Использование логики высказываний в системе начального математического образования Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

А.В. Тихоненко, Г.А. Семенова

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ В СИСТЕМЕ НАЧАЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Человек с древних времен стремился познать законы правильного мышления, то есть - логические законы. Существуют определенные законы развития природы, общества, любой сложной системы и, конечно, законы мышления. Человек может не всегда осознавать их, но в практической деятельности всегда следует им. Следование законам мышления помогает жить в обществе, общаться с людьми, понимать их и быть понятыми.

Логика - одна из древнейших наук, ее основателем считается величайший древнегреческий философ Аристотель (384-322 гг. до н. э.), который первым систематизировал формы и правила мышления, обстоятельно исследовал категории «понятие» и «суждение», подробно разработал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления [1, 7].

В Древней Греции, Индии, в Древнем Риме законы и формы правильного мышления изучались в рамках ораторского искусства. Применение логических приемов рассуждения позволяло ораторам более убедительно доносить до аудитории свою точку зрения, склоняя тем самым слушателей на свою сторону. Однако уже тогда, чтобы добиться победы в споре, возникали попытки использования приемов рассуждения, нарушающих логические законы мышления. В логике, со времен Аристотеля, известны уловки и ухищрения, с помощью которых маскируется заведомо ошибочное рассуждение. Например, «Эта собака имеет детей, значит, она отец. Но это твоя собака, значит, она твой отец. Ты ее бьешь, значит - ты бьешь своего отца»; «Эта статуя - художественное произведение. Но она твоя. Значит, она есть твое художественное произведение»; «Знаешь ли ты этого закрытого человека? Нет. Это твой отец. Следовательно, ты не знаешь своего отца». Эти рассуждения по форме основаны на внешнем сходстве явлений, на преднамеренно неправильном подборе исходящих положений, на двусмысленности слов и на подмене понятий.

Если обратиться к эпохе Возрождения, к истокам науки, можно увидеть, что методы логики берут свое начало в античной логике, которую принято называть формальной. Ее суть заключается в том, что правильность рассуждения определяется только логической формой или структурой и не зависит от конкретного содержания входящих в него простых высказываний.

С античного периода началось развитие формальной логики, философии и математики. Так, Рене Декарт (1596-1650) считал:

- человеческий разум может постигнуть истину, если будет исходить из достоверных положений;

- сложные идеи сводить к простым идеям, переходя от известного и доказанного к неизвестному, избегая каких - либо пропусков в логических звеньях исследований.

Фактически Декарт рекомендовал науке о мышлении - логике руководствоваться общепринятыми в математике принципами.

Продолжение развития логики начинается с появления математической или символической логики. Основоположником математической логики считают великого немецкого математика и философа Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716 гг.). Он пытался построить первые логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические, полагая, что простые рассуждения можно заменить действиями со знаками, и привел соответствующие правила. Г.В. Лейбниц также обосновал необходимость создания универсального логического языка. По его мнению, язык логики высказываний, в отличие от естественного, мог бы точно и однозначно выражать различные понятия и отношения. Язык логики мог быть своего рода алгеброй человеческого мышления, позволяющей получать из известных истин новые истины путем точных вычислений. Г. Лейбниц высказал только идею создания языка логики высказывания. В середине XIX века ирландский математик и логик Джордж Буль исследовал закономерности выводного знания - знания полученного из ранее установленных и проверенных истин, без обращения в данном конкретном случае к опыту, практике, а только в результате применения законов и правил логики к имеющимся истинным мыслям [2, 289]. Д. Буль вывел для логических построений особую алгебру, алгебру

логики, являющуюся первой системой математической логики, в которой алгебраическая символика применялась к логическим выводам в операциях с понятиями, которые рассматривались со стороны их объемов. В отличие от обычной логики в ней символами обозначаются не числа, а простые и сложные высказывания.

