Интегрирование уравнения типа Кортевега–де Фриза с нагруженным членом в классе периодических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета

2024. Том 64. С. 60-69

УДК 517.946 © М. М. Матёкубов

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА С НАГРУЖЕННЫМ ЧЛЕНОМ В КЛАССЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В данной работе изучается интегрируемость уравнения типа Кортевега-де Фриза с нагруженным членом в классе периодических функций при помощи прямых и обратных спектральных задач, поставленных для оператора Штурма-Лиувилля на всей оси. Приведены некоторые сведения об операторе Штурма-Лиувилля с периодическим коэффициентом и его применении к решению нагруженного уравнения типа Кортевега-де Фриза. Показано, что построенная при помощи полученной системы дифференциальных уравнений Дубровина и формул следов функция является решением поставленной задачи. Приведены важные следствия о периоде решения по х и об аналитичности решения по х для уравнения типа Кортевега-де Фриза с нагруженным членом.

Ключевые слова: уравнение Кортевега-де Фриза, оператор Штурма-Лиувилля, обратная спектральная задача, система уравнений Дубровина, формулы следов.

001: 10.35634/2226-3594-2024-64-05 Введение

Определение явных решений нелинейных уравнений играет ключевую роль в понимании физических явлений и динамических процессов. Нелинейные эволюционные уравнения часто возникают в моделировании различных процессов а таких, как распространение волн, турбулентность, процессы теплопроводности и другие сложные явления. Уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ) — это одно из наиболее известных нелинейных эволюционных уравнений, которое описывает распространение одномерных нелинейных волн на мелкой воде.

В последние годы для исследования различных решений уравнений КдФ использовались различные методы. В работах С. П. Новикова [1], Б. А. Дубровина и С. П. Новикова [2], В. А. Марченко [3], Б. А. Дубровина [4], А. Р. Итса и В. Б. Матвеева [5], Г. Мак-Кина и Е. Трубовица [8] и др. исследовано уравнение КдФ с помощью обратной спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилла, в классе конечнозонных функций. Обратная спектральная задача является классическим примером обратных задач, их решения связаны с теорией спектра дифференциальных операторов. Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля заключается в восстановлении потенциала д(х) по известным спектральным данным.

П. Лакс в работах [6, 7] показал, что метод обратной задачи может быть использован не только для решения уравнения Кортевега-де Фриза, но также и для других нелинейных уравнений. В частности, он ввел уравнение КдФ высокого порядка и дал способ его решения.

При применении метода обратной задачи рассеяния для КдФ важную роль играют формулы следов и эволюция спектральных параметров. Спектр оператора Штурма-Лиувилля с периодическим потенциалом имеет бесконечное число открытых лакун на действительной оси Л, ив каждой лакуне лежит одно действительное собственное значение.

Если рассмотреть уравнение Штурма-Лиувилля со сдвинутым аргументом

ь(г)у = -у'' + д(х + г)у = А у, х е Л, г е Л,

то его спектр не зависит от параметра то есть = ст(Ь(0)), но его спектральные

параметры зависят от параметра £п(г), ап(£), п > 1.

Эти спектральные параметры удовлетворяют системе дифференциальных уравнений Дубровина:

х

\

те

& - А0+) п(Л" 7/€га)>

к=1 & - Сп)2

к=п

Система дифференциальных уравнений и формула следов

те

?(*) = А+ + 5] (А+ + А- - 2&(г))

п=1

вместе дают метод решения обратной задачи для оператора Штурма-Лиувилля. Здесь А++ и А- — границы лакуны спектра оператора Ь(г).

В работах А. Б. Хасанова, А. Б. Яхшимуратова, Г. У. Уразбоева, У. А. Хоитметова, М. М. Матёкубова [13-18] рассмотрены различные нелинейные уравнения с нагруженным членом.

В данной работе мы будем изучать задачу Коши для нелинейного уравнения типа КдФ с нагруженным членом в классе периодических функций.

