ИНВАРИАНТЫ СИСТЕМ С МАЛЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ, ОБЛАДАЮЩИХ ДИССИПАЦИЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 539.3

ИНВАРИАНТЫ СИСТЕМ С МАЛЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ, ОБЛАДАЮЩИХ ДИССИПАЦИЕЙ

М. В. Шамолин1

В работе предъявлены тензорные инварианты (первые интегралы и дифференциальные формы) для однородных динамических систем на касательных расслоениях к гладким двумерным многообразиям. Показана связь наличия данных инвариантов и полного набора первых интегралов, необходимых для интегрирования геодезических, потенциальных и диссипативных систем. При этом вводимые силовые поля делают упомянутые системы диссипативными с диссипацией разного знака и обобщают поля, ранее рассмотренные автором. Предъявлены примеры из динамики твердого тела.

Ключевые слова: динамическая система, неконсервативное поле сил. интегрируемость, тензорный инвариант.

Tensor invariants (differential forms) for homogeneous dynamical systems on tangent bundles to smooth two-dimensional manifolds are presented in the paper. The connection between the presence of these invariants and the full set of first integrals necessary for integration of geodesic, potential, and dissipative systems is shown. At the same time, the introduced force fields make the considered systems dissipative with dissipation of different signs and generalize the previously considered ones. We represent the typical examples from rigid body dynamics.

Key words: dynamic equations, nonconservative force field, integrability. tensor invariant.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-2-1

Введение. Как известно fl 3], наличие достаточного количества не только первых интегралов (скалярных инвариантов), но и других тензорных инвариантов (например, дифференциальных форм) позволяет проинтегрировать систему дифференциальных уравнений. Так, например, существование инвариантной формы фазового объема помогает произвести точное интегрирование. Для консервативных систем этот факт естествен. А вот для систем, обладающих притягивающими или отталкивающими предельными множествами, и некоторые первые интегралы, и коэффициенты инвариантных дифференциальных форм должны быть функциями, вообще говоря, с существенно особыми точками [4 6].

Так, например, задача о движении плоского (пространственного) маятника на цилиндрическом (сферическом) шарнире в потоке набегающей среды приводит к системе на касательном расслоении к одномерной (двумерной) сфере, при этом метрика специального вида на ней индуцирована дополнительной группой симметрий. Динамические системы, описывающие движение такого маятника, обладают знакопеременной диссипацией, и полная система первых интегралов (см. также общий интеграл [7] уравнений движения маятника) состоит из функций, имеющих существенно особые точки и выражающихся через элементарные функции. Известны также задачи о движении точки по двумерным поверхностям вращения, плоскости Лобачевского и т.д. Здесь особенно важно отметить присутствие в рассматриваемых системах именно неконсервативного поля сил [5, 6].

В настоящей работе предъявлены тензорные инварианты (дифференциальные формы) для однородных динамических систем на касательных расслоениях к гладким двумерным многообразиям. Показана связь наличия данных инвариантов с полной системой первых интегралов, необходимых для интегрирования геодезических, потенциальных и диссипативных систем. При этом вводимые силовые поля превращают указанные системы в диссипативные с диссипацией разного знака и обобщают поля, ранее рассмотренные автором.

1. Плоский маятник в потоке набегающей среды [8]. Кратко охарактеризуем задачу о физическом маятнике на цилиндрическом шарнире в потоке набегающей среды, рассмотрение которой начато в [8]. Пространство положений такого маятника одномерная окружность S^mod 2п}, фазовое пространство — касательное расслоение ТБ1{в; в mod 2п} к ней, т.е. двумерный цилиндр.

1 Шамолии Максим Владимирович доктор физ.-мат. паук. проф.. вед. пауч. сотр. лаб. общей механики НИИ механики МГУ. e-mail: shamolinOrambler.ru.

Shamolin Maksim Vlatlimirovich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lead Research Scientist, Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics, Laboratory of General Mechanics.

© Шамолии M. В..'2024 -

© Shamolin M. V., 2024 (cc)]

При рассматриваемых модальных предположениях в [8, 9] выписано уравнение движения такого маятника. Ранее доказано утверждение [9] о том, что динамическая система, описывающая поведение этого маятника, траекторию топологически эквивалентна следующему дифференциальному уравнению на двумерном цилиндре:

в + hd cos в + sin в cos в = 0, h > 0.

(1)

Уравнение (1) может быть переписано в виде системы на фазовом цилиндре R1{w} х {a mod 2п} (a = в + п):

а = —ш + h sin a, ш = sin a cos a, (2)

фазовый портрет которой представлен на рисунке при 0 < h < 2.

