CC BY
19Iqtisodiy masalalarni yechishda differensial hisob usullaridan
foydаlаnish
Baxodir Qobuljon o'g'li Mamasidiqov Toshkent moliya instituti
Annotatsiya: Mazkur maqolada iqtisodiy masalalarni yechishda differensial hisob usullaridan foydalanish to'g'risida ma'lumot keltirilgan.
Kalit so'zlar: iqtisodiy masala, differensial hisob usullari, limit
Use of differential calculus methods in solving economic
problems
Bakhodir Qabuljan oglu Mamasidikov Tashkent Financial Institute
Abstract: This article provides information on the use of differential calculus methods in solving economic problems.
Keywords: economic problem, differential calculation methods, limit
Hayotimiz davomida juda ko'plab turli xil muammolarga duch kelamiz. Shulardan eng jiddiylari iqtisodiyot bilan bog'liq bo'lgan muammolardir. Jamiyat taraqqiyoti bozor iqtisodiyoti, tadbirkorlik va ularning rivojlanishi bilan bog'liq. Talabalarda iqtisodiy bilimlarni oshirish, matematika va bozor iqtisodiyotingning o'zaro uzviy bog'langanini ko'rsatish zarur. Iqtisodiy masalalarda qachon "eng ko'p foyda" olamiz yoki qachon "eng kam zarar" qilishimiz eng muhim masala hisoblanadi. "Bunday masalalarni hal qilish eng kichik va eng katta miqdorlar nazariyasini tashkil qiladi" - deb yozgan edi ulug'rus matematigi P.L.Chebishev [1].
Biz ma'lum bir buyumni imkoniyati boricha arzonroq olishga yoki qisqa vaqt ichida imkoniyati boricha ko'proq foyda olishga harakat qilamiz. Shuning uchun bizning kundalik ishlarimizni ideallashtiradigan maksimum va minimumga doir masalalar diqqatimizni tortadi. O'quvchilar bilan bo'ladigan mashg'ulotlarda butun e'tiborimizni ekstrimal masalalarni yechishga, differensial hisob usullaridan foydalanishga qaratamiz.
Iqtisodiyotda turli xil j arayonlarni tahlil qilishda limit miqdorlar tushunchasi keng ishlatiladi. Misol tariqasida limit qiymat, limit xarajatlar, limit daromad, limit unumdorlik, limit foydalilik, limit iste'molga moyillik tushunchalarini keltirishimiz
mumkin. Bu tushunchalarning barchasi funksiya hosilasi tushunchasi bilan bevosita bog'liqdir.
Biror bir mahsulotni x miqdorda ishlab chiqarish uchun y(x) xarajat qilinsin. U holda y'(x) — mahsulot miqdori x o'zgarganda xarajatlar o'zgarishi tezligini ifodalaydi. Bu hosilaga limit (marjinal) qiymat deyishadi va My(x) = y'(x) deb belgilash kiritilgan [3].
Bizga analiz kursidan ma'lumki hosilaning taqribiy qiymati sifatida
Ay
My(x) = y'(x) « — (1)
ifodani qabul qilishimiz mumkin. Bu yerda Ay funksiya orttirmasi, Ax esa argument orttirmasi.
Agar argument orttirmasi Ax = 1 deb olinsa (bu umumiylikka ziyon yetkazmaydi), (1) ni ushbu ko'rinishda yozishimiz mumkin.
y(x + 1) — y(x) y W ~-^-= y(x + 1) — y(x) (2)
(2) tenglikda olingan y(x + 1) — y(x) ayirma mahsulot miqdorini yana bir birlik ishlab chiqarganda xarajatning qanchaga o'zgarishini ifodalaydi. Demak, iqtisodiy nuqtayi nazardan qaraganda limit xarajat y'(x) qo'shimcha bir birlik mahsulotni ishlab chiqarishga ketgan xarajatdir [2].
O'rtacha xarajat esa quyidagicha topiladi.
y
H (3)
Sodda bir masalani qarab o'tamiz.
1-masala. Mahsulot ishlab chiqarish hajmi x va ishlab chiqarishga ketgan xarajat y o'rtasidagi bog'lanish chiziqli y = 5x + 30 funksiya bilan berilgan. x = 100 birlik mahsulot ishlab chiqarilganda limit xarajatni toping.