§ 1. Постановка задачи

В данной работе изучается уравнение типа КдФ с нагруженным членом, а именно рассмотрим следующее уравнение:

1 5 15

= - - + -<?<ь + 7(*) • д{0,г) ■ хеЯ, * > 0, (1.1)

с начальным условием

q(x,t)\t=0 = ®(х), (1.2)

где 7(¿) € С[0, то) и д0(х) € С5(Д1) — заданная действительная функция. Требуется найти действительную функцию д(х,£), которая является п-периодической по переменной х:

д(х + п,г) = д(х,г), х € Я, г> 0, (1.3)

и удовлетворяет условиям гладкости:

д(х,г) € С5(г > 0) П С1(г > 0) П С (г ^ 0). (1.4)

Цель данной работы — дать процедуру построения решения д(х,£) задачи (1.1)-(1.4), в рамках обратной спектральной задачи для оператора Штурма-Лиувилля.

§ 2. Предварительные сведения

В этом параграфе приведем некоторые необходимые сведения, касающиеся обратной спектральной задачи для уравнения с периодическим потенциалом. Более подробную информацию о теории спектральной задачи можно найти в работах [9-12].

Предположим, что д(х) — действительная непрерывная п-периодическая функция. Рассмотрим следующий оператор Штурма-Лиувилля на всей прямой

Ьу = —у'' + д(х)у = Ау, х € Я. (2.1)

Введем решения с(х, А) и з(х, А) уравнения (2.1) с начальными условиями с(0,А) = 1, с'(0, А) = 0 и в(0, А) = 0, в'(0, А) = 1.

Определение 2.1. Функция Д(А) = с(п, А) + з'(п, А) называется функцией Ляпунова или дискриминантом Хилла.

Обозначим через Ао, А4к-1, А4к собственные значения периодической задачи (у(0) = у(п), у'(0) = у'(п)), а через А4к+1, А4к+2 — собственные значения антипериодической задачи (у(0) = —у(п), у'(0) = —у'(п)) для уравнения (2.1), к е N.

Спектр оператора (2.1) — чисто непрерывный и совпадает со следующим множеством:

Е = {А е Л1: — 2 ^ Д(А) ^ 2 } = [Ао, Ах] и [А2, Аз] и ... и [А2„, А2П+1] и ....

Определение 2.2. Интервалы (—то, А0), (А2п-1, А2„), п ^ 1, называются лакунами.

Пусть , п ^ 1, — корни уравнения з(п,А) = 0. Отметим, что п ^ 1, совпадают с собственными значениями задачи Дирихле (у(0) = у(п) = 0) для уравнения (2.1), кроме того, выполняются следующие включения: е [А2п-1, А2„], п ^ 1.

Определение 2.3. Числа и знаки = {з'(п, £„) — с(п, £„)}, п ^ 1, называются спектральными параметрами задачи (2.1). Спектральные параметры п ^ 1, вместе с границами А„, п ^ 0, спектра называют спектральными данными оператора (2.1).

Обратная спектральная задача для уравнения (2.1) состоит из восстановления коэффициента д(х) по спектральным данным.

Спектр оператора Штурма-Лиувилля с коэффициентом д(х + т) не зависит от действительного параметра т, а спектральные параметры зависят от т: £„(т), (т), п ^ 1. Спектральные параметры удовлетворяют следующей системе уравнений Дубровина:

2(-1Г~1ап(т)кп(0,

^т

Л-га(С) — V(Сп ~ А2га_1)(Л2га — £п) X Система уравнений Дубровина и следующая формула первого следа

те

(А2к-1 — )(А2к — )

п — Л о 1

д(т) = Ао + ^ (А2к-1 + А2к — 2& (т))

дают метод решения обратной задачи.

§ 3. Основные результаты

Основной результат настоящей работы заключается в следующей теореме.