Вообще же говоря, при h < 2 точки покоя (пк, 0), k € Z, являются фокусам и, при h = 2 —

h>2

h=0

вативная система (2) обладает аналитическим первым интегралом (энергии):

ш2 sin2 a

2 +' 2

(3)

при этом ее фазовый поток сохраняет площадь на плоскости М2{а, ш}, т.е. сохраняется дифференциальная 2-форма

Портрет системы (2) на фазовом цилиндре

da Л dw

(4)

площади с единичной плотностью (поскольку дивергенция векторного поля системы (2) при Н = 0 тождественно равна нулю). При интегрировании системы можно использовать или первый интеграл (энергии) (3), или факт сохранения фазовой площади (инвариантность формы (4)). Н=0

(асимптотические) предельные множества, (автономный) первый интеграл системы функция, имеющая существенно особые точки.

Предложение 1. (Автономный) первый интеграл системы (2) имеет вид

$o(a,w) = sin a ехрФо(С), Фо(С) = J

(( — h)d( С2 - h( + 1:

С =

ш

sin a

Доказательство. Если т = sin a, то системе (2) можно поставить в соответствие однородное уравнение dw/dT = т/(-w + hT), в котором заменой w = разделяются переменные: (h — Z= (Z2 — hZ + 1)d^. Из последнего равенства и получается искомый результат. □

Заметим, что асимптотические предельные множества находятся из недифференциальной системы равенств sin a = 0, w = 0 (см. также [10]).

Заметим также, что в точках, задаваемых последними равенствами, приведенная функция как первый интеграл не просто не определена, а имеет особенности в виде существенно особых точек (в смысле комплексного анализа). В остальных точках фазового пространства первый интеграл рассматриваемой системы можно считать гладкой функцией (см. также [4]). Данное замечание распространяется и на многие другие первые интегралы настоящей работы (в каждом конкретном случае координаты существенно особых точек уточняются).

Поскольку у системы (2) имеются асимптотические предельные множества (см. рисунок), не существует никакой даже абсолютно непрерывной функции, являющейся плотностью меры фазовой плоскости (ср. с [3, 8, 9]). Но можно (наряду с первым интегралом) предъявить инвариантную дифференциальную 2-форму с коэффициентами, являющимися функциями, имеющими существенно особые точки.

Предложение 2. Система (2) (векторное поле системы (2)) обладает следующей инвариантной дифференциальной 2-формой:

T1(a, ш) = exp {—Л-Ф^С)} da Л dw, Ф1(() = J

dZ

С2 — hZ + 1

, С =

ш

sin a

Доказательство. Если vo(a, w) — векторное поле системы (2), то будем искать функцию p(a, w), порождающую искомую 2-форму p(a, w)da Л dw, как решение линейного уравнения

div[p(a, w)v0 (a, w)] =0

в частных производных. Поскольку divvo(a, w) = h cos a, система уравнений характеристик состоит из системы (2) и уравнения p = —hp cos a.

Если т = sin a, то системе уравнений характеристик можно поставить в соответствие два однородных уравнения dw/dT = т/(—w + hT),dp/dT = —hp/(—w + hT), в которых заменой w = Zt разделяются переменные: TdZ/dT = (Z2 — hZ + 1)/(—Z + h), Tdp/dT = — hp/(—Z + h). Из двух последних равенств вытекает соотношение dZ/dp = (Z2 — hZ + 1)/(—hp), из которого легко получается искомое решение. □

2. Пример более общей системы с одной степенью свободы. Рассмотрим гладкую динамическую систему на плоскости R2{a, w} с одной степенью свободы a следующего вида:

a = —w + b5(a), w = F(a), (5)

которая переписывается в виде уравнения a — b5'(a)a + F (a) = 0.

Пара гладких функций (F(a), 5(a)) определяет силовое толе в системе: функция F(a) описывает консервативную составляющую поля, а функция 5(a) — возможные рассеяние или подкачку энергии в системе. Легко проверяется, что при b = 0 консервативная система (5) обладает гладким первым интегралом (энергии):

а

у + J F(0d(, (6)

ао

при этом ее фазовый поток сохраняет площадь на плоскости R2{a, w}, т.е. сохраняется дифференциальная 2-форма

da Л dw (7)

площади с единичной плотностью (поскольку дивергенция векторного поля системы (5) при b = 0 тождественно равна нулю). При интегрировании системы можно использовать или первый интеграл (энергии) (6), или факт сохранения фазовой площади (инвариантность формы (7)).

b=0

тягивающие или отталкивающие (асимптотические) предельные множества, (автономный) первый интеграл системы — функция, имеющая существенно особые точки [11]. Приведем явный вид данной

F

Предложение 3. Если F(a) = A5(a)5'(a), Л € R то (автономный) первый интеграл, системы (5) имеет вид

*(а,И) = íWexp®«), ®<0 = ff^T-y < = Щ-

Доказательство. Системе (5) можно поставить в соответствие однородное уравнение dw/d5 =

A5/(—w + b5), в котором заменой w = Z5 разделяются переменные: (b — Z)5dZ = (Z2 — bZ + A)d5. Из

□

Заметим, что асимптотические предельные множества находятся из недифференциальной системы равенств 5(a) = 0,w = 0 (см. также [10]).

