Интегральные инварианты и солитонные решения длинноволновых уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2010. Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 535.5:578.08 В. С. Новоселов

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ И СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛИННОВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Работа является продолжением статьи [1], в которой рассматривались аналитические солитонные решения трех уравнений: Кортевега-де Фриса (KdV), регуляризован-ного длинноволнового (RLW), смешанного длинноволнового (MLW), а также их инте-претирования применительно к нейродинамической задаче распространения нервных импульсов от сенсорных нейронов к центральной нервной системе и обратно к моторным нейронам. Солитоном называется уединенная волна u(x,t), удовлетворяющая граничному условию и ^ 0, а также любая ее производная по t и по х, стремящиеся к нулю при \х\ ^ то. Были получены явные выражения для односолитонных решений, а для KdV-уравнения и двухсолитонное решение. В настоящей статье обсуждаются интегральные инварианты указанных уравнений, предложена новая модель равновеликих солитонов ISM. Дано аналитическое решение одно- и двухсолитонного решений ISM-уравнения. Показано, что двухсолитонное решение этого уравнения представляет собой своеобразный равновеликий солитон с переменной фазовой скоростью.

2. Форма записи уравнений в статье [1] позволяет для солитонных решений записать первый интегральный инвариант

Инвариант Д выражает условие сохранения общей массы солитонов.

Уравнение К^У имеет [2, 3] счетный набор инвариантов, представляющих собой интегралы по координате х от —то до то для полиномов над функцией и(х,£) и конечным числом ее производных. Укажем два последующих интегральных инварианта для приведенного к стандартному виду

Новоселов Виктор Сергеевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры механики управляемого движения факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 190. Научные направления: аналитическая механика, динамика управляемых систем, биомеханика, вероятностные процессы. E-mail: novoselov@apmath.spbu.ru.

© В. С. Новоселов, 2010

(1)

Ut + 12uux + Uxxx — 0

(2)

уравнения KdV, а именно

(3)

Как известно [4, 5], RLW-уравнение имеет, кроме интеграла (1), еще только два интегральных инварианта. Для RLW-уравнения, приведенного к виду

иь + 12иих и1хх — ° (4)

получаем

сю сю

/2 — J (и2 + иХ)dx, /3 — J и^ё,х. (5)

— ю — ю

Для MLW-уравнения вида

иЬ + 12иих + иххх &иЬхх — 0 (6)

указанные инварианты равны

сю сю

12 — !и^ 13 — !(4и3 -их+^х^. (7)

—ю —ю

Формулы (3), (5) и (7) показывают, что, в отличие от первого интегрального инварианта (1), инварианты /2 и /3 принимают различный вид для уравнений (2), (4), (6) и имеют более сложную физическую интерпретацию.

Следует заметить, что знание интегральных инвариантов, даже счетного числа как для KdV-уравнения, не дает возможности установить картину тесного взаимодействия солитонов, именно - время и место встречи, изменение формы или фазы при взаимодействии.

3. В работах [5, 6] показано, что взаимодействие солитонов RLW-уравнения не является упругим в том смысле, что при ударе они сохраняются неполностью и появляются дополнительные осциллирующие волны. Тот же вывод относится к MLW-уравнению при £ — 0. Аналитически построить двухсолитонное решение для отмеченных уравнений не удается.

Исходя из RLW-уравнения (5), можно указать новое уравнение, имеющее строгое аналитическое двухсолитонное решение. Перейдем в уравнении (5) к переменной

х

V — § u(y,t)dy, которая представляет собой солитонную массу, расположенную левее

—ю

выделенного сечения х. Это часть солитона, которая еще не прошла через сечение х для правостороннего решения (фазовая скорость положительна) или уже прошла через него для левостороннего солитона (фазовая скорость отрицательна). Подставим в уравнение (4) представление и — vx и выполним интегрирование по х:

VI + - vtxx — 0. (8)

Заменяя в (8) одно из двух vx на —vt, приходим к новой модельной задаче с уравнением

Vt — 6vtvx + Vtxx, (9)

которому отвечает интегродифференциальное уравнение для переменной и(х\Ь)

х

д [

щ = 6ищ + 6их— и(у,г)йу + щхх, (10)

—ю

существенно отличающееся от уравнения (4). Солитонные решения уравнения (10) отвечают граничному условию: и ^ 0 при \х\ ^ ж. Указанные решения могут быть как право-, так и левосторонними.

