CC BY
36
электронное научно-техническое издание
НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ
Эя №ФС 77 - 30569. Государственная регистрация №0421100025.155Н 1994-040В_
Определение напряженно-деформированного состояния охватывающей детали соединения по цилиндрическим поверхностям с малым зазором (случай, когда охватывающая деталь безгранична в радиальном направлении).
# 06, июнь 2011
авторы: Блинов Д. С., Алешин В. Ф.
УДК 621.813, 621.815
МГТУ им. Н.Э.Баумана, г. Москва victorfa@mail.ru dmitriyblinov@mail.ru
Цикл статей посвящен разработке инженерной методики расчета соединения двух деталей с цилиндрическими сопрягаемыми поверхностями с малым радиальным зазором и различной жесткостью охватывающей детали. В первом случае, введя ориентировочную оценку по жесткости охватывающей детали, считаем последнюю безграничной в радиальном направлении. Для первого случая в работе / 1 / в общей постановке представлена методика определения формы и размеров эпюры контактного давления и построены графики для расчета этих параметров. Было установлено, что эпюра контактного давления в зависимости от угловой координаты изменяется по эллиптической зависимости. Данная статья является продолжением работы / 1 /.
Обычно прочность охватывающей детали с цилиндрическим отверстием ниже, чем прочность охватываемой цилиндрической детали, взаимодействующей с указанным отверстием. Цель данной статьи определение напряженно-деформированного состояния охватывающей детали.
Теоретические исследования проводились методами задачи плоской деформации теории упругости [2, 3].
2.3. Разложение эллиптической эпюры контактного давления в ряд Фурье.
На рис. 1 показана расчетная схема для определения напряженно-деформированного состояния охватывающей детали 2.
Рис. 1. Расчетная схема.
На этом рисунке:
г2 - радиус отверстия в охватывающей детали;
Е2 и / — модуль упругости и коэффициент Пуассона охватывающей детали;
р (р) — контактное давление;
Ршх — максимальное значение контактного давления;
р0 — полуугол контакта;
г и р — полярные координаты.
Для упрощения расчетов в работе / 1 / для определения контактного давления было принято допущение о том, что детали соединения с зазором металлические. Приняв //=/=/ = 0,3, при определении контактного давления может получиться ошибка, которая не превышает одного процента. В данной статье можно учитывать реальное значение коэффициента Пуассона охватывающей детали.
Эпюра контактного давления (см. рис. 1) раскладывалась в ряд Фурье [4]
Р (() = Р
МАХ
( т л
1 -
1р0 )
а ш
= у+Е ак •со8 (2 •к ((
к=1
^МАХ • Р0 , ^ Р
+ £^^ (2-к-(о)• сов(2-к-р(, ( 1 )
2 к=1 к
где ^ (2- к -р0) — функция Бесселя первого рода порядка 1 [5] определялась численно с помощью интегрального представления [6].
2
Число членов ряда Фурье выбиралось из условия, чтобы погрешность при разложении для любой угловой координаты р (в том числе, при р>р, где контактное давление равно нулю) не превышала 1 - 2% от рмАх.
Для достижения указанной погрешности с уменьшением полуугла контакта р0 число членов т ряда Фурье увеличивается. К примеру, для малых полууглов контакта р0 < 10° число членов т > 1000 ... 2000. Объясняется это эффектом Гиббса [4], который
проявляется на краях (ориентировочно для углов в диапазоне р0 ± 0,2 ■р) зоны
контактного давления в скачкообразном увеличении разложенного в ряд давления. Для уменьшения числа членов т ряда Фурье использовался множитель Ланцоша [7], с помощью которого число членов удалось снизить на 30 - 40 %, но для малых углов р0 число членов т все равно превышало 1000.
2.4. Исследование напряженного состояния охватывающей детали.
Для определения напряжений в полярных координатах выберем, удовлетворяющую бигармоническому уравнению, функцию напряжений Эри в следующем виде [2, 3]
в = А ■ г2 2 ( г )+Б0-г 2+ С0 • 1п ( г )+Д ■(+
+
т
Х(А ■ г2к + Вк ■ г-2к + Ск ■ г2+2 + Д ■ г2-2к)■ 0С8(2■ к■(),
(2)
к=1
где: А, В, С, Д, А, В, С, Д - произвольные постоянные, которые определяются из граничных условий.
Компоненты напряжений определяются по следующим зависимостям
1 д2в 1 дв (Т„ =-Т-Т + --
г2 др2 г др '
(3)
д2в
дг2
(4)
Тгр дг
д (1 двЛ
г др
(5)
Граничные условия: для г = г2
=-р (р(;
Т„„ = 0 •
гр
для г ^ ю
(Гг = 0;
т = 0.