Алгебра логики в ее современном изложении занимается исследованием операции с высказываниями, то есть с предложениями, которые характеризуются только одним качеством - истинностным значением (истина - И, ложь - Л).

Современная математическая логика - это новая ступень в развитии формальной логики высказываний, представляющая собой обширную научную область, которая находит широкое применение как внутри математики, так и вне нее.

Основными законами логики высказываний являются: закон тождества, закон противоречия, закон исключенного третьего. Значение логической правильности мышления состоит в том, что она является необходимым условием гарантированного получения истинных результатов в решении задач, которые возникают в процессе познания. Изучение математической логики способствует:

- воспитанию культуры логического мышления;

- осознанию структуры математической науки, ее фундаментальных понятий: аксиом, доказательств, теорем;

- формированию ясности мысли, повышению требовательности к себе;

- обоснованности аргументации в процессе доказательства.

Поэтому, достаточно важным является включение элементов логики высказываний в начальный курс математического образования. Изучая элементы логики высказываний, младшие школьники учатся видеть логические связи в окружающем нас мире.

Одной из главных задач начального обучения вообще, математике в частности является развитие у младших школьников логического мышления. Такое мышление проявляется в том, что при решении задач ученик соотносит суждение о предметах, отвлекаясь от особенностей их наглядных образов. Рассуждая, ученик делает выводы. Например, учащиеся второго года обучения, соотнося суждения: «Все числа, которые делятся на 2, называются четными», «14 делится на 2». Делают заключение: «14 - четное число».

Необходимым условием успешного усвоения учебного материала не только в начальных классах, но и в средней, старшей школах, особенно при изучении математики, физики, химии и др. является:

- умение мыслить логически;

- выполнять сопоставление суждений по определенным правилам;

- делать умозаключения без наглядной опоры.

Формирование и развитие основных логических структур мышления происходит в возрасте от 5 до 11 лет, в период неформального обучения ребенка и его обучения в начальной школе. Логические упражнения позволяют на доступном для младшего школьника математическом материале, причем с опорой на жизненный опыт, строить правильные суждения без предварительного теоретического освоения учащимися основных законов и правил логики. Правильность оперирования суждением школьниками должна обязательно анализироваться и контролироваться учителем, который должен обладать знаниями элементов теории множеств, математической логики для того, чтобы верно и быстро оценивать успешность протекания умственной деятельности младших школьников. Под руководством учителя, путем решения системы заданий, учащиеся практически знакомятся с применением законов и основных правил логики высказываний.

Анализ существующих программ обучения математике, соответствующих им учебников, показал, что только в программе «Начальная школа XXI века» в явном виде рассматриваются законы логики высказываний: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация. Вводятся логические связки, соответствующие определения высказываний, составляются для них таблицы истинности.

Заметим, что формирование основ логики высказывания по программе начинается в первом классе, когда решаются задания типа: «Верно, или неверно, что 9 + 0 = 9, 9 - 0 = 9, 1 - 0 = 0, 0 + 1 = 0» и систематически продолжается в течение обучения в начальной школе.

Для усвоения младшими школьниками материала, связанного с развитием логики мышления, необходимо постоянно включать в каждый урок элементы логики высказывания.

Для того, чтобы понять методику преподавания математики, а именно процесс формирования основ логики высказываний, проанализируем учебники математики по программе «Начальная школа XXI века».

Отметим, что в процессе обучения младших школьников математике большую роль играет учитель, но немаловажное значение имеет и учебник или то учебное пособие, с которым ученик имеет возможность самостоятельно работать, то есть тетрадь на печатной основе.

Изучение основ логики высказываний в явном виде по программе «Начальная школа XXI века» начинается в третьем классе. На эту тему выделен раздел «Высказывание», который является, по сути, основой формирования и развития логики мышления младших школьников.

