Интернет технологии при изучении методов оптимизации Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Educational Technology & Society 5(3) 2002 ISSN 1436-4522

Интернет - технологии при изучении методов оптимизации

Ижуткин В. С., Сушенцов А. А.

Марийский государственный университет izhutkin@marsu.m. sushenzov@marsu.ru

АННОТАЦИЯ

В данной работе описывается методика преподавания методов нелинейной оптимизации с использованием сайта по методам нелинейного

программирования. Данный сайт реализован на основе программнометодического комплекса ОДиС.

Представляемый комплекс включает в себя следующие основные разделы:

1. Методы оптимизации. Здесь изложена теория единого построения и

исследования методов оптимизации с использованием линеаризации

«активных» ограничений и «приведенного» направления.

2. Тестирование. На этой страничке формируется набор тестовых вопросов, отвечая на которые, студент определяет уровень своих знаний и оценивает понимание предмета.

3. Программы. В данном разделе представлена демо-версия

оптимизационной диалоговой системы ОДиС и различные дополнительные программные модули к ней. Построение методов по единой схеме позволило программно реализовать в системе алгоритмы первого и второго порядков широко известных групп методов.

4. Банк задач. В рамках программно-методического комплекса на основе сравнительного анализа сформирована база данных с задачами.

5. Лабораторные работы предназначены для практического усвоения материала.

Для эффективной работы с Web-версией программно-методического комплекса ОДиС мы рекомендуем следующую методику: 1) изучение теоретического материала; 2) тестирование; 3) знакомство с системой ОДиС; 4) выполнение лабораторных работ; 5) углубленное изучение материала, знакомство с первоисточниками (статьи и т.п.); 6) проведение

исследовательских работ.

Ключевые слова

методика, обучение, оптимизация, комплекс, коммуникации.

Введение

В богатом наборе программных средств и информационных систем учебного назначения все большее проникновение в компьютерную технологию обучения получают электронные коммуникационные системы. Использование в учебном процессе таких средств получения информации, как Интернет, e-mail, WWW и т.п., становится не только возможным, но и необходимым условием для полноценного получения знаний. С появлением полноценных баз научных и учебных данных сети Интернет могут стать незаменимым источником информации при обучении, причем не только повысить эффективность обучения, но позволяют изменить саму природу обучения.

Большой интерес в этом направлении представляет применение средств компьютерных технологий в процессе изучения такого раздела математики, как численные методы решения условных нелинейных экстремальных задач. Задачи оптимизации встречаются в различных сферах человеческой деятельности. Идея оптимизации проникла во все области жизни и знаний. В последние годы были разработаны особые приемы решения задач оптимизации, поскольку потребовались

как новые подходы к старым постановкам вопросов, так и новые постановки задач. Кроме того, необходимость «человеко-компьютерной» технологии обучения методам оптимизации была вызвана, прежде всего, повышенной трудоемкостью вычислений при решении даже небольших учебных задач.

Использование новых информационных технологий обучения с использованием компьютерных средств является одним из направлений повышения эффективности изучения и исследования вычислительных методов. В данном случае современные технологии позволяют значительно увеличить объем усваиваемой информации благодаря тому, что она подается в более обобщенном, систематизированном виде, причем не в статике, а в динамике. Приоритет развивающей функции обучения предусматривает перенос акцентов с увеличения объема информации, предназначенной для усвоения студентами, на формирование умений использовать информацию. Экономия времени за счет сокращения вычислительных операций также позволяет изучать больший объем информации и расширить круг задач.

В данной работе описывается новый Интернет-ресурс кафедры прикладной математики и информатики Марийского государственного университета - сайт (рис. 1), посвященный методам условной нелинейной оптимизации (http :\\fmf. marsu.ru\odis). Данный сайт реализован на основе программнометодического комплекса ОДиС, который используется в качестве компьютерной методической поддержки изучения курса методов оптимизации [Ижуткин В.С., Сушенцов А.А., Курагина Е.В., 1999]. Реализация выполнена в двух вариантах: на русском и английском языках.

