CC BY
140
ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
В. В. Лебедев
К. В. Лебедев
УДК: 004.94; 331.215 Б01: 10.24411/2071-6435-2019-10113
Использование коэффициента Пальмы для анализа дифференциации населения по доходам
Для анализа динамики дифференциации населения Российской Федерации по доходам использован подход, в котором все население разбивается на три части. Рассмотрены два варианта: симметричное распределение в пропорции 20:60:20 и распределение коэффициента Пальмы в пропорции 40:50:10. На конкретном примере распределения фонда заработной платы работников организаций Российской Федерации в 2000—2019 годах показано, что структура дифференциации за 20 лет сократилась незначительно. При этом отношение средней заработной платы 90% работников к средней заработной плате всех работников увеличилось за двадцать лет незначительно (от значения 0,71 до 0,74).
Ключевые слова: функция Лоренца, показатели неравенства, индекс Джини, коэффициент фондов, динамика заработной платы, коэффициент Пальмы
Введение
Материальное неравенство населения различных регионов России и мира относится к основным проблемам экономики [1; 3; 5; 6]. Центральное место при исследовании широкого круга задач, связанных с ней, занимает анализ статистической информации, характеризующей распределение населения по денежным доходам, заработной плате, финансовым активам, недвижимости и другим параметрам. Для определенности, далее мы сосредоточимся на неравенстве по доходам. Однако рассматриваемый ниже математический аппарат для вычисления коэффициентов дифференциации можно применять и при анализе распределения населения по другим показателям благосостояния (заработной плате, финансовым активам, недвижимости и другим).
При изучении статистической информации о неравенстве населения по доходам используются количественные показатели (индикаторы) дифференциации [2]. К основным относятся коэффициент Джини (КО), децильный и квинтильный коэффициенты фондов (К/1д и К/20 соответственно), децильный и квинтильные коэф-
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 19-010-00921).
© В. В. Лебедев, 2019 © К. В. Лебедев, 2019
фициенты дифференциации доходов (Кх0 и Кх20 соответственно). Эти показатели дифференциации, по-разному отражающие степень неравенства населения, применяются как в нашей стране, так и за рубежом.
Ниже используются следующие обозначения переменных и функций: х — величина денежного дохода (размерность — тысяча рублей); х0 — значение минимального денежного дохода; хтхх — значение максимального денежного дохода (либо число, либо символ ); у — кумулятивная доля населения в общей численности населения; г — кумулятивная доля совокупных доходов населения.
При вычислении показателей дифференциации предполагается, что все население ранжировано в порядке возрастания доходов х, и известны построенные с той или иной степенью точности на основе статистических данных функции: распределения населения по доходу у=¥(х) и соответствующая функция Лоренца г=Цу). Последняя выражает зависимость кумулятивной доли общего дохода населения г от кумулятивной доли населения у, получающего эту часть общего дохода: г=Цу). Здесь у — доля населения, имеющего доход ниже значения х (у=¥(х); z — доля суммарного дохода, который получает часть населения, имеющая доход ниже значения х). График функции Лоренца г=Цу) называют кривой Лоренца.
Все показатели дифференциации можно условно разделить на интегральные и структурные. Первые характеризуют неравенство всего населения «в среднем». Основным интегральным показателем дифференциации населения по доходу является коэффициент Джини. По определению, коэффициент Джини равен отношению площади фигуры, ограниченной линией идеального равенства г=у и кривой Лоренца г=Цу), к площади прямоугольного треугольника с единичными катетами: 1
КО = 1 - 2|Ь(у)йу. (1)
0
Если переменные у и г измеряются в долях, то коэффициент Джини равен удвоенной площади фигуры, ограниченной линией идеального равенства г=у и кривой Лоренца г=Цу); именно это и выражает формула (1). Если отношение площадей названных плоских фигур вычислено в процентах, то это отношение называют индексом Джини. Поэтому значение индекса Джини отличается от значения коэффициента Джини множителем 100. Широкое применение коэффициента Джини связано с его наглядностью: чем больше значение этого показателя, тем сильнее «провисает» кривая Лоренца. Отметим несколько обстоятельств, заставляющих не ограничиваться использованием коэффициента Джини при анализе неравенства населения. Во-первых, при использовании статистических данных, характеризующих распределение общего объема доходов по процентным группам, точность вычисления значения этого показателя неравенства зависит от того, какими именно группами (децильными, квинтильными и др.) представлена информация о доходах населения. Во-вторых, при использовании статистических данных, характеризующих группировку населения по
уровню доходов на основе интервальных рядов распределения (в абсолютном выражении), разные распределения населения по доходам могут приводить к одинаковым значениям индекса Джини. Кроме того, при использовании методов аппроксимации как для построения функции распределения населения по доходу у=Р(х) так и для построения функции Лоренца 1=Цу) значение индекса Джини зависит от используемой метрики, характеризующей точность приближенного решения.