Однако подготовка к изучению элементов логики высказываний происходит в первом классе. С этой целью даются задания, типа: а) прочитайте высказывания о числах [3, 66]:

Рис. 1 Рис. 2

В заданиях на основании графов (рис. 1), учащиеся составляют высказывания, касающиеся отношений между числами. Например, составляют высказывание: «12 меньше, чем 18, а 18 больше, чем 12»;

б) составьте и прочитайте верные высказывания (рис. 2) [3, 85];

в) верно ли что:

- 12 больше трех на 9;

- с 8 ч утра до 15 ч того же дня прошло 6 ч;

- сумма семи и восьми равна 16;

- 16 меньше семи на 9;

г) из ящика с зелеными и желтыми грушами, не глядя, взяли 2 груши, верно ли, что эти груши будут обязательно одного цвета? [3, 89].

Во втором классе продолжается работа по изучению основ логики высказываний. Учащиеся выполняют задания типа:

Сравните числа попарно. а) прочитайте каждое высказывание о парах чисел.

20*------—'~"бО 78 * —---""* 1 6

Рис. 3

В этих заданиях по данному графу отношений между числами (рис. 3) нужно сформулировать высказывание. Например, 90 больше, чем 35; 35 больше, чем 16. Следовательно, 90 больше, чем 16;

б) прочитайте высказывание: «30 меньше 35», «45 больше 35», «30 меньше 45». Изобразите эти высказывания с помощью графа так, чтобы стрелки были одного цвета [4, 15];

в) сравните попарно числа 38, 64, 70. Составьте высказывания со словом «больше» и изобразите их с помощью графа [4, 46];

г) прочитайте все высказывания, изображенные на графах (рис. 4) [4, 83]. Образец:

Пять больше трех. Двадцать меньше семидесяти

Рис. 4

В третьем классе перед изучением темы «Высказывание» рассматриваются задачи с геометрическим содержанием, в которых необходимо определить верно или неверно предложение. Например: «Петя говорит, что квадрат - это прямоугольник, поэтому диагональ любого прямоугольника есть его ось симметрии. Верно высказывание Пети?»

В теме «Высказывание» рассматривается понятие «высказывания» и связанные с ним понятия «верное высказывание», «неверное высказывание», дается определение высказывания, как предложения, о котором можно точно сказать, верно оно или неверно [5, 55].

Выполняя систему заданий, учащиеся приходят к выводу, что не всякое предложение является высказыванием, поскольку невозможно сказать, верное оно или неверное. Устанавливают, что вопросительные и восклицательные предложения, типа, «Который час?», «С Новым годом!», а также предложения, истинность которых нельзя точно проверить в данный момент, типа: «Сегодня будет дождь», не являются высказываниями.

Позднее, рассматривая предложение с переменной, учащиеся осознают, что о предложении, содержащим переменную, нельзя сказать, верно, оно или неверно, пока не подставлено вместо переменной конкретное значение. Делают вывод: предложение с переменной высказыванием не является. Для закрепления означенных понятий рассматривают задания типа: а) Верно или неверно каждое высказывание? б) Прочитайте предложения. Какие из них яв-

Москва - столица России. В феврале 30 дней. Сосна - хвойное дерево. 1 - не самое маленькое число. Пять больше двух. Неверно, что 9 + 6 = 15. Стрекоза - насекомое. В году 10 месяцев.

ляются высказываниями?

Если 3 умножить на 8, получится 32.

48 : 6 = 8.

Который час?

Кто сегодня отсутствует?

Я - отличник.

18 - 6 > 3.

Соблюдайте тишину!

15 в 3 раза больше 5.

в) Приведите пример: 1) высказывания; 2) верного высказывания; 3) неверного высказывания; 4) предложения, которое не является высказыванием [5, 55].

