CC BY
3УДК 681.3.067
Интервально-статистический метод определения параметров функций принадлежности в задачах оценки качества систем комплексной безопасности
В. М. Белов, Е. В. Зырянова, Е. В. Рябова
В данной статье описан интервально-статистический метод, предлагаемый к использованию для построения интервально-статистических оценок параметров функций принадлежности при различных вариантах задания входных и выходных данных. Также описан пример использования данного метода для оценки качества систем комплексной безопасности.
Ключевые слова: интервально-статистический метод (ИСМ), функция принадлежности (ФП), алгоритм параллелепипеда в ИСМ, алгоритм эллипсоида в ИСМ.
1. Введение
Оценка уровня безопасности любого объекта, будь то информационная система или разработка полезных ископаемых, - процесс очень сложно и нечетко формализуемый в связи с неоднозначностью и нечеткостью критериев качества безопасности. Классические методы в данной ситуации зачастую не могут быть применимы из-за неоднородности, неполноты, нечеткости исходных данных. Следовательно, для решения задачи оценки качества удобно применять методы нечеткой или интервальной математики, которые позволяют оперировать как количественными, так и неколичественными переменными, наиболее объективно описывающими критерии качества.
Предлагаемый в данной статье ИСМ, основанный на алгоритмах последовательных интервальных приближений, может применяться как для числовых критериев качества, то есть при точном задании входных или выходных переменных, так и для переменных, заданных интервально.
2. Общая постановка задачи определения параметров функции принадлежности (ФП)
Пусть У=Уц (г е 1, т, ] е1, щ ) - матрица, содержащая экспериментальные данные, являющиеся значениями функции у = аух™~1 + хщ~2 +... + ап, измеренные т раз в точках XI (т -количество измерений). Погрешность измерений А не превышает известной величины е . В качестве значений функции возьмем средние арифметические измеряемых величин:
у. =
г П, л
Т Уу
^ ]=1
/ п
Зададим количество параметров искомой зависимости к е N ( 2 < к < п )
к
Требуется найти коэффициенты а^ е Ш полинома Е(х, к) = Т таким образом,
_ ] =1 чтобы у^ ^ Е(хг-, к), г е 1, п , а также абсолютное и относительное отклонение полученных коэффициентов от истинных значений параметров.
3. Алгоритм параллелепипеда в ИСМ для оценки параметров многомерной ФП при точном задании входных и интервальном задании выходных переменных
3.1. Постановка задачи
По результатам п измерений имеем следующие данные:
хЬ
Значения у, = а1 х.-1 + а2хП-2 +... + аП лежат в интервалах
- + - + - +
у-; у+ , x2, у2 ; У2 ,..., хп, у.п ; у,
(2)
у,; у+
. Погрешность измерения у, |Д| < е. Среднее арифметическое значение измеряемых величин, подчиняющихся некоторому закону, можно принять как некоторые оценки уг с наложением ограничений хфх;
. Необходимо построить интервальные оценки параметров функции
и
уг; у+
п
у-; у+
при г е 1, п и определить абсолютное и относительное отклонение оценок от истинных значений [1].
3.2. Решение задачи
Систему у7 = у 7 Ду . < уг < у. + Ду. = у+, е 1, п представим в матричном, а затем в общем виде:
У + Ье< Ха < У + Ке. (3)
Изначально К=Е, а Ь=—К=—Е.