Теорема 3.1. Пусть д(х, г) —решение задачи (1.1)-(1.4). Тогда границы спектра А„, п ^ 0, следующего оператора

£(т,г)у = — у'' + д(х + т,г)у = Ау, х е Л, (3.1)

не зависят от параметров т и г, а спектральные параметры £„(т, г), п ^ 1, удовлетворяют аналогу системы уравнений Дубровина:

^ = 2(-1)п<тп(т,*)

13

2 9гг (г, --д2(т, I) - 2£пд(т, I) - - 7(*М0,1)

М£), п ^ 1, (3.2)

те

где знак а«(т, ¿) меняется на противоположный при каждом столкновении точки С«(т, ¿) с границами своей лакуны [Л2п— 1, Л2«]. Кроме того, выполняются следующие начальные условия:

С«М4=о = С«(т), Мт,^ = а«(т), п ^ 1, (3.3)

где СП(т), а« (т), п ^ 1, — спектральные параметры оператора Штурма-Лиувилля с коэффициентом д0(х + т).

Доказательство. Обозначим через у« = у«(х,т, ¿), п ^ 1, ортонормированные собственные функции задачи Дирихле (у(0) = 0,у(п) = 0) для уравнения (3.1), соответствующие собственным значениям С« — С« (т, ¿), п ^ 1.

Дифференцируя по £ тождество (¿(т, ¿)у«, у«) = С«, и используя симметричность оператора ¿(т, ¿), имеем

С;« = (¿(т, ¿)у« + ^у«, у«) + (¿(т, , У«) = (У«, ¿(т, %«) + (¿(т, ¿)у«, У«) + (дУ«, У«) =

= С«((Уп, Уп); + Уп, Уп) = 5 У«

0

Используя тождество

(3.4)

дДж + г, г) = -^яяяОг + г, - + г, + г, -

5 15

- + Т,^ххх{х + Т,г) + —д2{х + т,1)дх(х + т,£) + 7^) • • +

равенство (3.4) перепишем в виде

С«

1

5

15

- - -ддххх + —д дх + 7(г) • д(0, г) • дх

2

2

Уп

Ищем первообразную подынтегральной функции в виде квадратичной формы от у« и у«, то есть пусть

(аУ« + ЬУ«У« + СУ«2)

х - - \ддххх + + 7(^)^(0, ^дх

2

2

У«>

(3.5)

где функции а, Ь, с не зависят от у« и у«. Используя равенство у« = (д — С«)/« и приравнивая соответствующие коэффициенты, из (3.5) получим

Ь = —с',

с" — с ■ (д — С«),

1 1 5 15

-с'" - 2с' ■ (д - Сп) ~ сдх = -дххххх - Ъдхдхх - -ддххх + —д2дх + г)дх. (3.6)

Нетрудно видеть, что

1 3 2 о

с = -дхх -~д - ад- р,

где а = 2С«, в = 4С« + 7(^)д(0, ¿), удовлетворяет равенству (3.6). Таким образом, при

1 3 2 /3 а

а ~^Ц_ХХХХХ ~ 2 1х ~ I ) Чхх ~

1

1 3 2 о

2$хх - 2? - ад- Р

■ (9 — С«),

Ь = ~~дХхх + Зодж +

1 3 2 о

С = -дХх --д — ад — ¡3

п

п

0

а

выполняется равенство (3.5). Значит,

п

= М + + суП2) 0 = [уП2(п, Г, £) - УП2(0, Г, £)] ■

1 3

- -д2(т,1) - 2£пд(т,1) - 4£2 - 7Ш(М)

(3.7)

Обозначим через в(ж,Л,т, £) решение уравнения (3.1), удовлетворяющее начальным условиям в(0, Л, т, £) = 0, в'(0, Л, т, £) = 1. Тогда

у„(ж,т,£) =

1

сп(т,г)

в(ж,£„,т,£),

где

сп(т, £) = в (ж,£п,т, £) = в'(п,£„,т, £) ./0

д\

Используя эти равенства, имеем

^(тГ, Г, ¿) - Г, ¿) = ^'(тг, Г, ¿) -

дЛ

Подставляя сюда выражение

получим

Здесь

«'(тг, Г, ¿) - ----- = <7га(т, х/АЧЫ^,

в' (п,£га,т,£)

У2 (п,т,£) - уП2(0, т, £) =

ЭХ

ап(т,г) = з'(тг,Сп,т,г) - ——---

Из разложений

А2(Л) - 4 = 4п2(ЛО - Л) Д

(Л2к-1 — Л)(Л2к — Л)

к4

в(п, Л, т, £) = п

к=1

к2

следует, что

уП2(п,т,£) - уП(0, т, £) = 2(-1)па„(т,£)М£).

