Интегрированный курс геометрии и линейной алгебры как средство формирования математической подготовки студентов технических вузов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ю. А. Маглинец. — М. : Интернет-ун-т информ. технологий, 2008. — 200 с.

СОРОКА Елена Георгиевна, соискатель по кафедре теории и методики обучения информатике Омского государственного педагогического университета (ОмГПУ); старший преподаватель кафедры информационных технологий негосударственного образовательного учреждения высшего профессионального

образования «Сибирский институт бизнеса и информационных технологий».

Адрес для переписки: e-mail: soroka_e_g@mail.ru СМОЛИНА Людмила Владимировна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры теории и методики обучения информатике ОмГПУ. Адрес для переписки: e-mail: smolina@omgpu.ru

Статья поступила в редакцию 17.02.2010 г. © Е. Г. Сорока, Л. В. Смолина

УДК 378.147 : [514.18+514.12+512.64]

Г. С. ИВАНОВ И. М. ДМИТРИЕВА

Московский государственный университет леса

Московский государственный университет пищевых производств

ИНТЕГРИРОВАННЫЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ ТЕХНИЧЕСКИХ ВУЗОВ

Рассматривается обоснование постановки интегрированного курса начертательной, аналитической геометрии и линейной алгебры. Параллельное изучение графических и аналитических алгоритмов является геометрической основой решения конструкторских, технологических и экономических задач. Такой курс соответствует требованиям системности методики преподавания в высшей школе, обеспечивая выявление межпредметных связей.

Ключевые слова: начертательная геометрия, аналитическая геометрия, линейная алгебра, межпредметные связи.

В современных условиях организация обучения общеинженерным дисциплинам в технических вузах связана прежде всего с требованиями научно-технического прогресса. При этом в связи с введением новых государственных образовательных стандартов происходят изменения программ по каждому предмету. Заметная в последние десятилетия тенденция сокращения объема часов, отводимых на изучение курса начертательной геометрии и инженерной графики, по-видимому, имеет как объективные, так и субъективные причины:

— общепринятое мнение о начертательной геометрии как обеспечивающей дисциплине лишь курса черчения дает основание чиновникам в области образования считать ее значение постепенно снижающимся в связи с широким внедрением машинной графики в учебный процесс и инженерную практику;

— графические методы решения задач, изучаемые в традиционном курсе начертательной геометрии, потеряли свое прикладное значение и, в лучшем случае, служат лишь развитию пространственного мышления обучающихся;

— искусственный отрыв начертательной геометрии от смежных математических дисциплин (линейной и векторной алгебры, аналитической и дифференциальной геометрии) и отнесение ее к общеинже-

нерным дисциплинам лишает ее возможности быть обеспечивающей дисциплиной при изучении ряда спецкурсов или их разделов по математическому моделированию объектов и процессов.

Поэтому основная задача данной публикации состоит в обосновании необходимости пересмотра структуры и содержания курса начертательной геометрии, изменении методики ее преподавания с акцентом на выявление межпредметных связей со смежными разделами математики с целью подготовки студентов к изучению ряда спецкурсов, связанных с математическим моделированием объектов, оптимизацией технологических процессов и т.д.

Одним из основных противоречий для качественной подготовки студентов к изучению ряда специальных дисциплин является преподавание курсов начертательной геометрии, линейной алгебры и аналитической геометрии разными кафедрами без учета существующих между этими дисциплинами тесных межпредметных связей. Организационное преодоление этого противоречия путем передачи обоих этих курсов одной кафедре в недавнем прошлом было практически нереализуемо по ряду причин:

— кафедры начертательной геометрии и высшей математики втузов укомплектованы специалистами разного профиля: преподаватели кафедр начертатель-

ной геометрии имеют техническое (инженерное) образование, в то время как преподаватели кафедр высшей математики — математическое;

— основной задачей начертательной геометрии является в первую очередь обеспечение курса черчения («... начертательная геометрия — грамматика черчения» по крылатому выражению В. И. Курдю-мова) и лишь во вторую очередь — других дисциплин.

В настоящее время в связи с проводимой реформой образования в рамках государственного национального проекта появляется реальная организационно-правовая возможность постановки ряда интегрированных курсов, направленных на подготовку квалифицированных инженерных кадров. Создание новых крупных учебно-научно-производственных объединений, очевидно, потребует интеграции теоретических, общетехнических и прикладных дисциплин. Механическое создание таких интегрированных курсов или передача преподавания теоретических физико-математических дисциплин на спецкафедры (такая тенденция наблюдается в ряде вузов) может привести к дискредитации идеи постановок вызванных требованиями настоящего времени интегрированных курсов.