3 Mnlhiad-r. 1)1 nunliniMir ршф nmeninq - Mir:inf;i*il Inlnrnnl ETjiplnrirr

фа:'1.'1 [Травка Ёнд ИэЬрймнО# С£рви£ Справка

^ , * . . -э _Li J а ■■

Нанял О ста* юр Оймормть Домой Понс» Из Spam- Журмйгт Почте Раэмд

figapec |д] hnpv^mi meii^u n^adis/erf^^neiem h'ni

М빫№|^Ц

' ObtrlHJ

L.ibciaL.tipy

БЛИЛС Of ~1

The hypefttfi ^ - ; oompfc*

Extrvmura problems witfe гиИкйош - a large сШг of tfar taiki, wdi which it 15 necessary to collide si VJHOIH huni№ JKttVtfy TJlC Itttfcf «1

mtdy uf ийпим pnjpefliBf geometric have

appeared r.iL'irr for a krtg. time Development ot an inihidry has feduccd tn aeteifflty of * research <£ more diHlc'ib problems on an etftoenfiiira On ifac Ьин <if trie surtijF Eukf there were mettic-di ^ ttfitir- й«£»ьг Now idea oi

optunrahon has peneSroted into jI fields -of kjiowStdgt aad Activny In l*?t jrws special rtcrp&MiJ -of г1?Ivin-; г-; фрщщаьйС! problem Were developed

The ideaj .and melhndjs Ы араталп control jre necessary for everybody However vntfi s^'+лпа to method* «Г there н a scnes of dSicu&ses. wfech by «eie tfe-Hit if

optirgppd fc-r SOOrfad ibt fused essnip&My of wuhjairtnti wscJi a Hlng even йиаД die lesi ргоЫна Thcreftte-use of new information, trchr.olo^jcj wrtb use- computer rriecns и one of iire-'lioTif of a raise cffecBPtness of ipj*3y and reietfdi of arihtfd* дошшйш Tbt use :•£ leLecamrmnucaiion technologies is especially actual ar.d pn^p* Clive из lbs given direction Today it is dSeufc fo prcfoft -нгу аейггйу of frir pcfWfl wftnde of mb tods dcrrvmjjs H>E an infiwaaboa. Hi bfltrfirr, с-тай, etacbrooe access 10 to НЬшу, WWW etc Givta file.. is devoted tfl metfiodf of con-dftcei.il пйо&гмнкг орЪпгзслСкгп and; basis cin tJhe progjrjen• fiwihedacn] complex QDiS, witch if used as rarthodical computer mffporr of eowie ot

Рис. 1. Обучающе - исследовательский сайт по методам нелинейной оптимизации.

Web-реализация комплекса не случайна, поскольку гипертекстовые структуры открывают широкие возможности для электронной организации учебных материалов и различных образовательных ресурсов [Сушенцов А.А., 2001]. Гипертекстовую информацию можно просматривать в любом порядке, образуя разнообразные линейные цепочки. Любой фрагмент информации может быть представлен в виде

целой системы версий. Он может раскрываться в глубину, где дается его трактовка или интерпретация. Это может быть не только текст, но и движущаяся иллюстрация, программа или алгоритм. Кроме этого, важным моментом в преподавании является построение процесса обучения таким образом, чтобы не просто обучить студента использованию конкретных современных информационных технологий, а научить студента процессу адаптации к постоянно изменяющейся информационной среде.

Использование сетей усиливает роль самостоятельной работы студента и позволяет кардинальным образом изменить методику преподавания [Ижуткин В. С., Сушенцов А. А., 2001]. Студент может получать все задания и методические указания через сервер, что дает ему возможность привести в соответствие личные возможности с необходимыми для выполнения работ трудозатратами. Студент имеет возможность выполнять работу дома или в аудитории. Очевидно, что и методика проведения консультаций со стороны преподавателя может включать элементы просмотра серверной почты студентов с целью подачи соответствующих рекомендаций. Здесь помимо всего прочего у студента воспитывается культура общения, вырабатывается умение коротко и ясно формулировать свою мысль.

Одна из дидактических возможностей гипертекстовых систем - реализация индивидуализации обучения. В этом случае обучающийся может выбрать путь и темп изучения материала в зависимости от имеющегося уровня знаний, сложившихся приемов работы и психологических особенностей личности.