Положим в уравнении (10) и = и(£), £ = х — ct, с = const = 0 и учтем граничное

условие. Получим односолитонное решение

1 1,-2 и = -сп 4

-(х -ct-xo)

х0 = const. (11)

В отличие от со литонов статьи [1], амплитуда 4 = | и волновое число к = ^ солитона (11) не зависят от скорости с. При этом скорость перемещения солитона может быть как положительной, так и отрицательной. Зависимость и от х является плавной кривой, распространенной от —ж до ж. Она имеет вид холмика с наибольшей высотой A. Высота холмика стремится к нулю при \х\ ^ ж.

Уравнение (10) представим в виде

ди д ( , г ? ди(У1*) /1 о\

at = di Г““ + 6" J -hi-dy I ■ (12>

Из формулы (12) следует, что общая масса солитонного решения рассматриваемой модельной задачи

tt

I1 = J u(y,t)dy = const (13)

— tt

является инвариантом. С помощью (13) преобразуем выражение (12)

!<•-—*£ (“I h- *>*) (14)

Формулу (14) можно интерпретировать словами. Изменение в сечении х величины и(х,Ь) за вычетом диффузии [7], т. е. uxx, определяется градиентом произведения этой величины на интенсивность проходящей через сечение массы солитонного решения и направлено в обратную сторону данного градиента.

После несложных преобразований, выключающих умножение (10) на и, найдем еще один интегральный инвариант новой модельной задачи

tt

I2 = j (и2 + иХ — 2u3)dx. (15)

— tt

Формулы (14) и (15) показывают, что значения интегральных инвариантов не зависят от скорости с односолитонного решения (11). Так, например, Ii = 1.

Для аналитического построения двухсолитонного решения модельной задачи (9), (10) введем вспомогательную переменную w, для которой

д д2

г> = — In w = wxw~1, u=-^—rr\nw. (16)

дх дх2

Уравнение (9) примет вид однородного уравнения второй степени относительно переменной w

wwtxxx wtwxxx 3wxwtxx + 3wxxwtx wwtx + wxwt - °. (17)

Уравнение (17) превращается в соответствующее однородное уравнение (см. [1]) для модели KdV, если в первых четырех членах производную по t заменить на производную по х и поменять знаки на обратные.

Как и в [1], решение ищем в виде

w = 1 + X(e&1 + e^2)+ X2De^'1+^2, А = const = 0, D = const, (18)

где, в отличие от этой статьи,

tii = х — Cit — bi, Ci = const, bi = const, i = 1, 2. (19)

На основании формул (18) и (19)

d~/W А^1+е’?2) + 27А 2£>е’?1+’ь, 7 = 0,1,2,...,

—X(cie^1 + cV2) — 27А2D(ci + C2)e^1+^2. (20)

дхЛ

dY+1w

дхЛ дг

При подстановке выражений (20) в уравнение (18) члены порядка А взаимно уничтожаются, а приравнивание нулю членов с А2 дает В = 0. Поскольку при В = 0 формулы (20) принимают вид

wx = и>хх = wxxx = т — 1, т = Wtx = Wtxx = Wtxxx = —А {^в*1 + С2в*2) ,

то представление (18) тождественно относительно любой степени А удовлетворяет уравнению (17). Включаем 1п А в постоянную Ь¿, т. е. заменяем Ь* на Ь + 1п А. Эту величину, как и в статье [1], будем обозначать через Ь*. С помощью формул (16) и (18) при В = 0 получаем

и = (в*1 + в*2 )(1 + в*1 + в62у2 . (21)

Решение (21) является обобщением односолитонных решений (11) при отсутствии в*1 или в*2. Будем называть (21) одним из вариантов двухсолитонного решения модели, отвечающей уравнениям (9), (10) с граничным условием и ^ 0 при \х\ ^ о.