Структурные показатели неравенства являются более информативными, так как дают представление о степени расслоения различных групп населения (домохозяйств) по доходу. К этим показателям относятся коэффициенты фондов и коэффициенты дифференциации доходов. По определению, первые равны отношению средних доходов в двух равных по численности группах населения: с самыми высокими и с самыми низкими доходами. Так, при вычислении децильного коэффициента фондов К/10 все население разбивается на десять количественно равных групп, а при нахождении квинтильного коэффициента фондов К/20 — на пять. Поэтому
к/т = '- к/. = (2)
10 ¿(0,1) Д0,2)
По определению, коэффициенты дифференциации доходов равны отношению значений минимального и максимального доходов в двух равных по численности группах населения: с самыми высокими и с самыми низкими доходами соответственно. В частности, децильный коэффициент дифференциации доходов Кх0 равен отношению минимального дохода в 10-процентной группе с самыми высокими доходами к максимальному доходу в 10-процентной группе с самыми низкими. С формальной точки зрения, для вычисления коэффициентов дифференциации доходов используется функция, обратная функции распределения населения по доходам: х=ф(у). Здесь предполагается, что функция у=¥(х) является монотонно возрастающей, и поэтому справедливо соотношение ¥(ф(у))=у. Например, децильный и квинтильный коэффициенты дифференциации вычисляются соответственно по формулам
Хх10 = и Кх20 (3)
10 р(0,1) 20 р( 0,2) К)
Коэффициентам дифференциации доходов (3) можно дать иную интерпретацию, связанную с оценкой расслоения внутри промежуточной группы населения. Так, децильный коэффициент дифференциации доходов Кх10 равен отношению значений максимального и минимального дохода в группе населения с доходами, заключенными между первым и девятым децилями: хе[ф(0,1); ф(0,9)]. Аналогично квинтильный коэффициент дифференциации доходов Кх20 равен отношению значений максимального и минимального дохода в группе населения с доходами, заключенными между вторым и восьмым децилями: хе[<р(0,2); ф(0,8)].
(Суш;ественно, что разнымфункциямраспределения населения по дохоуд ц=еЦНЦ могут соответлывоввть одинаыовыы лначешнывсех вы]^{^1^^званыых пока-затллейдлффеленцинцил. РНа^нок][ы.ы^1^стрданетл. Здесьлиниа Си2 предзта лнюлшбо й двв ттивые Наценца. Линия 1 ыоотвеазивуев цывпр е^^л^^ц^^ю заработной платы рслотликов оргснцзтций РоссиоскнлФтдерацйи в20 10 глан, а линия 2 представляет собой нипоткскчтсни) ыривую Лорлнца, которая при уе [0;0,2]и{0,6}и[0,8;1] совпадает с линией 1, при уе(0,2; 0,6) лежит выше, а при уе(0,6; 0,8) — ниже. Этим двум распределениям соответствуют не только одинаковые значения децильного и квинтильного коэффициентов фондов, дециль-ного и квинтиыуного вoэффлцлентoв диффераиадациидоходов, но а одиоало-сыо значена индекса Диини^Ю=40,0).