Поскольку у системы (5) появляются асимптотические предельные множества, не существует никакой даже абсолютно непрерывной функции, являющейся плотностью меры фазовой плоскости (ср. с [8, 9]). Но можно (наряду с первым интегралом) предъявить инвариантную дифференциальную 2-форму с коэффициентами, являющимися функциями, имеющими существенно особые точки.

(5) ( (5))

антной дифференциальной 2-формой:

T(a-w) = exp{"Ю(0}daЛв(° = /

dZ w

Z=

Z2 — bZ + A' s 5(a)-

Доказательство. Если VI (а, ш) — векторное поле системы (5), то будем искать функцию р(а, ш), порождающую искомую 2-форму р(а, ш^а Л dw, как решение линейного уравнения

сЦу[р(а, ш)г>1 (а, ш)] =0

в частных производных. Поскольку с1гто1(а, ш) = ЬЬ'(а), система уравнений характеристик состоит из системы (5) и уравнения р = -Ър5'(а).

Системе уравнений характеристик можно поставить в соответствие два однородных уравнения йш/йЬ = АЬ/(—ш + ЬЬ), йр/йЬ = —Ьр/(—ш + ЬЬ), в которых заменой ш = (5 разделяются переменные: Ьй(/йЬ = ((2 — Ь( + А)/(-С + Ь), Ьйр/йЬ = —Ьр/(—( + Ь). Из двух последних равенств вытекает соотношение й(/йр = (£2 — Ь( + А)/(—Ьр), из которого легко получается искомое решение. □

3. Инварианты систем уравнений геодезических. Рассмотрим гладкое двумерное ри-маново многообразие М2{а, в} с римаповой метрикой дц(а, в), порождающей аффинную связность Гг^к(а,в), и изучим структуру уравнений геодезических линий на касательном расслоении

ТМ2{а, в; а, в} (ср. с [12, 13]) при изменении координат на нем. Для этого рассмотрим далее достаточно общий случай задания кинематических соотношений в следующем виде:

а = ¿2/2^), в = ¿1Л (а), (8)

где Д(а) и /2(а) — достаточно гладкие функции, не равные тождественно нулю. Такие координаты г1, ¿2 в касательном пространстве вводятся тогда, когда рассматриваются уравнения геодезических, например, с тремя ненулевыми коэффициентами связности (в частности, на расслоении (двумерных) поверхностей вращения, плоскости Лобачевского и т.д.):

а + Гаа(а, в)а2 + Г^(а, в)/?2 = 0, £ + (а, в)а/3 = 0, (9)

т.е. остальные коэффициенты связности равны нулю.

В случае кинематических соотношений (8) необходимые соотношения, их дополняющие на касательном расслоении ТМ2{г2,г1; а, в}, примут вид

¿1 = —/2 (а) -¿2 = —/2 (а)

2Г +

й 1п |/2(а)|

Г^а (а, в) +

йа

¿1 ¿2,

>'«)г (10) /2

и уравнения (9) геодезических почти всюду эквивалентны составной системе (8), (10) на многообразии ТМ^¿2, ¿1; а, в} с новыми координатами ¿1,22 на касательном пространстве.

Для полного интегрирования системы (8), (10) необходимо знать, вообще говоря, три независимых тензорных инварианта: или три первых интеграла, или три независимые дифференциальные формы, или какую-то комбинацию из интегралов и форм. При этом, конечно, первые интегралы (в частности, для уравнений геодезических) можно искать и в более общем виде, чем рассмотрено далее.

В [6, 9] исследуются примеры систем геодезических на двумерной сфере с различными метриками, а в [13] — примеры систем геодезических на двумерных поверхностях вращения и на плоскости Лобачевского.

Теорема 1. Если выполнены условия

/2(а)Гав (а, в) + /2 (а)

.0, + (11)

йа

С (а,в)=гав (а) (12)

то система (8), (10) обладает, тремя независимыми первыми интегралами вида

^(¿2, ¿1) = ¿2 + ¿2, (13)

$2^1; а) = ¿1Фо(а), Фо(а) = Д(а) ехр I 2 ^Г^(Ь)йЬ, (14)

I ао )

а

Ф3(а,(3)=(3т [-йЪ_ (15)

■} /2 ШС1Ф1{Ъ)-С1

ао

Более того, после некоторого ее приведения — замен независимой переменной

и фазовой

dt ат

Z I = ln |zi|

(16)

(17)

— фазовый поток системы (8), (10) сохраняет, фазовый объем, с постоянной плотностью на касательном расслоении ТМа, т.е. сохраняется дифференциальная форма

dz2 Л dz^ Л da Л d^-

(18)

Доказательство. Докажем для начала вторую часть теоремы 1, а именно сделаем замену (16) независимой переменной, а (17) — фазовой. Тогда система (8), (10) примет вид

a = Z2, Z2

¿í - 0 = е*-Л<в>

/Ka)

/Ka)

/2(a)'

(19)

при этом в системе (19) точкой обозначена также производная по новому независимому переменному т. Видно, что дивергенция правой части системы (19) тождественно равна нулю, что и доказывает вторую часть теоремы.

