Интерполяция Лагранжа с узлами в нулях многочленов Якоби Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

В. В. Новиков

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛАГРАНЖА С УЗЛАМИ В НУЛЯХ МНОГОЧЛЕНОВ ЯКОВИ*

Пусть а,р>-1 и {/)[ (лО}и=о - последовательность многочленов Якоби, ортог ональных на отрезке [-1,1] с весом;

~ 1 < хп,п < хп-\,п К ■•• < х\,п < 1

— нули многочлена , пронумерованные в порядке убывания.

Обозначим через многочлен Лагранжа, интерполирующий

функцию/е С[-1,1] в узлах М<а'Р) = {х^п, ¿= 1,..., п; п=\,2,... }.

В 1982 г. А. А. Приваловым был получен признак [1] равномерной

( 1/2 1 /

сходимости на [-1,1] интерполяционного процесса ~ (/,•*■)}, ис-

( 1 /2 1 )

пользующий значения функции только в узлах матрицы М , а через

некоторое время им же был установлен и критерий [2] равномерной сходимости указанного интерполяционного процесса.

Основным результатом настоящей статьи является аналогичный дискретный критерий для произвольных а, Р>-1 на отрезке [а, 6]с(-1,1), а также признак равномерной сходимости интерполяционного процесса {¿я"(/>*)} на всем отрезке [-1,1] для -1<а, Р<1/2.В качестве следствий из этих утверждений можно получить ряд известных признаков.

Пусть 05(5) - мажоранта модуля непрерывности, то есть непрерывная, неубывающая на [0,2], выпуклая вверх функция такая, что <в(0)=0; у(и) - неубывающая на 1Чи{0} выпуклая вверх функция, у(0) = 0; у(и,<з,6;/) - модуль изменения (см., напр., [3]) на [а, Ь] функции/ Обозначим через С-[а,й] класс функций из С[а,Ь\, удовлетворяющих условию

/(х + к)-/(х)> -Ка>(И), Ух, х + А € [а, Ь],

где К > 0 зависит только от а через к[у(«)] - множество тех / е С[а,Ь], для которых

у (п,а,Ь-,/)=0{ф)).

Для функции / е С[ -1,1], отрезка [а, Ь] и положительного числа е таких, что -1 <а-е< а< Ь < Ь+е< 1 положим

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00060).

100

Rn(f)-Rn(E,a,b;f) =

max

m.x,„„e{a,b]

£ /(^4 I, J - 2 f{*2k,n ) + f(x2k + \,„)

k:0<\xm„-x2k_„\<e m-2k

и обозначим

F(x) = (l-x)a/2+l/4(l+x)p/2+,,4/W

ТЕОРЕМА 1. Пусть фиксированные числа а, b, е удовлетворяют указанным выше условиям. Тогда для равномерной на [а, 6] сходимости к / еС[-1,1] интерполяционного процесса {I(na'ß)(/,x)}, oc,ß>-l, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

lim Rn(F) = 0.

СЛЕДСТВИЕ 1.1 [4]. Если непрерывная функция имеет ограниченную вариацию на отрезке [-1,1], то соотношение

lim L^\f,x) = f{x) (1)

выполняется равномерно на любом отрезке [а, Ь] с: (-1,1), ct,ß>-l

СЛЕДСТВИЕ 1.2 [5]. Пусть на интервале (а, Ь) с [-1,1] функция / еС[-1,1] удовлетворяет одностороннему условию Дини - Липшица, т.е. существует со такая, что / е С-(а,Ь) и

lim ш(—|log« = 0.

Л-»СО \п /

Тогда соотношение (1) выполняется равномерно на любом отрезке, лежащем внутри (а , Ь).

СЛЕДСТВИЕ 1.3 [6]. Пусть [а, Ь\ с (-1,1) и функции со(б) и г(п) удовлетворяют условию

п. (М/2Ц*)1

00

lim min < со — logп+ У —---- г = О

- -l<ms[(«-l)/2][ UJ к2 Г

Тогда для любой /еС-[а,б]п и любого числа 0<е<(6-я)/2 ра-

венство (1) имеет место равномерно на [й + 8,6-е].

ТЕОРЕМА 2. Пусть а, ße(-l, 1/2), 9 = max{a;ß}, /еС[-1,1] и

T^\f)= max Z

1 < m <и-| к=\, \т~к | кФт 1 1

Тогда условие

lim 7;(a'ß)(/) = 0

п—»00

достаточно для равномерной на всем отрезке [-1,1] сходимости к/интерполяционного процесса .

СЛЕДСТВИЕ. Интерполяционный процесс равномерно

сходится на [-1,1], если выполнено одно из следующих условий:

1) функция / еС[-1,1] имеет ограниченную вариацию на [-1,1] и а, ре(-1,1/2) [7];

2) функция/ € С[-1,1] имеет офаниченную /^-вариацию на [-1,1],

р> \ и -1<а<1/р-1/2, -1<Р<1/р-1/2 [8];

00 v(k)

3) / еК[у(и)], где функция v(к) такая, что [9] ^ vr-r < 00 •

к=\к ' 4

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Привалов А. А. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Ла-гранжа // Мат. заметки. 1986. Т. 39, № 2. С. 228 - 243.

2. Привалов А. А. Критерий равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа // Изв. вузов. Сер. Математика. 1986. № 5. С. 49 - 59.

3. Чантурия 3. А. О равномерной сходимости рядов Фурье // Мат. сб. 1976 Т. 100, №4. С. 534-554.

4. Геронимус Я. Л. О сходимости интерполяционного процесса Лагранжа с узлами в корнях ортогональных многочленов // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1963. Т. 27, № 3. С. 529 - 560.

5. Неваи Г. П. Замечания об интерполировании // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1974. Vol. 25. P. 123- 144.

6. Пилипчук С. С. О признаках сходимости интерполяционных процессов // Изв. вузов. Сер. Математика. 1979. № 12. С. 39 - 44.

7. Vertesi P. Lagrange ¡interpolation for continuous functions of bounded variation // Acta Math. Acad. Sci. Hungar, 1980. Vol. 35. P. 23 - 31.

8. Кельзон А. А. Об интерполировании непрерывных функций ограниченной р-вариации // Изв. вузов. Сер. Математика. 1978. № 5. С. 131 - 134.

9. Kvernadze G. Uniform Convergence of Lagrange Interpolation Based on the Jacobi Nodes // J. of Approx. Theory. 1996. Vol. 87. P. 179 - 193.

УДК 519.4

В. Е. Новиков

О РЕШЁТКЕ ПОНЯТИЙ ЧАСТИЧНО ОДНОЗНАЧНОГО ОТНОШЕНИЯ*

В работе [1] на основе идей формального концептуального анализа [2] и аппарата алгебры отношений В. В. Вагнера было введено формальное понятие на контексте «-арного отношения. В настоящей статье получена алгебраическая характеристика решётки понятий частично однозначного отношения.

Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (грант № 99-1224).

102