CC BY
3ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫЕ
ТЕХНОЛОГИИ INFORMATION-COMMUNICATION TECHNOLOGIES
Научная статья УДК 004.021:519.177 doi:10.24151/1561-5405-2023-28-5-659-669 EDN: LTDFVW
Использование (0, ц)-свернутого произведения многомерных матриц для решения задач теории графов
А. И. Макаров, В. И. Мунерман
Смоленский государственный университет, г. Смоленск, Россия al.makarov8@yandex.ru
Аннотация. Решения прикладных задач теории графов применяются в микроэлектронике, логистике, при проектировании систем высокой доступности и компьютерных сетей. Однако существующие решения имеют недостаточную масштабируемость, вследствие чего применяются только для узких вариаций задач: поиска кратчайшего пути из одной вершины в другую, определения существования такого пути в целом, определения связности отдельной конкретной группы вершин. В работе представлен метод решения нескольких прикладных задач теории графов, основанный на алгебре многомерных матриц. Предлагаемый метод рассмотрен в сравнении с классическими эвристическими методами. Показана возможность получения решения задач, развернутого на все вершины графа и их комбинации, в отличие от заранее выбранных в классическом варианте. Описанный метод, а именно (0, ц)-свернутое произведение матриц, может использоваться для решения задачи поиска пересечения в кликах, определения достижимости вершин в графе и числа комбинаций всех возможных клик в графе, а также для проведения проверки, является ли граф деревом.
Ключевые слова: теория графов, многомерные матрицы, клика, дерево графа
Для цитирования: Макаров А. И., Мунерман В. И. Использование (0, ^-свернутого произведения многомерных матриц для решения задач теории графов // Изв. вузов. Электроника. 2023. Т. 28. № 5. С. 659-669. https://doi.org/10.24151/ 1561-5405-2023-28-5-659-669. - EDN: LTDFVW.
© А. И. Макаров, В. И. Мунерман, 2023
Original article
Application of (0, ц) convoluted product of multidimensional matrices for graph theory problems solving
A. I. Makarov, V. I. Munerman
Smolensk State University, Smolensk, Russia al.makarov8@yandex.ru
Abstract. The solutions of applied graph-theory problems are used in microelectronics, logistics, and design of highly available systems and computer networks. However, existing solutions have poor scalability and thereby are only applied to narrow variations of problems: shortest path search from one vertex to another, determining of such path availability in general, determining of connectivity of specific separated group of vertices. In this work, a problem-solving procedure for several applied problems of graph theory based on the algebra of multidimensional matrices is presented. The procedure is considered in comparison with classical heuristic methods. The availability of problem solution related to all vertices of the graph and their combinations, unlike those previously selected in the classical methods, has been demonstrated. The proposed procedure, namely the (0, ц) convoluted product of matrices, can be applied for solving problem of finding intersections in cliques, determining the reachability of vertices in the graph and the number of combinations of all possible cliques in the graph, as well as for checking whether the graph is a tree.
Keywords: graph theory, multidimensional matrices, clique, graph tree
For citation: Makarov A. I., Munerman V. I. Application of (0, ц) convoluted product of multidimensional matrices for graph theory problems solving. Proc. Univ. Electronics•, 2023, vol. 28, no. 5, pp. 659-669. https://doi.org/ 10.24151/1561-5405-2023-28-5659-669. - EDN: LTDFVW.
