Интегральный признак сходимости некоторых кратных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.53, 517.52

Интегральный признак сходимости некоторых кратных рядов

Елена В. Зубченкова*

*

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный, 79, Красноярск, 660041,

Россия

Получена 18.02.2011, окончательный вариант 25.03.2011, принята к печати 10.04.2011

Доказан интегральный признак сходимости кратного 'ряда, представляющего сумму значений рациональной функции в узлах целочисленной решетки.

Ключевые слова: эллиптический полином, квазиэллиптический полином, кратные ряды, многогранник Ньютона.

где P и Q — полиномы n переменных. Предполагается, что Q является квазиэллиптическим полиномом по Ермолаевой-Циху [1], отличным от нуля на Rn.

В настоящей статье доказывается признак абсолютной сходимости рядов (1) при вышеуказанном предположении на полином Q. Отметим, что поскольку при доказательстве будет использован признак абсолютной сходимости соответствующих кратных интегралов, то наш результат интерпретируется как интегральный признак сходимости рядов (1).

В интегральном признаке сходимости главный персонаж - это порядок убывания членов ряда, который в случае эллиптических знаменателей измеряется одной величиной, а именно степенью знаменателя. В более общем случае порядок убывания следует измерять полистепенью, точнее многогранником Ньютона знаменателя.

1. Случай эллиптического знаменателя

В данном параграфе речь пойдет о сходимости ряда (1) с эллиптическим знаменателем Q.

Напомним, что полином Q(x) = Q(xi, ...,xn) называется эллиптическим, если его старшая однородная составляющая неотрицательна в Rn и обращается в нуль лишь при x = 0. Таким образом, у эллиптического полинома эта составляющая знакопостоянна, и мы будем считать, что она положительная при x = 0.

Следующее утверждение многократно использовалось многими авторами в различных частных ситуациях. Мы приводим его в качестве прелюдии перехода к более общему случаю квазиэллиптического знаменателя.

* [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Введение

Рассматриваются кратные ряды

(1)

Теорема 1. Если в (1) 5(х) — эллиптический полипом, не обращающийся в нуль на Мп, то ряд (1) абсолютно сходится тогда и только тогда, когда ¿вдР + п < ¿вд(5.

При доказательстве этой теоремы нам понадобится следующее утверждение.

Лемма. Ряд

_ (к? + ... + к" + 1)* _ (|к|2 + 1)*

сходится тогда и только тогда, когда п < ¿.

Доказательство. Сначала обоснуем аналогичный критерий для интеграла

I _ Г ¿х

п'а _ У (|х|2 + 1)* .

1™

Для этого воспользуемся сферической заменой координат х _ х(г, у), для которой ¿х _ П(у)гn-1¿у¿г. Тогда

/■ ¿х /■ /■ гn-1¿г

.) (|х|2 + 1)* У У (©(у)г2 + 1)*

1™ 41 1 у д о 4 4 у у

где П(у), ©(у) — полиномы, зависящие от тригонометрических функций, О _ [0,п]п-2 х [0, 2п] С М"-1.

Поскольку П и © непрерывны на компакте О, то для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы сходился внутренний интеграл, то есть выполнялось условие п < ¿. Докажем теперь, что из сходимости интеграла 1п,а будет следовать сходимость ряда

Бп,й.

Для удобства мы введем также величину Бо,а _ 1.

Каждой точке к € Ъп сопоставим куб С к _ к + [0; 1]п. Очевидно, что для любой точки х € Сд выполняются неравенства |к|2 + 1 ^ |х|2 + 1 ^ |к+112 + 1, где I _ (1,..., 1). Интегрируя по кубу Сд, для каждого к € Zn будем иметь неравенства:

1 ¿х 1

^ -г ^

(|к +1|2 + 1)2 У (|х|2 + 1)2 (|к|2 + 1)2

Ск

Заметим, что семейство кубов {Ск}ке%™ не перекрывается (любая пара таких кубов либо не пересекается, либо пересекается по грани). Поэтому, суммируя по к € Ъп соответствующие члены этих неравенств, получим Бп,а — пБп- ^ 1п,а ^ Бп,а. Правое неравенство показывает, что из расходимости 1п,а следует расходимость Бп,а. Второе неравенство перепишем в виде Бп,й < 1п,й + пБп-1,а.

Теперь сходимость Бп,а вытекает из сходимости 1п,а по индукции: если ¿ > п, то ¿ > п — 1, тем самым, по предположению индукции, Бп-1,а сходится. □

Замечание. Для ряда

Б _ Е Р(к) * (2)

(|к2| + 1) *

условием его абсолютной сходимости является ¿вдР + п < ¿.

Это следует из очевидного неравенства

к?1 ...кПп < (к? +... + к" + 1)121,

где |7| = 71 + ...7„.