Рисунок 1. Кривая Лоренца для распределения заработной платы работников организаций Российской Федерации в 2019 году (линия 1), гипотетическая кривая Лоренца(линия2)илинияидеальногоравенства(линия3) Источник:расчетыавторов поданным Росстата [4]
Таким образом, одинаковые значения дажесовокупности показателей неравенства для двух различных групп населения (например, для населения двух различных регионов) не позволяют говорить о полном совпадении функций распределения доходов в этих двух группах и, следовательно, об одинаковой структурной дифференциации населения. Это, наряду с некоторыми обстоятельствами, ограничивающимиинтерпретациюзначенийвышеназванных показателей при анализе неравенства в распределении доходов, стимулировало конструирование других индексов, разработанных с целью получения дополнительной информации, расширяющей представление о расслоении общества. К ним относятся, в частности, индекс Гувера, коэффициент Кузнеца, коэффициент Пальмы [7; 8].
Коэффициент Пальмы и некоторые обобщения
Среди используемых показателей дифференциации населения коэффициент Пальмы (Palma ratio, KP занимает особое место, так как опирается на принципиально новый подход к анализу неравенства) [8]. По определению, коэффициент Пальмы равен отношению суммарных доходов двух крайних (неравных!) групп населения: 10-процентной, с наибольшими доходами, и 40-процентной, с наименьшими доходами. Существенной особенностью используемого Пальмой подхода является следующее: здесь все население разбивается на три группы так, что суммарный доход средней (50-процентной) группы приблизительно равен половине общего дохода населения. По предположению Пальмы, которое было обосновано им в результате анализа статистических данных многих стран мира, такое разделение дохода достигается при разбиении населения на три группы в пропорции 40:50:10 [8]. Если эта гипотеза Пальмы о равенстве среднего дохода всего населения среднему доходу в средней (50-процентной) группе выполнена, то, зная значение коэффициента Пальмы, можно вычислить, например, долю дохода десятого дециля и общую долю дохода первых четырех децилей в суммарном доходе населения. В настоящее время коэффициент Пальмы используется многими исследователями, а его значения приводятся в авторитетных аналитических обзорах наряду с индексом Джини [2].
Суть подхода Пальмы можно продемонстрировать без построения функции распределения. Для этого будем считать, что нам известно распределение дохода по децильным группам населения, то есть числа п — значения среднего дохода в k-ой 10-процентной группе населения, где k =1, 2, ..., 10.
Этой информации достаточно для вычисления значения среднего дохода
1 10
р = 10 ^ ' (4)
k=1
и построения табличной (эмпирической) функции Лоренца {у(; г}, где 2=Ь(у ),'=0,1,...,10. Здесь значения у и ^ вычисляются с использованием следующих формул:
— кумулятивной доли населения
yJ = 0,1/, / = 0,1,...,10; (5)
— кумулятивной доли дохода
20 = о, , ] = 1,. -,10; ( 6 )
к =1
— доли дохода м-ой децильной группы в суммарном доходе населения
У 10у
d к > k =1" '10- (7 )
10
Отметим, что в силу формулы (4) выполнено условие ^ < к =1 ; и поэтому 7 =1 к=
При используемых обозначениях децильный коэффициент фондов К/10, индекс Джини 10 и коэффициент Пальмы КР вычисляются соответственно по следующим формулам:
Ы = Мо . (8)
А/10 '
М
Ю = 90 - 20]Г 2]; (9)
]=1
КР =-
М
10
М +Ц2 +Мз + Мл
( 10)
Формула (8) следует из первой! формулы (2); при выводе формулы (10) для индекса Джини использовано приближенное значение интеграла (1), вычисленное по формуле Брауна, а формула (10) следует из определения коэффициента Пальмы.
Важно отметить следующее: так как при разбиении населения в пропорции 40:50:10 численность группы с наибольшими доходами в 4 раза меньше численности группы с наименьшими доходами, то в силу формулы (10) отношение средних доходов в этих крайних группах населения равно значению коэффициента Пальмы, умноженному на четыре. Поэтому можно утверждать, что коэффициент Пальмы является обобщением коэффициента фондов.
Использованный Пальмой подход к разбиению населения на три части в пропорции 40:50:10 позволяет устранить ограниченность традиционного подхода к использованию коэффициентов фондов при анализе дифференциации населения по доходам. Например, при использовании децильного коэффициента фондов можно говорить о разбиении населения в пропорции 10:80:10, и наряду с вычислением децильного коэффициента фондов К/10 можно определить степень расслоения той части населения (80 процентов!), доходы которой лежат между первым и девятым децилями.
