Научная статья на тему 'Использование математических редакторов в подготовке учителей математики'

Использование математических редакторов в подготовке учителей математики Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

CC BY
4
0
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
информационные технологии в преподавании математики / обучающий тренажер / методика обучения геометрии / задачи конструктивной геометрии / графический редактор / information technologies in teaching mathematics / training simulator / methods of teaching geometry / problems of constructive geometry / graphic editor

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Антропова Гюзель Равильевна, Матвеев Семен Николаевич, Киселев Борис Васильевич

Приводятся способы построения чертежей в евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского в процессе конструирования 2-D и 3-D моделей. Сравниваются потенциалы графических редакторов, инструментарий которых предполагает возможность использования метрических измерений в полном изображении. Предлагаются некоторые способы проверки выполненного чертежа при обучении будущих учителей математики решению задач конструктивной геометрии. Делаются выводы о том, что приведенные редакторы эффективны при разработке математических тренажеров по решению задач различных уровней сложности для студентов педагогических вузов

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по компьютерным и информационным наукам , автор научной работы — Антропова Гюзель Равильевна, Матвеев Семен Николаевич, Киселев Борис Васильевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотрDOI: 10.18137/RNU.HET.23.04.P.022
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The methods of constructing drawings in Euclidean geometry and Lobachevsky geometry in the process of constructing 2-D and 3-D models are given. The potentials of graphic editors are compared, the tools of which suggest the possibility of using metric measurements in a full image. Some ways of checking the completed drawing are proposed when teaching future mathematics teachers to solve problems of constructive geometry. Conclusions are drawn that the editors are eff ective in developing mathematical simulators for solving problems of various levels of complexity for students of pedagogical universities

Текст научной работы на тему «Использование математических редакторов в подготовке учителей математики»

ДИДАКТИКА ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ

DOI: 10.18137ZRNU.HET.23.04.R022 УДК 372.851+378.147

Антропова Г.Р.,

Набережночелнинский институт Казанского федерального университета Матвеев С.Н.,

Набережночелнинский институт Казанского федерального университета, Набережночелнинский государственный педагогический университет

Киселев Б.В.,

Набережночелнинский государственный педагогический университет

Использование математических редакторов в подготовке учителей математики

В современной системе образования наблюдается тенденция внедрения цифровых учебно-методических комплексов, учебных симуляторов, тренажеров и виртуальных лабораторий в качестве компьютерной поддержки обучения. Содержание компьютерных тренажеров по решению геометрических задач предполагает привлечение инструментария интерактивной геометрии, составляющей которой являются графические редакторы, системы компьютерной алгебры. Здесь графический редактор выступает как актуальный функционал для использования динамического чертежа, визуали-

зации параметров геометрической задачи. Отметим, что большинство предлагаемых систем разного уровня сложности обладает достаточными возможностями для использования принципа наглядности в ходе преподавания геометрии и является инструментом оптимизации образовательного процесса.

Современные математические пакеты многообразны, большинство из них доступно широкому кругу пользователей, в том числе и преподавателям. В применении тренажеров и организации учебного процесса выбор программного пакета осуществляется с учетом уровня знаний поль-

зователей и сложности решаемых математических задач. Выбранное программное обеспечение (далее - ПО) должно быть достаточно удобным для моделирования широкого класса математических задач и позволять решать их максимально приближенно к традиционному способу [1]. Исходя из подобных требований, наиболее целесообразным является выбор свободно распространяемого ПО, его использование для учебного процесса привлекательнее по многим критериям в сравнении с коммерческим.