Введение. К задачам теории графов относятся, например, раскраска графа, которая отвечает за разделение множества на группы. Такое разделение используется в задачах проектирования - от распределения рабочих смен и занятий в университете до расстановки вышек сотовой связи в мегаполисах. Задача поиска клики, или полных подграфов, менее известная, но не менее используемая, так как под кликой (множество вершин графа, где каждая связана с каждой) может пониматься и множество узлов печатной платы, и множество людей для построения системы рекомендаций, и любое другое связанное между собой множество. Поиск путей в графе является ключевым алгоритмом для любых навигационных систем. Для их решения найдено множество эвристических алгоритмов, дающих точные или приблизительные ответы за удовлетворительное время. Однако эти алгоритмы подходят только для части задачи: ищут одно разбиение на группы, не учитывая любые другие; находят одну из самых больших клик, игнорируя любые меньшие; осуществляют поиск кратчайшего пути между вершинами, но он не сообщает кратчайшего пути из каждой вершины в каждую. Существует алгоритм, проверяющий, достижима ли одна вершина из другой, но он не проверяет граф на связность и т. д. Применяя алгебру многомерных матриц, можно получить решения различных задач
в общем виде, а не для конкретных частей графа. Матрица - одно из стандартных представлений данных о графе, поэтому можно считать полным соответствие модели данных модели вычислений [1].
Основные понятия алгебры многомерных матриц. Определение многомерной матрицы и операции (А,, д)-свернутого произведения многомерных матриц приведено в том виде, в каком оно дано в теории многомерных матриц [2]. Сделаем некоторые расширения и уточнения, ориентированные на реализацию алгоритмов построения маршрутов в графе и параллельную их реализацию.
Многомерная матрица определяется как система (и1х...х пр) элементов А ' (г'а = 1' ...' п«, а = 1, . .,р), расположенных в точкахр-мерного пространства, определяемых координатами /1, ..., /р, и обозначается А = ак { . В работе [3] показано, что
элементы матриц могут быть произвольных типов. К ним предъявляется единственное требование: в типе должны быть определены две бинарные операции, одна из которых трактуется как аддитивная, а другая - как мультипликативная.
Для решения поставленной задачи рассмотрим частный случай операции умножения многомерных матриц [4, 5]. Пусть даны р-мерная матрица А =
а.
и ^-мерная
матрица В = ^ 1 . Совокупности индексов \,..., 1р и \,..., можно разбить на четыре
группы, содержащие соответственно к, А, ^ и V индексов (к, А, д, V > 0). Причем к+А+д = р, а А+д^ = q. Разбиение порождает четыре группы индексов: / = (/,..., /к), ^ = (5, ..., ), с = (с,..., с ) и т = (щ,..., щ). Индексы разбиений ^ и c принадлежат обеим матрицам. Тогда матрицы A и B можно представить в виде А = 1|аЬс|| и В = ||ЪСИ!||.
Очевидно, что если индексу Sy (су) соответствуют индекс iа в матрице A и индекс /р в матрице В, то щ = ^ . Индексы разбиения с называются кэлиевыми, индексы разбиения s - скоттовыми, а индексы разбиения I, так же как и индексы разбиения т, - свободными.
Матрица С = ||СЬиг||, элементы которой вычисляются по формуле с&и! а&с х Ъпст ,
( с)
называется (А, д)-свернутым произведением матриц А и В и обозначается А д (А х В).
Из определения следует, что при различных сочетаниях параметров А и д результат произведения матриц размерностей р и q может иметь размерность от нуля до р + q' т. е. от скаляра до декартова произведения множеств элементов обеих матриц [6].
Анализ задач на графах с использованием многомерных матриц. При проектировании вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей важную роль играет грамотное распределение нагрузки. Для одних задач это может быть неравномерное распределение (когда отдельные части системы более производительны и получают большую нагрузку), для других - равномерное (когда предполагается, что все элементы системы равнозначны и нагрузка распределяется поровну).
В приборостроении большое значение имеют размерные цепи, необходимые для проектирования деталей и определения технологического процесса их производства [7, 8]. Без автоматизации анализа размерных цепей точность вычислений зависит от способности технолога удержать в уме все детали и все связи между ними. Но если узлы системы или детали имеют между собой определенные связи, влияющие на производительность или доступность для получения отдельных задач, то такие подходы неэффективны.