Представляемый комплекс включает в себя следующие основные разделы:

1. Методы оптимизации

Здесь изложена теория построения и исследования методов решения нелинейных условных экстремальных задач. Ее основу составляет единая организация вычислительного алгоритма различных методов решения задач нелинейной оптимизации с использованием линеаризации «активных» ограничений и «приведенного» направления.

Для широко известных групп методов (таких, как методы недифференцируемых штрафных функций, методы возможных направлений, методы штрафных и барьерных функций, модифицированных функций Лагранжа, методы центров) на сегодняшний день получены следующие результаты [Ижуткин В.С., Петропавловский М.В., 1991]:

1. единообразно построены и исследованы как известные так и новые методы, доказана их сходимость;

2. построены алгоритмы первого и второго порядков. Показано, что методы первого порядка сходятся линейно. Для получения сверхлинейно сходящихся алгоритмов в методах второго порядка используется движение по криволинейной траектории;

3. на основе единой организации вычислительного алгоритма различных методов построены гибридные, комбинированные и мультистадийные алгоритмы, доказана их сходимость.

2. Тестирование

Как известно, контроль является одним из структурных компонентов любой системы обучения. Одним из достоинств тестовой системы является возможность применять компьютер, так как в этом случае обучающимся сразу же выдается результат, можно ограничить время на обдумывание ответов, помимо словесных и цифровых данных можно использовать графику и т.д. Тестовая форма контроля знаний позволяет свести к минимуму наиболее типичные недостатки традиционных форм, использовать широкий спектр технических средств, дополнить учебный процесс интересной и динамичной системой проверки.

На этой страничке формируется набор тестовых вопросов, отвечая на которые, студент определяет уровень своих знаний и оценивает понимание предмета (рис. 2). При получении положительных результатов тестирования студент может приступить к выполнению лабораторных заданий. В случае недостаточного знания и понимания

материала выдаются рекомендации по повторению тех или иных тем, которые вызвали наибольшее затруднение.

Э Методы нелинейной условной оптимизации Microsoft ІлІетеІ Екріогег _[£|х|

|| Файл Правка Ёид Избранное Сирене ^правка ШШ

^ ^ -► . $ !іі іЗ Назад Останов.. Обновить Домой 9 і) Поиск Избрана.. -<з Журнал -і* Почта а- Размер } и . " Печать И:

|4дрес|&] ИИрУ/ґгпгґ.тагзи ги/о^ізДиз/ ^Переход \ Ссылки ю

...ОФиС.

II иности сай га Методы Тестирование Лаб. р;нмп і.і Программы I»;) нк і а і ' і Публикации Ссылки Лпм>Щп сай га

Тест. Бремя выполнения - 10 минут.

■ С1 Что такое ‘активное* ограничение?

• ограничение, наиболее близкое к итерационной т

• ограничение, наиболее удаленное от итерационна

• ненарушенное ограничение

• нарушенное ограничение

■ 02. Что такое "активное* множество?

• множество ограничений

• множество "активных" ограничений

• множество итерационных точек

• множество допустимы» направлений

■ 03. Как строится "приведенное" направление?

• двумя линейны ми преобразованиями на основе

• выбирается одно из возможных направлений

• направление, приводящее в допустимую область

• используется антнградиент функции выигрыша

Э Результаты тестирования - Microsoft Іпіегп... ЯИЕЗ

Файл Правка Ёид Избранное Сервис £пр “

^ , ■+ Назад - ^ лЗ Останов.. Обновить

Адрес|^] _2І ^Переход Ссылки ”

■ 04. Из каких соображений выбираются параметры "

I Приложеньииа; Мой компьютер

Рис. 2. Блок тестирования в комплексе ОДиС.

3. Программы

В данном разделе представлена демо-версия оптимизационной диалоговой системы ОДиС и различные дополнительные программные модули к ней (служба помощи, набор тестовых вопросов и т.п.).

Система ОДиС основана на единой организации вычислительного алгоритма различных методов решения нелинейных экстремальных задач с использованием "приведенного" направления (рис. 3). Построение методов по единой схеме позволило программно реализовать в системе алгоритмы первого и второго порядков широко известных групп методов (методы точных штрафных, дифференцируемых штрафных и барьерных функций, модифицированных функций Лагранжа, методы возможных направлений, методы центров).

