Использование фрактальной размерности при прогнозировании поведения сложных нелинейных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ПРИ ПРОГНОЗИРОВАНИИ ПОВЕДЕНИЯ СЛОЖНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

В. И. СУМИН, Т. Е. СМОЛЕНЦЕВА

В статье проводится анализ использования фрактальной размерности, исследуется поведение сложных динамических систем с определением критерия нестабильности за счет учета значения фрактальной размерности аттрактора.

Ключевые слова: хаотические процессы, фрактальная размерность аттрактора, детерминированный хаос, временной ряд, динамическая размерность аттрактора.

Управление нелинейными системами является одной из сложнейших проблем и для таких систем не существует универсальных методов синтеза, что не мешает решать прикладные задачи, в том числе и задачи обучения.

В связи с этим решение частных задач, связанных с управлением нелинейными системами, достаточно востребовано, так как многие модели реальных объектов можно свести к той или иной частной структуре.

Для моделирования сложной социальной системы необходимо использовать, в основном, нелинейные системы, с учетом ее стохастичности.

Для разработки таких моделей необходимо учитывать динамику изменения состояния объекта управления, что не всегда возможно учитывать для человека и это не всегда адекватно реальному изменению состояния объекта и начальной плотности вероятности из-за начальной неопределенности, ведущей к невозможности определения вида плотности распределения без принятия дополнительных допущений.

Для системы обучения, как для всякой сложной системы, прогнозирование ее параметров является трудно выполнимой задачей из-за большого объема информации циркулирующей в ней и множества случайных факторов, влияющих на процесс функционирования.

Такое поведение динамических систем соответствует состоянию хаоса, самоорганизованной критичности, бифуркации.

Прогнозирование является сложной задачей описания функционирования нелинейных динамических систем из-за нелинейности и локальной неустойчивости динамики.

В системах с хаотическими процессами небольшая начальная погрешность изменяется по времени экспоненциально, что не позволяет проводить долгосрочный прогноз.

Хаотическое поведение сложных систем совпадает по своим закономерностям в различных временных масштабах с поведением фракталов в различных пространственных масштабах. В сложных системах, также как и во фракталах, характерные распределения неопределенности растут медленнее - по степенному закону, а не по экспоненциальному [1].

Сложные системы функционирующие как фракталы развиваются на грани хаоса и их функционирование описывается детерминированным хаосом и для них важно долгосрочное прогнозирование. В полностью хаотических системах прогнозирование возможно в интервале времени, зависящем от К-энтропии Колмогорова:

К = - Ііт Ііт Ііт — 2 Р ■ ІпР■ ■ (1)

Т —— 01 — 0 N — <Х>Т ; ; і0 • • лы і0 • • ЛЫ

'0 • •

Изучение поведения сложных динамических систем на основе изучения фрактальных размерностей основывается на определении системных показателей такой системы, что характеризуется хаотическим и естественно случайным поведением даже хорошо определенной детерминистической модели [2].

Поведения сложных динамических систем на основе изучения фрактальных размерностей (размерность аттрактора меньше размерности фазового пространства) во времени разбивается на два основных состояния: 1) движение к аттрактору;

2) движение на аттракторе (представляет собой конечномерное пространство в фазовом пространстве системы).

Такой подход к анализу таких сложных систем показал, что они не будут находиться в равновесном состоянии, а будут постоянно переходить из одного метастабильного состояния к другому даже при воздействии на них малого возмущения. Полное описание динамики системы на аттракторе возможно только в том случае, когда количество переменных равняется размерности аттрактора и в этом случае характеристикой метастабильности состояния является фрактальная размерность аттрактора [3].

Фрактальная размерность или размерности подобия определяется следующим образом [4]:

d =

logN ^ -г

(2)

где: N - число равных подобъектов; г - коэффициент подобия.