В данных случаях рассматриваемые узлы укрупняются до подсистем / блоков. Они могут быть разного размера, а также разной связности как внутри подсистемы, так и вне ее. Наиболее часто встречающиеся подсистемы представляют собой полностью связанные группы узлов, имеющие неполные связи с другими группами. Под неполной связью понимается отсутствие связи хотя бы у одной пары вершин, принадлежащих разным группам. Однако разбиение на полностью связанные подсистемы может произойти так, что у двух и более подсистем будет общая часть узлов, что создаст сложности при распределении нагрузки в системе. Для исключения таких случаев следует для всех возможных разбиений проверять наличие пересечений у подсистем.
Другим важным моментом, который необходимо учитывать при проектировании, является связность графа - возможность из любой его вершины достигнуть любой другой его вершины, передвигаясь по ребрам графа. В электронике это соответствует «цельности» изготавливаемого устройства, чтобы никакой его элемент или узел не был изолированным.
С помощью матричного способа представления графа возможно хранение информации обо всех возможных разбиениях. Матрица смежности графа G, представляющая собой двумерную матрицу размера п х п, является также матрицей, содержащей информацию обо всех кликах размера 2. При этом на главной диагонали той части матрицы, где равные значения индексов, хранится информация обо всех кликах размера 1 -вершинах с петлями [9-11].
Задача 1. Поиск пересекающихся клик в графе. На рис. 1 изображен граф с матрицей смежности G:
G =
(1 1 000 01
1 1 111 1
0 1 111 0
0 1 111 0
0 1 111 1
v 0 1 0 0 1 1,
Требуется определить все клики в графе и сохранить данные для обработки с помощью вычислительной техники в дальнейшем.
Существуют эвристические алгоритмы поиска клики наибольшего размера в графе. Однако они не дают точного ответа относительно существования других клик такого же размера в графе, а также существования клик меньшего размера. Помимо этого эвристические алгоритмы требуют искусственных приемов для распараллеливания, без которого невозможно получение эффективной скорости выполнения анализа в современных системах с большими объемами данных, в то время как распараллеливание многомерных матриц выполняется стандартными алгоритмами Кэннона или Фокса. Так как задача поиска клик является КР-полной, ограничимся предположением, что существует возможность поиска всех клик графа с помощью алгебры многомерных матриц [12].
Каждое ребро данного графа является кликой размера 2. Кликой размера 3 является, например, подграф, состоящий из вершин 2, 5, 6, образующих на рисунке треугольник, кликой размера 4 - подграф из вершин 2, 3, 4, 5. Клик большего размера в данном графе не существует.
^-мерная матрица смежности - обобщение данной формы записи. Элемент с индексами /'1, /2, •••, ¿к содержит информацию о том, является ли множество вершин V , V , ..., V кликой. Важно отметить, что в случае равенства отдельных индексов
размерность клики становится меньше, а значит, в к-мерной матрице содержится информация обо всех кликах, размером не превышающих к. Для приведенного примера четырехмерной матрицей, содержащей информацию о кликах, будет матрица . Ненулевыми в данной матрице будут элементы главной диагонали
£1,1,1,1' <2,2,2,2> <§3,3,3,3' <§4,4,4,4' <5,5,5,5> <§6,6,6,6 , как сОДержащие информацию о кликах размера 1; элементы с двумя различающимися индексами ц, /2 при условии, что <г. = 1, например <112 2, и другие, которые содержат информацию обо всех кликах
размера 2; элементы с тремя разными индексами ц, '2, ц при условии, что
<у2 = 1 ё,л = 1 = 1 , например <5,6,2,2, <3,4,3,2 и ДPУГИе, которые содержат информацию
о кликах размера 3; ключевые элементы, отличающие четырехмерную матрицу от трехмерной ; элементы с четырьмя различными индексами, содержащие информацию обо всех кликах размера 4, для любой пары из которых элемент двумерной матрицы G равен единице, в данном случае это все комбинации индексов 2, 3, 4, 5:
§2,3,4,5, <3,4,2,5 и другие.
Отметим, что хранение многомерной матрицы для графов с большим числом вершин может обусловить большой объем памяти. Однако ввиду использования в матрицах только единиц и нулей существует возможность хранения их в байтовом представлении, где каждый элемент матрицы требует всего 1 бит памяти. Вычислительная сложность компенсируется вариантами распараллеливания вычислений, которые для умножения многомерных матриц хорошо изучены [13-16].