гр '
Функция Эри дифференцировалась по формулам (3) — (5), затем в полученные выражения подставлялись граничные условия, и после целого ряда преобразований получены следующие зависимости для определения компонентов напряжений
«- =-РмАХ1( I ГН + (2-к• (о )•
к=1
1 - к - 2-к2 ( к• (2-к-1) Л г
+ 1 ^
,2к
-М -соб (2-к-р) (6)
«р =
РмАХ (о | -2
2 I -
+ Е РМАХ * Л (2 - к-(0 )'
к=1
к-1
-
ч 2к
-
СОБ (
(2-к-р)
(7)
^-р=]^РмАГ'^1 (2-к-(0 )-
к=1
* 1-1
-2 к
-2
— I -Бт (2- к- р)
« = / («- + «р)
(8)
(9 )
Анализ напряженного состояния охватывающей детали. Напряженное состояние этой детали определялось для полууглов контакта р0 = 2°; 10°; 20°; 30°; 40°; 50° и 60°.
Для общности результатов расчета вводились безразмерные параметры аЭКВ / рмлх и р = -2 / - . Безразмерный параметр <гэкв / рмлх характеризует эквивалентные напряжения, а р является безразмерным радиусом. Диапазон изменения безразмерного радиуса р составляет от 1 для - = - до 0 для - ^ да .
Используя гипотезу наибольших касательных напряжений [8], определялось напряженное состояние в точках охватывающей детали. Как показал анализ, точка «Б», в которой действует наибольшее значение эквивалентных напряжений «мах, располагается в общем случае в глубине детали под максимальным контактным давлением (при р = 0)
на некотором радиусе Я, см. рис. 1. Для больших полууглов контакта р0 > 500 указанный
радиус Я = -, то есть точка «Б», в которой действует наибольшее эквивалентное
напряжение оМАХ, располагается на поверхности отверстия охватывающей детали.
На рис. 2 показаны графики зависимости безразмерных эквивалентных напряжений «эяв / Ршх от безразмерного радиуса р = -2 / - вдоль оси - для угловой координаты р = 0, см. рис. 1 .
Для примера рассмотрим график, построенный для полуугла контакта (о = 2°, см. рис. 2. Экстремум этого графика соответствует безразмерному радиусу р" = - / Я ~ 0,975 . Отсюда, зная -, можно определить радиус Я .
2
2
т
С увеличением полуугла контакта ро значение безразмерному радиусу р*, который
соответствует экстремуму рассматриваемого графика, сначала уменьшается, а затем возрастает, см. рис. 2. Чтобы лучше понять это изменение на рис. 2 для сравнения приведен аналогичный график для случая, когда отверстие охватывающей детали нагружено равномерным давлением рМАГ .
Рис. 2. Графики изменения безразмерных эквивалентных напряжений стэкв от безразмерного радиуса р для различных полууглов контакта р0
С увеличением полуугла контакта р0 значение безразмерному радиусу р*, который
соответствует экстремуму рассматриваемого графика, сначала уменьшается, а затем возрастает, см. рис. 2. Чтобы лучше понять это изменение на рис. 2 для сравнения приведен аналогичный график для случая, когда отверстие охватывающей детали нагружено равномерным давлением рМАГ .
Графики, изображенные на рис. 2, неудобны для применения, поэтому они были перестроены. На рис. 3 даны графики зависимости наибольшего значения эквивалентных
напряжениий «шх и радиуса Я его залегания от полуугла контакта р0. Причем для
удобства практического применения эти графики совмещены, а для общности даны в безразмерном виде.
Для сравнения на рис. 3 пунктиром показаны аналогичные зависимости в контактной задаче Герца, применимой для малых полууглов контакта [8], когда кривизну отверстия в охватывающей детали не учитывают и площадку контакта считают плоской, линейчатой. Хорошая сходимость с общепризнанной задачей Герца, в зоне в которой она применима, подтверждает правильность выполненных теоретических исследований.
Рис. 3. Графики зависимости наибольшего эквивалентного напряжения «шх и радиуса Я его залегания от полуугла контакта р0
2.5. Исследование деформированного состояния охватывающей детали (определение перемещений точек охватывающей детали).
На рис. 1 показана точка «А» с произвольными координатами - и р, когда
охватывающая деталь 2 ненагружена. После приложения контактного давления Р (р)
точка «А» сместится в точка «А ». При этом и — это ее радиальное перемещение, а V — окружное перемещение. Цель данного подраздела исследований — определение указанных перемещений.
Для данного исследования исходными являются выражения (6) — (9) для компонентов напряжений. Компоненты напряжений связаны следующими зависимостями Гука с радиальными ег, окружными е и угловыми е деформациями:
£„ =
■1 •[(! -М2 •(! + ^2 )•
(10)
К
(11)
2-(1 + ^2)
•г
р
(12)
Подставим в уравнения (10) - (12) значения компонентов напряжений, см зависимости (6) - (9), и получим выражения для деформаций.