Докажем первую часть теоремы о существовании трех первых интегралов. Действительно, дифференцирование функции (13) в силу системы (8), (10) дает

- 2/2 (a)

ra«(a,e) +

d ln | /2 (a) |

da

z

-2

/2 (a)

2Г^в (a, в) +

dln|/i(a)|

da

+ /2(a)rae (a, в)

^ = 0 ЛИ " '

если выполнена система дифференциальных равенств (11).

Дифференцирование функции (14) в силу системы (8), (10) в условиях теоремы дает

—/2 (a)

2Г i(a) +

din \f(a)\ da

^ d$o(a)4|

Но функция $o(a) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

d$0(a) da

2Г i(a) +

din\f(a)\ da

$o(a),

что и доказывает наличие первого интеграла (14).

Далее, рассмотрим два уровня С2 и С2 первых интегралов (13) и (14) соответственно. На этих уровнях справедливо равенство

(20)

= i

vc2$2(«)-c2'

в

dP_ _ zi /i(a) da 22/2(0)'

Используя в этом уравнении равенство (20), и получаем требуемое утверждение о наличии первого интеграла (15). Теорема полностью доказана. □

Система равенств (11) может трактоваться как возможность преобразования квадратичной формы метрики к каноническому виду с законом сохранения энергии (13) (или см. ниже (22)) в зависимости от рассматриваемой задачи. История и текущее состояние рассмотрения данной более общей проблемы достаточно обширны (отметим лишь работы [13, 14]). Ну а поиск как первого интеграла (13), так и (14) опирается на наличие в системе дополнительных групп симметрий [5, 6].

4. Инварианты потенциальных систем. Несколько модифицируем систему (8), (10), введя в нее консервативное гладкое силовое поле в проекциях на оси ¿1, ¿2 соответственно:

^(22, 21; а) =

/*1(в)А(а)\

^2(а)/2(а)У '

Рассматриваемая система на касательном расслоении ТМ2{22,21; а, в} примет вид а = ¿2/2 (а),

¿2 = ^2(а)/2(а) - /2 (а)

¿1 = ^1(вШа) - /2(а) /? = ¿1/1 (а),

Г^а (а, /) +

(а, в) +

<Пп|/2(а)|

йа

¿1п|/1(а)|

йа

¿2

2 /1 (а)-

/2 (а)

га« (а, в )¿2,

(21)

и она почти всюду эквивалентна следующей системе:

а - ^2(а)/2(а) + Гаа(а, в)а2 + ^(а, /)/?2 = 0, /3 - ^(в)/2(а) + 2^(а, /)а/3 = 0

на касательном расслоении ТМ2{а,/?;а,/}.

Теорема 2. Е'слм выполнены, условия (11) (12) то система (21) обладает, тремя независимыми первыми интегралами вида

а в

Ф1 (¿2,¿1 ) = ¿2 + ¿2 + V(а, /), V(а,/) = Р2(а)+ У1(в) = -2 J ^(а)йа - 2J *1(Ь)йЬ,

(22)

ао

во

а также при ^1(в) = 0 — первым, интегралом (14) и интегралом

а

С /1(Ь)

Фз(а,/) = в ^ /

ао

(23)

Более того, после некоторого ее приведения — замен независим,ой переменной (16) и фазовой (17) — фазовый поток системы (21) сохраняет фазовый объем, с постоянной плотностью на касательном расслоении ТМ^¿^¿^ а, в}, т.е. сохраняется дифференциал,ьная форма (18).

Доказательство. Докажем для начала вторую часть теоремы 2, а именно сделаем замену (16) независимой переменной, а (17) — фазовой. Тогда система (21) примет вид

« = га, ¿2 = *Ь(а) - г{ = $ =

(24)

при этом в системе (24) точкой обозначена также производная по новому независимому переменному т. Видно, что дивергенция правой части системы (24) тождественно равна нулю, что и доказывает вторую часть теоремы.

Докажем первую часть теоремы о существовании трех первых интегралов. Действительно, дифференцирование функции (22) в силу системы (21) дает

2¿2F2(а)/2(а) + 2¿l^(в)Д(а) - 2/2(а)

й 1п | /1 (а) |

Гаа(а,в) +

2

/2 (а)

' йа

- 2¿2^Ъ(а)/2(а) - 2¿lFl(в)/1 (а) = 0,

если выполнена система дифференциальных равенств (11).

+ /2(а)Гав (а, в)

<Пп|/2(а)|

йа

/2(а)

Дифференцирование функции (14) в силу системы (21) в условиях теоремы дает

й 1п |/(а)|

—/2 (а)

2Г1(а) +

йа

(1Ф0(а) )

Фо

Но функция Фо(а) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

(1Ф0(а) йа

2Г 1(а) +

<Пп|/(а)|

йа

Фо(а),

что и доказывает наличие первого интеграла (14).