Используем модифицированный метод Гаусса для систем 2*п неравенств с п неизвестными оценками с выбором главного элемента. По результатам прямого хода получим систему:
" " " .. /(1) , /(1)
1, п-1 1п
Г- (1) 1
у1
" (2)
у 2 +
- п-2
у.-1
- п-1
/(1) /(1) '11 '12
/ (2) '21
/ (2) 22
/(2) 2п-1
/(2) 2п
/ (п-2) / (п-2)
'п-1,1 'п-1,2
/ (п-1) / (п-1)
/п1 /п2
/ (п-2) / (п-2)
П—1,П—1 п-1,п
/(п-1) ,(П-1)
П,П-1 'пп
е1 е2
еп -1
<
1 х12 0 1
0 0 00
х1,п-1 х1п
х (2)
х2, п-1
1
0
(2) 2п
х(п - 2)
п-1, П 1
а1 а2
а
а„
<
п-1
<
г- (1) ] У1
- (2) у 2 Г
- п-2
уп-1
- п-1
_ уп _
к (и к11 к(1) • к12 • •• к(1) •• к1, п-1 к (и к1п
к (2) к21 к (2) • к22 • к (2) •• к2,п-1 к (2) к2п
.(п-2) к (п - 2)
кп-1,1 кп-1,2
к (п-1) к (п-1)
кп1 кп2
к (п-2) к (п-2)
•• кп-1,п-1 кп-1,п
к (п-1) к (п-1)
• • • кп,п-1 кпп
£п-1
По результатам обратного хода получим следующие оценки:
п л п
—п-1
Уп
/= 1
п -1-4У
—п-1 < «п < У«
/ = 1
^-1-АУ
-(п - 2) -п-1 (п-2) уп-1 уп ' Хп-1
< | уп-1 уп "п-1
-(п-2) -п-1 (п-2)
-2) ь^ (1 (п-2) -к(п-1) .х(п-2)\ Ду
1,п ^ I ^-1,/ кп/ п—1,п )Ау У /=1
-2) V V /^(п-2) _ ,(п-1) (п-2) \ д 1, п I кп—1,/ 1п/ ' хп —1,п ]Ау'
< «п-1 <
-(п-2) -п-1 (п-2) уп-1 уп ' "п-1
/=1
п
-2) | —v (/(п-2) -1(п-1) . х(п-2) \Ду
1,п I ^('п-1,/ 1п/ хп—1,п )Ду1
=1
=1
х(1) > о
' хп —1,п > 0
<«п-1<
<1 у(п-2) уп-1 х(п-2) 1 ^(к(п-2) к(п-1) х(п-2)\ Ду
<| уп-1 -уп ■ хп-1,п кп-1,/ -кп/ ■ хп-1,п ]Ду/
х(1) < 0
хп—1,п < °
Используя полученные оценки, находим ап-1,...,а1.
Решим данную задачу с уточнением данных. Имеется система:
у— = у1 - ду1 <«1х1п-1+«2х1п-2+•••+«п <у1+Ду1 = уГ,
— а п—1 п—2 а г
у— = уп -Дуп < «1хп Г«2хп Г•••Г«п < уп гДуп = уп,
— а п—1 п—2 а г
ут= ут-Дут < «1хт г «2 хт г ••• г «п < ум Г = уш •
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
т ^ т —Т'т ' ™2"т ....."п — т
Данная система в общем виде аналогична системе (3). Необходимо найти границы параметров а1...ап. Это допустимо при переборе сочетаний по п неравенств.
Для решения любого варианта перебора применим тот же метод Гаусса. Опишем сочетание первых п уравнений с размерами матриц п*ш. Прямой ход:
(1) ] |"ду1 ду2
1 (2)
Г- (1) ]
У1
" (2)
у 2 Г
" (п-2)
у п-1
- (п-1)
_ уп _
I
(1)
11
1
(1)
12
1
(1)
1
(2) (2)
21
22
1
1, т-1 (2)
2, т-1
1
'(п-2) .(п-2)
1п-1,1 1п-1,2
.(п-1) .(п-1)
1п1 1п2
.(п-2) 1(п-2)
п-1, п-1 п—1,п
1 (п-1) /(п-1)
«,т-1 1пт
дуп-1 дуп
дут
<
<
1 x12 0 1
0 0 00
x1,n-1 x1n
к(2) 2,«-1
1
0
(2) 2«
x(n—2)
n—1, n 1
<
<
У1
(1)
У2
(2)
У(п—2)
n-1
-(«—1) yn
k (1) k11
к (2) к21
к(1) к12
к(2) к22
a2 an—1
a„
к(1)
к(2) к2, m—1
к(1) k1m
к(2) k2m
k («—2) k (n—2) kn—1,1 kn—1,2
k (n —1) k (n —1)
kn1 kn2
Обратный ход:
k (n—2) k (n—2)
n—1,m —1 n —1,m
k(n—1) k(n—1)
Vm—1 knm
ДУ1 ДУ2
ду»—1 ду»
ДУи
j = 0; j = 0; i = 1, n;
j = n + 1, m;
h = 1,n-1.
