Использование интерактивной геометрической среды Geogebra при проблемном обучении на примере решения нелинейных систем уравнений с двумя переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

новая! образовательная i

политика!

1УДК 378.016:512 ББК 74.58

использование интерактивной геометрической среды geogebra при проблемном обучении на примере решения нелинейных систем уравнений с двумя переменными

Ю. В. Садовничий, Р. М. Туркменов

В данной статье представлен новый информационный подход к обучению решению нелинейных систем уравнений с двумя переменными. В качестве основного инструмента для построения процесса обучения в виде метода проблемного изложения, используется интерактивная геометрическая среда Geogebra. Исходя из этого подхода в статье представлены и реализованы, основные этапы поиска идеи и решения данных систем уравнений с помощью ИГС Geogebra. Также проведен анализ и осуществлен отбор изучаемого материала в строгом соответствии с требованиями ФГОС для средней (полной) школы при изучении предметной области «Математика и информатика» на профильном уровне. На основании этого анализа дана полная и исчерпывающая классификация всех возможных вариантов для составления рассматриваемых систем уравнений. Составлены примеры нелинейных систем уравнений с двумя неизвестными для иллюстрации всех возможных случаев.

Ключевые слова: метод проблемного обучения, профильное обучение, системы нелинейных уравнений, нестандартные уравнения, интерактивная геометрическая среда Geogebra.

THE usE oF iNTERAcTivE GEoMETRic ENviRoNMENT GEoGEBRA wHiLE problem-based TEACHiNG on the example of solving

nonunear systems of equations with two variables

Yu. V. Sadovnichiy, R. M. Turkmenov

The article presents a new information approach to teaching in solving nonlinear systems of equations with two variables. As the main tool for building the learning process in the form of a method of problem representation the interactive geometric environment Geogebra is used. Based on this approach, the article presents and implements the basic stages in the search of the ideas and solutions of these systems of equations using the GCI Geogebra. It also analyzes and selects the studied material in strict accordance with the requirements of the Federal State Standarts for secondary school in the study of the subject area of Mathematics and Informatics at the profile level. Based on this analysis full and exhaustive classification of all possible variants for making up the considered systems of equations is given. Examples of nonlinear systems of equations with two unknowns to illustrate all possible cases are given.

Keywords: method of problem-based training, specializes training, systems of nonlinear equations, non-standard equations , interactive geometrical environment Geogebra.

Решение систем уравнений, а особенно систем с двумя неизвестными, традиционно относится к одному из самых трудных разделов школьного курса алгебры. И если с простейшими системами линейных уравнений с двумя неизвестными неплохо справляется большинство школьников, то с нелинейными испытывают трудности даже те, кто изучает математику на профильном уровне. Напомним, основными методами при решении систем уравнений являются:

• метод подстановки;

• метод алгебраического сложения;

е

• метод введения новых переменных;

• функционально-графический метод.

Но на различных экзаменах и олимпиадах порой попадаются системы, в которых ни один из вышеперечисленных методов не работает. Возникает вопрос, что в таком случае делать школьникам?

Рассмотрим одну из разновидностей таких систем:

(А^х2 + Вгху + С1У2 + + Е1У + ^ = 0;

2х2 + В2ху + С2у2 + 02х + Е2у + Р2 = 0. ^

Как показывает наш опыт проведения годичного элективного курса «Подготовка к ЕГЭ по математике» для учащихся 11-х классов физико-математического профиля, при изучении темы «Системы уравнений с двумя неизвестными» наибольшую трудность вызывают те случаи системы (1), когда ни один из коэффициентов в уравнениях системы не равен нулю.

Каждое из уравнений, входящих в эту систему, является общим уравнением кривой второго порядка. Однако, согласно требованиям ФГОС по предметной области «Математика и информатика», в школьную программу не включено их изучение даже на профильном уровне. Исходя из этих требований авторы при составлении подобных систем имеют право работать только с вырожденными случаями: прямыми и точками. Следовательно, в системах такого вида все уравнения либо раскладываются на линейные множители, либо приводятся к сумме полных квадратов равной нулю.

Стандартным и, пожалуй, единственным методом решения системы (1), который дается в большинстве учебных пособий, является метод решения уравнений этой системы как квадратных относительно одной из неизвестных х или у.

