CC BY
91
Численное моделирование динамических процессов
27. Иванов В.Д., Петров И.Б., Тормасов А.Г. и др. Сеточно-характеристический метод расчета динамического деформирования на нерегулярных сетках // Там же. 1999. Т. 11. № 7. С. 116-127.
28. Петров И.Б., Тормасов А.Г. Численное исследование косого соударения жесткого шарика с двухслойной упругопластической плитой // Там же. 1992. Т. 4. № 3. С. 20-27.
29. Лобанов А.И., Петров И.Б. Численное решение совместной задачи о воздействии сжатой плазмы на электроды рельсотрона // Там же. 1993. Т. 5. № 10. С. 49 — 56.
30. Иванов В.Д., Петров И.Б., Суворова Ю.Д. Расчет волновых процессов в наследственных вязкоупругих средах // Мех. композит. матер. 1990. № 3. С. 447— 450.
31. Они же. Численное решение двухмерных динамических задач наследственной теории вязкоупругости // Там же. 1989. № 3. С. 419 —424.
32. Кондауров В.И., Петров И.Б., Холодов А.С. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упругопластическую преграду // Журн. прикл. мех. и техн. физ. 1984. № 4. С. 132—139.
33. Богданкевич О.В., Костин Н.Н., Крюкова И.В. и др. // Физ. и хим. обр. матер. 1988. № 3. С. 32 — 38.
34. Коротин П.Н., Петров И.Б., Утюжников С.В. Расчет поведения деформируемых оболочек под действием аэродинамических и тепловых нагрузок // Моде-лир. в мех. АН СССР. Сиб. отд. ВЦ ИТИПМ. 1988. Т. 2 (19). № 6. С. 62—68.
35. Иванов В.Д., Петров И.Б. Моделирование деформаций и разрушений в мишенях под действием лазерного излучения // Тр. ИОФ РАН. 1992. Т. 36. С. 247—266.
36. Иванов В.Д., Кондауров В.И., Петров И.Б., Фортов В.Е. Моделирование процессов деформирования и разрушения метеороидов в атмосфере планет // Тематич. сб. тр. междунар. конф. «Современные проблемы теоретической астрономии». СПб., 1994. Т. 3. С. 41—42.
37. Иваненко С.А. Расчет течений в водоемах на криволинейных сетках. Сообщения по прикладной механике / ВЦ АН СССР. М, 1991.
Об авторе
И.Б. Петров — д-р физ.-мат. наук, проф., МФТИ.
УДК 550.388.02
Ю.С. Жаркова, С.А. Ишанов, В.В. Медведев, В.Г. Токарь
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ИОНОСФЕРЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ КВ-РАДИОТРАСС (РАДИОСИГНАЛОВ)
Математические модели ионосферы используются для моделирования распространения радиосигналов.
Mathematical models of ionosphere are used for simulation of radio waves propagation.
На основе приближения геометрической оптики [1] волновое уравнение, описывающее взаимодействие электромагнитной волны с ионосферой, сводится к системе уравнений для фазы (эйконала) и амплитуды (уравнение переноса) поля. Уравнение эйконала относится к классу
Вестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 49 — 54.
50
уравнений Гамильтона — Якоби и может быть заменено характеристической системой обыкновенных дифференциальных уравнений
йт _ йН йр _ йН йф_ - йН (1)
йт йр йт йт йт Р йр
- - й ф
где т — радиус-вектор точки траектории; у — фаза волны; р _ ——
йт
1 -2 2 - -обобщенный импульс; Н _ — [р - п (т)] — гамильтониан; п( т) — показатель преломления. Начальные условия для этой системы имеют вид
т (0) _ т 0 (а, Р), р (0) _ р о(а, р), у(0) _ у0, где а, р — лучевые координаты источника. Численное решение системы осуществляется методом характеристик, позволяющим применить стандартные численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (метод Рунге — Кутта). После того как будет известна траектория луча в ионосфере, можно выгчислить различные характеристики поля в точке приема. Каждая из них получается интегрированием соответствующего параметра вдоль траектории. Так,
для амплитуды поля будем иметь [1, 2] Е = Е0(а, р)[ °Т/а' в) ]-1/2 , где Q =
0(0, а,р)
K
C0s ф ; п — коэффициент поляризации; D — якобиан; ф — n2 + sin ф
угол между волновым вектором и групповой скоростью. Выражения для фазового и группового путей, а также для интегрального поглощения соответственно имеют вид
P = J ц cos ф ds, P = J ц' cos ф ds, L = J x cos ф ds, (2)
s s s
где ц = R[n( r)]; ц' = Re [n(r)]; ds — элемент длины траектории; x —
коэффициент поглощения в данной точке траектории; n'(r) — групповой показатель преломления. В результате преобразования системы (1), согласно работе [2], характеристическая система уравнений (1) будет выглядеть следующим образом:
1£_ = £t, JJL = JneLvn, J*- = W (1--^), (3)
d(ct) w d(ct) mw c d(ct) c mw N
где k — волновой вектор; x — текущая точка траектории; ю — угловая частота; ф — фаза; c — скорость света в вакууме; е и m — заряд и масса электрона; N — электронная концентрация.
