Инженерная методика расчета соединения деталей по цилиндрическим поверхностям с малым зазором (случай, когда охватывающая деталь безгранична в радиальном направлении). Примеры Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

электронное научно-техническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025. ISSN 1994-0406

Инженерная методика расчета соединения деталей по цилиндрическим поверхностям с малым зазором (случай, когда охватывающая деталь безгранична в радиальном направлении). Примеры. # 06, июнь 2011

авторы: Блинов Д. С., Алешин В. Ф.

УДК 621.813, 621.815

МГТУ им. Н.Э.Баумана, г. Москва [email protected] [email protected]

Данная работа является заключительной в цикле статей / 1 / и / 2 /, посвященных разработке инженерной методики расчета соединения двух деталей с цилиндрическими сопрягаемыми поверхностями и малым радиальным зазором для случая, когда охватывающую деталь можно считать безграничной в радиальном направлении.

Для целостности инженерной методики расчета в данной работе повторены графики, полученные в работах / 1 / и / 2 /.

2.6. Инженерная методика расчета.

На рис. 1 показана расчетная схема соединения деталей 1 и 2 в полярных координатах г и <р.

Рис. 1. Расчетная схема.

Исходные данные (см. рис. 1): Г - сила (погонная нагрузка q = Г / Ь ), Н; Ь - протяженность контакта деталей 1 и 2 вдоль оси, мм;

г1 и г2 - радиусы цилиндрических сопрягаемых поверхностей деталей 1 и 2, мм; Е1 и - модуль упругости и коэффициент Пуассона детали 1; Е2 и ц2 - модуль упругости и коэффициент Пуассона детали 2.

Определение параметров, необходимых для дальнейшего расчета: 8 = г2 - г1 - радиальный зазор в соединении, мм (см. рис. 1);

ЕПР = 2 Е Е2 - приведенный модуль упругости, МПа;

Е1 + Е2

Р = Е2 / Е1 - коэффициент равный отношению модулей упругости деталей.

Определение контактного давления в соединении под нагрузкой. Сначала по графикам (рис. 2) определим полуугол контакта (р0, затем по графику (рис. 3) определим

максимальное контактное давление рМАХ .

Рис. 2. Графики для определения полуугла контакта (р0.

Рис. 3. График для определения максимального контактного давления рМАХ

Рис. 4. Эпюра контактного давления.

Эпюра контактного давление р (р) , см. рис. 1, представляет собой половину эллипса,

который для расчетов удобно преобразовать в единичную полуокружность, см. рис. 4.

По полууголу контакта р0 максимальное контактное давление рМАХ можно рассчитать по следующей формуле / 1 /, что позволит повысить точность расчета

РМАХ _ '

ж-ь• г • ^ (<р0)' где (р0) - функция Бесселя первого рода порядка 1.

Определение максимальных эквивалентных напряжений в менее прочной охватывающей детали. Точка с наибольшими эквивалентными напряжениями смах расположена на оси г , см. рис. 1, на некотором радиусе Я. Указанная точка может располагаться в глубине детали 2 (Я > г2) или на поверхности (Я _ г2). смах и Я определяются по графикам (рис. 5).

1,2 0.6 ОН 0,2.

Рис. 5. Графики зависимости наибольшего эквивалентного напряжения аМАХ и радиуса

Я его залегания от полуугла контакта ср0.

Для расчета перемещений точек охватывающей детали необходимо использовать зависимости, приведенные в работе / 2 /.

Инженерная методика расчета рассматриваемых соединений обладает общностью, так как независимые и искомые параметры приведенных графиков представлены в безразмерном виде. Но главное ее достоинство заключается в учете при расчетах ключевого параметра - радиального зазора в соединении деталей.

2.7. Примеры. В курсе «Детали машин» рассматриваемые соединения рассчитывают на срез по поверхностям стыка деталей и на смятие цилиндрических сопрягаемых поверхностей деталей /3 /. При этом в традиционной методике величина зазора не учитывается.

Практически все расчеты соединений с зазором можно разделить на две группы. Первая группа - поверочный расчет для заданной посадки. Вторая группа - выбор посадки с зазором из условия обеспечения прочности охватывающей детали. Традиционная методика расчетов не позволяет выбирать посадки.

2.7.1. Пример 1 (поверочный расчет). Пусть заданы стальной вал с диаметром = 36 мм и допуском на диаметр по е8 и стальная проушина с отверстием диаметром

= 36 мм и допуском на диаметр отверстия по Н8. Вал установлен в отверстие

проушины, которая имеет толщину ^ = L = 32 мм. К оси вала приложена суммарная сила взаимодействия F = 50 кН. Модуль упругости стали ЕСТ = 2,1 -105 МПа. Произвести

расчет по традиционной и по предлагаемой методикам и сравнить полученные результаты.

а) Традиционная методика:

F 50000 аСМ =—— =-= 43,4 МПа

d2 • l2 36• 32

б) Предлагаемая методика имеет вероятностный характер, так как величина зазора меняется в пределах полей допусков на размеры d1 и d2, см. рис. 6. Поля допусков построены для номинального диаметра d1 = d2 = 36 мм по справочным таблицам / 4 /.