Задача фпции Сервис 2

о & & <31 ёг ?{1

количество переменны>(- количество ограничения^ 3

целевая функция Г0 (х>= |(>:[1]-2|*(х(1|-2)-(х[2]-1)*(х[2]-1)

ограничения Г, (х)=|х[1]‘х[1]-х[2| част, производные

".ип

метоп[линеаризации (нєиисо штрафна^]

Ьь Сохранить и скомпилировап

Опции

алгоритм простой регуляризациянормой

вектор 2 град спуск траектория линейная

вектор V явное решение

шаг дихотомия

дифференцированиіанвлитическое факторизация 1_0-разложение (А68)

Результаты счета

итерация 3 функция выигрыша

счетчик град. 3 мин. множитель

счетчик фун 50 макс. ограничение

1.12854 О 01262 0 00000

точность ф-и выигрыша -0.19648 градиент ф-и Лагранжа 1.24289 штрафной терм

0.01262

итерационная точка

г. =0 998938183363362

і

ограничения 1 -ое* 00126Ж.

оценки множителеи 1 -Ый- 0.82о4ТЇ

3

активный набор 1 -ый- Г 0X126 ІI

Рис. 3. Оптимизационная диалоговая система ОДиС.

Поскольку соединение различных методов из перечисленных групп производится достаточно просто (за счет выбора соответствующих параметров и использования одних и тех же процедур), то в системе на их основе были реализованы гибридные и комбинированные алгоритмы решения экстремальных задач.

Оптимизационная диалоговая система ОДиС предоставляет пользователю следующие основные возможности: просматривать и изменять в диалоговом режиме текущую задачу; выбирать, а также менять в процессе решения задачи из библиотеки методов оптимизации интересующий пользователя метод, менять его параметры; выдавать на дисплей основные характеристики текущего метода; использовать графическое окно визуализации итерационного процесса решения двумерных задач выпуклого программирования; с использованием специального вычислительного модуля (рис. 4) проводить сравнительный анализ результатов расчетов по реализованным в системе методам [Ижуткин В.С., Сушенцов А.А., 2000]; пользоваться методической поддержкой и встроенной службой помощи по реализованным методам, а также системе.

Рис. 4. Блок сравнительного анализа в системе ОДиС.

Для представления процесса решения в графическом виде, диалоговая оптимизационная система OДиС отображает линии уровня и ограничения задачи и показывает допустимую область (рис. 5). Блок графической визуализации обеспечивает пользователю возможность детального пошагового режима, чтобы исследовать траекторию движения к оптимальной точке, а также выводит значения полученных основных параметров. При этом, здесь реализована функция масштабирования.

Рис. 5. Блок графической визуализации.

Мы полагаем, что такая наглядная демонстрация работы алгоритмов позволяет активизировать процесс обучения студентов и способствует более прочному усвоению материала.

Важную роль с методической точки зрения играет контекстно-зависимая помощь. Она включает в себя подробно изложенный теоретический материал, необходимые ссылки на источники, комментарии и подсказки по использованию системы, тем самым позволяя сократить время освоения работы с программой и перенести центр тяжести с технической стороны выполнения задания на содержательную. При разработке Шф-службы использовалась концепция гипертекста, что подразумевает собой взгляд на текст как на глобальную связную структуру. Такой способ представления позволяет пользователю самостоятельно изучить работу системы ОДиС и ознакомиться с методами нелинейной условной оптимизации, реализованными в ней.

Особенно хочется отметить методическую поддержку итерационного процесса решения задачи оптимизации (рис. 6). Система ОДиС сопровождает процесс решения задачи нелинейного программирования сообщениями, подробно объясняющими каждую операцию алгоритма выбранного метода. Информация выводится в окна в виде формул и комментариев к ним, выдаются значения вычислений, полученных на текущей итерации. Возможно продвижение вперед и назад, переход к следующей и предыдущей итерациям.