Для численного решения системы (3), определяющей траекторию луча, нужно выбрать оптимальную интерполяцию для N и ее градиентов по г, ф, 9, Nr, N*, N0. Одним из способов задания таких значений являются математические модели.
Использование математических моделей ионосферы
В работе [3] были разработаны основные требования, предъявляемые к теоретическим моделям ионосферы, которые заключаются в следующем: характерные размеры ионосферных неоднородностей по высоте Ьн, долготе Ьф и широте должны быть больше соответствующих межузловых расстояний по высоте АН, долготе и широте, то есть должны быть выполнены неравенства Ьн ^ АН, ^ Дер, а шаг интегрирования Б характеристической системы уравнений должен удовлетворять неравенствам 5 ^ Ьн, Ьф. Условие геометрического приближения также справедливо для малого изменения градиента электронной концентрации на расстоянии порядка длины волн.
Для расчета высотно-временного распределения электронной концентрации в данном эксперименте использовались модели [4; 5].
Уравнение непрерывности для компонентов:
дпк _ д Гп дпк
ді дх
дх
+ рк • пк \ -а к • пк + Рк
к = 1,20;
уравнение теплопроводности для электронов и ионов О+, Н+:
дЪ
ді
уравнение движения нейтрального газа:
дУ
д 2У
—L = х{-------------------2- + уг-, і = 1,2.
(4)
(5)
(6)
д£ ‘ дх
Коэффициенты уравнений Ок, Рк, ак, Рк, к, /, Хй у{ подробно описаны в работах [6; 7]. Модель [4] позволяет рассчитать высотно-временное распределение N (а также все необходимые для этого параметры) в области высот 50 — 250 км, а модель [5] — такие же параметры N по силовой магнитной трубке.
Результаты расчетов высотно-временного распределения Ыв для Ышр2 и различных высот приведены на рисунке 1.
51
Рис. 1. Распределение Ые
52
Для проверки качества прогноза распространения КВ-радиосигна-лов необходимо: спрогнозировать состояние ионосферы динамической моделью; рассчитать трассы; полученные результаты по расчету трасс сравнить с экспериментальными данными. Качество прогноза состояния ионосферы можно проверить при помощи ионограмм.
Вышеуказанная проверка проделана предварительно по экспериментальным данным некогерентного рассеяния без сопоставления с экспериментальными данными по распространению радиоволн от 09.06.1969. По результатам работы [8] были построены профили электронной концентрации на трассе Свердловск—Калининград с шагом по долготе Дф = 7,5°, что соответствует шагу по времени 0,5 часа. По высоте профили аппроксимировались сплайном с неравномерной сеткой с нижней границей 150 км. На рисунке 2 эти профили представлены кривыми с точками, где первый профиль соответствует 18 часам и находится над Калининградом, последний— над Свердловском — 21 часу, измерения проводились через 1 час. Здесь же крестиками отмечены профили, рассчитанные динамической моделью [7], которая позволяет рассчитать параметры ионосферной плазмы в области высот 100—800 км и неудовлетворительно описывает Е-область ионосферы. Профили рассчитывались для тех же условий, что и в работе [8], но начиная с высоты 100 км. Из рисунка 2 видно, что разница между экспериментальными и спрогнозированными профилями составляет около 30%.