(3.8)

Из (3.7) и (3.8) получим (3.2).

Известно, что границы Лп, п ^ 0, спектра оператора (3.1) совпадают либо с собственными значениями периодической задачи, либо антипериодической задачи для уравнения Штурма-Лиувилля (3.1). Обозначив через гп(ж,т, £) нормированную собственную функцию, соответствующую собственному значению Лп, периодической или антипериодической задачи для уравнения Штурма-Лиувилля (3.1), действуя вышеприведенным образом, выводим равенства Лп = 0, п ^ 0. Это и означает независимость от параметра £ спектра оператора (3.1). Теорема доказана. □

Замечание 1. Используя следующие формулы следов (см. [9]),

(т, *) = Ао + ^ (Д2^-1 + Л2к - (т, *)) ,

(3.9)

к=1

п

те

Q2(r) - -gTT(r) = Ag + + Aifc - 2^(r)), (3.10)

fc=i

3 ' N 3 ' N ' N 15 i „З/ч _ \3 , \3

16<7тггг(т) - -д{т)дтт{т) - -д2т{т) + <?3(т) = А3 + ^(А^ + ~ 2^(т)), (3.11)

к=1

систему (3.2) можем переписать в «замкнутой» форме.

Замечание 2. Покажем, что построенная функция д(т, ¿) удовлетворяет уравнению (1.1). Для этого используем также следующую систему Дубровина:

= 2(-1)"-Ч(т,!Ме» - Л2„_,)(Л2„-(,,) х

\

fc=ra

и формулу следов (3.10), (3.11), а также (см. [9])

(Cn-Ао) П (A2fc-1~^A2fc~^), „ = 1,2,..., (3.12)

^дтттг(т,г) - ?^g{T,t)grr{T,t) - ^gr(r,t) + g3(r,t) =

те

A0 + E (A2fc-i + A3fc - 2£30-,i)).

fc=i

Из систем Дубровина (3.2) и (3.12) имеем

ff = [~\дгг + \д2 + + 4£2 + 7(*Жо, t)}§* к > 1. (3.13) Из формулы первого следа (3.9), учитывая (3.13), находим

те ал те о* те

= = - tf) ■ Е § - 4" -8 - 27(!)9(0,«) £ (3.14)

к=1 к=1 к=1 к=1 к=1

Дифференцируя по т формулы следов (3.9), (3.10) и (3.11), получим

ОО <—> х. ОО о/- -1

к=1 к=1

„ ^ д£к 1 19 2

~2 = ^б^ТТТТТ- - ^ТТТ - ^Т^ТТ + д дт-

к=1

Используя эти равенства и разложение (3.13), из (3.14) выводим 1 5 15

<к = 4дттттт - Ьдтдтт - -ддттт + у<?2<?т + -/^)д(0,г)дт.

Замечание 3. Эта теорема дает метод решения задачи (1.1)-(1.4). Для этого сначала найдем спектральные данные Ап, п ^ 0, {П (т), ^П (т), п ^ 1, для уравнения —у'' + д0(х + т )у = А у, х € Е.

Далее, решая при т = 0 задачу Коши (3.2)-(3.3) находим {п(0, £), п ^ 1. После этого подставляем эти данные в уравнение (3.2) и, решая задачу Коши при произвольном значении т, находим {п(т, ¿), п ^ 1. По формуле следов (3.9) находим д(т, ¿).