-(«-1) y« — Z i=i
n - ^
. . -(«-1)
< an < y« —Z i=l
-4 -ДУ,
-(n—2) _ -n—1 (n—2) yn —1 yn ' xn—1,n
—2) ll(n—2) _iM —1) (n—2)\л
1,n Zl'n—1,i kni ' xn —1,n )Дуг у i=1
< an—1 <
-(n—2) -n—1 (n—2)
<|yn—1 — y» ■ xnUS)—Z (knm?—«Г'> • xnn.1[2?Ц
i=1
X(1 > 0-
Xn—1,n > 0;
-(n—2) -n—1 (n—2) yn —1 yn " xn—1
—2) —Z(i(n—2) — %—1) • x(n—2) W
1,n I Z—( l n —1,i ni n — 1,n / Sl
<| у»—1 — У» •xn—
-(n—2) -n—1 (n—2)
i =1
m \
i=1
<an—1<
)—Z( kn^}—knn1 • es Ц
x(1) < 0
Xn—1,n < 0.
(9)
(10)
(11)
(12)
Используя полученные оценки, находим ап,...,а1. После рассмотрения всех вариантов получим решение в виде пересечения полученных оценок.
4. Алгоритм параллелепипеда в ИСМ для оценки параметров многомерной ФП при интервальном задании входных и выходных переменных
4.1. Постановка задачи
По результатам измерений имеем следующие данные:
x1 ; x1+
— + — + — + — +
, У1; У1 , x2 ; x2 , У2; У2 xn ; xn ,
y—; у+
(13)
Каждому интервальному значению [y] соответствует интервальное значение входной величины [x] . Погрешности измерений |Д^| <£\;|Ду| <£"2 соответственно. Необходимо по-
строить точечные
и
интервальные оценки параметров функции вида
п -1
.л - 2
у = ху ~ + а2хп 2 +... + ап при известных хг-, уг, Ах и Ау. 4.2. Решение задачи
Представим систему в матричном виде:
у1
у 2
Ут
"-1 0 .. . 0" «1
+ 0 -1 .. . 0 «2 <
0 0 .. . -1 «т _
х11 х21
х12 х22
х1, п-1 1
х2,п-1 1
хт1 хт2
хт,п-1
1
а1 а2
а„
х11 х12 . . х1,п-1 1 а1 У1
х21 х22 . . х2, п-1 1 а2 < У 2 +
хт1 хт2 . . хт,п-1 1 _ап _ _ Ут _
(14)
0 1
00
«1 «2
где ху - входные интервальные данные.
Для системы линейных уравнений Ха=В с и*и-матрицей Х=(ху) и и-вектором правых частей Ь=(Ь¡) расчетные формулы прямого хода традиционного метода Гаусса выражают процесс последовательного исключения поддиагональных элементов¡-го (¡=1, 2,...,п-1) столбца матрицы системы Х и соответствующие преобразования В. Матрица системы тем самым приводится к верхнему треугольному виду. Далее следует обратная подстановка, позволяющая последовательно вычислить значения неизвестных, начиная с и-ой.