Доказательство теоремы 1. Обозначим через Qd старшую однородную составляющую полинома Q. Тогда, в силу эллиптичности полинома Q и того, что он не обращается в нуль на К", имеем двусторонние оценки вида

cQd(k) < ^(к)| < CQd(k), с'(|к|2 + 1)4 < Qd(k) < С'(|к|2 + 1)4

с некоторыми константами с, С, с', С'.

Таким образом, члены ряда (1) допускают оценки

(СС')

-1 |Р (к)| (| к |2 + 1) 2

<

Р (к)

Q(k)

< (сС)

-1

|Р (к) | (| к |2 + 1)4

из которых видно, что поведение ряда (1) напрямую следует их поведения ряда (2). □

2. Случай квазиэллиптического знаменателя

Пусть дан полином

Q(x) = Q(xl, ...,!") = ^ ааХа

а

с комплексными коэффициентами и множество вирр Q = {а € (М и 0)" : аа =0} — носитель полинома Q. Напомним, что многогранником Ньютона Д = A(Q) полинома Q называется выпуклая оболочка в К" для вирр Q, а срезкой полинома Q в направлении д € К"* (здесь К"* — сопряженное пространство к М") называется полином

Qq(х) =53 ааха,

аеДч

где Д9 = {к € Д : (д, к) = шш(д, 1}} — грань в направлении д.

¡еД

Полином Q называется квазиэллиптическим [1], если для любого ненулевого направления д € К"* срезка Qq =0 в торе (К \ {0})".

Для формулировки следующего результата нам понадобится понятие полного многогранника Ньютона, приведенное в статье [2]: многогранник Д называют полным, если

в € Д € К+,7<в}С Д.

Запись 7 < в означает, что 71 < вь ..., 7" < в", причем хотя бы одно из неравенств строгое.

Пусть Д0^) - внутренность многогранника Д^). Сформулируем необходимое и достаточное условие сходимости интеграла с квазиэллиптическим знаменателем, полученное в работе [1].

Теорема (Ермолаева, Цих). Если Q — квазиэллиптический полином, не обращающийся в нуль на К", то интеграл

Г Р(ж)

Q(x)

¿ж

к

абсолютно сходится тогда и только тогда, когда I + Д(Р) С Д0(^).

При доказательстве следующего результата мы будем пользоваться данным критерием сходимости интегралов. Тем самым, наш результат интерпретируется как интегральный признак сходимости ряда (1).

Теорема 2. Пусть ф(ж) — квазиэллиптический полином с полным многогранником Ньютона Д(д) и ф(ж) = 0 на М". Тогда ряд

S =

P (k)

^ Q(k)

keZn '

абсолютно сходится, если

i + д(р) с д0(д).

(3)

Доказательство. Рассмотрим в комплексной плоскости C область (рис. 1) П := {t £ C : |Im t| < е}, где е будем брать достаточно малым, но фиксированным.

ге L+

П

—ге L_

Рис. 1

Зафиксируем переменные и в каждом целочисленном значении ¿1 = кх пред-

ставим дробь Рв виде вычета

P(ki,Z2, ...,z„)

2пг res

P (z)

Q(ki, Z2, ..., z„) zi=ki Q(z)(e(zi) - 1)'

где e(t) = e2nit. Выражение под знаком вычета мероморфно в области П и имеет простые полюсы в точках zi = ki £ Z.

По теореме о вычетах для любой ограниченной области

Па = {t £ C : |Re t| < а, |Im t| < е} с П,

где а — полуцелое положительное число, при фиксированных переменных Z2,..., zn имеем

P(ki,Z2, ..., zn) f P(zi,...,z„)

[a]

E

Q(ki,Z2, ..., zn) J Q(zi, ...,z„)(e(zi) - 1)

dzi.

к1=-[«] апа

Отметим, что функция е(£) — 1 ограничена и отделена от нуля на границе области Па. В самом деле, согласно равенству

|е(х + ¿у) — 1| = [е-4пу — 2е-2пу еов2пх + 1]2

на вертикальных отрезках х = ±а границы дПа ее модуль принимает свои значения из промежутка

[1 + е-2пе;1 + е2пе],

а на горизонтальных отрезках £ = х ± ге - из промежутка

[1 - в-2пе;1 + в-2пе].

Предположим теперь, что наряду с полнотой Д(ф) выполнено условие (4): 1 + Д(Р) С Д0Покажем, что при этих условиях для любых фиксированных переменных ¿2, • ••,." степень полинома Р по переменной ¿1 по крайней мере на 2 единицы меньше степени полинома В самом деле, согласно условию (4), для каждого в € эирр Р в Д°(^) лежит точка в +1. В силу полноты многогранника Д(^) ему принадлежит и любая проекция на координатные оси, поэтому в Д(^) есть точка вида (в1 + к, 0,..., 0), где к ^ 2.