Рис. 6. Поля допусков посадки 036 Н8/е8 (отклонения даны в мкм).

На рис. 6: Дтт - минимальный диаметральный зазор; А т - средний диаметральный зазор; А тах - максимальный диаметральный зазор.

Применяются две метода расчетов. Для первого метода расчеты проводят по минимальному, среднему и максимальному зазорам, а для второго (вероятностного метода расчета) - по вероятностным минимальному Артт и максимальному Артах

зазорам (средний зазор остается тем же). При этом

А = А я - 0,5 -V Ш2 + Ш2 ; А= А я + 0,5-Тж^та7,

где: TD = 39 мкм - допуск на диаметр d2; Ш = 39 мкм - допуск на диаметр d1.

В предлагаемой методике используются радиальный зазор 8, который в два раза меньше соответствующего диаметрального зазора.

Для примера рассмотрим расчет для минимального диаметрального зазора Дтт = 25 мкм. Определим минимальный радиальный зазор в мм

^шп _ Атт _ 0,025 мм 2-1000

Рассчитаем следующие параметры:

Я _ ^ _ 50000 _ 1562,5 Н/мм; ЕПР _ 2-Е-Е _ 2,1 -105 МПа;

Ь 32 ПР Ех + Е2

1; -Я-_-15662,5-_ 0,298.

Е Епр-£т,п 2,1 • 105 • 0,025

Я

Для кривой Р _ 1, см. рис. 2, и значения безразмерного параметра -_ 0,298

ЕПР • £тт

Т70

определим полуугол контакта р0 « 37 .

Определим г2 _ 0,5 • ё2 _ 18 мм. Для полуугла контакта р0 _ 370, см. рис. 3, определим безразмерный параметр рМАХ • г2 / я «1,05. Отсюда

1,05 • Я 1,05-1562,5 т 1 Л/ГТТ

Рмах _--- = "-«91,1 МПа

Г2 18

Для полуугла контакта р0 _ 370, см. рис. 5, соотношение СМАХ /рМАХ «0,8, а соотношение (Я - г2)/ г2 « 0,175. Отсюда максимальное эквивалентное напряжение сМАХ _ 0,175 • рМАХ «72,9 МПа, а радиус точки, в которой оно возникает, Я _ 1,175 • г2 « 21,15 мм.

Аналогично расчеты проводились и для других зазоров. Полученные результаты сведены в таблицу.

Таблица

Величина радиального зазора, мм Полуугол контакта %0, град. Максимальное контактное давление PMAX , МПа Максимальное эквивалентное напряжение сгМАХ, МПа

Традиционная методика расчета

Не учитывается 90 43,4 = ео^ ?

Предлагаемая методика (расчет по минимальному и максимальному зазорам)

= 0,025 37 91,1 72,9

£т = 0,0445 30 108,6 81,4

*тах = 0,064 21 154,6 111,3

Предлагаемая методика (минимальный и максимальный зазоры определяются вероятностным методом)

а . = 0,0307 р ,тт ' 34 95,5 74,8

а = 0,0583 р ,тах > 24,5 139,6 102,2

Анализируя результаты, приведенные в таблице, можно сделать следующие выводы.

а) Радиальный (диаметральный) зазор является важнейшим параметром, который существенно влияет на размеры площадки контакта, контактное давление и напряженное состояние деталей соединения. В приведенном примере расчетные параметры в зависимости от величины радиального зазора меняются примерно в полтора раза.

б) Традиционная методика расчета, в которой не учитывается радиальный зазор, не может дать объективную оценку основным расчетным параметрам соединения.

в) Предлагаемая методика расчета имеет вероятностный характер. Это объясняется разбросом размеров сопрягаемых, цилиндрических поверхностей деталей соединения в пределах полей допусков.

г) Существуют два метода расчета соединений с натягом (по минимальному и максимальному натягу и вероятностный). Эти методы можно использовать и для расчета соединений с зазором. При этом метод расчета по минимальному и максимальному зазору дает больший разброс всех расчетных параметров соединения, чем вероятностный метод

расчета. Объясняется это тем, что при вероятностном методе расчета поля допусков посадки с зазором сужаются, и из рассмотрения выпадает 0,3 % соединений / 5 /.

2.7.2. Пример 2 (выбор посадки). На рис. 7 показан сцепной узел, состоящий из пальца и деталей сцепки двух машин. Материал пальца - сталь 40Х (оТ1 = 360 МПа).

Материал деталей сцепки - сталь 45 (аТ 2 = 320 МПа). Коэффициент запаса прочности пт = 1,6. Из условия прочности на срез определить диаметр ё1 пальца, а из условия прочности по смятию (по контактным напряжениям) определить по возможности более свободную посадку для удобства сборки. При этом Е = 200кН, \= К3 = 25 мм,

К = 40 мм

Рис. 7. Сцепной узел. а) Из условия прочности на срез определяем диаметр пальца / 3 /

4 • Е

,"М-

где: г = 2 - количество поверхностей среза пальца; [т]ср = 0,2 -аТ 1 = 0,2 • 360 = 72 МПа.