Далее, в условиях теоремы первый интеграл (22) примет вид 2 2 + + V(а, во)- Рассмотрим С С2

равенство

- = Т , С2 (25)

Угол в будем искать из следующего уравнения, полученного из уравнений исследуемой системы:

(Щ _ 21 /1 (а) (1а 22/2(0)"

Используя в этом уравнении равенство (25), и получаем требуемое утверждение о наличии первого интеграла (23). Теорема полностью доказана. □

5. Инварианты систем со знакопеременной диссипацией. Далее несколько модифицируем систему (21), введя в нее гладкое силовое поле с диссипацией. Наличие последней (вообще говоря, знакопеременной) характеризуют не только коэффициент Ь5(а), Ь > 0, в первом уравнении системы (26) (в отличие от системы (21)), но и следующая зависимость (внешнего) силового поля в проекциях на оси 2 1, ¿2 соответственно:

—вЦ -2; % $) •

Рассматриваемая система на касательном расслоении ТМ2{22,21; а, в} примет вид а = 22 /2 (а) + Ь5(а),

22 = ВД/2(а) — /2(а) га«(а,в) + ¿1 = *1(в)/1 (а) — /2 (а)

<Пп|/2(а)|

йа

222

(26)

2Г^в (а, в) +

<Пп|/1(а)|

йа

2122 + 21 ^ (а),

/в = 21/1 (а),

и она почти всюду эквивалентна следующей системе:

а —\ Ь5'(а) + *2(а) + Ь5(а)

2Га„ (а, в) +

й 1п |/2(а)|

йа

а—

— ^2(а)/22(а) + Ь5(а)^21 (а) + Ь252(а)

+ Г««(а,в )а2 +Га/3(а,в )в2 =0, в — { ^(а) + Ь5(а) 2Г^ (а, в) +

— ^1(в)/12(а)+2Г^в (а,в)а в? = 0

на касательном расслоении ТМ2{а, в; а, в}•

Га„(а,в) +

й 1п | /1 (а) |

<Пп|/2(а)|

йа

+

йа

в—

Будем интегрировать систему четвертого порядка (26) при выполнении свойств (11), (12), а также для простоты при (в) = 0. При этом происходит отделение независимой подсистемы третьего порядка:

а = 22/2(а) + Ъ5(а), ¿2 = ^2(а)/2(а) - + ^(а)

¿1 = ^^(а)г1г2 + г1Р1(а)

(27)

при наличии также четвертого уравнения

Р = ¿1/1 (а). (28)

Будем также предполагать, что для некоторого к € К выполнено равенство

= к35|А(а)| = • А{а) = Ш- (29)

а для некоторых АЦ, Ак € К к = 1, 2, должны выполняться равенства

^(а) = /2(а)^Д(а) = А£Д'(а)/2(а), к = 1,2.

(30)

Условие (29) назовем "геометрическим", а условия из группы (30) — "энергетическими". Условие (29) названо геометрическим в том числе потому, что оно накладывает условие на ключевой коэффициент связности Г^, приводя соответствующие коэффициенты системы к однородному виду относительно функции Д(а). Условия же группы (30) названы энергетическими в том числе потому, что силы становятся в некотором смысле "потенциальными" по отношению к функциям Д2(а)/2 и Д(а).

Теорема 3. Пусть выполняются условия (29) и (30). Тогда система (27) (28) обладает, тремя независимыми первыми интегралами, имеющими существенно особые точки [4, 11]. Более того, у нее также существуют три функционально независимые между собой инвариантные дифференциальные формы.

Доказательство. Для начала сопоставим системе третьего порядка (27) неавтономную систему второго порядка:

йг2 Р2Щ2(а) - + ^(а) ^ _ ^Г^а)^ + г^Ца)

йа ¿2 /2(а) + &£(а) ' йа ¿2/2(а) + Ь£(а) '

которую, введя однородные переменные Пк, ¿к = икД(а), к = 1, 2, перепишем в виде

сЫ2 _ Р2{аЩа) - Щг^(о:)А2(о>2 - А'(а)5(а)у?2 + [А(а)^(а) - ЬА'(а)6(а)]и2 йа и26(а) + Ь5(а) '

_ [|^}г^(а)А2(а) - Д'(аЖа)]цЩ2 + [Д(а)^(а) - ЬА'(а)6(а)]и1 йа и26(а) + Ь5(а)

В свою очередь при выполнении условий теоремы перепишем полученную систему следующим образом:

дС?-и2 А° — ки\ — + [Аз — Ь]и2 [к — 1]«1«2 + [А] — Ь]щ , .

Ж ~ и2 + Ъ ' Ж ~ и2 + Ъ ' ^ '

и она легко приводится к уравнению первого порядка:

йп2 А0 - кп2 - п2 + (А2 - Ь)п2

йп1 (к - 1)п1п2 + (А1 - Ь)п1

Уравнение (32) имеет вид уравнения Абеля. В частности, при к = —1, Л1 = Л2 оно обладает следующим первым интегралом:

и2 + «1 — (Л1 — Ь)«2 — Л2

«1

(33)

из которого находится ключевой первый интеграл.

