптимальное решение было найдено для всех сетей, кроме сети с числом узлов 9, в которой оказался локальный минимум, отличающийся всего на 0,2% от глобального.
Таблица 1
Сравнение результатов, полученных при работе ГА с оптимальными решениями.
Число узлов сети Стоимость оптимальной сети Стоимость сети, полученной ГА Поколение, на котором получено решение
5 81 81 17
6 131 131 23
7 53 53 32
8 133 133 45
9 4361 4372 65
Для оценки работы алгоритма на сетях с числом узлов от 1 0 до 1 00 сравним его работу с результатами, полученными при помощи другого эвристического алгоритма - метода удаления и замены ребер (МУЗР). Матрицы стоимости каналов связи и трафика для этих сетей генерировались случайным образом. Для каждой сети искались решения обоими методами. Поиск решений повторялся 1 0 раз, для дальнейшего анализа использовались средние величины.
Решение задачи проводилось в условиях ограничения времени, которое для каждой попытки ограничивалось следующим образом: для сетей размером от 10 до 40 узлов время поиска составляло 10 минут, для сетей от 50 до 70 узлов - 30 минут, для сетей размером от 80 до 100 узлов - 100 минут. Оценка решений проводилась по двум параметрам - эффективность решения и время, затраченное на поиск этого решения. Результаты экспериментов приведены на рис. 5.
н о <и := В "
8% -6% 4% 2% -0%
10 30 50 70
Число узлов в сети
90
— МУЗР
— ГА
15,0% 1 10,0% -
О 13
« О £ 5,0%,
¡М
Ш
а а
-5,0% --10,0% --15,0% -
* Ф
*
1ТТ"
10 2 0 ,3 0 " " 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1(
* ^ * ф
Число узлов в сети
а) б)
Рис. 5. Сравнение результатов работы ГА и МУЗР: а) - оценка эффективности найденного решения; б) - оценка времени поиска решения.
Как видно из рис. 5(а), эффективность ГА не хуже, чем МУЗР. На сетях с числом узлов больше 50 качество решений, получаемых ГА, становится лучше на 5-8% решений, получаемых МУЗР. Причем с увеличением числа узлов в сети разрыв между этими методами увеличивается. Из рис. 5(б) видно, что решения МУЗР ищет быстрее, чем ГА для сетей с размером до 70 узлов. При возрастании числа узлов в сети поиск с помощью МУЗР осуществляется дольше, чем ГА.
На основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы:
1. Метод оптимизации структуры кампусной сети, основанный на ГА, позволяет получать квазиоптимальные по стоимости решения.
2. Метод оптимизации структуры кампусной сети, основанный на ГА, целесообразно использовать на сетях с большим числом узлов.
Список литературы.
1. Пятаев О.В., Семашко А.В. Математическое представление задачи оптимизации структуры кампусной сети // Радиоэлектронные и телекоммуникационные системы и устройства: Межвузовский тематический сборник научных трудов. - 2000 г. - С. 49-55.
2. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности / Г.К. Вороновский, К.В. Махотило, С.Н. Петрашев, С. А. Сергеев. - Х.: ОСНОВА, 1997. - 112 с.
3. Пятаев О.В. Применение генетического алгоритма для оптимизации структуры кампусной сети // Радиоэлектронные и телекоммуникационные системы и устройства: Межвузовский тематический сборник научных трудов. - 2000 г. - С. 55-61.
Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 970 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/087.pdf
4. Castillo L., Gonzalez A. Distribution network optimization: Finding the most economic solution by using genetic algorithms, European Journal of Operational Research, October, 1996, pp. 527-537.
5. Д.И.Батищев, С.А.Исаев Оптимизация многоэкстремальных функций с помощью генетических алгоритмов. / Межвузовский сборник научных трудов "Высокие технологии в технике, медицине и образовании", Воронеж, ВГТУ, 1997г, стр.4-17.