На основе исследований использования диалоговой оптимизационной системы ОДиС в образовательном процессе мы пришли к следующему заключению [Izhutkin V.S., Sushenzov A.A., 200Ы]: ее использование - один из компонентов более

эффективного усвоения и закрепления теоретических основ. Она существенно ускоряет и упрощает работу по сравнению с традиционными методами использования компьютера. Организация диалога позволяет быстро переходить от одного метода к другому, изменять параметры методов, определять условия прерывания вычислений, инициализировать продолжение вычислительного процесса.

Методическая поддержка ИМ Е?

Метод недифференцируемых штрафных функций

Итерационный процесс метода линеаризации основан на решении нелинейной экстремальной задачи, реализованных на линеаризации активных ограничений, близких к наиболее нарушеным

-----------------------------------------------------------------------------------3

На текущей итерации используется линейная траектория движения.

Определяем величину ж:

^=0.0177985984930807

На текущей итерации е(к)=0.1

Для определения величины е(к*1) проверим выполнение неравенств:

где и определяется по формуле: иН^СПТ0

Значение шага ((к) подбирается дроблением единицы (или членов расходящегося ряда) так. чтобы обеспечить достаточное убывание штрафной функции

Очередное приближение х(к+1)-х(к)+1(к)8(к): х[1 Н.937940558802СМ5. х[2]»0.861933893352812

С НАЙОЕНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И ПОЛУЧЕННОЙ ИТЕРАЦИОННОЙ ТОЧКОЙ ПЕРЕХОДИМ

К СЛЕДУЮЩЕЙ ИТЕРАЦИИ

|] @ыход ^ Пред. итерация (1)| £лед. итерация (3) ^ |

Рис. 6. Методическое сопровождение.

4. Банк задач

В рамках программно-методического комплекса на основе сравнительного анализа была проведена классификация тестовых задач по различным совокупностям свойств функций задач и выделены классы задач, каждому из которых отвечает своя предпочтительная схема поиска минимума.

Сформированная база данных с задачами включает тесты с выпуклыми и невыпуклыми функциями (функция Розенброка), хорошо и плохо обусловленные задачи, с ограничениями (тест Розена-Судзуки) и без ограничений, с допустимыми и произвольными начальными точками.

Задачи подобраны таким образом, чтобы в ходе работы системы наглядно продемонстрировать работу различных методов при выборе соответствующих параметров единого алгоритма.

5. Лабораторные работы

Лабораторные работы предназначены для практического усвоения материала. Благодаря компьютеризированным лабораторным работам студенты лучше усваивают программный материал, происходит детальное и прочное усвоение учебной информации. Предлагаемые лабораторные занятия проводят параллель с

лекциями, служат их активной, творческой иллюстрацией, а, кроме того, приобретают характер учебно-исследовательской деятельности. Это означает, что помимо практической отработки изучаемого материала, занятия развивают творческую инициативность студентов, активизируют их познавательную деятельность, формируют устойчивые профессиональные интересы.

Целями предлагаемого лабораторного практикума является закрепление и изучение нового или дополнительного материала, рассмотрение методов проведения работы, выполнение самой работы, анализ полученных результатов.

Стоит отметить несколько положительных моментов использования программно-методического комплекса ОДиС на лабораторных занятиях:

- компьютер позволяет не только предъявлять новые сведения, контролировать их усвоение, но и освобождает обучаемых от рутинных вычислений, позволяя тем самым оставить время на изучение нового материала или закрепления старого;

- обучающая программа позволяет в пошаговом режиме проиллюстрировать свойства и особенности изучаемого метода и сравнить его с другими, оставляя за студентами знание алгоритмов и умение применять их в конкретных задачах, передав при этом все вычисления компьютеру;

- появляется возможность моделировать изучаемые процессы, т.е. показывать их в динамике, что особенно полезно для успешного запоминания, многократно повторять эксперимент, меняя лишь определенные данные;

- увеличивается наглядность, что облегчает понимание и запоминание изучаемого материала;

- появляется возможность решать задачи исследовательского характера, а также индивидуализировать процесс обучения.

Для эффективной работы с Web-версией программно-методического комплекса ОДиС рекомендуется следующая методика [^йики V.S., Sushenzov А.А., 2001Ь]:

1. изучение теоретического материала;

2. тестирование (с целью проверки своего уровня подготовки);

3. знакомство с системой ОДиС (разбор тестовой задачи);

4. выполнение лабораторных работ;

5. углубленное изучение материала, знакомство с первоисточниками (статьи и т.п.);

6. проведение исследовательской работы.