В качестве такого ПО рассмотрим распространенную систему моделирования «Живая геометрия» (The Gejmeter's Sketchpad) и менее распространенные -«Wingeom» и Rhinoceros 3D. Перечисленные системы обладают возможностями геометрической программы и могут быть использованы для создания точных динамических чертежей на плоскости (2Б-моделирование) и в пространстве (SD-моделирование) [2]. Это ПО обладает общими возможностями и имеет определенные особенности. Например, система «Wingeom» может работать с некоторыми моделями неевклидовой геометрии: сферической и гиперболической. Все приведенные выше

© Антропова Г.Р., Матвеев С.Н., Киселев Б.В., 2023

_АНТРОПОВА Г Р., МАТВЕЕВ С.Н., КИСЕЛЕВ Б.В.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ В ПОДГОТОВКЕ УЧИТЕЛЕЙ

МАТЕМАТИКИ

^ АНТРОПОВА ГЮЗЕЛЬ РАВИЛЬЕВНА

Российская Федерация, город Набережные Челны

кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, Набережночелнинский институт Казанского федерального университета. Сфера научных интересов: методика и практика преподавания в высшей школе, информационные технологии в преподавании математики. Автор более 50 опубликованных научных работ. Электрон-^^^TW ная почта: antropovagr@mail.ru

GYUZEL R. ANTROPOVA Naberezhnye Chelny, Russian Federation

Ph.D. of Pedagogical Sciences, Associate Professor at the Department of Mathematics, Naberezhnye Chelny Institute of Kazan Federal University. Research interests: methods and practice of teaching in higher education, information technology in teaching mathematics. Author of more than 50 published scientific works. E-mail address: antropovagr@mail.ru

МАТВЕЕВ СЕМЕН НИКОЛАЕВИЧ Российская Федерация, город Набережные Челны

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, Набережночелнинский институт Казанского федерального университета, Набережночелнинский государственный педагогический университет. Сфера научных интересов: геометрия и топология, методика и практика преподавания в высшей школе, информационные технологии в преподавании математики. Автор более 60 опубликованных научных работ. Электронная почта: semen967@rambler.ru

SEMEN N. MATVEEV Naberezhnye Chelny, Russian Federation

Ph.D. of Physico-mathematical Sciences, Associate Professor at the Department of Mathematics, Naberezhnye Chelny Institute of Kazan Federal University, Naberezhnye Chelny State Pedagogical University. Research interests: geometry and topology, methods and practice of teaching in higher education, information technology in teaching mathematics. Author of more than 60 published scientific works. E-mail address: semen967@rambler.ru

КИСЕЛЕВ БОРИС ВАСИЛЬЕВИЧ

Российская Федерация, город Набережные Челны

старший преподаватель кафедры информатики и вычислительной математики, Набережночелнинский государственный педагогический университет. Сфера научных интересов: деятельность преподавателя высшей школы, информатика, информационные технологии в преподавании математики. Автор более 10 опубликованных научных работ. Электронная почта: boris@karnaval.su

BORIS V. KISELYOV

Naberezhnye Chelny, Russian Federation

Senior Lecturer at the Department of Informatics and Computational Mathematics, Naberezhnye Chelny State Pedagogical University. Research interests: the activity of the higher education teacher, computer science, information technology in teaching mathematics. Author of more than 10 published scientific works. E-mail address: boris@karnaval.su

Аннотация. Приводятся способы построения чертежей в евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского в процессе конструирования 2-D и 3-D моделей. Сравниваются потенциалы графических редакторов, инструментарий которых предполагает возможность использования метрических измерений в полном изображении. Предлагаются некоторые способы проверки выполненного чертежа при обучении будущих учителей математики решению задач конструктивной геометрии. Делаются выводы о том, что приведенные редакторы эффективны при разработке математических тренажеров по решению задач различных уровней сложности для студентов педагогических вузов.

Ключевые слова: информационные технологии в преподавании математики, обучающий тренажер, методика обучения геометрии, задачи конструктивной геометрии, графический редактор.

Abstract. The methods of constructing drawings in Euclidean geometry and Lobachevsky geometry in the process of constructing 2-D and 3-D models are given. The potentials of graphic editors are compared, the tools of which suggest the possibility of using metric measurements in a full image. Some ways of checking the completed drawing are proposed when teaching future mathematics teachers to solve problems of constructive geometry. Conclusions are drawn that the editors are effective in developing mathematical simulators for solving problems of various levels of complexity for students of pedagogical universities.