Замечание 4. В работе [11] доказана следующая теорема: для экспоненциального убывания длин лакун оператора Штурма-Лиувилля с п-периодическим действительным коэффициентом необходима и достаточна аналитичность этих коэффициентов. Отсюда выводим, что если начальная функция до(х) является действительной аналитической функцией, то длины лакун, соответствующие этому потенциалу, убывают экспоненциально. Потенциалу д(х, ¿) соответствуют те же лакуны, значит, д(х, ¿) является действительной аналитической функцией по х.

х

Замечание 5. В работе [12] доказано обобщение обратной теоремы Борга: для того чтобы число ^ являлось периодом 7Г-периодического потенциала оператора Штурма-Лиувилля, необходимо и достаточно исчезновение всех лакун, номера которых не делятся на п. В силу этой теоремы, если число ^ является периодом начальной функции г/о ( .г ), то лакуны, номера которых не делятся на п, исчезают. Потенциалу д(х,Ь) соответствуют те же лакуны, значит, по обобщенной обратной теореме Борга, число ^ является периодом и для функции д(х, I) по переменной х. Здесь п ^ 2 — натуральное число, и лакуна (А2^-1, А2^) имеет номер к.

Благодарности

Автор выражает благодарность профессору А. Б. Хасанову (Самаркандский государственный университет, Узбекистан) за обсуждение работы и ценные советы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Новиков С. П. Периодическая задача Кортевега-де Фриза. I // Функциональный анализ и его приложения. 1974. T. 8. Вып. 3. C. 54-66. https://www.mathnet.ru/rus/faa2358

2. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Периодический и условно периодический аналоги многосоли-тонных решений уравнения Кортевега-де Фриза // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1974. T. 67. № 6. C. 2131-2143. http://jetp.ras.ru/cgi-bin/e/index/r/67/6/p2131?a=list

3. Марченко В. А. Периодическая задача Кортевега-де Фриса // Математический сборник (новая серия). 1974. T. 95 (137). № 3 (11). C. 331-356. https://www.mathnet.ru/rus/sm3757

4. Дубровин Б. А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозон-ных потенциалов // Функциональный анализ и его приложения. 1975. T. 9. Вып. 3. C. 41-51. https://www.mathnet.ru/rus/faa2261

5. Итс А. Р., Матвеев В. Б. Операторы Шрёдингера с конечнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриса // Теоретическая и математическая физика. 1975. T. 23. № 1. C. 51-68. https://www.mathnet.ru/rus/tmf3750

6. Lax P. D. Periodic solutions of the KdV equations // Nonlinear wave motion. Proceedings of the Summer Seminar, Potsdam, New York, 1972. Providence: American Mathematical Society, 1974. P. 85-96. https://mathscinet.ams.org/mathscinet/article?mr=344645

7. Lax P. D. Periodic solutions of the KdV equation // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1975. Vol. 28. Issue 1. P. 141-188. https://doi.org/10.1002/cpa.3160280105

8. McKean H. P., Trubowitz E. Hill's operator and hyperelliptic function theory in the presence of infinitely many branch points // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1976. Vol. 29. Issue 2. P. 143-226. https://doi.org/10.1002/cpa.3160290203

9. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988. https://zbmath.org/0657.34002

10. Станкевич И. В. Об одной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла // Доклады Академии наук СССР. 1970. T. 192. № 1. C. 34-37. https://www.mathnet.ru/dan35384

11. Trubowitz E. The inverse problem for periodic potentials // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1977. Vol. 30. Issue 3. P. 321-337. https://doi.org/10.1002/cpa.3160300305

12. Hochstadt H. A generalization of Borg's inverse theorem for Hill's equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1984. Vol. 102. Issue 2. P. 599-605. https://doi.org/10.1016/0022-247X(84)90195-1

13. Хасанов А. Б., Матякубов М. М. Интегрирование нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза с дополнительным членом // Теоретическая и математическая физика. 2020. Т. 203. № 2. С. 192-204. https://doi.org/10.4213/tmf9693