К сожалению, изложение этого метода в учебных пособиях носит фрагментарный характер, то есть показывается только один пример и способ его решения. Совсем ничего не говорится о предпосылках к такому решению, о признаках по которым можно определить, что данное уравнение решается именно таким способом, и о том, каким может быть «дискриминант». Результатом такой подачи материала является то, что у учащихся остается масса вопросов, связанных с таким решением.

В данной статье предлагается с помощью средств ИКТ построить изложение метода решения системы (1) в виде проблемного обучения.

В качестве основного инструмента при построении изложения используется интерактивная геометрическая среда GeoGebra.

Идея построения поиска решения системы базируется на переводе уравнений входящих в систему в графики функций и их дальнейший анализ.

Методическая задача состоит в том, чтобы с помощью графической иллюстрации подвести учащихся к решению подобных систем как квадратных относительно одной из переменных. Таким образом, чтобы идея введения «дискриминанта» стала понятной.

Итак, чтобы оставаться в рамках школьной программы, необходимо, рассматривать только те случаи, при которых каждым уравнением системы (1) задается:

• точка (вырожденный эллипс);

• две пересекающиеся прямые (вырожденная гипербола);

• две совпадающие прямые (вырожденная парабола);

• две параллельные прямые (вырожденная парабола).

Таких вариантов с конечным числом решений существует всего 10 (без учета вариативности пересечений прямых и расположений точек) (рис. 1).

Теперь рассмотрим основные этапы поиска идеи решения системы вида (1).

Основными этапами поиска идеи решения являются:

1. Запись в линейном виде в строке ввода каждого из уравнений системы вида (1).

2. Анализ полученного изображения.

3. Выдвижение гипотезы способа решения исходных уравнений.

4. Решение исходных уравнений как квадратных относительно одной из переменных.

Рассмотрим эти этапы поиска решений системы на конкретных примерах.

I. Решить систему уравнений:

Г.х2 4 Зху 4 2у*4 4*4 5у4 3 = 0; \.6х2 4 7ху 4 2у2 4 2х 4 2у - 4 = 0.

Этапы поиска решений системы:

!) А =

Ь1 =^2 5)

а 1 = а2 Ь1 = Ь2 6)

а2.

Ь^ Ь2

Ь1 Ь

(2)

Ь1,

•а1

,Ь2

а 2.

10)

Рис. 1. Варианты решений системы (1)

(2'

1. Записываем в строку ввода первое и второе уравнения системы (2):

хл2 + 3х * у 4 2ул2 + 4х 4 5у 4 3 = 0 и 6хл2 4 7х * у 4 2ул2 4 2х 4 2у - 4 = 0.

2. Проводим анализ полученного изображения (рис. 2).

2.1. Каждое из уравнений системы (2) задает по две пересекающиеся прямые (вырожденные гиперболы).

2.2. Соответствующие прямые пересекаются в четырех точках, следовательно, система имеет четыре корня.

2.3. Так как уравнение прямой задается каноническим уравнением ах 4 Ъу 4 с — 0, то вместо каждого уравнения системы можно записать произведения вида:

|(Я|1 + Ьуу 4 с,)(и21 + Ь2у 4 с2} = 0;

1(о3х 4 Ь3зг 4- с3)(д4ж 4- Ь4у 4 с4) = 0.

3. Актуализируем внимание учащихся на проблеме разложения исходных уравнений на линейные множители.

4. Предлагаем учащимся провести аналогию с разложение на множители квадратного трехчлена. На данном этапе акцентируем внимание учащихся на связи между данной темой и темой «Квадратные уравнения».

5. Решаем каждое из уравнений системы как квадратное относительно одной из переменных. Если коэффициент при х2 или у" равен единице, то уравнение следует решить и по теореме Виета.

Решаем первое уравнение системы:

Рис. 2. Чертеж к системе (2)

л2 4 Зху 4 2у2 4 4х 4 5у 4 3 = 0 ж2 4 (Зу 4 4}* 4 2у2 4 5у 4 3 = 0. Находим дискриминант:

О = (Зу 4 4У - 4(2у2 4 5у 4 3} = у2 4 4у 4 4 = (у 4 2}г. Находим корни уравнения:

-(Зу4 4)4 У(у4 2);

х =

X

_ -(Зу4 4)- У(у4 2); 2

х = —у — 1 И = —2у — 3

х + у41 = 0 Ье 4 2у 4 3 = 0.