Уточним проблему, связанную с прогнозированием значений параметров сложной нелинейной динамической системы с использованием динамической размерности аттрактора, связанные с показателями Ляпунова, вычисляемые на основе следующих формул:

1) формула Каплана - Йорка

d^ = ] + 2 k = 1

Л.

Х] +1

(3)

где /определяются в соответствии с условием

Л + X2 + . . • + X. > 0, а Л + Л + . . . + X. + Л+1 < 0 ;

2) формула Янга

k = 1

(4)

где: т - число неотрицательных показателей Ляпунова;

3) формула Мори

/(3)_

2 Л ^ k = 1 ч

2 Л"

k = 1

(5)

где: т- число неотрицательных;

р - число положительных;

q - число отрицательных показателей Ляпунова.

Основанием логарифма может быть любое положительное основание, отличное от единицы. Аналогом размерности (2) в прикладных задачах используется размерность, определяемая следующим образом:

logN (,-;) є — 0 log є

d = - Ііт

(6)

где: Ще) - минимальное число шаров радиуса; е- радиус необходимый для покрытия множества А.

Поведение сложной системы, с использованием терминов фрактальной геометрии, можно описать ее уравнениями Фокерра-Планка-Колмо-горова (7) с линейной относительно искомой функции правой частью и с критериями нестабильности:

^=- £ МрИ+

; = 1 д Х-1 і і = 1 і

п

2

д

2

І П

2 ; = 1 ; "= 1 дх ■дх ■ I =1 ] =1 і ]

(7)

а.. (,х )р((, х) і]

Ііт Б . = ]

2 < dн < 3 — /

-13 - d

Н

1,5 < dH < 2 — /

-I d -1

Н

dн = 1,5

Г

2 0,5

(8)

1 < dн < 1,5 — /

-15 - 3d

Н

0 < dн < 1 — /

-11 - d

Н

Из (8) следует, что фрактал с размерностью, находящейся в интервалах:

2 < ён < 3; 1,5 < ён < 2; 1 < ён < 1,5; 0 < ён < 1

соответствует фликкер-шуму, следовательно, в системах с такой размерностью следует ожидать появления феномена самоорганизованной критичности.

Кроме того, научные исследования динамических систем стали проводится в том случае, когда известен только вид временных рядов наблюдений, но неизвестно формализованное описание функционирование такой сложной системы. Тогда размерность аттракторов можно вычислять, рассматривая временные ряды различных параметров, характеризующих систему используя показатели Ляпунова или К-энтропию Колмогорова.

Для того, чтобы определить размерность аттракторов, используя К-энтропию Колмогорова необходимо базироваться на следующих гипотезах:

1. Динамическую систему можно описать в виде временного ряда.

2. Глобальный аттрактор присутствует в динамической системе.

3. В момент измерений система уже переходит из одного состояния в другое на аттракторе.

Основываясь на вышеизложенном, можно сделать следующее заключение, что, используя методы вычисления фрактальной размерности, можно прогнозировать поведение сложных нелинейных систем с определением критерия нестабильности за счет учета значения фрактальной размерности аттрактора (переход системы в состояние детерминированного хаоса) иначе система считается стабильно устойчивой.

Литература

1. Зельдович Я. Б., Соколов Д. Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика // УФН. 1985. № 3. С. 493-506.

2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М., 2002.

3. Ханин К. М. Фракталы // Физическая энциклопедия. М., 1998. Т. 5.

4. Юргенс Х., Пайтген Х.О., Заупе Д. Язык фракталов // В мире науки. 1990. № 10. С. 36-44.

* * *

USE OF FRACTAL DIMENSIONALITY WHEN PREDICTING CONDUCT OF COMPLEX NONLINEAR SYSTEMS

V. I. Sumin, T. E. Smolentseva

This paper analyzes the use of fractal dimensionality, and studies the conduct of complex dynamic systems, defining the criterion of instability by means of considering a value of the fractal dimensionelity of an attractor.

Key words: chaotic processes, fractal dimensionelity of attractor, determined chaos, time series, dynamic dimensionelity of attractor.