Keywords: information technologies in teaching mathematics, training simulator, methods of teaching geometry, problems of constructive geometry, graphic editor.

программные продукты используются нами при создании обучающих тренажеров и применяются на практике в подготовке будущих учителей математики в Набереж-ночелнинском государственном педагогическом университете. Рассмотрим тезисно принципы применения данных моделей при решении задач и в конструктивных составляющих геометрических тренажеров.

Решение любой геометрической задачи на евклидовой плоскости начинается с построения чертежа, то есть с задачи конструктивной геометрии. В этой связи возможности предлагаемых систем будем рассматривать с точки зрения использования основных инструментов конструктивной геометрии и методов построения геометрической фигуры при помощи линейки и циркуля. При выполнении основных построений (2D-моделирования) возможности программы «Живая геометрия» оставляют желать лучшего. Например, затруднительно применение аксиомы циркуля для некоторых элементарных построений (например, для заданного отрезка, угла) [3]. Для выполнения этой работы приходится пользоваться основными командами из меню «Преобразование» или функциями копирования, что не соответствует указанной аксиоме циркуля.

К основным методам при решении задач на построение относят методы геометрического места точек, геометрических преобразований или алгебраический метод. При решении задач методом геометрического места точек чаще применяются основные команды из меню «Построение» и «Вид» и их в целом достаточно. Методы геометрических преобразований и алгебраический метод могут быть реализованы в рассматриваемой системе, при этом применяются в основном команды из меню «Преобразование» и «Измерения» [4]. Однако, визуализация этих методов в системе «Живая

геометрия» несовершенна, потому что геометрические места точек плоскости, построенные командой «Живой след», не определяются аналитически, то есть система не определяет уравнения построенных данной командой фигур. В программе «Живая геометрия» есть возможность создавать «инструменты». Под инструментом подразумевается алгоритм построения того или иного объекта по имеющимся данным. Инструменты целесообразно создавать лишь тогда, когда у пользователя отработано умение выполнять построение того или иного объекта. Создание инструментов, которые заменяют некоторый алгоритм построения, позволяет экономить время и применять принципы интерактивности в процессе преподавания геометрии [5].

Во многих учебных тренажерах по решению геометрических задач возникает необходимость проверки правильности построенного чертежа предложенной задачи средствами системы графического редактора. Здесь проверяются не шаги построения в компьютерной программе, а правильность выполнения условий предложенной задачи.

Приведем пример проверки выполненного пользователем чертежа к некоторой задаче путем осуществления измерений в редакторе Geometer's Sketchpad.

Задача. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 34 и 49 соответственно.

1. Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.

2. Найдите длину отрезка этой средней линии, заключенного внутри окружности.

На первом этапе решения задачи требуется проверить правильность выполненного чертежа. Требования тренажера: «Используя выполненный Вами чертеж, произведите следующие измерения, воспользовавшись командой «Длина» во вкладке «Измерения»: средней ли-

нии MN, параллельной основанию равнобедренного треугольника, высоты АН из вершины к основанию равнобедренного треугольника, радиуса r вписанной окружности».

У пользователя должен в итоге получиться чертеж к задаче (см. Рисунок 1).

Площадь треугольника S = p • r, то есть

(MH2 + AH2 + MN) • r = 50,00 см2.

По другой формуле площадь треугольника S = AH • MN, то есть AH • M • N = 50,00 см2.

Тогда возможная схема проверки чертежа в тренажере представляется следующим образом: площадь треугольника вычисляется двумя способами и сравниваются полученные результаты. Таким образом, в тренажере осуществляется оценка разности:

|(MH2 + AH2 + MN) • r- AH • MN| = 0,00 см2.