14. Яхшимуратов А. Б., Матёкубов М. М. Интегрирование нагруженного уравнения Кортевега-де Фриза в классе периодических функций // Известия высших учебных заведений. Математика. 2016. № 2. С. 87-92. https://www.mathnet.ru/rus/ivm9085

15. Хасанов А. Б., Хасанов Т. Г. Интегрирование нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза с нагруженным членом и источником // Сибирский журнал индустриальной математики. 2022. Т. 25. № 2. С. 127-142. https://www.mathnet.ru/rus/sjim1176

16. Хасанов А. Б., Хоитметов У.А. Интегрирование общего нагруженного уравнения Кортевега-де Фриза с интегральным источником в классе быстроубывающих комплекснозначных функций // Известия высших учебных заведений. Математика. 2021. № 7. С. 52-66. https://doi.org/10.26907/0021-3446-2021-7-52-66

17. Rodriguez M., Li Jing, Qiao Zhijun. Negative order KdV equation with no solitary traveling waves // Mathematics. 2022. Vol. 10. Issue 1. 48. https://doi.org/10.3390/math10010048

18. Уразбоев Г. У., Хасанов М.М., Балтаева И. И. Интегрирование уравнения Кортевега-де Фриза отрицательного порядка с источником специального вида // Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика». 2023. Т. 44. C. 31-43. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.44.31

Поступила в редакцию 09.08.2024

Принята к публикации 14.10.2024

Матёкубов Мухаммад Махсудович, к. ф.-м. н., доцент, кафедра прикладной математики и математической физики, Ургенчский государственный университет, 220100, Узбекистан, г. Ургенч, ул. Х. Алимджан, 14.

ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8232-6562 E-mail: [email protected]

Цитирование: М. М. Матёкубов. Интегрирование уравнения типа Кортевега-де Фриза с нагруженным членом в классе периодических функций // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2024. Т. 64. С. 60-69.

M.M. Matyoqubov

Integration of the Korteweg-de Vries type equations with a loaded term in the class of periodic functions

Keywords: Korteweg-de Vries equation, Sturm-Liouville operator, inverse spectral problem, Dubrovin's system of equations, trace formula.

MSC2020: 35B10, 35Q51, 37K15

DOI: 10.35634/2226-3594-2024-64-05

In this paper, we study the integrability of a Korteweg-de Vries type equation with a loaded term in the class of periodic functions using direct and inverse spectral problems posed for the Sturm-Liouville operator on the entire axis. We present some information about the Sturm-Liouville operator with a periodic coefficient and its application to solving a loaded Korteweg-de Vries type equation. We show that the function constructed using the obtained system of Dubrovin differential equations and trace formulas is a solution to the problem posed. We present important consequences about the period of the solution with respect to x and about the analyticity of the solution with respect to x for a Korteweg-de Vries type equation with a loaded term.

REFERENCES

1. Novikov S.P. The periodic problem for the Korteweg-de Vries equation, Functional Analysis and Its Applications, 1974, vol. 8, issue 3, pp. 236-246. https://doi.org/10.1007/BF01075697

2. Dubrovin B.A., Novikov S.P. Periodic and conditionally periodic analogs of the many-soliton solutions of the Korteweg-de Vries equation, Soviet Physics, JETP, 1975, vol. 40, no. 6, pp. 10581063. http://jetp.ras.ru/cgi-bin/e/index/e/40/6/p 1058?a=list

3. Marchenko V. A. The periodic Korteweg-de Vries problem, Mathematics of the USSR-Sbornik, 1974, vol. 24, issue 3, pp. 319-344. https://doi.org/10.1070/SM1974v024n03ABEH002189

4. Dubrovin B. A. Periodic problems for the Korteweg-de Vries equation in the class of finite band potentials, Functional Analysis and Its Applications, 1975, vol. 9, issue 3, pp. 215-223. https://doi.org/10.1007/BF01075598