Для реализации подхода к анализу дифференциации населения по доходам, опирающемуся на разбиение населения на три части, сделаем некоторые обобщения.
Определение 1. Разбиение населения, ранжированного по доходу, на три группы (А, В и С) будем называть разбиением Ят/п, если численности этих групп соответствуют пропорции п:(100—п—т), где т и п — целые положительные числа, кратные 10, и т+п<100.
Из определения следует, что группа А включает в себя население с наименьшими доходами, группа В — со средними, группа С — с наивысшими доходами. При этом численность группы А составляет п процентов, группы В — (100—п—т) процентов, а группы С — т процентов от общей численности населе-
ния. При вычислении коэффициента Пальмы используется разбиение населения К10/40.
Определение 2. Отношение значений средних доходов двух крайних групп еления С и А разбиен фондов и обозначать 0¥т/п.
населения С и А разбиения Ят/п будем называть обобщенным коэффициентом
100%.
Утверждение. Обобщенный коэффициент фондов вычисляется по формуле:
ГТ П М10 + ■■ + М11-т/10
^т/п =---. (11)
т м +... + Мп
Обобщенный коэффициент фондов разбиения В^10/40 связан с коэффициентом Пальмы (10) соотношением 0¥т/00=4КР.
Определение 3. Отношение значений среднего дохода некоторой группы населения и среднего дохода всего населения, выраженное в процентах, будем называть приведенным уровнем дохода этой группы населения.
Пример 1. Если значение среднего дохода в к-ой децильной группе равно лк, а значение среднего дохода всего населения равно л, то приведенный уровень дохода в этой группе равен
Пример 2. Все население, средний доход которого равен л, разбито на 3 группы: А, В и С. Если значение среднего дохода в группе А равно лА, то соответствующий приведенный уровень дохода в этой группе равен
ЯА = м 100%
м
Если группа населения АВ представляет собой объединение групп А и В, а значение среднего дохода в группе АВ равно лАВ, то соответствующий приведенный уровень дохода в этой группе равен
ЛАВ = Маав 100%
м
Определение 4. Если доходы х в некоторой группе Б населения принадлежат промежутку хе[ф(Ы/10, ф(М/10)), где N и М —целые числа, 0<Ж8, Ж+2<Ж10 то коэффициентом расслоения группы населения Б будем называть отношение значений средних доходов двух 10-процентных групп с наибольшими
и наименьшими доходами, принадлежащих группе Б
Таблица 1
Распределение заработной платы работников организаций Российской Федерации по 10 процентным группам в 2000—2019 годах и показатели дифференциации
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Показатели
Средняя заработная плата, тыс. руб дифференциации
Год Всего в том числе в [0-процентных группах
М М м2 м4 м5 м6 м7 Мя м9 Мо т о 10 КР
2000 2,3 0,2 0,5 0,8 1,0 1,3 1,7 2,2 2,8 3,9 8,2 34,0 48,1 3,19
2001 2,9 0,3 0,6 0,9 1,2 1,6 2,0 2,5 3,4 4,9 11,2 39,6 50,5 3,68
2002 4,1 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 ЗД 3,8 4,9 6,7 15,1 30,5 47,3 3,02
2003 5,0 0,6 1,2 1,8 2,3 3,0 3,7 4,8 6,1 8,2 18,4 30,0 47,6 3,09
2004 6,4 0,9 1,6 2,3 ЗД 3,9 4,9 6,2 7,6 10,5 22,5 26,4 46,2 2,84
2005 7,8 1Д 2,1 3,0 3,9 4,9 6,1 7,6 9,4 12,9 27,1 24,9 45,3 2,68
2006 9,8 1,4 2,6 3,8 4,9 6,2 7,7 9,4 11,9 16,0 34,6 25,3 45,5 2,72