Покажем необходимость создания интегрированного курса геометрии для инженеров на базе изучаемых по отдельности в настоящее время двух дисциплин: начертательной геометрии (общеинженерная дисциплина), аналитической геометрии и линейной алгебры (математическая дисциплина). Она вызвана бурно развивающимися в последние десятилетия методами математического, в частности, геометрического моделирования на базе современной вычислительной техники.

Задачи математического моделирования объектов различной природы и назначения, технологических процессов, экономических зависимостей, явлений природы и т. д. многопараметричны. Поэтому представление их условий, ограничений, алгоритмов решения в виде геометрических фигур многомерного пространства и отношений между ними возможно лишь при хорошем владении понятиями многомерной геометрии в их синтетическом и аналитическом изложении. Например, теоретической базой развиваемого в настоящее время метода твердотельного моделирования является геометрия четырехмерного пространства, ибо некоторая функция Ф(х, у, ъ, ^=0 от четырех переменных описывает гиперповерхность (трехмерную фигуру) этого пространства.

Построение таких моделей, учитывающих множество факторов, детерминированных и стохастических, возможно при широком использовании методов наглядного представления исходных данных, понимания геометрической сущности алгоритмов решения, наглядной интерпретации полученных результатов, то есть на базе начертательной геометрии многомерного пространства.

Однако графическое решение задач в многомерном пространстве практически нереализуемо и нецелесообразно. Поэтому конструктивные алгоритмы их решения должны служить базой для разработки аналитических эквивалентов с последующей программной реализацией. Практически этого можно добиться изучением методов решения основных задач начертательной геометрии трехмерного пространства в синтетическом и аналитическом изложении с последующим обобщением, по индукции, на многомерные пространства.

Современные курсы линейной алгебры и аналитической геометрии, читаемые в технических вузах,

состоят из трех основных разделов:

1) линейная алгебра;

2) векторная алгебра;

3) аналитическая геометрия.

В преподавании двух последних разделов четко прослеживается акцент на выявление геометрической сущности решаемых задач. Например, в любом учебном пособии по векторной алгебре показывается геометрический смысл скалярного, векторного и смешанного произведения векторов. При этом понятие вектора, операций над ними даются сугубо геометрически. Начертательная и аналитическая геометрии имеют ярко выраженный общий предмет и общий круг решаемых задач. Их отличие состоит только в способах решения. Поэтому с научной точки зрения проблемы в их параллельном изучении нет. На наш взгляд, вопрос состоит в методике преподавания этих дисциплин.

Совершенно иначе обстоит дело при решении систем линейных уравнений в курсе линейной алгебры. Кафедры высшей математики акцентируют внимание студентов на аналитические способы решения систем линейных уравнений, совершенно не затрагивая их геометрической сущности и, тем более геометрической интерпретации алгоритмов и способов решения. Это объясняется, по нашему мнению, отсутствием во втузовских программах курсов линейной алгебры и начертательной геометрии понятия многомерного пространства, о его основных фигурах и отношениях между ними. Кстати, об этом же свидетельствует опыт совместного преподавания этих дисциплин в МАИ в 70-х годах прошлого столетия проф. И. И. Ко-товым, который не счел необходимым выявление таких связей. Об этом свидетельствует тот факт, что разделы линейной алгебры он читал традиционно, не акцентируя внимание студентов на их геометрической сущности. С нашей точки зрения, такой подход явился одной из главных причин неудачного конца этого начинания.

Поэтому построению интегрированного курса линейной алгебры и начертательной геометрии должно предшествовать изучение их межпредметных связей. Эти связи достаточно очевидны: в научном плане их выявление можно выполнить в предлагаемой последовательности:

1. Построение многомерного расширенного ев-клидового пространства последовательным увеличением размерности, начиная с числовой оси. Добавлением новой оси, перпендикулярной исходной, получаем двумерное пространство и т.д. Затем построенное многомерное евклидово пространство расширяется добавлением несобственных элементов: прямая а дополняется несобственной точкой А", плоскость а2 — несобственной прямой а", ..., п-мерное пространство ап — несобственной гиперплоскостью (ап-1)".

2. Аналитическое задание линейных форм расширенного евклидового пространства, начиная с известных студенту уравнений прямой линии и плоскости. Обобщая, показывается, что уравнением гиперплоскости является линейное уравнение от п неизвестных х, которое в матричной форме задается в виде матрицы-строки, содержащей п+1 элемент. Выводится формула для расчета размерности г пространства пересечения р1- и р2-плоскостей и на ее основе показывается, что система из г линейных уравнений от п неизвестных определяет (п-г)-плоскость. В матричной форме она задается прямоугольной матрицей (п, г). Расширению этой матрицы добавлением столбца свободных членов соответствует переход от обычных декартовых координат к однородным декарто-

вым координатам. Далее даются геометрические интерпретации теоремы Кронекера-Капелли о совместности системы и понятия ранга матрицы.

