CC BY
20Интуиционистская арифметика с принципами Маркова и P
В. Х. Хлхлнян
abstract. We consider the theory HA+M+P, where M is Markov's principle (any, see [1]), P is the following, classically true, principle (—p ^ Зхф(х)) ^ 3x(—p ^ Ф(х)) (alsow see [1]). We prove that such theory has numerical existentiality (and, of course, disjunctivity) and get some corollaries from this fact.
В [1] были рассмотрены следующие расширения интуиционистской арифметики: традиционный конструктивизм А.А. Маркова и антитрадиционный (нетрадиционный) конструктивизм. Было доказано, что оба расширения интуиционистской арифметики непротиворечивы относительно базисной системы интуиционистской арифметики с добавленным к ней в первом случае принципом Маркова (для простоты можно метаматематически использовать просто формальную арифметику Пеано FA). Оба расширения обладают свойством нумерической экзистенциаль-ности и дизъюнктивности (см. [1]). Если рассмотреть интуиционистскую арифметику с принципами Чёрча (любым), Маркова (любым) и P, то такая теория уже будет противоречивой (см. [1]). Поэтому представляет интерес исследовать расширение интуиционистской арифметики с принципами Маркова и P. Ниже будет приведена модель типа реализуемости для доказательства свойств дизъюнктивности и экзистенциальности теории HA+M+P.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть ф есть формула языка арифметики. Определим понятие гф (формула ф реализуема) индукцией по построению формулы (это понятие было введено С.К. Клини, см., например, [2]).
1. r(t = q) ^ t = q истинно в стандартной модели арифметики (здесь t и q являются арифметическими термами); сюда
284
В. Х. Хаханян
входит и формула так как это атомарная формула; по определению —р ^ р ±;
2. г(р Л ф) ^ (гр Л гф);
3. г(р V ф) ^ (грЛ Ь р) V (гфЛ Ь ф);
4. г(р ^ ф) ^ ((грЛ Ь р) ^ гф);
5. т(Ухр(х)) ^ Уптр(п); здесь п есть нумерал, изображающий в теории НА натуральное число п;
6. т(3хр(х)) ^ Зп(тр(п)Л Ь р(п)).
Индукцией по выводу формулы в теории НА+М+Р+ доказывается
ТЕОРЕМА 2. Если в теории НА+М+Р+ выводима формула р, то эта формула реализуема.Здесь Р+ получается из Р заменой формулы вида —р на произвольную формулу языка арифметики.
Как следствие, получаем:
а) теории НА+М+Р+, НА+М+Р, НА+Р+, НА+Р, НА+М, обладающие свойствами нумерической экзистенциальности и дизъюнктивности;
б) все отмеченные в пункте а) теории не совпадают с формальной арифметикой Пеано РА.
ЗАМЕЧАНИЯ 3.
1. Принцип Маркова не выводим в интуиционистской арифметике (первоначальное доказательство было дано Г. Край-зелем, см. [3]; однако этот результат следует из непротиворечивости теории НА+СТ+Р, так как в случае выводимости М эта теория была бы противоречивой (см. выше); аналогично, принцип Маркова не выводим в теории НА+Р+;
2. В интуиционистской арифметике не выводится принцип Р (и, конечно, Р+) (аналогично результату выше, так как теория НА+М+СТ непротиворечива); в теории НА+М также не выводимы принципы Р и Р+.
Интуиционистская арифметика с принципами Маркова и P 285
3. Все доказательства даны в предположении непротиворечивости или ^-непротиворечивости базисной теории HA; для доказательства выполнимости в приведенной модели принципа M внешним образом используется принцип M; при доказательстве выполнимости в модели принципа P внешним образом используется принцип P+. Также легко видеть, что достаточно потребовать простой непротиворечивости HA, так как эта теория также обладает свойствами дизъюнктивности и нумерической экзистенциальности.
Литература
[1] Драгалин А.Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. М., 1979.
[2] Kleene S.C. Realizability: a retrospective survey //Lecture Notes in Mathematics. 1973. № 337. P. 95-112 (см. стр. 96).
[3] Kreisel G. The non-derivability —(x)A(x) ^ ((Ex)A(x), A primitive recersive, in intuitionistic formal systems (abstract) // The Journal of Symbolic Logic. 1958. Vol. 23. № 4. P. 456-457.