Зависимости Коши связывают полученные деформации с радиальными и и окружными V перемещениями:
ег =
ды дг
(13)
ы 1 ду г г др
(14)
1 ды ду V гр г др дг г
(15)
Подставим в уравнения (13) - (15) полученные выражения для деформаций. Затем проинтегрируем полученные зависимости и, сделав целый ряд преобразований, получим формулы для определения искомых перемещений
и =
(1 +")+-! • V
2.к г V И2) к £ 2
соб
( !• к-р\
^2
Ък'г2
2к
(1 + ^2 Ь
.2 к+2
(2 • к -1)^ г2к-1 (2^к +1)^
„2 к+1
+/ (р),
(16)
где Ьк к + 2)"(1-^ ) + ^ ( 2 к - 2)-(1 +ц2 )]
(17)
1 т а у = ^ (2к• рр
К2 к=1 2
2к
2к -1
^к -
Ък Л 2-к^ (1 + ^2 )•
,,2к+2
!• к -1) (2 • к +1)^
,2к+1
- / (р) + /2 (г) , (18)
где ^ =^1--[(2-к - 2)-(1-^2) + ^2-( 2 к + 2)-(1+^)];
(19)
/ (р) и / (г) - неизвестные функции.
2
После ряда преобразований получим следующее дифференциальное уравнение, в которое входят неизвестные функции / (р) и / (-)
/ (р) + - • /2(-) + / (р)-/2 (-) = 0 .
(20)
Решениями этого уравнения будут [6, 9]
Л (р)=с1 •со8 (р)+с2 •8т (р);
/2 ( - ) = сз •-
(21)
(22)
Произвольные постоянные с, С и с определяются из уравнений (16) и (18), используя свойство двойной симметрии задачи. В итоге получили с = С = С = 0 и окончательные выражения для искомых перемещений
и =
а0 -_1_ 2 • Е -
•(1 + Д К" Ё
2 • а, • к
• соб
(2•к•р)
^2 к=1
Ьк • -2
2к
(1 + Д )•
2 к+2
(2• к - !)• -2к-1 (2• к + 1)ч
.2к+1
(23)
1 т а
у = •^ (2 •к •р)'
Е2 к=1 2
„2 к
„2Ат -1
^к -
2 • к •(! + д )• -22 к+2
2• к -1) (2 • к +1)^ -
,2к+1
(24)
где Ък и ек определяются по формулам (17) и (19), а коэффициенты ряда Фурье — из выражения (1).
Построить удобные для практического применения графики по определению перемещений точек охватывающей детали не удалось, так как каждое из перемещений зависит от координат - и р, а также — от полуугла контакта р0.
Для расчета перемещений в конкретной задаче необходимо разработать программу для ЭВМ, исходными данными для которой будут: радиусы деталей соединения - и -, протяженность контакта деталей вдоль оси Ь, модули упругости Е1 и Е2 и коэффициенты Пуассона д и /и2 соединяемых деталей, суммарная силы Б (погонная нагрузка ц = Б / Ь).
Далее, см. работу [1], по графикам определяются полуугол контакта р0 и
максимальное контактное давление рмлх, которые будут дополнительными исходными данными для расчета перемещений.
Задаемся числом членов т ряда Фурье. Если р0 <10°, то рекомендуется т = 1500.
В противном случае рекомендуется т = 1000. Рекомендуемые значения т с гарантией обеспечат точность расчетов, которая принята в п. 2.3 данной статьи.
Программируем вычисление радиального и и окружного V перемещений, см. формулы (23) и (24). При этом Ь и ек определяются по формулам (17) и (19), а коэффициенты ряда Фурье, используя зависимость (1), соответственно равны а0 = РмАХ ро ; ак = РмАХ • (2 • к р ) / к .
ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ
1. Работа посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния безграничной в радиальном направлении охватывающей детали соединения цилиндрических деталей с малым зазором под действием контактного давления. Методика определения контактного давления изложена в предыдущей работе.
2. Исследование проводилось методами задачи плоской деформации теории упругости с известными допущениями.
3. В результате проведенного исследования получены зависимости по определению напряжений, деформаций и перемещений в точках охватывающей детали.
4. В результате анализа установлено, что для полуугла контакта р0 < 530 точка, в
которой действует наибольшие эквивалентные напряжения, располагается в глубине детали под максимальным контактным давлением на некотором радиусе Я. Величина радиуса Я зависит от р0. Для полуугла контакта р0 > 530 указанная точка располагается
на поверхности отверстия охватывающей детали.
5. Для инженерной методики расчета разработаны графики, позволяющие по значениям полуугла контакта, максимального контактного давления и радиуса отверстия в охватывающей детали определять максимальные эквивалентные напряжения в указанной детали и положение точки, в которой они возникают.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Блинов Д.С., Алешин В.Ф. Определение эпюры контактного давления для соединения деталей по цилиндрическим поверхностям с малым зазором (случай, когда охватывающая деталь безгранична в радиальном направлении). Электронный журнал «Наука и образование: электронное научно-техническое издание» МГТУ им.Баумана, # 05, май 2011.
2. Демидов С.П. Теория упругости. - М.: Высшая школа, 1979. - 432 с.
3. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1979. - 560 с.
4. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. - М.: Наука, 1973. - 640 с.
5. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. - М.: Наука, 1964. - 344 с.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1970. - 720 с.
7. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. - М.: Физматгиз, 1961. - 524 с.
8. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в 3-х томах. / Под ред. И.А.Биргера, Я.Г.Пановко . - М.: Машиностроение, т. 2, 1968. - 463 с.
9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1976. - 576 с.