Имея информацию о возможных полных подграфах, можно построить разбиение графа на подграфы. Однако, имея разбиение графа на подграфы, сложно сказать, сколько из них пересекаются и как много общих вершин имеют [17]. В данном случае возможно использовать (0, ц)-квадрат многомерных матриц.
Элементы (0, ц)-квадрата к-мерной матрицы G вычисляются следующим образом:
с = ^ § х § .
г1,г2, .■■ г(к-1)'ц+1 г1+2"-гк °г1г2, .--'к-у. Л Л2 . "Зу ° ЛЛ . './дгц+1гц+2 .'к
Результирующая матрица С имеет размерность 2к - 2у и содержит информацию обо всех пересечениях размера ц между кликами размера к. При этом в записи не указывается не только число пересечений, но и полная клика, но указываются обе группы вершин, имеющие смежную группу в ц вершин.
Тривиальным примером будет возведение в (0, 1)-квадрат классической (двумерной) матрицы смежности. Исходя из определения результирующей матрицей будет
двумерная матрица С с элементами с^ = . . х . Элемент с^ может принимать
]
значение больше единицы только при существовании таких пар х ^ , в которых
оба элемента равны 1. А значит, сгД указывает число вершин, смежных одновременно вершине с номером / и вершине с номером /2. Для задачи 1 результирующей матрицей С будет трехмерная матрица, состоящая из одних единиц, так как вершина с номером 2 смежна всем вершинам графа и, соответственно, с^ = ^ 2 х = 1.
Задача 2. Построение матрицы смежности. Для графа, имеющего малое число ребер, получим многомерную матрицу смежности графа [18] (рис. 2). Матрицей смеж-
G =
ща G:
(1 1 0 0 0 01
1 1 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1
v 0 0 0 0 1 1,
Так как в задаче заранее известно, что у графа имеется малое число ребер, матрица смежности разреженная, что позволяет гомоморфной алгебре многомерных матриц использовать реляционную алгебру [1], которая дает возможность при практической реализации наиболее эффективно обрабатывать разреженные матрицы.
При возведении матрицы G в (0, 1)-квадрат результирующая матрица не будет тривиальной. Матрица С будет иметь следующий вид:
(1 1 1 0 0 0^ 1110 0 1 1 1 111 0 0 1 1 0 0 0 1
C =
В общем виде элемент с
2 ■■■г(»-ц)гц+1гд+2---г;с
указывает на число общих клик размера ц ме-
жду кликами, состоящими из вершин /,/2/^ и / 1з / 2,..., /к .
Рассмотрим частный случай (0, ц)-свернутого произведения - (0, 1)-свернутое произведение, если речь идет о возведении с его помощью матрицы смежности графа в степень. Результат возведения в (0, 1)-квадрат матрицы смежности графа - двумерная матрица, элементы которой находятся по следующему правилу: с^ = ^^ х^ .