2007 12,5 2,0 3,6 5,0 6,5 8,1 9,9 12,0 15,0 20,1 43,3 22,1 44,3 2,53
2009 18,3 4,1 6,0 7,9 9,9 12,0 14,5 17,5 21,7 28,7 60,6 14,7 41,6 2,18
2011 22,3 4,7 7,1 9,5 12,0 14,6 17,6 21,3 26,5 35,0 75,1 16,1 42,3 2,26
2013 29,5 6,2 9,7 12,9 16,1 19,5 23,3 28,3 35,1 45,9 97,6 15,8 41,7 2,17
2015 33,8 7,5 11,8 15,4 19,0 22,9 27,2 32,6 40,0 52,4 109,0 14,5 40,4 2,03
2017 38,9 9,0 13,7 17,8 21,7 26,0 31,0 37,1 45,8 59,9 127,0 14,1 40,5 2,04
2019 47,7 12,1 17,7 22,3 26,8 31,6 37,4 44,7 54,7 72,1 157,2 13,0 40,0 1,99
изменение,
разы 21,0 50,0 33,6 28,8 25,8 23,5 22,0 20,7 19,7 18,7 19,1 0,38 0,83 0,63
Источник:расчеты авторов по данным Росстата [4]
Пример. В разбиении населения &т/40 доходы в группе А принадлежат промежутку хе [х0,ф(0,4)], а доходы в группе В принадлежат промежутку хе [х0,ф(0,4), ф(0,9)]. Поэтому коэффициенты расслоения групп А и В при разбиении населения К]0/40 равны соответственно
^ = * и ^ = М (13)
К Мз
Построенные показатели, отражающие структуру неравенства населения по доходу, можно применять и при анализе неравенства населения по финансовым активам, заработной плате, недвижимости.
Применение подхода Пальмы к анализу динамики распределения заработной платы
Ниже обсуждается вопрос о делении населения в пропорции 40:50:10 для анализа дифференциации по доходу на конкретном примере анализа динамики распределения фонда заработной платы работников организаций Российской Федерации за 20-летний период 2000—2019 годов (по данным выборочных обследований организаций, без субъектов малого предпринимательства). В качестве исходной статистической информации использованы данные Федеральной службы государственной статистики (Росстата) о распределении заработной платы работников организаций Российской Федерации по 10-процентным группам в 2000—2019 годах [4], которые приведены в таблице 1.
Здесь ! — значения средней заработной платы в к-процентной группе работников (к = 1, 2, ..., 10, столбцы 3—12), приведенные для каждого года (столбец 1); ц — соответствующие значения средней заработной платы, рассчитанные для каждого года по формуле (4). В 13—15 столбцах таблицы 1 приведены значения трех показателей дифференциации работников по заработной плате (децильного коэффициента фондов К/10, индекса Джини 10, коэффициента Пальмы КР), рассчитанных соответственно по формулам (8)—(10).
Из таблицы 1 следует, что за 20-летний период среднее значение заработной платы увеличилось в 21 раз. При этом динамика всех показателей дифференциации говорит о снижении степени неравенства: децильный коэффициент фондов Щ уменьшился на 62% (столбец 13), индекс Джини 10 уменьшился на 17% (столбец 14), коэффициент Пальмы уменьшился на 37% (столбец 15).
Подход Пальмы к делению населения на три группы в пропорции 40:50:10 позволяет получить дополнительную информацию. Действительно, рассмотрим результаты расчетов показателей дифференциации работников организаций на основе данного соотношения (разбиение К10/41) и представленных в таблице 2. Здесь для каждого года (столбец 1) представлены значения приведенных уровней заработной платы в группах работников А, В, С и АВ (2—5 столбцы), коэффициентов расслоения групп А и В (6 и 7 столбцы) и обобщенного коэффициента фондов ОВ10/40 (столбец 8).