Решаем по теореме Виета:

, . „ (х1 + х2 = -Зу - 4

х2 4 (Зу 4 4>х 4 2у2 4 5у 4 3 = 0 <=> _ _

2у* 4 5у 4 3

а 1

2

1 а2

2)

3)

4)

а 1 а 2

а1

7)

Ь

9)

8)

(х1 + х2 = —3 у — 4 = —у — 1

и± ■ = (у + 1)С2у + з) ^ и2 = 2у ~ 3-

Аналогично решаем второе уравнением системы:

6х2 + 1ху+2у2 + 2х + 2у - 4 = О 6х2 + (7у + 2)х + 2у2 + 2у - 4 = 0. Находим дискриминант:

О = (7у + 2} 2 - 24(2у2 + 2у - 4) = у2 - 20у + 100 = (у - 10}2. Находим корни уравнения:

Таким образом, исходная система (2) равносильна:

(х2 + Зху + 2у2 + 4х + 5у + 3 = 0 1б*2 + 7ху + 2у2 + 2х + 2у - 4 = 0

^0 + у + 1)(х + 2у + 3) = 0 {(_2х + у + 2)СЗх + 2у - 2) = 0

II. Решить систему уравнений:

Этапы поиска решений системы:

1. Записываем в строку ввода первое и второе уравнения системы (3): 6хл2 - 12х * у + бул2 -5;е + 5у-1 = 0и 9хл2 - Зх * у - 2ул2 - 12х + 11у

2. Проводим анализ полученного изображения (рис. 3).

2.1. Первое уравнение системы (3) задает две параллельные прямые (вырожденная парабола), а второе - по две пересекающиеся прямые (вырожденная гипербола).

2.2. Соответствующие прямые пересекаются в четырех точках, следовательно, система имеет четыре корня.

2.3. Так как первое уравнение системы задает две параллельные прямые, а второе - две пересекающиеся, то вместо каждого уравнения системы можно записать:

(3)

.

Рис. 3. Чертеж к системе (3)

3. Предлагаем учащимся провести сравнение с предыдущим разложением уравнений на множители. На данном

этапе задаем вопрос о том, какое влияние на дискриминант оказывает тот факт, что две прямые параллельны.

4. Решаем каждое из уравнений системы как квадратное относительно одной из переменных.

Решаем первое уравнение системы:

6х2 — 12ху бу2 - 5х + 5у- 1 = 0 <=> бу2 - (12х - 5)у + 6х2 - 5х - 1 = 0.

Находим дискриминант:

О = { 12х- 5}2 - 24(бх2 - 5х - 1} = 49.

После нахождения дискриминанта необходимо обратить внимание учащихся на то, что полученный дискриминант является числом без переменной.

Находим корни уравнения:

Так как в первом уравнении часть а^х + Ъгу одинаковая для обеих скобок, это же уравнение кно решить с помощью введения новой переменной:

6х2 - 12ху + 6у2 - 5х + 5у - 1 = 0 б(х2 - 2ху + у2) - 5(х - у) - 1 = 0

Решаем и второе уравнение системы (3):

9х2- Зху-2у2 - 12х+ 11 у - 5 = 0 2у2 + (Зх - 11)у- 9х2 + 12х + 5 = 0. Находим дискриминант:

D = (Зх II}2 + 3(9х2 - 12х — S) = Six2 - 1б2х + 31 = (9х - 9)2. Находим корни уравнения:

Таким образом, исходная система (3) равносильна:

\6х - 12ху + бу" - 5х + Sy - 1 = 0

,9х'

3ху - 2у2 - 12х + 11 у - 5

= 0 Г(бх -= 0 ^ l(3jt -

(бх - бу + 1}(х - у - 1) = 0

(Зх - 2у + 1)(3х + у - 5) = 0

/2 1\ /29 11\ /3 1\

III. Решить систему уравнений:

4х2 - Sxy + 4у2 - 12х + 12у + 9 = 0; 2xz -+ ху - у2 - х + 2у - 1 = 0.

(4)

Этапы поиска решений системы:

1. Записываем в строку ввода первое и второе уравнения системы (4):

4хл2 - Зх * у 4- 4ул2 - 12х 4 12у + 9 = 0 и 2хл2 4 х * у - ул2 - х 4 2у - 1 = 0.

2. Проводим анализ полученного изображения (рис. 4).