Знания данного материала используются при изучении последующих тем. Например, изучая тему «Числовые неравенства и равенства», учащиеся знакомятся с основными понятиями темы. Для этой цели предлагаются два столбца заданий: 3 + 4 = 7 9 > 7

8 ■ 5 = 45 6 <10

12 - 9 = 3 8 ■ 4 > 48

18 : 3 = 9 7 + 5 <10

Как называются высказывания каждого столбца, почему? Какие из них верные, а какие неверные? Выполняя задания, учащиеся оперируют терминами: «верное равенство», «неверное равенство», «верное числовое неравенство», «неверное неравенство». В третьем классе также рассматривают систему заданий, типа:

1. Прочитайте равенства (неравенства), выпишите только верные;

2. Придумайте и запишите какое-нибудь верное равенство (неравенство), какое-нибудь высказывание;

3. Запишите в виде равенства каждое высказывание.

Рассматривая тему «Предложение с переменной», учащиеся читают: «о предложении „х -животное" нельзя сказать, верно оно или неверно, пока не подставлено вместо переменной ее значение» [5, 62].

Выполняя последующие задания, учащиеся осознают, что если в предложение „х - животное" вместо буквы х подставить значения: лягушка, паук, орел, яблоня и другие, то соответственно получаются верные или неверные высказывания.

Задания, типа: «Какие значения может принимать переменная х в равенстве х + 5 = 9? Назовите несколько таких значений. При каком значении х получается верное равенство? Назовите несколько значений х, при которых равенство неверно»; «Какие значения может принимать переменная х в неравенстве х + 5 < 9?

Назовите все значения х, при которых получается верное неравенство. Назовите хотя бы одно значение х, при котором неравенство неверно» [5, 63], приводят учащихся к осознанию нового понятия «уравнение», к закреплению понятий «верное равенство», «неверное равенство».

Рассматривая записи: 24 : 3 = 8, х + 4, х = 3, х + 5 = 9, 10 - 7 = 3, учащиеся приходят к выводу, что х + 5 = 9 является уравнением. Поясняют: в нем есть переменная х и только при единственном значении х = 4, оно является равенством.

Итак, для осознания понятия «уравнение» учащиеся должны понимать:

1) Уравнение - это равенство, (то есть в записи уравнения обязательно должен быть знак равенства «=»);

2) В нем должна быть переменная, записанная какой-либо буквой.

В результате двух данных посылок, учащиеся приходят к заключению:

3) Следовательно, уравнение - это равенство с переменной.

Таким образом, в первых трех классах учащиеся получили необходимую теоретическую и практическую подготовку по изучению логико-математических понятий и отношений. Эта подготовка создала прочную базу для:

- обобщения, углубления и систематизации важнейших вопросов содержания обучения;

- перехода к завершающему этапу обучения - формализации приобретенных учащимися знаний и умений.

В четвертом классе продолжается работа по закреплению полученных знаний. При изучении программного материала предлагаются задания, выполняя которые, учащиеся должны вспомнить материал, изученный в предыдущих классах. Например, верно ли высказывание: «если один из множителей равен 1, то произведение равно другому множителю». Учащимся, по аналогии, предлагается сформулировать высказывание о произведении любого числа и числа 0.

Линия развития логико-математических понятий и отношений в 4 классе существенно обогащается теоретическими знаниями и новыми практическими умениями. Вводятся общепринятые термины логики высказываний: истина, обозначаемая на письме буквой И и ложь, обозначаемая буквой Л. Вводятся обозначения высказываний заглавными буквами латинского алфавита. Если некоторое высказывание А истинно, то записывают так: А = И, если А ложно, то пишут: А = Л. С помощью союзов и, или, если..., то, а также словосочетания неверно, что, учащиеся составляют

сложные высказывания, типа: А А В (А и В); А V В (А или В); А —У В (Если А, то В; или из

А следует В); А , которое читается так: не А; неверно, что А.

Так, выполняя задания типа: а) Прочитайте истинные высказывания:

1. Орел - птица;

2. В неделе - 7 дней;

3. Февраль - зимний месяц;

4. Слово нос - существительное. Каждое из этих высказываний замените другим высказыванием так, чтобы оно начиналось словами «Неверно, что». Какие высказывания получились: истинные или ложные?