Таблица 2
Показатели дифференциации работников организаций Российской Федерации по заработной плате в 2000—2019 годах (разбиение пропорции 40:50:10)
1 2 3 4 5 6 7 8
Год А,, % А, % А, % АЛВ , % ^04 ^49 ОГ 10/40
2000 28,5 104,5 363,4 70,7 4,3 2,9 12,7
2001 26,5 101,1 388,9 67,9 4,4 3,1 14,7
2002 30,4 102,3 367,0 70,3 4,0 2,7 12,1
2003 29,6 103,2 365,9 70,5 3,8 2,8 12,4
2004 31,2 104,2 354,5 71,7 3,6 2,7 11,4
2005 32,4 104,8 346,8 72,6 3,6 2,6 10,7
2006 32,2 104,0 351,2 72,1 3,6 2,6 10,9
2007 34,1 103,7 345,1 72,8 3,3 2,5 10,1
2009 38,1 103,2 331,6 74,3 2,4 2,4 8,7
2011 37,2 103,0 336,2 73,8 2,6 2,4 9,0
2013 38,1 103,3 331,3 74,3 2,6 2,4 8,7
2015 39,8 103,7 322,5 75,3 2,5 2,3 8,1
2017 40,0 102,7 326,5 74,8 2,4 2,3 8,2
2019 41,4 100,9 329,9 74,5 2,2 2,3 8,0
изменение, разы 1,45 0,97 0,91 1,05 0,52 0,80 0,63
Источник:расчеты авторов по данным Росстата [4]
Динамика этих показателей дифференциации также свидетельствует о снижении степени неравенства: приведенный уровень заработной платы 40% работников с наименьшими заработками (группа А) увеличился на 45%, приведенный уровень заработной платы 50% работников со средними заработками (группа В) уменьшился на 3%, приведенный уровень заработной платы 10% работников с наибольшими заработками (группа С) уменьшился на 9%. Заметно сократились и значения коэффициентов расслоения групп А и В и обобщенного коэффициента фондов (на 48%, 20% и 37% соответственно).
Однако приведенный уровень заработной платы 90% работников (группа АВ, в которую входят все работники, за исключением 10% работников с наибольшими заработками) увеличился за 20 лет всего на 5%. И если в 2000 году средняя заработная плата 90% работников составляла 70,7% от средней заработной платы всех работников, то в апреле 2019 года этот показатель был равен 74,5%. При этом средняя заработная плата 40% работников с наименьшими заработками едва превысил 41% от значения средней заработной платы всех работников, оставаясь существенно ниже (в 8 раз) средней заработной платы 10% работников с наибольшими заработками. Такое изменение значений средней заработной платы в рассмотренных группах работников объясняется, во-пер-
вых, тем, что доля 40-процентной группы с наименьшими заработками хоть и увеличилась на 45%, тем не менее в 2019 году оставалась весьма низкой (16,6%); во-вторых, тем, что средняя заработная плата 50% работников со средним заработком, близким к общему среднему значению заработной платы (группа В), оставалась более чем в три раза меньше средней заработной платы 10% работников с наибольшими заработками. Изменение за 20-летний период времени долей общего фонда заработной платы, приходящихся на работников группы А и группы В, а также на обе эти группы, иллюстрируется на рисунке 2 (линии 1, 2 и 3 соответственно). Как видим, за последние 10 лет эти доли изменились весьма незначительно.
и 4
к -ф- * - - • - — « - - 3
-»- * ч -•- — * - - • - —* — 2 —
1
-»- < - * — — — _ -т - - -»---• Годы
2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 2018 2020
Рисунок 2. Изменение в 2000—2019 годах долей общего фонда заработной платы, приходащихсянаработниковгруппыА,группыВ,атакжетобе этигруппы (линии 1,2и3соответственно) Источник: расчеты авторов по данным Росстата [4]
В заключениеотметим, чтоиспользуемыестатистические данные подтверждают гипотезу Пальмы о том, что в случае разбиения населения на три группы в пропорции40:50:10средняя(50-процентная)группаполучаетпримернополо-вину общего дохода(в рассмотренном случае -половинуобщегофондазаработ-нойплаты).Использование показателейдифференциации «обобщенныйкоэф-фициент фондов»,«приведенныйуровеньдохода» и«коэффициентрасслоения» позволилополучить дополнительнуюинформацию,характеризующую изменение вовремениструктуры распределения общего фонда заработнойплатысреди работников Российской Федерации за 20-летний период 2000-2019 годов.
Литература
1. Айвазян С.А. Анализ качества и образа жизни населения (эконометри-ческий подход). М.: Наука,2012.402с.
2. Доклад о человеческом развитии 2016. Человеческое развитие для всех и каждого. Опубликовано для Программы развития Организа-цииОбъединенныхНаций (ПРООН).иЯЬ: ЬИр://Ьёг.ипёр.ощ/(дата
обращения: 15 июля 2019 года).