Если погрешность не превышает заданной величины, то тренажер (или преподаватель) засчитывает чертеж как правильно выполненную конструктивную задачу. Если погрешность не соответствует установленному уровню допустимой погрешности чертежа, то тренажер требует исправления. Например: «Ваш чертеж требует корректировки. Возможно, Вам необходимо исправить построения середин отрезков, биссектрис, перпендикуляров».

Таким образом, подтверждается возможность применения платформы The Gejmeter's Sketchpad при изучении конструктивной геометрии и методов изображений в качестве простейшего и доступного инструментария построения учебных чертежей.

Рассмотрим некоторые возможности «Wingeom». Это геометрическая программа, которая предназначена для создания двумерных и трехмерных моделей. Она имеет схожие с «Geometer's Sketchpad»

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ В ПОДГОТОВКЕ УЧИТЕЛЕМ

МАТЕМАТИКИ

Рисунок 1. Проверка правильности построенного чертежа в редакторе Geometer's Sketchpad

возможности в решении основных видов конструктивных задач. Однако есть и отличие - данная программа обеспечивает возможность строить точки по координатам, рассматривать изображения пространственных фигур в центральной проекции; вращение, смещение построенной фигуры. Преимущество платформы «Wingeom» перед «The Gejmeter's Sketchpad» состоит в том, что она позволяет выполнять чертежи с вычислениями на модели Пуанкаре. Задачи можно решать или в круге, или на полуплоскости. Для демонстрации основных функций программы «Wingiom» рассмотрим работу в ее вкладке «2-dim» на верхней полуплоскости.

Задача. Треугольник АВС задан углами: zABC = 30°, zCAB = 80°, zBCA = 45°. Требуется найти стороны и площадь треугольника.

Воспользуемся возможностями программы. Зададим треугольник по трем углам. Для этого необходимо применить команду «Hyperbolic», затем во вкладке «View» выбрать команду «Upper half-plane». Далее работаем на верхней полуплоскости, используя команды «Units», «Triangle» «0:ААА». Соответствующие вычисления производим с использованием команд вкладки «Meas». Программа также позволяет просмотреть историю произведенных действий пользователя. Чтобы просмотреть произведенные действия необходимо последовательно применить команды «Other», «Lists» «History». Появиться окно (см. Рисунок 2), в котором будет прописан каждый шаг работы.

Таким образом, можно создать тренажер по решению задач о треугольнике: нахождение всех его ше-

сти элементов (трех сторон и трех углов) и площади по каким-либо трем данным элементам, определяющим треугольник, используя основные соотношения в нем.

Возможности рассматриваемой программы достаточны для изучения геометрии Лобачевского. Она позволяет рассматривать движения плоскости Лобачевского, моделировать образы фигур при этих движениях (см. Рисунок 3), решать конструктивные задачи, строить элементарные линии плоскости.

Система «Wingeom» работает с метрикой г . Элемент площади определяется формулой

ds

2 dx X dy = r -—,

y

при г = 1. В этом случае площадь фигуры G на Л2 вычисляется по формуле:

Рисунок 2. Сценарий решения задачи в «Wingeom»

41

dx х dy

О у

Однако, в этой системе не предусмотрена возможность вычисления интегралов. Для успешного решения задач на нахождение площадей при использовании тренажера рекомендуется первоначально рассмотреть площади элементарных фигур, например, треугольника. При этом требуется обосновать, что площадь треугольника определяется соответствующим дефектом ст = я - а - в - у, где стАВС = а + в + у - сумма внутренних углов треугольника. Тогда нахождение площади можно осуществить двумя способами (опре-

делением дефекта и двойного интеграла) и проверить полученные вычисления с применением системы «Wingeom». Таким образом, рассматриваемая система является эффективным инструментарием в качестве тренажера по решению задач плоскости Лобачевского.