Каждый элемент е. показывает число вершин графа О, смежных вершинам с номерами ¡г, /2. Но не всегда необходимо знать число соседей. Если достаточно просто знать, имеется ли в графе вершина, смежная двум заданным, формулу можно дополнить:
п
1 Тёкх ёк, > О,
к=1 п
0, Тёк Х ёк, = 0
к=1
е.. = i
V
Однако если требуется проверить вершины на связность, данный вариант не подойдет: связанные напрямую вершины либо имеющие связь более чем через одну вершину не будут считаться связными. Для исправления первого пункта (прямой связности) достаточно заменить формулу на следующую:
е.. = i
V
п
1 Тё кх ёк, > °
к=1
п
0 + ёV , Тёк Х ёк, = 0
к=1
Элемент ^ можно внести под знак суммы, это не играет существенной роли, важно его учесть. Таким образом, матрица, состоящая из элементов егу, представляет собой матрицу связности вершин не более чем через два ребра. При возведении данной матрицы в квадрат по той же формуле получаем элементы е^ , характеризующие связность
вершин не более чем через четыре ребра. Задача 1 не представляет интереса для рассмотрения, так как матрица С уже не содержит нулевых элементов. Для задачи 2 рассмотрим результирующие матрицы С и С :
(1110 0 1 1 0
C =
1 1 1 1
0 0
0 0
1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1
Л (1 1 1 1 1 1 1 1 0Л 1 1 1
, C = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
) 1 1 1 v 0 1 1 1 1 1 1 1 1)
Матрица С свидетельствует о том, что между всеми вершинами графа, кроме 1 и 6, можно построить путь не длиннее четырех ребер. При этом, если матрицу С возвести в квадрат, результирующая матрица будет состоять из элементов е2^., характеризующих связность вершин не более чем через восемь ребер, так как для каждой вершины добавляются вершины, достижимые не более чем через четыре ребра от каждой достижимой вершины, а до самой удаленной - не более чем через четыре ребра.
В общем виде для к-го возведения в квадрат результирующая матрица будет содержать элементы, характеризующие достижимость вершин не более чем через 2к+1 ребер. Используя данный способ, возможно проверять связность графа, не выходя за
рамки алгебры многомерных матриц. Зная, что наибольшее число ребер между двумя вершинами в графе, содержащем п вершин, не превосходит п - 1, для проверки связности достаточно провести (п — 1) возведение в квадрат. При этом сложность каждого возведения соответствует сложности произведения матриц О (п3) . Итоговая сложность проверки на связность графа не превосходит О(п3 32 (п — 1)) « О (п3).
Задача 3. Поиск комбинаций всех клик. Для многомерной матрицы определим число всех возможных комбинаций клик размера не более к в графе [19]. Следует рассмотреть (0, к)-квадрат к-мерной матрицы, содержащей информацию обо всех кликах размера не более к. Начнем с тривиального случая - матрицы смежности и (0, 2)-квадрата. Результат данного действия - число с = ^< . х
'ЛЛ л. Л
Для каждого отдельно зафиксированного значения Л или Л результатом суммы будет степень вершины с зафиксированным номером, а значит, перебор по данной величине даст сумму степеней всех вершин графа, что для ориентированного графа равно числу ребер, а для неориентированного - удвоенному числу ребер. Для задачи 1 результатом будет число 18, для задачи 2 - число 10.
Задача 4. Определение типа графа. Определим, является ли граф деревом [20]. Следует подробнее рассмотреть применение (0, 2)-квадрата матрицы смежности графа. Данное значение можно использовать как вариант проверки графа на то, является ли он деревом: по определению, когда у связного графа равное число вершин и ребер, он является деревом. Такая проверка позволяет отнести граф к хорошо изученному классу деревьев, при этом не выходя за операции алгебры многомерных матриц и не используя эвристических алгоритмов.
Таким образом, используя только математический аппарат алгебры многомерных матриц, возможно проверить, является ли граф деревом, а если нет, то является ли он связным. А в дальнейшем с помощью (0, ц)-свернутого произведения матриц находить пересечения среди клик графа.
Заключение. Рассмотренные задачи имеют эвристические алгоритмы решения, однако использование алгебры многомерных матриц позволяет решать без приближенных вычислений сразу все семейство поставленных задач: найти не только наибольшее пересечение у клик графа, но и все пересечения; проверить достижимость между одной парой вершин, а также между всеми парами сразу, что позволяет определить связность графа. С помощью алгебры многомерных матриц возможно определять отдельные свойства графов, не расширяя математический аппарат построенной модели данных, если перед ней ставятся другие задачи теории графов. При этом получение результатов сразу для всех деталей и их групп со счетной сложностью алгоритма более эффективно, чем применение эвристических алгоритмов к каждой конкретной вершине по отдельности.