2.1. Первое уравнение системы (4) задает две совпадающие прямые (вырожденная парабола), а второе по две пересекающиеся прямые (вырожденная гипербола).

2.2. Соответствующие прямые пересекаются в двух точках, следовательно, система имеет два корня.

2.3. Так как первое уравнение системы задает две совпадающие прямые, а второе две пересекающиеся, то вместо каждого уравнения системы можно записать:

Рис. 4. Чертеж к системе (4)

(44

3. Предлагаем учащимся провести сравнение с предыдущими разложениями уравнений на множители. На данном этапе задаем вопрос о том, какое влиянии на дискриминант оказывает тот факт, что две прямые совпадают.

4. Решаем каждое из уравнений системы как квадратное относительно одной из переменных.

Решаем первое уравнение системы:

4х2 - Зху+ 4у2 - 12х 4 12у 4 9 = 0 <=> 4у2 4 4(3 - 2х)у 4 4х2 - 12х 4 9 = 0. Находим дискриминант:

— = 4(3- 2х)г- 4{4х2- 12x4 9} = 4((2х-3)2 - (2х - З)2) = 0. 4

После нахождения дискриминанта необходимо обратить внимание учащихся на то, что полученный дискриминант является нулем. Находим корни уравнения:

4х - 6

у = —-— 2х - 2у - 3 = 0. Решаем и второе уравнение системы (4):

2х2 + ху-у* -х + 2у- 1 = 0 2х2 + (у- 1)х-у* + 2у- 1 = 0. Находим дискриминант:

О = (у - 1)г 4 8(уг - 2у 4 1} = 9(у — 1)г. Находим корни уравнения:

Таким образом, исходная система (4) равносильна:

IV. Решить систему уравнений:

[5х2 + 2 ху-\-у2 + 14ж -2 у+ 17 = 0;

2уг + 14х- 9у- 5 = 0.

(5)

Этапы поиска решений системы:

1. Записываем в строку ввода первое и второе уравнения системы (5):

5хл2 + 2х*у + ул 2 + 14х - 2у + 17 = 0 и Зхл2 - 5х * у + 2ул2 + 14я - 9у - 5 = 0.

2. Проводим анализ полученного изображения (рис. 5).

2.1. Первое уравнение системы (5) задает точку (вырожденный эллипс), а второе - две пересекающиеся прямые (вырожденная гипербола).

2.2. Точка лежит на одной из двух прямых, следовательно, система имеет один корень.

2.3. Так как первое уравнение системы задает точку, а второе две пересекающиеся прямые, то вместо каждого уравнения системы можно записать:

Рис. 5. Чертеж к системе (5)

(а±х + с^2 + (а2у 4- сг}2 = 0;

(О:

(аэх + Ьау + с3)(а4ж + Ь4у + с4) = 0.

(54

3. Предлагаем учащимся провести сравнение с предыдущими разложениями на множители уравнений. На данном этапе задаем вопрос о том, какое влиянии на дискриминант оказывает тот факт, что уравнение задает точку.

4. Решаем каждое из уравнений системы как квадратное относительно одной из переменных. Решаем первое уравнение системы:

5х2 + 2ху + у2 + 14х- 2у + 17 = 0 5х2 + 2(_у + 7)х+у* - 2у + 17 = 0.

Находим дискриминант:

Т=0 + 7)2

5 (у2 - 2у + 17} = —4у2 + 24у- 36 = -4(у - З}2.

Получается, что дискриминант является неотрицательным только при у = 3. Находим корень уравнения:

"Су + 7}+ ^-4(у-3}2

5

[у = 3

Решаем и второе уравнение системы: Зх2 - Вху -Ь 2у2 + 14ж - 9у -5=0 3% Находим дискриминант: О = (5у — 14}2 - 12(2у2 - 9у - 5}

х = —2;

у = 3. 2 - (5у - 14}ж + 2у:

9у — 5 = 0.

у2 - 32у + 256 = (у - 16}2.

_ 5у- 14 +УО- 16}а

1 -5

5у - 14 - У(у - 16}2

х

х — у — Ь 2 -

* = 3У + 3

х - у 4- 5 = 0 13л; - 2у - 1 = 0.

Проводим проверку, является ли пара (—2; 3} общим решением системы (5):

Ответ: (—2; 3}.