б) Прочитайте ложные высказывания:

1. В любом четырехугольнике три вершины;

2. Тонна - единица длины;

3. Сумма 45 и 10 равна 54;

4. Параллельные прямые пересекаются. Каждое из этих высказываний замените другим высказыванием так, чтобы оно начиналось словами «Неверно, что». Какие высказывания получились: истинные или ложные? [6, 72], учащиеся приходят к выводу: любое высказывание можно обозначить прописной буквой латинского алфавита. Например, если высказывание «В марте 30 дней» обозначить буквой А, то высказывание «Неверно, что в марте 30 дней» обозначают так:

А , которое называют отрицанием высказывания А.

Система предложенных заданий учебника и рабочей тетради разного уровня трудности, позволяет учащимся осознать вывод: если высказывание А истинно, то его отрицание А ложно;

если высказывание А ложно, то его отрицание А истинно.

На основании сделанного вывода составляется таблица (см. табл. 1).

Таблица 1

А И Л

А Л И

Анализ учебника «Математика 4» показал, что в нем предложены задания двух типов. Первый тип представлен заданиями, в которых даны два высказывания: нужно определить, истинно или ложно каждое из них, затем составить сложное высказывание, используя ту или иную логическую связку; определить истинность составленного сложного высказывания. Например, а) Даны высказывания А и В.

1. А: «Буква Э - гласная». В: «Буква Э - согласная».

2. А: «В сутках 12 часов». В: «В сутках 36 часов».

3. А: « Число 6 делится на 2». В: «Число 6 делится на 3».

Истинно или ложно высказывание А? Высказывание В? Составьте сложное высказывание А V В. Истинно оно или ложно?

б) Из каких двух высказываний составлено сложное высказывание?

1. В одном часе 100 минут или 60 минут.

2. В 1 класс принимают детей с шести или с семи лет.

3. Март - первый месяц весны или лета.

4. Слоны обитают на северном или на южном полюсе. Истинно ли хотя бы одно из двух высказываний, составляющих сложное высказывание? Истинно или ложно каждое из сложных высказываний? [6, 74].

Результаты выполнения предложенных заданий позволяют сделать вывод: сложное высказывание А V В истинно, если истинно хотя бы одно из двух высказываний. В остальных случаях оно ложно. Сделанный вывод приводит к составлению таблицы истинности (см. табл. 2).

Таблица2 Таблица 3

А В А V В

И И И

И И И

Л И И

Л Л Л

А В А Л В

И И И

И Л Л

Л И Л

Л Л Л

Выполните задания, типа: Прочитайте каждое высказывание и определите, истинное оно или ложное.

1. Береза - лиственное дерево.

2. Береза - хвойное дерево.

Составьте из этих двух высказываний новое, сложное высказывание с помощью союза «и». Например, береза лиственное и хвойное дерево.

Истинное или ложное высказывание с союзом «и» получилось? Поясните свой ответ, учащиеся приходят к обобщению: сложное высказывание А Л В истинно, если истинны оба составляющих его высказывания. В остальных случаях оно ложно. Сделанный вывод позволяет прийти к таблице истинности для высказывания А Л В (см. табл. 3)

Второй тип представлен заданиями, в которых дано составное высказывание; нужно в нем выделить два простых высказывания, определить их истинность; затем решить вопрос об истинности данного составного высказывания.

Например. Из каких двух высказываний состоит сложное высказывание?

1. Корнем уравнения х + 5 = 7 является число 2 и число 3.

2. Зайцы едят морковку и капусту.

3. Листья с деревьев опадают весной и осенью.

4. В четырехугольнике 3 вершины и 3 стороны. Истинно ли хотя бы одно из двух высказываний, составляющих сложное высказывание? Истинно или ложно каждое из сложных высказываний? [6, 76].

