CC BY
72
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Таким образом, гипотеза верна только в случае n = 3 (число переменных), а в общем случае нет, однако в процессе попытки ее доказательства был получен результат о том, что из ^-независимости координатных функций (где t четно) следует (t + ^-независимость.
Библиографический список
1. Дертоузос, М. Пороговая логика / М. Дертоузос. - М.: Мир, 1960.
2. Зуев, Ю.А. Комбинаторно-вероятностные и геометрические методы в пороговой логике / Ю.А. Зуев. // Дискретная математика. - 1991. - Вып. 2. -Т. 3. - С. 47-57.
3. Зуев, А.Ю. Пороговые функции и пороговые представления булевых функций / А.Ю. Зуев // Математические вопросы кибернетики. - 1994. -Вып. 5. - С. 5-61.
4. Зуев, А.Ю. Вероятностные методы в пороговой логике: автореф. дисс. ... д-р физ.-мат. наук / А.Ю. Зуев. - М.: Вычислительный центр РАН, 1998.
5. Никонов, В.Г. Методы компактной реализации биективных отображений, заданных регулярными системами однотипных булевых функций /
B. Г. Никонов, А.В. Саранцев // Вестник Российского Университета Дружбы Народов. Серия «Прикладная и промышленная математика». - 2003. - Т. 2. - № 1. С. 94-105.
6. Носов, В.А. Основы комбинаторной теории для инженеров / В.А. Носов. - М.: в/ч 33965, 1990. -
C. 41-47.
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД КАЛИБРОВКИ ПАРАМЕТРОВ ДАТЧИКА УГЛовой Скорости
И.С. ИЛЬЮШЕНКО, инженер-математик ОАО Ракетно-космическая корпорация «Энергия» им. С.П. Королева
Современные навигационные систе-
мы строятся на принципах построения бесплатформенной инерциальной системы (БИНС), где основополагающим источником входной информации являются измерители (датчики) угловой скорости (ДУС).
В настоящее время предъявляются все более высокие требования к точности навигации и управления современных космических аппаратов (КА), что делает актуальным задачу устранения систематических ошибок БИНС.
В данной работе предложен алгоритм, позволяющий скомпенсировать (откалибровать) систематические ошибки ДУС по измерениям углового положения КА от звездного датчика (ЗД). В работе предполагается, что характеристики ДУС не меняются в течение всего процесса калибровки. Предложенный алгоритм получен интегральным методом, что позволяет автоматически усреднить случайную составляющую ошибки.
Настоящая работа отличается от [3] тем, что предложенный алгоритм способен производить коррекцию ДУС при движении КА на любой орбите. Также не накладывает-
ся требование медленного изменения (постоянства) со временем вектора угловой скорости КА.
В отличие от [4] для работы представленного алгоритма не требуется специальных разворотов, для коррекции используется программное угловое движение КА. Специальные развороты могут быть использованы для оптимизации алгоритма и повышения его точности.
Модель дУС
Рассмотрим процесс измерения вектора угловой скорости w в ДУС.
При измерении выходной сигнал s представляет собой разложение w скорости на составляющие, направленные по чувствительным осям прибора: l, l2, l с масштабны-
ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 3/2009
119
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ми коэффициентами к1, k2, k3 соответственно. Также в выходной сигнал входит некая величина s0, характеризующая «уход нуля» ДУС.
s =
kg
k£ j
w + s0 = Bw + s0.
Из-за неточного знания вектора s0 и матрицы B при восстановлении из сигнала s ДУС вектора углового скорости мы получаем вектор измеренной угловой скорости W*, который отличается от вектора измеряемой угловой скорости w .
w* = B*1 (s - s*) = B* lBw + B*1 (s0 - s*), (1)
73* -*•*
где B и s0 - наше предположение о характеристиках ДУС.
Перепишем (1) в другом виде
B*w* + s* = Bw + s0.
Проинтегрируем последнее выражение, полагая неизменность характеристик ДУС, используя определение средней величины
1 T
fср = T J f (t)dt , имеем:
Bwcv + ?0= bw + s* = с . (2)
Определение средних векторов измеренной и измеряемой угловой скоростей
С ДУС поступает измеренная угловая скорость, следовательно, для определения вектора средней угловой скорости воспользуемся определением средней величины 1 т
К = T ^ w*(t )dt.
T 0
Истинную угловую скорость можно получить из кинематического уравнения 2a = a о w,
где кватернион a измеряется звездным датчиком.
В [1] приведен ряд численных методов решения данного уравнения. Воспользуемся модифицированным методом Эйлера с коррекцией нормы второго порядка точности
a„ = a 1 о | 1 + - V0n - -1 V0n |2 + - (1 - а2, ) |,
n n—1 I 2 n g I n \ 2^ n—1 ' j 5
где
_ tn
V0n = J w(t)dt.
tn—l
Откуда, имеем
1 T 1 N tn
Wcp = “ J W(t )dt = “ S J W(t )dt =
T 0 T n=1 tn-
1 N _ 2 N
= ~tV0n = ~t VeCt (an—l 0 an ).
T n=1 T n=1
Аналогично воспользуемся модифицированным методом Эйлера с коррекцией нормы третьего порядка точности
1
1
1
an = an—1 01 + ~V0n ~ 1 V0n 1 + TTX
2
8
24
x[ V0, V20, ] — 481 V0„ |2 V&„ + 2 (1 — ail)j,
где
Vk 0n =Vk—10n —Vk—10n—i.
Откуда для W , имеем:
1
ср
1 N t„
1N
Wcp =-J w(t )dt = - S J w(t )dt = ~tV0n =
T 0 T n=i tn—1 T n=i
[V0n—1, vect(an-1 0 an )] —
— 12vect (an—i 0 an )| 1 — 241 V0n |2 | —
= - ST n=1
(vect(an—1 0 an X V0n—1) V0
12 — 0,5 | V0n |2 n—1
—6+
11.
24
V0
2 1
96
V0
4
где
1 V0n |2 = —8s4al(an-1 0 an ) + 12 — 4an2—1.
Аналогичным способом можно получить численный алгоритм любой точности. Следовательно, по данным от ДУС и данным от ЗД в течение определенного промежутка времени, мы способны определить вектора средней измеренной угловой скорости и вектора средней измеряемой угловой скорости.
Определение характеристик ДУС
Для определения всех 12 характеристик ДУС воспользуемся выражением (2) в виде
bT
wcp + s0 = С
(3)
Для нахождения неизвестного вектора s0 и неизвестной матрицы B необходимо совершить 4 уравнения (3), т.е. конечная система уравнений будет иметь вид
T
*
120
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009