Ь,км
Рис. 2. Профили электронной концентрации
На рисунке 3 представлены результаты расчетов трасс для данных некогерентного рассеяния и динамической модели ионосферы соответственно. Трассы рассчитаны для частоты / = 10 Мгц и углов выхода: 1-й — 25°, 2-й — 27°, 3-й — 29°. Результаты для одних и тех же углов по дальности различаются на 10%. Как и следовало ожидать, трассы для данных некогерентного рассеяния проходят выше, поскольку ионосфера здесь начинается с 150 км. Таким образом, при погрешности в моделировании ионосферы в 30% погрешность расчета трасс составляет 10%.
Рис. 3. КВ-радиотрассы
Интересными также являются результаты расчетов поглощения Ь на рисунке 4 и частот столкновений V на рисунке 5, рассчитанные по предлагаемой модели.
Рис. 4. Поглощение Ь Рис. 5. Частоты столкновений V
Список литературы
1. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред // М.: Наука,1980.
2. Лукин Д.С., Спиридонов Ю.Г. Применение метода характеристик для решения на ЭВМ задач распространения электромагнитных волн в неоднородных анизотропных средах // Лучевое приближение и вопросы распространения радиоволн: Сб.: М.: Наука,1971.
3. Токарь В.Г., Надежников Ю.И., Никитин М.А. Расчет параметров КВ-радио-сигналов с использованием табличных моделей ионосферы // Геомагнетизм и
54
аэрономия. 1980. № 4. С. 753 — 756.
4. Medvedev V.V. Numerical model of the heat budget of the Earth's upper atmosphere II Physics of Auroral Phenomena 29th Annual Seminar Polar Geophysical Institute. Apatity, 2006. P. 66.
5. Ishanov S.A., Medvedev V.V., Zalesskaya V.A. Mathematical model of the metastable species in the ionosphere and thermosphere II Избранные вопросы современной математики. Калининград: Изд-во КГУ, 2005. С. 139 — 140.
6. Ишанов С.А., Латышев К.С., Медведев В.В. Моделирование возмущений Б2-области ионосферы при антропогенных воздействиях II Модели в природопользовании: Сб. науч. тр. / Калинингр. ун-т. Калининград, 1989.
7. Медведев В.В., Ишанов С.А., Зенкин В.И. Влияние колебательно-возбужденного азота на рекомбинацию в ионосферной плазме II Геомагнетизм и аэрономия. 2003. Т. 43. № 2. С. 248 —255.
8. Evans J.V. J. Atmos. Terr. Phys. 1973. Vol. 35. P. 593.
9. Беликович В.В., Вяхирев В.Д., Калинина Е.Е. и др. Исследования ионосферы D-области ионосферы методом частичных отражений весной 2004 г. на средних и высоких широтах II Геомагнетизм и аэрономия. 2006. Т. 46. № 2. С. 229 — 233
10. Они же. Исследования ионосферы D-области ионосферы методом частичных отражений на средних широтах и в авроральной зоне Изв. вузов. Сер. Радиофизика. 2003. Т. 46. № 3. С. 181—191.
Об авторах
Ю.С. Жаркова — асп., РГУ им. И. Канта.
С. А. Ишанов — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.
В.В. Медведев — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.
В.Г. Токарь — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.
УДК 556.324:517.9(06)
К.С. Латышев, С.В. Орлов, Н.Д. Бобарыкин, А.А. Иванов, И.М. Кожуров
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАБИЛЬНОСТИ ПОЗВОНОЧНИКА ПРИ УГЛООБРАЗНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ПОЗВОНКОВ
Рассчитаны динамические нагрузки для элементов позвоночника.
Dynamic strains for the vertebral column elements has calculated.
Понятие нестабильности позвоночника является ключевым в хирургии позвоночника, так как данное состояние может приводить к сдавлению спинного мозга со всеми вытекающими последствиями. Сложная организация структур позвоночного столба, нахождение в позвоночном канале спинного мозга и корешков, сверхчувствительность тканей спинного мозга к гипоксии обусловливает строго ограниченный объем движения в позвоночно-двигательном сегменте. Избыточная подвижность между позвонками, превышающая физиологические нормы,
Вестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 54 — 58.