Так как система уравнений интервальная, то при использовании интервального метода Гаусса треугольное разложение матрицы Х получить невозможно. Возможно использование следующих алгоритмов:
- разбиение интервалов входных параметров с последующим объединением полученных интервалов. Данный метод решения обоснован, т.к. из свойства монотонности интервальной арифметики по включению следует, что результат выполнения интервального метода Гаусса должен содержать все возможные результаты применения точечных методов Гаусса к точечным данным, содержащимся в задаваемых системой ха=Ь интервалах. Но результаты точечных методов Гаусса - это решения соответствующих систем ха=Ь с хеX и ЬеВ. Следовательно, результат интервального метода Гаусса содержит объединенное множество решений данной интервальной системы линейных алгебраических уравнений;
- использование допущений. В классической интервальной арифметике отдельным образом вводятся действия вычитания и деления интервалов. В поле вещественных чисел, к примеру, они определяются не самостоятельно, а как операции, обратные сложению и умножению. Но для действий над интервалами таким путем идти уже нельзя, поскольку интервальное вычитание не обратно сложению, а интервальное деление не обратно умножению:
(а + Ь) - Ь * а, (15)
(а• Ь)/Ь * а. (16)
Т.к. интервалы - это множества, то между ними, естественно, определяется частичное упорядочение по отношению включения друг в друга:
а с Ь а- > Ь-, а+< Ь+. (17)
Для системы (13) нельзя говорить об исключении неизвестных, так как Х/Хф1 и Х-Хф0 при н'(Х)>0. Но аналогично вещественному случаю можно преобразовать интервальную матрицу X к треугольному виду с учетом допущений, указанных в [2].
<
5. Алгоритм эллипсоида в ИСМ для оценки параметров многомерной ФП
5.1. Постановка задачи
По результатам n измерений имеем следующие данные: mid(x), mid(y) - средние значения входных и выходных данных; rad(x), rad(y) - их ошибки измерения; x,y е IR, 0 x¿, i = i, n,
при i Ф j x¡ n Xj = 0, y¿ n yj = 0. ke N, 2<k<n - количество параметров искомой зависимо-
k
сти. Требуется найти коэффициенты aje IR полинома F (x, k) = ^ ajX 1, чтобы _ j=1
У i с F (Xj, k); i = 1, n.
5.2. Решение задачи
С помощью метода Ньютона найдем формальное решение системы:
a X 1 -
£ ajx{ = л j=i
^ Xa = л, где X е IRk ® IRk; а, у е IRk . (18)
£ ajxí 1 = Ук
и=1
Так как KRk не является линейным метрическим пространством, то для применения большинства методов решения системы необходимо построить биективное отображение из KRk в какое-либо линейное метрическое пространство, выполнить решение предложенным методом и применить к результату обратное отображение.
Построим аддитивное и однородное погружение (двойственное отображение) sti: KRk\-^R2k по формуле
(хъх2,•xk) ^(-*f,-Х2,...,-хь,-xi,-*2,• ~xt) (19)
и применим его к векторам системы (18)
sti((I - X )a - a + y) = sti ((I - X )sti -1 (a) - sti -1 (a) + y) =
_i — (20)
= sti((I - X)sti 1 (a)) - a + sti(y) = S(a) = 0.
В [2] доказывается, что отображение S : R I—> R непрерывно, порядково выпукло относительно покомпонентного порядка ja << b | a, b e ^2k, ai < b, i = 1,2kj и субдифференци-
руемо в каждой точке, следовательно, проведем решение субдифференциальным методом Ньютона:
1. Начальное приближение x(0 (по [2]) - решение средней системы mid ((I - X )a) - mid (a) + mid (y) = 0 .
2. Применим субдифференциальный метод Ньютона к индуцированной системе (14).
3. Применим обратное отображение sti-1 в интервальное пространство, получим вектор
a = (ab ^ . . ^ ak ) .
k
Поясним, что полученный вектор a в общем случае содержится в К^1 и может не содержаться в ГО^ Чтобы полученный результат оказался верным, применим к вектору a опера-
цию:
I [a , a;+ ], a i < ai — rig (a) = >j _ _ , i = 1, k.
I[a+, a ] a > a+
(21)
6. Алгоритм эллипсоида в ИСМ для уточнения оценок параметров ФП
(22)
Рассмотрим полученный вектор a как прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными базису пространства Rk:
P = P(mid (a), rad (a)) = {[mid (ai) - rad (ai), mid (ai) + rad (ai)] ®... ® ®[mid a ) - rad (ak ), mid a ) + rad (ak )]}.