Полученные результаты позволяют оптимизировать процесс проектирования приборов в рамках построения и анализа размерных цепей, определять пересекающиеся подмножества в сфере приложения задачи (от распределения нагрузки на производственные мощности до построения рекомендательных систем), выявлять свойства построенной модели данных и выбирать оптимальные алгоритмы решения поставленных задач.
Литература
1. Мунерман В. И., Мунерман Д. В. О соответствии моделей данных и моделей вычислений // Системы компьютерной математики и их приложения: материалы XXII Междунар. науч. конф. Вып. 22. Смоленск: Изд-во СмолГУ, 2021. С. 146-152. EDN: PVXDHB.
2. Соколов Н. П. Введение в теорию многомерных матриц. Киев: Наукова думка, 1972. 175 с.
3. Левин Н. А., Мунерман В. И. Модели обработки больших объемов данных в системах массового параллелизма // Системы высокой доступности. 2013. Т. 9. № 1. С. 35-43. EDN: PYFMXZ.
4. Мунерман В. И. Архитектура программно-аппаратного комплекса для массовой обработки данных на базе многомерно-матричной модели // Системы высокой доступности. 2015. Т. 11. № 2. С. 13-18. EDN: UBGECV.
5. Захаров В. Н., Мунерман В. И. Параллельный алгоритм умножения многомерных матриц // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2015. Т. 11. № 2. С. 384-390. EDN: WAQFMJ.
6. Морозов С. А., Мунерман В. И., Симаков В. А. Экспериментальный анализ многомерно-матричного подхода к построению маршрутов в графе // Изв. вузов. Электроника. 2022. Т. 27. № 5. С. 676-686. https://doi.org/10.24151/1561-5405-2022-27-5-676-686. - EDN: EXAWHR.
7. Леонов Ю. А. Автоматизация выбора рациональных схем базирования заготовки при синтезе технологических процессов: дис. ... канд. техн. наук. Брянск, 2012. 175 с.
8. Петухов А. В., Мельников Д. В., Быстренков В. М. Системы автоматизированного проектирования технологических процессов. Гомель: ГГТУ им. П. О. Сухого, 2011. 143 с.
9. Зыков А. А. Теория конечных графов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1969. Т. 1. 542 с.
10. Татт У. Теория графов / пер. с англ. Г. П. Гаврилова. М.: Мир, 1988. 424 с.
11. KönigD. Grafok es matrixok // Matematikai es Fizikai Lapok. 1931. Evf. 38. P. 116-119.
12. Макаров А. И., Мунерман В. И. Использование многомерных матриц для определения параметров графа // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2022. Т. 18. № 3. С. 537-544. https://doi.org/10.25559/SITITO.18.202203.537-544. - EDN: ZZSZDY.
13. Захаров В. Н., Мунерман В. И. Параллельная реализация обработки интенсивно используемых данных на основе алгебры многомерных матриц // Аналитика и управление данными в областях с интенсивным использованием данных (DAMDID/RCDL). Обнинск: ИАТЭ НИЯУ МИФИ, 2015. С. 217-223.
14. Munerman V., Munerman D. An axiomatic approach to the data models formalization for mass data processing // 2020 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (EIConRus). St. Petersburg; Moscow: IEEE, 2020. P. 1996-2000. https://doi.org/10.1109/ EIConRus49466.2020.9039205
15. Малышев А. В. Параллелизация умножения матриц // Электроника и информационные технологии: электрон. журн. 2008. № 2 (4). URL: http://fetmag.mrsu.ru/2008-2/pdf/15_ParallelCalc.pdf (дата обращения: 07.02.2021).
16. Гончаров Е. И. Реализация (X, ц)-свернутого произведения многомерных матриц средствами операции tensordot из библиотек для тензорной алгебры // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2022. Т. 18. № 4. С. 781-789. https://doi.org/10.25559/SITIT0.18.202204.781-789. -EDN: CSWVOH.