3. Так как при изучении многомерного пространства полагаться на интуицию и пространственное представление нельзя, то рассматриваются основные вопросы по исчислению параметров: формула для расчета размерности объемлющего пространства, синтетический и аналитический способы подсчета степеней свободы (параметров) линейных и нелинейных форм.

4. Как известно, широко используемые в инженерной практике изображения трехмерного пространства (чертеж Монжа, аксонометрия и перспектива) получаются по схеме метода двух изображений. Поэтому построение основ начертательной геометрии многомерного пространства завершается обобщением этой схемы для моделирования многомерного пространства.

5. Выявление межпредметных связей многомерной начертательной геометрии и линейной алгебры завершается геометрической интерпретацией основных операций над матрицами: умножение матриц — это последовательное отображение или преобразование (аффинное) многомерных пространств; соответствие единичной матрице тождественного преобразования, обратной матрице — обратного преобразования и т.д.

Выявленные межпредметные связи должны обеспечить теоретическую базу для научно-методических разработок по составлению программы интегрированного курса рассматриваемых дисциплин.

Тогда сразу же возникает вопрос: «Где взять на это учебные часы?» По нашему мнению, ответ на этот вопрос в преподавании начертательной геометрии следует искать в трех направлениях:

— пересмотр содержания курса;

— изменение структуры курса;

— новая методика преподавания дисциплины.

Необходимость введения понятий многомерной

геометрии (размерность, степень свободы, элементы параметрического исчисления, размерности пространства пересечения и объединения, степень параллельности и перпендикулярности, ...), естественно, требует исключения устаревших разделов, которые совершенно не нужны современному инженеру. Например, методы сфер (концентрических, эксцентрических) в построении линии пересечения поверхностей из-за весьма ограниченной области их применения утратили свое значение. Здесь вполне достаточно изложения метода плоскостей уровня. Требуется лишь объяснить студентам, что в случае пересечения данных поверхностей посредником по сложным кривым, точки их пересечения находятся итерационными методами, которые изучаются в курсе математического анализа.

Также нет никакой необходимости в изложении всех изучаемых в настоящее время способов преобразования чертежа, ибо в их основе лежат одни и те же операторы [1]. Достаточно объяснить, что изучаемые в курсе аналитической геометрии формулы преобразования пространства

х' = ^(х,у,г),

у = {2(х,У,г), г'= Цх,у,г)

легко обобщаются на пространства высших размерностей и имеют два истолкования, как формулы пре-

образования координат или формулы преобразования пространства.

Большой выигрыш в экономии учебных часов можно получить за счет пересмотра структуры курса. Действительно, большинство современных учебников имеют структуру курсов 100- 150-летней давности. Сначала изучается задание линейных форм (прямых и плоскостей) и с их участием решаются все типы задач (позиционные или, точнее проективные, аффинные и метрические). Затем вводятся нелинейные формы (кривые линии и поверхности), рассматривается их задание на чертеже, и снова решаются те же задачи, но уже с участием и линейных, и нелинейных форм.

Такой подход имеет ряд принципиальных недостатков. Во-первых, он не соответствует общепринятому теоретико-групповому принципу построения геометрии в целом («Эрлангенской программе» Ф. Клейна) [2].

Второй недостаток структуры существующих курсов состоит в том, что изучаемые в них алгоритмы решения тех или иных задач нельзя непосредственно обобщать на решение подобных задач в многомерных пространствах.

И наконец, учебные часы можно сэкономить за счет изменения методики преподавания, основанной на параллельном изучении синтетических (графических) и аналитических алгоритмов решения задач в интегрированном курсе. Например, все виды позиционных задач (принадлежность, пересечение) аналитически сводятся к решению системы из трех уравнений с тремя неизвестными. Действительно, построение недостающей проекции точки, принадлежащей данной поверхности Ф

\Ф(х,у^) = 0,

= XA,

[у = у а;

\Ф(х,у,х) = 0, \х = X.,

построение точек пересечения поверхности Ф с данной линией1

\Ф(х,у,2) = 0, Щх,у) = 0, [Г(х,Е) = 0,

или, наконец, построение линии пересечения данных поверхностей Ф и Д

\Ф(х,у,2) = 0, \А(х,у,х) = 0,

сводятся к решению приведенных систем уравнений.