Отсюда >

4 • Е

г •ж^

Не

4•200000 ' 2 ж 72

= 42,2 мм

После округления по ряду Яа40 / 4 / получим = 45 мм (г1 = г2 = 22,5 мм).

б) Из условия прочности по контактным напряжениям определим посадку пальца в отверстия деталей сцепки. Как видно из примера 1, наибольшие напряжения возникают при максимальном зазоре атах, по которому подбирается посадка. Прямого метода определения атах нет, поэтому будем назначать предпочтительные посадки, рекомендуемые ГОСТом / 4 /, начиная с более свободных, определять атах и проверять

условие прочности. Если оно выполняется, то посадка подходит. Расчеты будем проводить по приведенному выше алгоритму (см. п. 2.6). Более высокими будут контактные напряжения в месте взаимодействия пальца с деталью сцепки высотой к2, так как контакт в этом случае имеет меньшую протяженность.

Сначала определим: допускаемые напряжения [—] = = 320 = 200 МПа;

пт 1,6

ЕПР = Естали = 2,1 • 105 МПа; р = Е2/Е1 = 1; q = F / И2 = 200000/40 = 5000 Н/мм;

Выберем предпочтительную посадку Н11^11, тогда

М - в1 0,16 + 0,24

а„„х =-=-= 0,2 мм;

2 2

тах

% = 260 (рис. 2) для р = 1 и —л-= 2 1 ^ 2 = 0,119;

ЕПР атах 2,1-10 -0,2

для %0 = 260 соотношение Ртах ''"2 = 1,43 (рис. 3). Отсюда ртах = 1,43-5000 = 318 МПа;

q 22,5

для %0 = 260 соотношение ^^ = 0,73 (рис. 5). Отсюда —тах = 0,73-318 = 232 МПа;

Ртах

—тах > [—] - условие прочности не выполняется. Следовательно, выбранная посадка не подходит.

Выберем предпочтительную посадку Н9^9, тогда а Е8 - в1 0,062 + 0,142

атах =-2- =-2- = 0,102

%0 = 340 (рис. 2) для р = 1 и 150(°0° 102 = 0,233;

ЕПР атах 2,1-10 • 0,102

для %0 = 340 соотношение Ртах - '"2 = 1,166 (рис. 3). Отсюда ртах = 1,166-5000 = 259 МПа;

q 22,5

для %0 = 340 соотношение ^L = 0,77 (рис. 5). Отсюда —тах = 0,77 - 259 = 199 МПа;

Ртах

—тах < [—] - условие прочности выполняется. Следовательно, выбранная посадка 045 Н9^9 подходит.

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Традиционная методика, используемая в курсе «Детали машин» для расчетов соединений с малым зазором, не учитывает радиальный зазор. Поэтому она не позволяет дать объективную оценку основным расчетным параметрам соединения.

2. Используя методы теории упругости, разработана инженерная методика расчета разъемных соединений деталей по цилиндрическим поверхностям с малым зазором, в которой охватывающую деталь можно считать безграничной в радиальном направлении. Предлагаемая методика учитывает радиальный (диаметральный) зазор между сопрягаемыми поверхностями деталей соединения.

3. Из-за разброса размеров сопрягаемых, цилиндрических поверхностей деталей соединения в пределах полей допусков, предлагаемая методика расчета имеет вероятностный характер.

4. Как показал анализ выполненных расчетов, ключевым параметром в предлагаемой методике является радиальный (диаметральный) зазор.

5. Предлагаемая методика обладает общностью и проста в применении.

6. Предлагаемая методика расчетов соединений с малым зазором была апробирована в течение нескольких лет при проведении семинаров и выполнении домашних заданий студентами по курсу «Детали машин» в МГТУ им. Н.Э. Баумана.

7. Недостатком предлагаемой методики являются достаточно большие ошибки при определении расчетных параметров по графикам. Их можно значительно снизить при увеличении фрагментов графиков с помощью ЭВМ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Блинов Д.С., Алешин В.Ф. Определение эпюры контактного давления для соединения деталей по цилиндрическим поверхностям с малым зазором (случай, когда охватывающая деталь безгранична в радиальном направлении). Электронный журнал «Наука и образование: электронное научно-техническое издание» МГТУ им.Баумана, # 05, май 2011.

2. Блинов Д.С., Алешин В.Ф. Определение напряженно-деформированного состояния охватывающей детали соединения по цилиндрическим поверхностям с малым зазором (случай, когда охватывающая деталь безгранична в радиальном направлении). Электронный журнал «Наука и образование: электронное научно-техническое издание» МГТУ им.Баумана, # 06, июнь 2011.

3. Детали машин: Учебник для вузов / Под. Ред. О.А.Ряховского. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007, - 520 с.

4. Дунаев П.Ф., Леликов О.П. Конструирование узлов и деталей машин: Учеб. пособие для техн. спец. вузов. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1998. - 447 с.

5. Решетов Д.Н. Детали машин: Учебник для студентов машиностроительных и механических специальностей вузов. - М.: Машиностроение, - 1989. - 496 с.