Наибольшие затруднения возникают у младших школьников в понимании математического смысла логической связки «если..., то». Сложное высказывание, составленное с помощью связки «если..., то» считается ложным только в случае, когда посылка (первое высказывание) истинно, а заключение (второе высказывание) ложно. В остальных случаях это высказывание истинно.

Младшим школьникам трудно понять, что составное высказывание истинно даже тогда, когда из ложного высказывания следует ложное. В связи с этим отметим, что разработчики программы «Начальная школа XXI века» предлагает такие практические задания высказываний, содержащих логическую связку «если..., то», которые не вызывают у учащихся сомнений при определении их истинности или ложности.

Например, а) Прочитайте высказывания А и В. Выясните, истинные они или ложные. Составьте сложное высказывание А —^ В с помощью слов «если ..., то». Как вы думаете, истинное или ложное высказывание получилось?

1) А: Орел - птица. В: Орел - летает.

2) А: Число 4720 - четырехзначное.

В: После зачеркивания нуля в числе 4720 получится двузначное число;

3) А: Петя утверждает, что сегодня на уроке математики получил 5. В: Петя был на уроке математики.

б) Из каких простых высказываний состоит сложное высказывание? Определите, истинное или ложное каждое из них. Пользуясь таблицей (см. табл. 4), определите, истинно или ложно высказывание А — В.

Таблица 4

А В А — В

И И И

Л И И

Л Л И

И Л Л

1). Если крокодил плавает, то он - рыба.

2). Если в четырехугольнике АВСК все углы прямые, то четырехугольник АВСК - прямоугольник.

3). Если 18 делится на 2 и на 3, то оно делится на 5.

4). Если 2 + 3 = 6, то 6 > 3 [6, 80].

Предложенная таблица облегчает выполнение заданий. Учащиеся устанавливают, в каких случаях сложное высказывание истинное, а в каких ложное.

Выполненные задания и предложенная таблица позволяют сделать вывод: сложное высказывание, составленное с помощью слов «если..., то» ложно только в одном случае: когда из истины следует ложь.

В заключении следует отметить, что линия развития логико-математических понятий, в частности, элементы логики высказываний в программе «Начальная школа XXI века» вводится постепенно.

Схема построения каждой новой темы такова:

- предварительное рассмотрение практических заданий, способствующих осознанию новых теоретических знаний;

- включение теоретических сведений, отраженных в учебнике;

- рассмотрение практических заданий, основанных на вновь полученных теоретических сведениях;

- первичное закрепление новой темы;

- повторение и закрепление раннее пройденного материала.

Последовательность предложенных заданий, включенных в учебник и рабочие тетради, предполагает достижение различных методических целей, направленных на:

- подготовку младших школьников к введению нового материала и облегчение его восприятия;

- формирование логико-математических понятий;

- отработку формируемых умений и навыков;

- обеспечение повторения и закрепления раннее пройденного материала на более высоком уровне трудности;

- содействие развитию математического мышления младших школьников.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тихоненко А.В., Трофименко Ю.В. Математика. Ч. 1. Ростов н/Д., 2010.

2. Кондаков Н.И. Логический словарь. М., 1971.

3. Рудницкая В.Н. Математика: учебник для учащихся 1 кл. общеобр. учреждений. М.: Вентана-Граф, 2004.

4. Рудницкая В.Н., Юдачева Т.В. Математика: учебник для учащихся 2 кл. общеобр. учреждений. М..: Вента-на-Граф, 2004.

5. Рудницкая В.Н., Юдачева Т.В. Математика: учебник для учащихся 3 кл. общеобр. учреждений. М..: Вента-на-Граф, 2004.

6. Рудницкая В.Н., Юдачева Т.В. Математика: учебник для учащихся 4 кл. общеобр. учреждений. М.: Вента-на-Граф, 2004.