Далее, найдем явный вид дополнительного первого интеграла системы третьего порядка (27) при к = —1, Л1 = Л2. Для этого преобразуем первый интеграл (33), приравняв его к С1, при «1 = 0 следующим образом:

«2 +

—Л1 + Ь

+ «1 —

С1

(Л1 — Ь)2 + С?

+ л°

2 ) ' 2 ) 4

Видно, что параметры соотношения (34) должны удовлетворять условию

(л1 — Ь)2 + с2 + 4Л2 ^ 0

(34)

(35)

и фазовое пространство системы расслаивается на семейство поверхностей, задаваемых равенством

к = — 1 Л 1 = Л 12

вид

йД («2 + Ь)й«2

(36)

Д

и2(С1,«2)

где

и2(С1,и2) = 2[/1Ы - Щ- |С1 ± \jc\- 4С/1(«2)|, ^Ы = и22 + (6 - А})и2 - А°, С\ ф 0,

С1

пека дополнительного первого интеграла системы (27) получается из соотношения (36). При интегрировании левой части (с точностью до аддитивной постоянной) очевидно получаем — 1п |Д(а)|. Если «2 — (Л1 — Ь)/2 = п, Ь2 = (Л1 — Ь)2 + С2 + 4Л2, то при интегрировании правой части равенства

(36) имеем

й(Ь? — 4г2)

4 7 (б2 -4г2) ±С1Л/Ь'( -4г'1

+ Ь

йГ1

(б2 -4г2) ±С1Л/Ь'( -4г(

2

С1

1

/1

йгз

л/ьГ^^з ± Сх)"

Гз = л/Ь2 —

(37)

При вычислении интеграла (37) возможны три случая. 1) (Л1 — Ь)2 > —4Л2 • Тогда

/1 = —

+

1п

у/(Х\ - Ь)2 + 4А° +

гз ± С1

±

С1

2^(Л}-6)2 + 4Л^

1п

л/(^1 - ьу + 4Лз - УбГ^2

гз ± С1

Т

С1

+

2) (Л1 — Ь)2 < — 4Л2. Тогда

/1

агсвт

. ±С1Гз + Ь2

+ соп в ^

д/—4Лз - (Л} - б)2 Ь1(г3±С1)

+ соп st•

3) (Л1 — Ь)2 = — 4Л2. Тогда

/1 = Т

д/б2 — ^

С1(гз ± С1)

+ соп в ^

з

1

1

з

Найдем первый интеграл, используя уравнение (28). Из системы (27), (28) получим уравнение (пусть формально 21 = 22 = -ш2):

йР_ = гигМа) _

йа ъи2/2(а) + Ъ5(а)'

Выше были найдены два функционально независимых первых интеграла ©к (-Ш2, -Ш1; а) к = 1, 2, системы (27), не зависящие от переменной Рассмотрим их поверхности уровня ©к(^2,^1; а) = С&. Поскольку д(©1(ад2,ад1; а), ©2(-ш2,-ш1; а))/д(-ш2,ад1) = 0 почти всюду, то по теореме о неявной функции существуют достаточно гладкие функции

•Ш2 = ^(а; С1, С2), = ^(а; С1, С2), (39)

при подстановке в равенства ©^(^2,^1; а) = Ск, к = 1, 2, дающие тождества, а значит, сотканные из решений рассматриваемой системы. Таким образом, при подстановке функций (39) в уравнение (38) имеем следующее дифференциальное соотношение:

= \¥1(а]С1,С2)Ь(а) Ла \¥2(а] С1, С2)/2(а) + Ы(а) '

позволяющее найти искомое инвариантное соотношение в квадратурах:

а

* ~ .1 ИЪ(а;СьС2)/2(а)+ВД ^ = = ^

ао

и имеющее следующий структурный вид: ©з(а, /) = С (а, /, С1, С2) = Сз = сопst.

В общем случае первые интегралы выписываются громоздко (поскольку приходится интегри-

к = — 1 Л 11 = Л 12 интеграла (благодаря (33)) в прежних переменных таков:

=С1 1ДЙ' дм;=-«ш-• (40)

При этом другие два первых интеграла имеют следующие структуры:

©2(22,21;«) = 02 (А(а)>д^у> А^а)) ' ^

©з(а, в) = С (а, в). (42)

Выражение функций (40)-(42) (или С1, С2, Сз) через элементарные функции зависит от явного вида функций Д(а), /к(а), к = 1, 2, и 5(а).

Далее, функции (40)-(42) имеют существенно особые точки, задаваемые системой 21 =0, 22 = 0, Д(а) = 0

интегралов можно трактовать как набор гладких функций.

Продолжим доказательство теоремы. Система (27), (28) при выполнении свойств (29), (30) имеет следующий вид (2к = к = 1, 2):

а = -ш2 /2(а) + Ь5(а),

ь]2 = А2А(а)А/(а)/2(а) - ц;2 + А2ад2/2(а)А'(а), ^

й>1 = к/2(а)^^и)1и)2 + А|-Ш1/2(О;)А/(О;),

Д(а) 1

/3 = ^1/1 (а).