3. Лившиц В.Н. Бедность и неравенство денежных доходов населения в России и за рубежом: системный анализ некоторых важных фрагментов проблемы. М.: Институт экономики РАН, 2018. 292 с.
4. Сведения о распределении численности работников по размерам заработной платы за апрель 2019 года (статистический бюллетень). Федеральная служба государственной статистики (РОССТАТ), Главный межрегиональный центр (ГМЦ), 2019. URL: http://www.gks.ru/wps/ wcm/connect/rosstat_main/rosstat/ru/statistics/publications/catalog/ 11c49 80041c1bcbf9ee9fe27f9898572 (дата обращения: 15 июля 2019 года).
5. Стиглиц Дж. Цена неравенства. Чем расслоение общества грозит нашему будущему. Перевод с англ. М.: ЭКСМО, 2015. 512 с.
6. Шевяков А.Ю., Кирута А.Я. Неравенство, экономический рост и демография: неисследованные взаимосвязи. М.: Учреждение Российской акад. наук Ин-т соц.-эконом. проблем народонаселения РАН. М-сту-дия, 2009. 192 с.
7. Atkinson A., Bourguignon F. (eds) Handbook ofincome distribution, Handbook of Income Distribution, v.1., Elsevier North-Holland, Amsterdam, pp. 918, 38.
8. Palma, José Gabriel. Homogeneous middles vs. heterogeneous tails, and the end of the 'Inverted-U': the share of the rich is what it's all about. Cambridge Working Papers in Economics (CWPE) 1111. Cambridge University. Retrieved 19 March 2013. URL: http://www.econ.cam.ac.uk/research-files/ repec/cam/pdf/cwpe1111.pdf (дата обращения: 15 июля 2019 года).
References
1. Ayvazyan S.A. Analiz kachestva i obraza zhizni naseleniya (ekonometricheskiy podhod) [Analysis of the quality and lifestyle of the population (econometric approach)], Moscow: Nauka, 2012, p. 402 (in Russian).
2. Human development report 2016. Human development for everyone. Published for the United Nations development Programme (UNDP). Available at: http://hdr.undp.org/ (accessed 15 July 2019) (in Russian).
3. Livshits V.N. Bednost' i neravenstvo denezhnyh dohodov naseleniya v Rossii i za rubezhom: sistemnyy analiz nekotoryh vazhnyh fragmentov problemy [Poverty and inequality of monetary incomes of the population in Russia and abroad: system analysis of some important fragments of the problem], Moscow: Institute of Economics RAS, 2018, p. 292 (in Russian).
4. Data on the distribution of the number of employees by salary for April 2019 (statistical Bulletin). Federal state statistics service (ROSSTAT), Main interregional center (GMC), 2019. Available at: http://www.gks.ru/wps/wcm/con-nect/rosstat_main/rosstat/ru/statistics/publications/catalog/11c4980041c1b
cbf9ee9fe27f9898572 (accessed 15 July 2019) (in Russian).
5. Stiglic Dzh. Cena neravenstva. CHem rassloenie obshchestva grozit nashemu bu-dushchemu. The price of inequality [The stratification of society threatens our future], translated from English, Moscow: EKSMO, 2015, p. 512 (in Russian).
6. Shevyakov A.Yu., Kiruta A.Ya. Inequality, economic growth and demography: unexplored relationships. Moscow: Uchrezhdenie Rossiyskoy akad. nauk In-t soc.-ekonom. problem narodonaseleniya RAN [Establishment of the Russian Academy of Sciences. Sciences In-t soc.-econom. population problems of RAS], M-Studio, 2009, p. 192 (in Russian).
7. Atkinson A., Bourguignon F. (eds) Handbook of income distribution, Handbook of Income Distribution, v.1., Elsevier North-Holland, Amsterdam, pp. 918, 38.
8. Palma, José Gabriel. Homogeneous middles vs. heterogeneous tails, and the end of the 'Inverted-U': the share of the rich is what it's all about. Cambridge Working Papers in Economics (CWPE) 1111. Cambridge University. Retrieved 19 March 2013. Available at: http://www.econ.cam.ac.uk/research-files/ repec/cam/pdf/cwpe1111.pdf (accessed 15 July 2019).