В заключение отметим несколько возможных путей использования представленного в данной работе сайта по методам нелинейной оптимизации:

- поиск информации в удаленных базах данных;

- дистанционное обучение.

Разработанный компьютерный курс был внедрен в учебный процесс и апробирован в Марийском государственном университете. Результаты апробации и проведенного педагогического эксперимента позволяют сделать вывод о достаточно высокой насыщенности курса учебными материалами и соответствии курса требованиям университетских программ.

Апробация также выявила значительный интерес студентов и повышение эффективности обучения при включении в учебный процесс программ такого класса за счет усиления активности обучаемых.

Анализ результатов (рис. 7) позволяет утверждать справедливость следующей гипотезы: оптимальное распределение функций обучаемого и обучающего,

повышение качества усвоения материала, высокая мотивация выполняемых действий, реализуемые посредством соответствующей методической системы,

обеспечивают высокую эффективность компьютерных технологий обучения численным методам.

с

о

35

л х л

ст 30

25

та ф

ат 20

15

10-Н

5

0

5 6 7

номер вопроса

□ контр. группа □экспер. группа

Рис. 7. Эффективность предложенной методики.

Проведенные исследования позволяют выделить новые области научных исследований, основной из которых является дальнейшая разработка и совершенствование существующего набора новых информационных технологий для интенсификации обучения численным методам оптимизации. В частности, одним из приоритетных направлений в последнее время становится применение Java-технологий и элементов виртуальной реальности. Виртуальная реальность позволяет продемонстрировать обучаемым явления, которые в обычных условиях показать достаточно сложно. В рамках представленного комплекса предполагается создание подсистемы регистрации успеваемости и совершенствование подсистемы диагностики и контроля знаний.

ЛИТЕРАТУРА

[Ижуткин В.С., Петропавловский М.В., 1991] Ижуткин В.С., Петропавловский М.В. Методы приведенных направлений с различными функциями выигрыша для задачи нелинейного программирования и их программная реализация // Материалы Всесоюзной конференции «Математическое программирование и приложения», Свердловск, 1991, С.72.

[Ижуткин В.С., Сушенцов А.А., Курагина Е.В., 1999] Ижуткин В.С., Сушенцов А.А., Курагина Е.В. Программно-методический комплекс для изучения методов нелинейной оптиимзации // Тезисы докладов региональной научно-практической конференции «Инновационные методы преподавания в высшей школе», г.Чебоксары, 1999, с.177-179.

[Ижуткин В.С., Сушенцов А.А., 2000] Ижуткин В.С., Сушенцов А.А.

Исследовательский комплекс на основе оптимизационной диалоговой системы ОДиС

// Тезисы докладов международной научно-методической конференции «Новые информационные технологии в университетском образовании», г.Томск, 2000, с.34-35.

[Ижуткин В.С., Сушенцов А.А., 2001] Ижуткин В.С., Сушенцов А.А.

Использование телекоммуникационных технологий при изучении методов оптимизации // Тезисы докладов международной научно-методической конференции «Новые информационные технологии в университетском образовании», г.Новосибирск, 2001: http://www.stu.ru/konf2001/thesis2.htm.

[Сушенцов А.А., 2001] Сушенцов А.А. WWW-технологии изучения методов

нелинейной оптимизации // Тезисы Межвузовской научно-методической конференции «Преподавание естественно-научных дисциплин в современных условиях», Йошкар-Ола, МарГТУ, 2001, С.45-48.

[Izhutkin V.S., Sushenzov A.A., 2001a] Izhutkin V.S., Sushenzov A.A. Study of Methods of Nonlinear Optimization Using Computer Means // Operation research proceedings (OR 2000), B.Fleischmann eds. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, 2001, pp.493-496.

[Izhutkin V.S., Sushenzov A.A., 2001b] Izhutkin V.S., Sushenzov A.A. The Hypertext Program-Methodical System ODiS for Learning and Research of Methods of Nonlinear Optimization // Abstracts of International Conference on Operation Research (SOR'2001), Duisburg, 2001, p.158.