Интервальная оценка начальных моментов к-го порядка случайных величин с укорачиванием интервалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 519.2

А.И. Сайкин, Е.В. Россошанский, О.И. Бондарев ИНТЕРВАЛЬНАЯ ОЦЕНКА НАЧАЛЬНЫХ МОМЕНТОВ К-ГО ПОРЯДКА СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН С УКОРАЧИВАНИЕМ ИНТЕРВАЛОВ

Предлагается методика получения интервальной оценки начальных моментов случайных величин без ограничения их порядка и вида распределения.

Интервальная оценка, начальные моменты порядка К, аппроксимация неизвестных распределений, укорачивание интервалов

A.I. Saikin, E.V. Rossoshanskiy, O.I. Bondarev

K-TH MOMENT INTERVAL ESTIMATION OF VARIATES WITH INTERVALS SHORTING

We introduce the new method of K-th moment interval estimation of variates for all kind of distributions, which allows to obtain interval and point estimates.

Interval estimation, ordinary K-th moments, approximation of unknown distributions, intervals shorting

Для интервальных оценок разработаны хорошо известные методики, распространяющиеся на первые два момента и требующие, чтобы случайные величины были распределены по нормальному закону [1, 2]. Но далеко не каждое распределение является нормальным, и двух моментов не всегда бывает достаточно для описания случайной величины. Так, например, по двум моментам мы не можем оценить ни асимметрию, ни эксцесс распределения. Кроме того, для решения задачи аппроксимации неизвестных распределений по K начальным моментам многопараметрическими распределениями заданного вида [3] необходимо знать как точечные оценки начальных моментов порядка K , так и их интервальные оценки.

Предлагается метод, позволяющий провести интервальную оценку моментов без ограничения их порядка и вида распределения. За основу взят метод сигнальных точек и сверхэффективной точечной оценки, описанный в работах [4, 5].

Идея метода сигнальных точек состоит в следующем. Пусть нам дана выборка объёма N значений случайной величины X , распределённой по неизвестному закону. Оценим интервал, который накрывает значение начального момента порядка K неизвестного распределения. Для этого преобразуем временной ряд значений случайной величины в вариационный

K — K

ряд в порядке возрастания значений xt . Выявим несколько ближайших значений xt , распо-

лагающиеся слева и справа от значения сверхэффективной оценки начального момента порядка К [4, 5], которые назовем сигнальными точками [6]. Они обозначают интервал, накрывающий искомое значение генерального момента, но вероятность накрытия будет зависеть от выбранного числа сигнальных точек и дисперсии неизвестного распределения.

На рис. 1 интервалы отмечены фигурными скобками и могут иметь разную величину с разной вероятностью накрытия.

а15 ••

а3 а2

МС

Мг

а1

Мэ Ьі

••• Ь

15

і

У

Ь

Ь

2

3

Рис. 1. Интервалы для сверхэффективной оценки начального момента МЭ и искомого генерального начального момента Мг, где: аі -хК , находящиеся слева от эффективной оценки, Ьі- хК , находящиеся справа от эффективной оценки, МЭ - выборочный начальный момент, являющийся эффективной оценкой, Мг - искомое значение генерального начального момента,

МСЭ - сверхэффективная оценка начального момента

Для оценки вероятности накрытия в зависимости от выбранного числа сигнальных точек исследовались распределения с разными дисперсиями от малых до больших значений. Путем моделирования распределений с разными коэффициентами вариаций V были составлены таблицы [7], по которым можно определить потребное число сигнальных точек в зависимости от объема выборки и от вероятности накрытия. Как оказалось, число сигнальных точек должно быть в пределах от 6 до 8 для самых разных распределений. Если оценивать только 1-е и 2-е начальные моменты, то средняя длина интервала накрытия, полученного данным способом, примерно совпадает с длиной интервала, найденного по традиционным методам [1, 2]. Если же требуемое число сигнальных точек с какой-либо стороны ограничено значениями вариационного ряда, тогда сигнальных точек берется столько, сколько их есть.

Мсэ Мг

аі5 ••• а3 а2

а1 МЭ Ь1 Ь2

1

"V"

Рис. 2. Интервалы для сверхэффективной оценки начального момента МЭ и искомого генерального начального момента Мг в случае ограничения числа сигнальных точек значениями вариационного ряда

В этом случае построение доверительных интервалов оказывается всегда возможным, если объем выборки больше числа сигнальных точек. Однако интервалы, получаемые таким методом, остаются все же большими, и необходимо найти способ их сокращения.

Потребуем, чтобы вероятность накрытия интервалом была не менее 0,99. Определяя по таблицам [6] потребное число сигнальных точек, для заданной выборки построим подвы-борки, выбрасывая случайным образом Ы1 < N значений случайной величины. Таким обра-

зом, мы получим несколько разных интервалов, каждый из которых независимо от других накрывает искомое значение МГ с вероятностью не менее 0,99 в соответствии с таблицами [6]. Тогда нам остается выбрать наименьшее пересечение интервалов, вероятность накрытия которого будет составлять 0,99*0,99, т.е. не менее 0,98, что и будет нашей доверительной вероятностью, найденной для подвыборок.

Результаты проведенных экспериментов позволяют отследить следующие закономерности:

- в большей степени интервалы удается сократить для выборок малого объема (в пределах 10-30 значений);

- эффективность метода растет с ростом коэффициента вариации;

- более существенные сокращения интервалов получаются на моментах старших порядков. Примерно в 60% случаях интервалы, оцениваемые по способу пересечений, оказываются достаточно малыми (примерно ± 10% от среднего значения по интервалу). Тогда среднее значение по этому узкому интервалу можно принять за точечную оценку, которая оказывается лучше сверхэффективной оценки [4, 5].

Таким образом, данная методика позволяет получить не только интервальную, но и в отдельных случаях точечную сверхэффективную оценку.

ЛИТЕРАТУРА

1. Крамер Г. Математические методы статистики / Г. Крамер. М.: Мир, 1975.

2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.Ш. Кремер. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. 544 с.

3. Сайкин А.И. Оценка конечного числа генеральных моментов по экспериментальным данным методом выбора по сечениям / А.И. Сайкин, А. А. Пошивалов, Е.Ю. Журавлёва // Проблемы управления в социально-экономических и технических системах: Сб. науч. ст. Саратов: Научная книга, 2006. 128 с.

4. Сайкин А.И. Уравнение сверхэффективной оценки начальных моментов порядка к по малым выборкам / А.И. Сайкин, Е.В. Россошанский // Сб. трудов МНК ММТТ-21. Т.10. Саратов: СГТУ, 2008.

5. Сайкин А.И. Сверхэффективная оценка начальных моментов неизвестных распределений по выборкам ограниченного объема / А.И. Сайкин, Е.В. Россошанский // Управление сложными системами. Сб. науч. ст. Саратов: Научная книга, 2009. 144 с.

6. Сайкин А.И. Интервальная оценка начальных моментов порядка К неизвестных распределений по малым выборкам / А.И. Сайкин, Е.В. Россошанский // Интернет и инновации: практические вопросы информационного обеспечения инновационной деятельности: материалы Междунар. науч.-практ. конф. Саратов: СГТУ, 2008. 388 с.

Сайкин Александр Иванович -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета

Россошанский Евгений Васильевич -

аспирант кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета

Бондарев Олег Игоревич -

магистрант кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в редакцию 25.09.09, принята к опубликованию 25.11.09