17. Choi J., Walker D. W., Dongarra J. J. Pumma: Parallel universal matrix multiplication algorithms on distributed memory concurrent computers // Concurrency: Pract. Exper. 1994. Vol. 6. Iss. 7. P. 543-570. https://doi.org/10.1002/cpe.4330060702
18. Емельченков Е. П., Мунерман В. И., Мунерман Д. В., Самойлова Т. А. Один метод построения циклов в графе // Современные информационные технологии и ИТ-образование. 2021. Т. 17. № 4. С. 814-823. https://doi.org/10.25559/SITIT0.17.202104.814-823. - EDN: JOCFXP.
19. Moon J. W., Moser L. On cliques in graphs // Israel J. Math. 1965. Vol. 3. P. 23-28. https://doi.org/ 10.1007/BF02760024
20. Демидова А. А. Автоматный анализ свойств графа быть деревом и псевдодеревом // Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2021. Т. 25. № 2. С. 111-127. EDN: EGAQBJ.
Статья поступила в редакцию 20.02.2023 г.; одобрена после рецензирования 30.03.2023 г.;
принята к публикации 08.08.2023 г.
Информация об авторах
Макаров Александр Ильич - аспирант кафедры прикладной математики и информатики Смоленского государственного университета (Россия, 214000, Смоленск, ул. Пржевальского, 4), al.makarov8@yandex.ru
Мунерман Виктор Иосифович - кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики Смоленского государственного университета (Россия, 214000, Смоленск, ул. Пржевальского, 4), vimoon@gmail.com
References
1. Munerman V. I., Munerman D. V. About the correspondence of data models and calculation models.
Sistemy komp 'yuternoy matematiki i ikh prilozheniya, materialy XXII Mezhdunar. nauch. konf. Iss. 22. Smolensk, Smolensk State Univ. Publ., 2021, pp. 146-152. (In Russian). EDN: PVXDHB.
2. Sokolov N. P. Introduction to the theory of multidimensional matrices. Kyiv, Naukova dumka Publ., 1972. 175 p. (In Russian).
3. Levin N. A., Munerman V. I. Models of big data processing in massively parallel systems. Sistemy vysokoy dostupnosti = Highly Available Systems, 2013, vol. 9, no. 1, pp. 35-43. (In Russian). EDN: PYFMXZ.
4. Munerman V. I. Construction of hardware-software complexes architecture to improve massively data processing. Sistemy vysokoy dostupnosti = Highly Available Systems, 2015, vol. 11, no. 2, pp. 13-18. (In Russian). EDN: UBGECV.
5. Zakharov V. N., Munerman V. I. Parallel algorithm for multiplying multidimensional matrices.
Sovremennye informatsionnye tekhnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education, 2015, vol. 11, no. 2, pp. 384-390. (In Russian). EDN: WAQFMJ.
6. Morozov S. A., Munerman V. I., Simakov V. A. Experimental analysis of multidimensional matrix approach to constructing routings in a graph. Izv. vuzov. Elektronika = Proc. Univ. Electronics, 2022, vol. 27, no. 5, pp. 676-686. (In Russian). https://doi.org/10.24151/1561-5405-2022-27-5-676-686. - EDN: EXAWHR.
7. Leonov Yu. A. Automation of the choice of rational locating chart of billet during the synthesis of tech-nologicalprocesses, diss. for the Cand. Sci. (Eng.). Bryansk, 2012. 175 p. (In Russian).
8. Petukhov A. V., Mel'nikov D. V., Bystrenkov V. M. Systems of computer-aided design of technological processes. Gomel, Sukhoi State Technical Univ. of Gomel, 2011. 143 p. (In Russian).
9. Zykov A. A. Theory of finite graphs. Novosibirsk, Nauka. Sib. otd-nie Publ., 1969. Vol. 1. 542 p. (In Russian).
10. Tutte W. T. Graph theory. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1984. 440 p.
11. König D. Grafok es matrixok. Matematikai es Fizikai Lapok, 1931, evf. 38, pp. 116-119.
12. Makarov A. I., Munerman V. I. Using multidimensional matrices to determine graph properties. Sovremennye informatsionnye tekhnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education, 2022, vol. 18, no. 3, pp. 537-544. https://doi.org/10.25559/SITIT0.18.202203.537-544. - EDN: ZZSZDY.