Для конструирования некоторых тренажеров и формирования у обучающихся содержательных конструктивных навыков необходимы специализированные математические пакеты с более широким функционалом в области SD-моделирования. В качестве подобного инструментария рассмотрим возможности системы моделирования Rhinoceros 3D в тандеме

с Grasshopper. Grasshopper, будучи плагином для Rhinoceros 3D, дает возможность создавать визуальные программы, которые называются определениями. Они состоят из node, объединенных связями - это функциональные блоки («компоненты»), которые создаются на рабочем окне («холсте»). Популярность данной программы основана, прежде всего, на ее универсальности. Использование этого ПО позволяет целостно охватывать содержание основных разделов метода изображения и некоторых смежных дисциплин, в частности информатики. Возможности визуализации превращают математическую модель в форму, доступ-

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ В ПОДГОТОВКЕ УЧИТЕЛЕЙ

МАТЕМАТИКИ

Рисунок 3. Моделирование образов фигур при движении на плоскости Лобачевского

ную для зрительного восприятия (render). На этапе прорисовки компьютерной графики и наложения текстуры (рендеринга) становятся видны все позиционные свойства геометрических фигур.

Рассмотрим воплощение учебной задачи в среде визуального программирования Grasshopper на примере описания теоремы де Гуа в трехмерном пространстве как аналога теоремы Пифагора в пространстве. Используя возможности измерения площадей, убеждаемся, что для всякого прямоугольного тетраэдра выполняется равенство, утверждаемое теоремой де Гуа (см. Рисунок 4):

с2 = с2 + с2 + с2

°ABC ABD BDC ADC •

Система Rhinoceros 3D позволяет легко трансформировать построенную фигуру в различные формы. Grasshopper и Rhinoceros 3D дают возможность установить точный параметрический контроль над моделями, что позволяет решать

различные учебные конструктивные и исследовательские задачи. Возможности системы Grasshopper и Rhinoceros 3D выступают в роли компьютерной поддержки обучения. Рассмотрим исследование гипотезы: справедливо ли обратное утверждение теоремы де Гуа как аналога обратной теоремы Пифагора в пространстве? Возможности трансформации тетраэдра в рассматриваемой системе позволяют легко получить 3D модель, опровергающую справедливость обратного утверждения (см. Рисунок 5).

Данный пример показывает, что предлагаемая система является эффективным инструментом при разработке составляющих математических тренажеров по решению задач различных уровней и видов: учебно-математических, исследовательских. Система позволяет во многом автоматизировать процесс создания геометрического чертежа, компактно его хранить и мно-

гократно использовать, а в случае необходимости вносить в имеющийся чертеж коррективы. Применение проектора и интерактивной доски в обучении геометрии позволяет максимально эффективно использовать время занятия. Интерактивная доска и возможность построения трехмерной модели позволяют выполнять дополнительные построения, а затем сохранять полученные чертежи для последующего использования. Эти же задачи могут быть предложены при изучении разделов 3Б-моделирования. Мы убедились на практике, что рассматриваемая система полностью поддерживает теорию и практику методов изображения и решения стереометрических задач, позволяет оценивать действия будущего учителя математики в организации решения геометрической задачи с точки зрения дидактики, психологии, методики и аксиоматики геометрии.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РЕДАКТОРОВ В ПОДГОТОВКЕ УЧИТЕЛЕЙ

МАТЕМАТИКИ

Все приведенные выше платформы успешно используются нами при создании обучающих тренажеров и применяются на практике в подготовке будущих учителей математики в Набережночелнин-ском государственном педагогическом университете. Визуализации объектов стереометрических задач из курса геометрии могут быть также рассмотрены на занятиях как задачи раздела 3D-моделирования, что позволит формировать у будущих педагогов широкий ряд компетенций.

Предложенная конструктивная модель обучения решению позиционных задач с применением средств 3D-моделирования может рассматриваться как эффективный инструментарий, основанный на использовании информационных технологий в сфере образования. На наш взгляд, применение подобных программных продуктов принесет пользу не только студентам педагогических вузов, но и преподавателям математики. В настоящее время обучающимися по программам бакалавриата и ма-

гистратуры рассмотренные методы используются во время учебной практики в средних общеобразовательных школах города.