Замечание. Во всех рассмотренных системах под номерами (2"), (3"), (4"), (5") коэффициенты а„ 0, £>„ О, Ф 0, где п = 1,2,3,4.

После решения всех вышеперечисленных систем уравнений проводим обобщающий анализ зависимости графиков от дискриминанта уравнений входящих в эти системы.

Получаем следующие возможные вариации:

1. Если О = а(у — Ь}2 или О = а(х. — Ь)2, при а > 0, то уравнение, входящее в систему, задает две пересекающиеся прямые.

2. Если О = а, при а > 0, то уравнение, входящее в систему, задает две параллельные пря-

3. Если О = 0, то уравнение, входящее в систему, задает две совпадающие прямые.

4. Если О = я (у — Ъ)2 или О = а(х — Ь')2 при а < 0, то уравнение, входящее в систему, за-

Остальные случаи рекомендуется дать учащимся для самостоятельного решения в качестве домашней контрольной работы: 1. Решить систему уравнений:

2. Решить систему уравнений:

(5х2 - 2ху + 2у2 - 6х - 6у + 9 = 0; 19х: + 12ху 4 4у2 - 42х - 2Зу 4 49 = О

Ответ: (1;2).

3. Решить систему уравнений:

дает точку.

20х2 4 24ху 4 Зу2 - 32х - 20у 4 13 = 0; Зх2 4 Юху 4 Ну2 - Зх - 16у 4 6 = 0.

4. Решить систему уравнений:

4 2 , , 9 1 * 3 л,

-х +ху + — у —~х —~у+ 1 = 0; 1вх2 4 48ху 4 36у2 - 40х - 60у 4 25 = 0.

16

5. Решить систему уравнений:

6. Решить систему уравнений:

Г2х2 + 4ху + 2у2 + х+ у-3 = 0; Ux2 + 12ху+9у2 - 10х - 15у - 14 = О

Ответ: (-4; ( - ^.: 1), (5; -4), ( - Щ; 10 )

список источников и литературы

1. Задачи по математике. Уравнения и неравенства: справ. пособие [Текст] / В. В. Вавилов, И. И. Мельников, С. Н. Олехник, П. И. Пасиченко. - М.: Наука: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 240 с.

2. Садовничий, Ю. В. Аналитическая геометрия [Текст] / Ю. В. Садовничий, В. В. Федорчук. - М.: Экзамен, 2009. - 350 с.

3. Шабунин, М. И. Математика. Алгебра. Начала анализа. Профильный уровень. Учебник для 10 класса [Текст] / М. И. Шабунин, А. А. Прокофьев. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. -424 с.: ил.

4. Приказ Министерства образования и науки Российской федерации от 17 мая 2012 г. № 413 г. Москва «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования» [Текст] // Российская газета. Федеральный вып. - № 5812 (от 21.07.2012).

references

1. Vavilov V. V., Melnikov I. I., Olekhnik S. N., Pasichenko P. I. Zadachi po matematike. Uravneniya i neravenstva: sprav. posobie. Moscow: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1987. 240 p.

2. Sadovnichiy Yu. V., Fedorchuk V. V. Analiticheskaya geometriya. Moscow: Ekzamen, 2009. 350 p.

3. Shabunin M. I., Prokofyev A. A. Matematika. Algebra. Nachala analiza. Profilnyy uroven. Uchebnik dlya 10 klassa. M.: BINOM. Laboratoriya znaniy, 2007. 424 p.: il.

4. Prikaz Ministerstva obrazovaniya i nauki Rossiyskoy federatsii ot 17.05.2012. No. 413 Moscow "Ob utverzhdenii federalnogo gosudarstvennogo obrazovatelnogo standarta srednego (polnogo) obshchego obrazovaniya". Rossiyskaya gazeta. Federalnyy vyp. No. 5812 (21.07.2012).

садовничий Юрий викторович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова e-mail: sadovnichiy.yu@gmail.com

Sadovnichiy Yury V., scD in physics and Mathematics, professor, chairperson, General Topology and Geometry Department, mechanics and mathematics Faculty , Lomonosov Moscow state university e-mail: sadovnichiy.yu@gmail.com

туркменов роберт муратович, аспирант факультета педагогического образования Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. e-mail: mathrobert@mail.ru

Turkmenov Robert M., post-graduate student, pedagogy department, lomonosov Moscow state university e-mail: mathrobert@mail.ru