(44)

После ее некоторого приведения — замен независимой переменной = /г(а)й/йт и фазовой w\ = 1п |1 — составная система (43), (44) примет вид

а = Xа(w2, w:[; а) = w2 + ЬД(а),

гЬ2 = Хад2Сш2,Ц;а:) = Х°2А(а)А'(а) - «^¿у + Л£ги2Д'(а)> ^

Ц = Хт^2,и]1]а) = к д^^г + Л^А'(ск),

= = (46)

при этом в составной системе (45), (46) точкой обозначена производная по т.

Для составной системы (45), (46) будем искать интегральные инварианты с плотностью

а, в),

соответствующие дифференциальным формам объема р^2а, в)йш2 Л dwl Л йа Л йв, из следующего линейного дифференциального уравнения:

сЦу [p(w2, wí; а, в)Х, wí; а, в)] =0, (47)

где X(w2, ; а, в) = {Xа(w2, а), Хад2 (w2, а), Хш|(w2, ; а), Xа)} — векторное поле рассматриваемой составной системы (45), (46) в координатах а, в). Уравнение в частных производных (47) перепишется в виде

Ха^^ а)ра + Х^2^2^; а)р^2 + Хш|^2^; а)рш| + Хва)рв = -р&уХ; а,в), (48)

при этом сЦуХ(w2,w £; а, в) = (Ь + А2)Д'(а).

Тогда система уравнений характеристик уравнения (48) примет следующий вид:

или

а = ХаI;а), W2 = Х^2^2^;а), го^ = Хад |^2^;а), $ = ХвК;а), р = -р(Ь + А2)Д'(а).

Сопоставим системе (49) следующую неавтономную систему:

с1и)2 _ А^А(а)А(а) - кА(а)и}1/А(а) + А^гу2А(а)

йа w2 + ЬД(а) '

с1ъи 1 кД(а:)«;1«;2/Д(а:) + А1гУ1А(а) с?р (6 + А2)рА(а)

йа w2 + ЬД(а) ' йа w2 + ЬД(а) '

А0Д - кw 2/Д + А2w2 ^ 1 кw 1 w2/Д + А 1 w 1 йр (Ь + А2)р "Ж ~ гу2 + 6А ' Ж ~ гу2 + 6А ' Ж ~ ~ гу2 + 6А '

Введя переменные п 1, п^ W2 = П2Д, w 1 = п 1Д, перепишем (50) в виде (31) и

йр (Ь + А2) р

(49)

(50)

Д

йД п2 + Ь

Как указано выше, из уравнений (31) получается первый интеграл (40). Из квадратуры (36)

к = -1 А = А2

И наконец, из квадратуры

йр йп2

(6 + А})р = и2(С1,и2)

р

дующее инвариантное соотношение:

р ■ ехр {-(6 + А1) I = С, = сот*,

^(С 1,п2 ).

в левой части которого стоит недостающий первый интеграл системы уравнений (49).

Таким образом, общее решение линейного уравнения (48) примет следующий вид:

где Н [©1, ©2, ©з] — произвольная гладкая функция трех аргументов, при этом ©1, ©2, ©з — три первых интеграла (40)-(42) соответственно.

В частности, в качестве трех функционально независимых решений линейного уравнения (48) в частных производных можно взять следующие функции {пк = Wk/Д(а), к = 1, 2):

Р1(гу2,гу1;а) =ехр|(6 + Л}) Щ^^)} • ©1(^2,^1; а),

р2(и)2,и)1-,а) =ехр|(6 + Л}) Щ^^)} • ©2(^2,^1; а),

ръ(у)2,У)1-,а,р) = ехр |(6 + Л}) J } ' ©з(«,/?)■

Теорема 3 полностью доказана. □

Для полной интегрируемости системы (27), (28) можно использовать или три первых интеграла, или три независимые дифференциальные формы, или какую-то комбинацию (только независимых элементов) из интегралов и форм (ср. с [2, 3, 16]).

Сведения о строении первых интегралов для рассматриваемых систем с диссипацией можно также почерпнуть из [5, 6, 9]. Заметим лишь, что для систем с диссипацией свойство обладания первыми интегралами существенно особыми точками следует из наличия в системе притягивающих или отталкивающих предельных множеств.

В заключение можно сослаться на многочисленные приложения, касающиеся интегрирования систем с диссипацией на касательном расслоении к двумерной сфере, а также более общих систем на расслоении двумерных поверхностей вращения и плоскости Лобачевского [16, 17].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Poincaré H. Calcul des probabilités. Paris: Gauthier-Villars, 1912.

2. Колмогоров A.H. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе // Докл. АН СССР. 1953. 93, № 5. 763-766.

3. Козлов В. В. Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений / / Успехи матем. наук. 2019. 74, вып. 1(445). 117-148.

4. Шамолин М.В. Об интегрируемости в трансцендентных функциях // Успехи матем. наук. 1998. 53, вып. 3. 209-210.

5. Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем нечетного порядка с диссипацией // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. 491, № 1. 95-101.