Подведя итог, отметим, что подобное применение данных программных продуктов на занятиях и в тренажерах выступило как дополнительный ресурс предметно-методического модуля ядра дисциплины «Геометрия» высшего педагогического образования по направлению подготовки «Педагогическое образование».

ЛИТЕРАТУРА

1. Антропова Г.Р., Матвеев С.Н. О некоторых методических возможностях применения компьютерной системы моделирования «ЖИВАЯ ГЕОМЕТРИЯ» // Проблемы современного педагогического образования. 2018. № 61-1. С. 174-177. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=36647501.

2. Киселев Б.В., Антропова Г.Р., Матвеев С.Н. Обучение решению позиционных задач с применением инструментария 3D моделирования // Современная наука: актуальные проблемы теории и практики. Серия: Гуманитарные науки. 2022. № 3-2. С. 36-40. DOI: 10.37882/2223-2982.2022.03-2.03

3. Матвеев С.Н., Антропова Г.Р., Шакиров Р.Г. Реализация некоторых задач дифференциальной геометрии в программе GeoGebra // Высшее образование сегодня. 2020. № 6. С. 58-63. DOI 10.25586/RNU.HET.20.06.P.58

4. Майер В.Р., Апакина Т.В., Ворошилова А.А. Системы динамической геометрии как средство обучения будущих учителей математики геометрическим преобразованиям // Вестник Красноярского государственного педагогического университета им. В.П. Астафьева (Вестник КГПУ). 2016. № 4 (38). С. 60-64.

5. Антропова Г.Р., Матвеев С.Н. Шакиров Р.Г. Компьютерная поддержка в решении геометрических задач в курсе геометрии // Вестник Набережночелнинского государственного педагогического университета. 2022. № S2 (37). С. 49-53.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

REFERENCES

1. Antropova G.R., Matveev S.N. O nekotoryh metodicheskih vozmozhnostyah primeneniya komp'yuternoj sistemy mod-elirovaniya "ZHIVAYA GEOMETRIYA" [On some methodological possibilities of using the computer modeling system "LIVING GEOMETRY"]. Problems of modern pedagogical education. 2018. No. 61-1. P. 174-177. Available at: https:// www.elibrary.ru/item.asp?id=36647501. (in Russian).

2. Kiselev B.V., Antropova G.R., Matveev S.N. Obuchenie resheniyu pozicionnyh zadach s primeneniem instrumentariya 3D modelirovaniya [Training in solving positional problems using 3D modeling tools]. Modern science: actual problems of theory and practice. Series: Humanities. 2022. No. 3-2. P. 36-40. (in Russian). DOI: 10.37882/2223-2982.2022.03-2.03

3. Matveev S.N., Antropova G.R., Shakirov R.G. Realizaciya nekotoryh zadach differencial'noj geometrii v programme GeoGebra [Realization of some problems of differential geometry in the GeoGebra program]. Higher education today. 2020. No. 6. P. 58-63. (in Russian). DOI 10.25586/RNU.HET.20.06.P.58

4. Majer V.R., Apakina T.V., Voroshilova A.A. Sistemy dinamicheskoj geometrii kak sredstvo obucheniya budushchih uchitelej matematiki geometricheskim preobrazovaniyam [Systems of dynamic geometry as a means of teaching future teachers of mathematics geometric transformations]. Bulletin of Krasnoyarsk State Pedagogical University (Bulletin of KSPU). 2016. No. 4 (38). P. 60-64. (in Russian).

5. Antropova G.R., Matveev S.N. Shakirov R.G. Komp'yuternaya podderzhka v reshenii geometricheskih zadach v kurse geometrii [Computer support in solving geometric problems in the course of geometry]. Bulletin of Naberezhnye Chelny State Pedagogical University. 2022. No. S 2(37). P. 49-53. (in Russian).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.