Уравнения, входящие в эти системы, и последовательное вычисление неизвестных просто интерпретируются геометрически. Поэтому такое аналитическое решение всех позиционных задач по единой схеме с параллельным графическим их решением наглядно и убедительно показывает наличие межпредметных связей двух изучаемых студентами дисциплин. Сказанное естественным образом обобщается на многомерные пространства, в результате чего выявляются межпредметные связи многомерной начертательной геометрии, линейной алгебры и аналитической геометрии.

Такой подход «обогощает» не только начертательную геометрию, но и линейную алгебру и студенческий курс аналитической геометрии. Линейную

или

х = х

.

х = х

алгебру — за счет геометрических интерпретаций ее основных понятий и операций (матрица, ранг матрицы, произведение матриц, теорем о существовании и единственности решений и т.д.), аналитическую геометрию — существенным расширением рассматриваемых нелинейных форм.

Многолетний опыт преподавания начертательной геометрии одним из авторов этой статьи на аэрокосмическом факультете МАИ (ГТУ) с использованием элементов такой методики подтверждает ее эффективность. Следует отметить, что параллельное изучение графических и аналитических алгоритмов решения задач способствует более глубокому усвоению материала дисциплин, входящих не только в интегрированный курс, но и ряда спецкурсов, связанных с математическим моделированием объектов и процессов. В качестве убедительного примера можно привести результаты экспериментальных исследований Н. В. Ханжиной, проведенных в 2000 — 2005 гг. в Оренбургском государственном университете. Корреляционный анализ результатов успеваемости студентов специальности 351400 — Прикладная информатика (в экономике) — с одной стороны, по алгебре и геометрии (1-й и 2-й семестры), с другой — по трем спецдисциплинам (математическая экономика — 6-й семестр, эконометрика и математическое программирование в экономике — 7-й семестр) показал наличие тесной связи в успеваемости первокурсников и старшекурсников в экспериментальных группах. Иными словами, параллельное решение задач по начертательной геометрии графическим и аналитическим спо-

собом положительно повлияло на объем остаточных знаний у студентов старших курсов, то есть на усвоение ими материала перечисленных выше спецкурсов.

Таким образом, интегрированный курс геометрии более полно отвечает современным требованиям подготовки высококвалифицированных специалистов. По нашему глубокому убеждению, необходимо проведение организационно-правовых мероприятий для его внедрения в учебный процесс в системе высшего образования страны.

Библиографический список

1. Иванов, Г. С. Начертательная геометрия / Г. С. Иванов. — М. : Издательство МГУЛ, 2008. - 338 с.

2. Иванов, Г. С. Теоретические основы начертательной геометрии / Г. С. Иванов. — М. : Машиностроение, 1998. — 158 с.

ИВАНОВ Геннадий Сергеевич, доктор технических наук, профессор кафедры начертательной геометрии и черчения Московского государственного университета леса, заслуженный деятель науки РФ. ДМИТРИЕВА Ильзина Михайловна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры инженерной графики Московского государственного университета пищевых производств.

Адрес для переписки: e-mail: ilzina@yandex.ru

Статья поступила в редакцию 08.06.2009 г. © Г. С. Иванов, И. М. Дмитриева

УДК 37.013.46 Е. В. ЦУПИКОВА

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия,

г. Омск

ОРГАНИЗАЦИЯ РАБОТЫ НАД ТЕКСТОМ С ЦЕЛЬЮ ВЫЯВЛЕНИЯ ЕГО ПОСТСУППОЗИЦИИ В ХОДЕ ОСВОЕНИЯ СПЕЦКУРСА «СЕМАСИОЛОГИЯ»

Анализ теоретических воззрений на сущность речевых единиц позволил автору определить процесс порождения и интерпретации текста, а также методику работы по освоению данной лингвистической теории в спецкурсах высшей школы. Для определения сущности и структуры семантического уровня текста необходима четкая дифференциация таких понятий, как образное и переносное значения, символ, идиома, типы пресуппозиции, постсуппозиция. Освоение изложенной теории — неотъемлемый компонент языкового и культурного развития индивидуума.

Ключевые слова: пресуппозиция, постсуппозиция, идиома, образное значение, символическое значение.

Введение. Никто не станет отрицать, что целью чие общей пресуппозиции и достаточный учет рече-коммуникации является достижение взаимопонима- вой ситуации.

ния между собеседниками. Этот процесс с необходи- Понятие пресуппозиции в парадигме современ-

мостью предполагает адекватную интерпретацию ного научного знания. Пресуппозиция (лат. ргае — сообщений. Среди условий адекватности следует впереди) — это подразумеваемый компонент содер-прежде всего назвать общность языка, менталитета, жания высказывания, предварительное знание, прог-сходность жизненного опыта коммуникантов, нали- раммирующее однозначное понимание фразы и ее