Пусть Р - множество неопределенности начального приближения. В пространстве параметров Rk результаты m-го измерения (k<m<n) (по [1]) - два открытых множества между двумя параллельными плоскостями:
Pl- = |x,У е IR | ym < ]Г aj (x-)J-1 < у- ¡> (23)
и
к
Pim=\ x, y е IR | ym < £ aj (x- )j 1 < y
J=1
(24)
где а| - |-я координата рассматриваемого множества неопределенности Р. Будем считать эти множества полосами.
Оценивающее тело для множества Р - ^мерный эллипсоид:
(25)
Ek (a, Q) = {x е Rk | (Q-1(x - a), x - a) < 1}:
где Q е Як 0 Як - симметричная положительно определенная характеристическая матрица,
а е Як - центр эллипсоида.
Теорема: Для параллелепипеда начального приближения Р(с, г) описанный эллипсоид имеет вид Е(с, Q), где
Q =
ктл
0 0
0
0 kr2 0 0
0
0 0 krr
2k
2 -
= diag(kri ,/ = \,k).
(26)
Доказательство: Пусть параллелепипед Р(с, г) переводится в ^мерный куб Р(0,1) (1 -единичный вектор) аффинным преобразованием у = Ах + Ь , следовательно, эллипсоид преобразуется в описанную вокруг куба сферу Е(0, Qs). Ребра параллелепипеда Р параллельны ребрам куба, следовательно, у = Ах + Ь - есть сжатие/растяжение и/или сдвиг, и, следовательно, матрица А = diag(аг-, i = 1, к) .
A—y — b) g P(c, r) « A—1 y — A—lb g P(c,r);
f
У1 У2
val' a2
' У1 У2
v a\ a2
n ak
Л b2_
y vv a2
Л
G[q +
ak, /
ak
[c1 —r1 c1 + r1] ® ••• ® [ck—rk, ck + rk ] ^
h a1
A a1
h
ak
bb_ ak
^ y g [(a1c1+h)- a1r1, (a1c1+h)+a1r1] ® ••• ® [(akck + bk)—akrk, (akck + bk)+akrk] ^
^ y g P(Ac + b, Ar)•
Параметры преобразования P(c, r) ^ P(0,1) : Ac + b = O, Ar = 1, A = diag
-, i = 1, k
v ri
, b =—^, i = 1, k. ri
Параметры обратного преобразования у = Сх + d:
С = А"1 = ^^^^ {г, 7 = 1, к), = - А1 = с, 7 = 1, к.
(28)
(29)
(30)
Эллипсоид, описанный вокруг куба Р(0,1), есть сфера Е(0, 0^) с матрицей 0$< = diag(г2) и радиусом г = 1 = л[к , следовательно, 0^ = diag(д = к, 7 = 1, к) .
Эллипсоид Е (g, 0) при применении у = Ах + Ь преобразуется в эллипсоид Е(Ag + Ь, А0Аг), а обратное преобразование куба Р(0,1) и сферы Е(0,0^) дает паралле-
лепипед
P(c, r )
и
эллипсоид
0 = diag { г7,7 = 1, к diag {д7 = к, 7 = 1, к diag {г7,7 = 1, к ) = diag {кг2, 7 = 1, к). Теорема доказана. □ Для построения пересечения эллипсоида и полосы найдем оптимальную эллипсоидаль-
E(CO + c, CQsC ) = E(c, Q),
где
ную
оценку
пересечения
эллипсоида
Ek (a, Q)
с
полосой
Pl = la g Rk,y g IRk | y" < (a,n ) < y+,
n
=1
Это эллипсоид
с параметрами
EkPl = |x g Rk | QP}(x—api),x — api) < 1j
Если kc c+ +1 > 0.
c = max
то
(31)
(32)
(33)
t = (c")2 + (c+ )2 + 2, r = (c")2—(c+ )2, 5 = (c" + c+)2,
- - sQn A2 — B2 - - „2^.-1
aPi = a + ¡_ _ , Qpi = - - (n • n) + —B2Q 1, y(Qn, n) (Qn n)
y — (a n) Л
W(Qn, n)
c+ = min
y —(a, n)
, V(Qn n)
—Л2 , +ч2
Л
t + t2 + (k 2—1)r 2
(k +1)5
s = 0^5(c+ + c")(1 — Я2), иначе - A = B = 1; s = 0^
ç = À4s — 2Â2t + (c+ —c )2, A = 0^, B = A / Я,
Здесь (п • п) - произведение, дающее матрицу N = {п^, г = 1, к, ] = 1, к | пу = aibj }.