13. Zakharov V. N., Munerman V. I. Parallel implementation of intensive data processing based on multidimensional matrix algebra. Analitika i upravlenie dannymi v oblastyakh s intensivnym ispol'zovaniem dannykh (DAMDID/RCDL). Obninsk, IATE MEPhI, 2015, pp. 217-223. (In Russian).
14. Munerman V., Munerman D. An axiomatic approach to the data models formalization for mass data processing. 2020 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (EIConRus). St. Petersburg, Moscow, IEEE, 2020, pp. 1996-2000. https://doi.org/10.1109/ EIConRus49466.2020.9039205
15. Malyshev A. V. Parallelization of matrix multiplication. Elektronika i informatsionnye tekhnologii = Electronics and Information Technologies, 2008, no. 2 (4). (In Russian). Available at: http://fetmag.mrsu.ru/ 2008-2/pdf/15_ParallelCalc.pdf (accessed: 07.02.2021).
16. Goncharov E. I. Implementation of (X, ц)-convolution product by means of tensordot operation from libraries for tensor algebra. Sovremennye informatsionnye tekhnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education, 2022, vol. 18, no. 4, pp. 781-789. https://doi.org/10.25559/ SITIT0.18.202204.781-789. - EDN: CSWVOH.
17. Choi J., Walker D. W., Dongarra J. J. Pumma: Parallel universal matrix multiplication algorithms on distributed memory concurrent computers. Concurrency: Pract. Exper., 1994, vol. 6, iss. 7, pp. 543-570. https://doi.org/10.1002/cpe.4330060702
18. Emelchenkov E. P., Munerman V. I., Munerman D. V., Samoylova T. A. Some method for constructing cycles in a graph. Sovremennye informatsionnye tekhnologii i IT-obrazovanie = Modern Information Technologies and IT-Education, 2021, vol. 17, no. 4, pp. 814-823. https://doi.org/10.25559/SITITO.17.202104.814-823. -EDN: JOCFXP.
19. Moon J. W., Moser L. On cliques in graphs. Israel J. Math., 1965, vol. 3, pp. 23-28. https://doi.org/ 10.1007/BF02760024
20. Demidova A. A. Automaton analysis of the properties of a graph to be a tree and a pseudo-tree. Intellektual'nye sistemy. Teoriya i prilozheniya, 2021, vol. 25, no. 2, pp. 111-127. (In Russian). EDN: EGAQBJ.
The article was submitted 20.02.2023; approved after reviewing 30.03.2023;
accepted for publication 08.08.2023.
Information about the authors
Aleksander I. Makarov - PhD student of the Applied Mathematics and Informatics Department, Smolensk State University (Russia, 214000, Smolensk, Przhevalsky st., 4), al.makarov8@yandex.ru
Victor I. Munerman - Cand. Sci. (Eng.), Assoc. Prof. of the Applied Mathematics and Informatics Department, Smolensk State University (Russia, 214000, Smolensk, Przhevalsky st., 4), Przhevalsky st., 4), vimoon@gmail.com
/-\
Вниманию читателей журнала
«Известия высших учебных заведений. Электроника»
Подписку на печатную версию журнала можно оформить:
• по каталогу «Периодические издания. Газеты и журналы» ООО «Урал-Пресс Округ». Подписной индекс 47570
• по объединенному каталогу «Пресса России» ООО «Агентство «Книга-Сервис». Подписной индекс 38934
• через Агентство «ПРЕССШ1ФОРМ»: http://presskiosk.ru/categories
• через редакцию - с любого номера и до конца года
Подписку на электронную версию журнала можно оформить на сайтах:
• Научной электронной библиотеки: www.elibrary.ru
• ООО «Агентство «Книга-Сервис»: www.rucont.ru;www.akc.ru;
www.pressa-rf.ru
• ООО «Урал-Пресс Округ»: www.delpress.ru
• ООО «ИВИС»: www.ivis.ru
\_/