Yechilishi: Yuqoridagi ko'rsatilganidek, limit xarajat y'(x) orqali topiladi. y'(x) = (5x + 30)' = 5 bu esa x = 100 birlik mahsulotni ishlab chiqarganda qo'shimcha bir birlik mahsulotni ishlab chiqarish uchun ketadigan xarajatning 5 birlikni tashkil etishini ko'rsatadi. Agarda (2) formula bilan hisoblaydigan bo'lsak
y'(100) = y(101) — y(100) = 5 • 101 + 30 — 5 • 100 — 30 = 1
ni hosil qilamiz.
Biz ko'rayotgan hol uchun y'(x) limit xarajat x ga bog'liq emas. Shuning uchun nafaqat x = 100 balki barcha x lar uchun 5 ga teng. Lekin xarajat funksiyasi chiziqlimas funksiya bo'lganda bu holat yuz bermaydi.
Endi chiziqlimas xarajat funksiyasi uchun qarab chiqamiz.
2-masala. Ishlab chiqarish xarajati miqdori quydagicha bog'lanishga ega y = 70x — 0,5x2. Ishlab chiqarish hajmi x = 10 birlik bo'lganda o'rtacha va limit xarajat miqdorlarini toping.
Yechilishi: (3) formulaga ko'ra o'rtacha xarajat
^ 70x — 0,5x2
y =-= 70- 0,5x
x
Bundan ishlab chiqarish hajmi x = 10 birlik bo'lganda o'rtacha xarajat y = 65 birlik ekan. Limitik xarajat esa My(10) = 60 birlik bo'ladi.
Demak, o'rtacha xarajat 65 birlik bo'lganda qo'shimcha mahsulot ishlab chiqarishga ketadigan xarajat limitik xarajat 60 birlikni tashkil etdi, ya'ni bu o'rtacha xarajatdan ziyod emas.
Endi foydani maksimallashtirish va optimallashtirish masalalarini qaraymiz. Iqtisodiyotda foydani va xarajatlarni realizatsiya qilish muhimdir. Albatta, bu funksiyalarning ko'rinishi juda ko'p omillardan bog'liq, xususan, ishlab chiqarish usuli, infrastrukturani optimallashtirish, yangi texnika va texnologiyalarni qo'llash, marketing tadqiqotlarini o'tkazish va h.z.
Realizatsiya qilingan mahsulot miqdorini x, daromad funksiyasini R(x), ishlab chiqarish xarajat funksiyasini C(x) deb belgilaymiz. U holda foyda funksiyasi F(x) = R(x) — C(x) bo'ladi. Albatta, har qanday ishlab chiqaruvchi oldida foydani maksimallashtirish masalasi turadi. Analiz kursidan ma'lumki, Ferma teoremasiga ko'ra maksimal qiymatda F'(x) = 0 bo'ladi. Demak, R'(x) = C'(x) ekanligidan va iqtisodiy belgilash kiritsak oxirgi tenglik MR(x) = MC(x) ko'rinishni oladi [20,22,23].
3-masala. Ishlab chiqarishning daromad va xarajat funksiyalari mos ravishda quyidagicha berilgan bo'lsin:
3
x3
R(x) = — + 180000x, C(x) = 450x2.
3
Ishlab chiqarishning maksimal foyda beruvchi hajmini va undan olinadigan foydani toping.
Yechilishi: Berilganlardan foyda funksiyzsini tuzib, hosilasini nolga tenglashtirsak
900+ 100V81 —4^18
xli2 =-=-3-= 450 ± 50 • 3
2
hosil bo'ladi. Demak, x1 = 600 va x2 = 300 bo'lar ekan.
Endi ekstremumning yetarlilik shartlariga ko'ra, xit i = 1,2 nuqtada F(x) funksiya maksimal qiymatga ega bo'lishi uchun F''(x) < 0 bo'lishi kerak [2]. Ikkinchi tartibli hosila F''(x) = 2x bo'lgani uchun, F"(x1) > 0, F"(x2) < 0 bo'ladi.
Demak, F(x) maksimal qiymat beruvchi ishlab chiqarish hajmi x2 = 300 bo'lib, bu qiymatda foyda 22500000 pul birligiga teng ekanligi kelib chiqadi.
Foydalanilgan adabiyotlar
1. Safaeva Q., Shomansurova D. "Iqtisodiyotda matematika" Toshkent 2010
2. Sytsaeter Kn., Hammond P., Strom A. Essential Mathematics for Economic Analysis. Pearson Education Limited. London, New York 2014
3. Piskunov N.S. Differentsial va integral hisobi. I - II tomlar. -Toshkent: O'qituvchi, 1974.
4. Alimov.Sh, Ashurov R. Matematik analiz, 1-2-qismlar, Toshkent: Mumtoz so'z 2018.