Если полоса не пересекает эллипсоид (с<-1 или с+>1), то измерение, которому она соответствует, является противоречивым и не участвует в дальнейших расчетах [3].
к
Объем эллипсоида Ек (а, Q) , равный —Д-, пропорционален det(Q), следо-
г (^)
вательно, можно сравнить объемы эллипсоидов, вычисляя только det(Q).
Параллелепипедом минимального объема с параллельными базису ребрами будет описанный параллелепипед, длина ребер которого равна 2^0". Полученный интервальный вектор а = (а1, а2,..., ак) является решением задачи и получается из эллипсоида Ер1 = е Кк | (!-*(х -ап), х -ап) < 1| по формуле:
а = I (ап ). - ((п )ц, (ап \+ ^((п),
,г = 1, к. (34)
7. Оценки параметров ФП ИСМ, их абсолютные и относительные отклонения
Точечные оценки параметров а при г = 1, п:
- аг + аг . т~ аг = —-—, г = 1, п.
2
Абсолютные отклонения оценок параметров а при г = 1,п от истинных значений:
а+ - а- . —
£а = ---, г =1 п.
2
Относительные отклонения оценок параметров а при г = 1, п от истинных значений:
от £ = ■ а
£ -100% _ г = 1, п.
Ш1П
1п (а , а+)
(35)
(36)
(37)
Теорема: Пусть в результате эксперимента получены оценки параметров а[,а\,...,ак
ИСМ, г = 1, п - это множество оценок. Математическое ожидание Мак = Мак = ак. Тогда при
г = 1, п, к = 1, т оценки несмещенные и состоятельные. Доказательство:
1
Математическое ожидание оценки ак = — 2 ак :
п л
г=1
Мак = М
(1 п >
2 ак
п . ,
V г =1
1 П = - М п
( п Л 2 п ^
2 ак = 12 Мак = 1 •п • ак = ак . . , п. , п
\1 =1 у I =1
Из определения следует, что ак - несмещенная оценка параметров. По теореме Чебышева [4] для любого £>0 верно:
Нш Р <
п^ж
£ 4- - £ м4
7=1 П1=1
<£^ = 1
или
Нш Р |\a\-Mak
п^ж VI
<£} = 1.
(40)
Тогда по определению оценка состоятельная. Теорема доказана. □
Теорема: Пусть в результате эксперимента получены оценки параметров a-,a2,...,alk ИСМ, 7 = 1, п - множество оценок. Математическое ожидание Malk = Mak = . Тогда при
7 = 1, п, к = 1, т оценки эффективны. Доказательство:
- 1 п ■ Дисперсия оценки ak = — £ alk :
п "
7 =1
Dak = £
1 =£ Ц]2 н )2.
7 = 1 У 7 = У
2
А п
. л п
V 7 = 1 У
(41)
" / 1 Г / ■ \2 " 1
Частные производные функции Лагранжа Ь = £1 — I {alk ) -Я £ — 1
г=1 ^ п У V1=1п У :
из определения получаем, что оценка ИСМ alk - эффективна. Теорема доказана. □
1
С7 = —. Тогда п
8. Вычислительный эксперимент
Проведем вычислительный эксперимент с алгоритмом параллелепипеда в ИСМ для оценки параметров многомерной ФП при точном задании входных и интервальном задании выходных переменных. Рассмотрим ФП, которая используется для оценки качества экологической экспертизы [5] в рамках оценки качества системы комплексной безопасности. Функция имеет следующий вид:
1
У =-2
1 + (х - a +1)2 , (42)
где a е 1,3 . х е 0,2.