5. Its A. R., Matveev V. B. Schrodinger operators with finite-gap spectrum and N-soliton solutions of the Korteweg-de Vries equation, Theoretical and Mathematical Physics, 1975, vol. 23, issue 1, pp. 343-355. https://doi.org/10.1007/BF01038218

6. Lax P. D. Periodic solutions of the KdV equations, Nonlinear wave motion. Proceedings of the Summer Seminar, Potsdam, New York, 1972, Providence: American Mathematical Society, 1974, pp. 85-96. https://mathscinet.ams.org/mathscinet/article?mr=344645

7. Lax P. D. Periodic solutions of the KdV equation, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1975, vol. 28, issue 1, pp. 141-188. https://doi.org/10.1002/cpa.3160280105

8. McKean H.P., Trubowitz E. Hill's operator and hyperelliptic function theory in the presence of infinitely many branch points, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1976, vol. 29, issue 2, pp. 143-226. https://doi.org/10.1002/cpa.3160290203

9. Levitan B. M., Sargsyan I. S. Operatory Shturma-Liuvillya i Diraka (Sturm-Liouville and Dirac operators), Moscow: Nauka, 1988. https://zbmath.org/0657.34002

10. Stankevich I. V. A certain inverse spectral analysis problem for Hill's equation, Doklady Akademii Nauk SSSR, 1970, vol. 192, no. 1, pp. 34-37 (in Russian). https://www.mathnet.ru/eng/dan35384

11. Trubowitz E. The inverse problem for periodic potentials, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1977, vol. 30, issue 3, pp. 321-337. https://doi.org/10.1002/cpa.3160300305

12. Hochstadt H. A generalization of Borg's inverse theorem for Hill's equations, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1984, vol. 102, issue 2, pp. 599-605.

https://doi. org/10.1016/0022-247X(84)90195-1

13. Khasanov A. B., Matyakubov M. M. Integration of the nonlinear Korteweg-de Vries equation with an additional term, Theoretical and Mathematical Physics, 2020, vol. 203, issue 2, pp. 596-607. https://doi.org/10.1134/S0040577920050037

14. Yakhshimuratov A. B., Matyokubov M.M. Integration of a loaded Korteweg-de Vries equation in a class of periodic functions, Russian Mathematics, 2016, vol. 60, issue 2, pp. 72-76. https://doi.org/10.3103/S1066369X16020110

15. Khasanov A. B., Khasanov T. G. Integration of the nonlinear Korteweg-de Vries equation with a loaded term and sourse, Journal of Applied and Industrial Mathematics, 2022, vol. 16, issue 2, pp. 227-239. https://doi.org/10.1134/S1990478922020053

16. Khasanov A. B., Hoitmetov U. A. Integration of the general loaded Korteweg-de Vries equation with an integral type source in the class of rapidly decreasing complex-valued functions, Russian Mathematics, 2021, vol. 65, issue 7, pp. 43-57. https://doi.org/10.3103/S1066369X21070069

17. Rodriguez M., Li Jing, Qiao Zhijun. Negative order KdV equation with no solitary traveling waves, Mathematics, 2022, vol. 10, issue 1, 48. https://doi.org/10.3390/math10010048

18. Urazboev G. U., Khasanov M. M., Baltaeva I.I. Integration of the negative order Korteweg-de Vries equation with a special source, Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2023, vol. 44, pp. 31-43 (in Russian). https://doi.org/10.26516/1997-7670.2023.44.31

Received 09.08.2024 Accepted 14.10.2024

Mukhammad Makhsudovich Matyoqubov, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Applied Mathematics and Mathematical Physics, Urgench State University, ul. Kh. Alimd-jan, 14, Urgench, 220100, Uzbekistan. ORCID: https://orcid.org/0000-0001-8232-6562 E-mail: [email protected]

Citation: M.M. Matyoqubov. Integration of the Korteweg-de Vries type equations with a loaded term in the class of periodic functions, Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Go-sudarstvennogo Universiteta, 2024, vol. 64, pp. 60-69.