6. Шамолин М.В. Новые случаи однородных интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении двумерного многообразия // Докл. РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. 494,№ 1. 105-111.

7. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1959.

8. Самсонов В.А, Шамолин М.В. К задаче о движении тела в сопротивляющейся среде // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1989. № 3. 51-54.

9. Шамолин М.В. Динамические системы с переменной диссипацией: подходы, методы, приложения // Фунд. и прикл. матем. 2008. 14, вып. 3. 3-237.

10. Козлов В.В. Рациональные интегралы квазиоднородных динамических систем // Прикл. матем. и механ. 2015. 79, № 3. 307-316.

11. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1987.

12. Трофимов В.В. Симплектические структуры на группах автоморфизмов симметрических пространств // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1984. № 6. 31-33.

13. Клейн Ф. Неевклидова геометрия / Пер. с нем., 4-е изд., испр., обновл. M.: URSS, 2017.

14. Вейль Г. Симметрия. M.: URSS, 2007.

15. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

16. Трофимов В.В., Шамолин М.В. Геометрические и динамические инварианты интегрируемых гамильто-новых и диссипативных систем // Фуид. и прикл. матем. 2010. 16. вып. 4. 3 229.

17. Трофимов В.В., Фоменко А. Т. Методика построения гамильтоновых потоков на симметрических пространствах и интегрируемость некоторых гидродинамических систем // Докл. АН СССР. 1980. 254. № 6. 1349 1353.

Поступила в редакцию 11.05.2022

УДК 517.5

О БАЗИСНОСТИ СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ СИНУСОВ И КОСИНУСОВ В ВЕСОВЫХ ГРАНД-ПРОСТРАНСТВАХ ЛЕБЕГА

М. И. Исмайлов1, И. Ф. Алиярова2

Работа посвящена базисности системы экспонент и тригонометрических систем синусов и косинусов в сепарабельном подпространстве весового гранд-пространства Лебега, порожденном оператором сдвига. Посредством оператора сдвига определяется сепарабельиое подпространство Gp)p(a, 6) весового гранд-пространств а Лебега Lp)p(a, 6). Изучена плотность множества G§°([a, 6]) бесконечно дифференцируемых, финитных на [a, 6] функций в Gp) p(a, 6) Доказывается, что если весовая функция р удовлетворяет условию Макенхо-упта, то система экспонент {emi}neZ является базисом в Gp),p(—п, п), а тригонометрические системы синусов {sinи косинусов {cosnt}n^0 — базисами в Gp) p(0,n).

Ключевые слова: система экспонент, базисность, весовое гранд-пространство Лебега, условие Макенхоупта, оператор сдвига.

The paper is focused on the basis property of the system of exponentials and trigonometric systems of sine and cosine functions in a separable subspace of the weighted grand Lcbesgue space generated by the shift operator. In this paper, with the help of the shift operator, a separable subspace Gp),p(a, 6) of the weighted space of the grand Lebesgue space Lp),p(a, 6) is defined. The density in Gp),p(a, 6) of the set G§°([a, 6]) of infinitely differentiable and finite on [a, 6] ч с р

condition, then the system of exponentials {emi}neZ forms a basis in Gp) p(— п, п), and trigonometric systems of sine {sin and cosine {cos functions form bases in Gp) p(0, п).

Key words: exponential system, basis, weighted grand Lebesgne space, Mackenhonpt condition, shift operator.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-2-2

1. Введение. В последнее время в связи с важными приложениями сильно возрос интерес к решению различных задач в нестандартных пространствах, таких, как лебеговы пространства с неременным показателем суммируемости, пространства Морри, гранд-пространства Лебега и др. Базисность системы экспонент и ее возмущений в пространствах Лебега с переменным показателем суммируемости и в пространствах Морри изучалась в работах [1 4|. Отметим, что вопросу базисности возмущенной системы экспонент в лебеговых пространствах посвящены работы [5 11], а в весовых лебеговых пространствах со степенным весом статьи [12 15] и др. В настоящей работе изучается базисность системы экспонент в весовых гранд-пространствах Лебега Lp) p(—п,п) с весом общего вида. В работе К. И. Бабенко [16] устанавливается, что система {|t|a emt}neZ образует базис

1 Исмайлов Мигдад Имдад оглы доктор мат. паук, доцепт каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та Вакип. гос. ун-та., e-mail: migdad-ismailovOrambler.ru.

Ismailov Migdad Imdad oglu Doctor of Mathematical Sciences, Associate Frofessor, Baku State University, Faulty of Mechanics and Mathematics, Department of Theory of Functions and Functional Analysis.

1 Алиярова Илаха Фалах кьшы асп. каф. общей математики физ.-мат. ф-та Нахичевап. гос. у-та, e-mail: ilaliealiyarovaOgmail.com.

Aliyarova Ilaha Falah kizi Postgraduate, Nakhichevan State University, Faculty of Physics and Mathematics, Department of General Mathematics.

© Исмайлов M.M.. Алиярова И.Ф., "2024 © Ismailov М.1., Aliyarova 1. F., 2024

(cc)