Значения ФП на области определения функции представлены в табл. 1.
Таблица 1. Значения ФП у в области определения
x У1 У2 У3
0 [1.001;1.002] [0.501;0.502] [0.201;0.202]
1 [0.501;0.502] [1.001;1.002] [0.501;0.502]
2 [0.201;0.202] [0.501;0.502] [1.001;1.002]
Преобразуем ФП в полином:
1 9
У = - = 1 + (х-a +1)2 . (43)
У
Значения преобразованной ФП Y представлены в табл. 2.
Таблица 2. Значения преобразованной ФП Y
x Y i Y2 Y з
0 [0.998;0.999] [1.992;1.996] [4.9505;4.97512]
1 [1.992; 1.996] [0.998;0.999] [1.992;1.996]
2 [4.9505;4.97512] [1.992;1.996] [0.998;0.999]
Применим алгоритм параллелепипеда в ИСМ к преобразованным значениям ФП 2
у^ = а!%2 + а2х^ + аз и получим искомые параметры ФП. Они представлены в табл. 3.
Таблица 3. Искомые параметры ФП Y
Параметры Y i Y2 Y з
ai [0.24928;0.47925] [0.7485;1.4895] [2.4555;2.48456]
а2 [0.51875;0.74872] [-1.986;0.2445] [-3.45306;-3.93275]
аз [0.998;0.999] [1.992;1.996] [4.9505;4.97512]
Вычисление значений ФП У и их обратное преобразование к нормальному виду у дает совпадение исходных и полученных результатов с учетом погрешностей, что подтверждает применимость предлагаемого алгоритма параллелепипеда в ИСМ для нахождения параметров ФП, используемой при оценке качества элементов комплексной системы безопасности.
Литература
1. В. М. Белов, Ф. Г. Унгер, Ю. А. Карбаинов, В. И. Пролубников, Н. П. Тубалов. Оценивание параметров эмпирических зависимостей методом центра неопределенности. Новосибирск: Наука, 2001. 176 с.
2. С. П. Шарый. Конечномерный интервальный анализ. М.: Новое знание, 2008. 726 с.
3. О. И. Хомутов, В. М. Белов, С. А. Гончаров, Е. В. Рябова. Оценивание параметров эмпирических зависимостей обобщенным методом центра неопределенности / АлтГТУ им. И.И. Ползунова. Барнаул: изд-во АлтГТУ, 2006. 147 с.
4. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов / В. Е. Гмурман. 9-е изд., стер. М.: Высш. шк., 2003. 479 с.: ил.
5. Зырянова Е. В., В. М. Белов. К вопросу об автоматизированной системе оценки качества экологических экспертиз (АС ОК ЭЭ) // Вестник СибГУТИ. 2013. № 4. С. 12-20.
Статья поступила в редакцию 15.02.2016.
Белов Виктор Матвеевич
д.т.н., профессор, профессор кафедры безопасности и управления в телекоммуникациях СибГУТИ, тел. 8-906-963-84-83, e-mail: vmbelov@mail. ru
Зырянова Екатерина Васильевна
аспирант кафедры безопасности и управления в телекоммуникациях СибГУТИ, тел. 8-913-023-75-03, e-mail: keyvezed@mail.ru.
Рябова Елена Викторовна
директор МБОУ «Лицей», г. Рубцовск, тел.: 8-913-369-19-66.
96
B. M. Be^OB, E. B. 3bipaHOBa, E. B. Pa6oBa
Interval-statistical method of membership functions parameters determination in problems of the integrated security system quality assessment
V. Belov, E. Zyryanova, E. Ryabova
In this article, the interval - statistical method offered to use for construction of interval statistical estimations of membership functions parameters with various input and output data is described. An example of using this method for integrated security system quality assessment is also described.
Keywords: interval and statistical method, membership function, algorithm of a parallelepiped, algorithm of an ellipsoid.