При указанном соотношении на степени полиномов Р и Q интегралы по вертикальным отрезкам границы дПа стремятся к нулю, когда а ^ то. Тогда

ул Р..., ¿п) = I' Р(¿1, • ••,.„)

^ Q(kl,z2,..., ¿п) У Q(zl,•••,zn)(Ф0 - 1) 1.

дП

Фиксируя поочередно оставшиеся переменные и проводя аналогичные рассуждения, получим

V- Р(к) [ Р(*!,.., ¿п) , , (4)

№ ^ ' (дП)п •••, ) П (ф;) - 1) При этом декартова степень (дП)" представляется в виде суммы

(дП)" = Е ±(Ч х Ь—) (/,/)

ориентированных декартовых произведений Ь+ х Ь—, где суммирование ведется по всем разбиениям 1, 7 множества [п] = {1, 2,..., п} (т.е. 1 и 7 = [п], 1П 7 = 0).

Обозначим через е// вектор с п координатами, у которого на местах с номерами из 1 стоят значения е, а на местах с номерами из 7 - значения -е. Тогда интеграл

Г_^_^

(дП)п П (Ф; ) - 1)

5 = 1

представится суммой 2п интегралов вида

[ Р(.) _ [ Р(х + геи)

I " ^ = —-;-—-- ¿X, (5)

^ Q(z) П (Ф;) - 1) / + ге//)д(х,е//)

+ - ;=1

п

где д(х,е//) = П (е(х; + ге//) - 1). Функция д ограничена и отделена от нуля на К", по-

;=1

скольку, как отмечалось выше, каждый ее множитель принимает свои значения из отрезка

[1 - е—2пеи ;1+ е—2пе"],

ограниченного и отделенного от нуля при малых е// = ±е.

Таким образом, каждый из интегралов (6) сходится одновременно с интегралом

Г Р(х + ге//)

У Q(x + ге//)

¿х. (6)

Для дальнейшего нам потребуется следующее утверждение.

Лемма. Пусть Q(x) — квазиэллиптический полином с полным многогранником Ньютона A(Q) и Q(x) = 0 на К". Тогда при достаточно малом е = (ei, ...,е„) G К" полином

Qe(x) = Q(x + ie) = Q(xi + iei,..., x„ + «e„)

также квазиэллиптический, причем не обращающийся в нуль на К".

Доказательство леммы. Заметим, что для любого монома xa полином (x + ie)a = (x1 + ie1)ai ...(xn + ien)a" имеет вид

xa + ^ ce(e)xe, (7)

0<в<а

где все cg(0) = 0 и ß < а означает, что все ßj ^ aj, причем хотя бы одно из неравенств строгое. В силу полноты многогранника A(Q) отсюда следует, что при достаточно малых е многогранники Ньютона полиномов Qe(x) не меняются и они совпадают с A(Q). Более того, условие квазиэллиптичности заведомо сохраняется для всех граней Aq, не лежащих в координатных плоскостях размерности, равной dimAq: ввиду (7) срезки полинома Qe(x) на такие грани не зависят от е. Если же k-мерная грань Aq лежит в k-мерной координатной плоскости ai1 = ... = ain-k = 0, то срезка Qa<j совпадает с сужением полинома Q на координатную плоскость L = {xj = ... = xjk = 0}, где J = (ji,..., j) — дополнительный мультииндекс к I = (ii,..., ). Но поскольку Q = 0 на К", то и Q^ = Q |l= 0.

Первоначальный полином не равен нулю на сооответствующей торической компактифи-кации X D К". Поэтому, ввиду компактности X, полином Q отделен от нуля на X. При малых возмущениях он остается таким же. Лемма доказана.

Доказанная лемма позволяет применить теорему Ермолаевой и Циха для интеграла (6), на основании которой мы заключаем абсолютную сходимость интеграла

/ -dz

(Ш)" Q(z) П (e(zj) - 1)

j=i

как суммы 2" абсолютно сходящихся интегралов (5), когда выполнено условие (3). □

Список литературы

[1] Т.О.Ермолаева, А.К.Цих, Интегрирование рациональных функций по К" с помощью торических компактификаций и многомерных вычетов, Мат. сб., 187(1996), №9, 45-64.

[2] Л.Р.Волевич, С.Г.Гиндикин, Об одном классе гипоэллиптических полиномов, Мат. сб., 75(117)(1968), №3, 400-416.

Integral Convergence Criterion for the Multiple Series

Elena V.Zubchenkova

We proved an integral convergence criterion for the series, representing the sum of a rational function over the lattice.

Keywords: elliptic polynomial, quasi-elliptic polynomial, multiple series, Newton polytope.