Формула (21) дает возможность проследить за характером убывания двухсолитонного решения при \г\ ^ оо. Пусть, например, С1 > С2 > 0. Тогда при г ^ —о имеем и ~ (^-(х — Clt — 61)), а при Ь —> оо получаем и ~ ^сЬ2 (^-(ж — — Ъ2)).

4. Решение (21) запишем в виде

^ch-2 \\{х-х)

(22)

X = — 1п {в-С1^Ь1 + в-С2^Ь2) . (23)

Отсюда видно, что наибольшее значение величина и, равная достигает при х = х,

т. е. при в*1 + в*2 = 1. Для определения фазовой скорости двухсолитонного решения

продифференцируем (23) по времени

Vв = X = (снв-С^-Ь1 + с2в-С^-Ь1) (в-С1*^-Ь1 + в~С^~Ь2)-1 . (24)

и

Приходим к следующему выводу. Двухсолитонное решение (21) представляет собой своеобразный результирующий солитон (22) с переменной фазовой скоростью (24). Если ci и c2 имеют одинаковые знаки, то скорость vs не обращается в нуль. При q > 0 (i = 1,2) результирующий солитон перемещается в положительную сторону оси х, при ci < 0 - в обратную. Если ci и c2 имеют разные знаки, то возможно существование моментов времени возврата (поворота). Пусть ci > 0 и c2 < 0. Приравнивая правую часть (24) нулю, получаем момент времени остановки

Т = (ln(ci\c2\ i) — bi + b2) (ci + \c2\) i. (25)

Из формулы (24) следует: vs > 0 при t < T и vs < 0 при t > Т. Поэтому точка остановки (25) является одновременно и точкой возврата.

При ci = c2 = c > 0 по формулам (24) и (25) имеем

х = ct + b, b = — ln (e—b1 + e—b2) , vs = c.

Потому на основании формул (22) и (23) получаем односолитонное решение (11) со скоростью c и начальной фазой хо = b. Это решение переходит в одно из порождающих односолитонных решений при bi = ж или b2 = ж. Если ci = —c2 = c > 0 и bi = b2 = b, то находим

х = b — ln 2 — ln ch ct, vs = —c th ct.

Моментом времени возврата будет Т = 0, соответственно vs > 0 при t < 0 и vs < 0 при t > 0. В момент времени t = 0 правосторонний солитон переходит в левосторонний. Скорость солитона изменяется от c > 0 при t = —ж до нуля при t = 0, затем становится отрицательной и возрастает по абсолютной величине от 0 до c при t = ж.

Таким образом, амплитуда А = j, средняя ширина В = А~11\ = 4, а также инварианта I2 как односолитонного решения (11), так и двухсолитонного решения (22) уравнений (9) и (10) оказываются одинаковыми, не зависят от скорости и направления движения. Солитоны отличаются друг от друга только различными скоростями движения и начальными фазами. Поэтому предложенную модель, отвечающую указанным уравнениям и граничному условию и ^ 0 при \х\ ^ ж, можно назвать моделью равновеликих солитонов, или ISM (Isometrik solitons model).

5. Сопоставим двухсолитонные решения уравнения KdV- и ISM-моделей. В переменной v уравнение KdV (2) имеет близкий по форме уравнению (9) модели ISM вид

vt + 6v‘x + vxxx = 0. (26)

В статье [1] двухсолитонное решение KdV-уравнения интерпретировалось как результат взаимодействия двух солитонов с амплитудами А4 = ^с*, положительными фазовыми скоростями q и волновыми числами y/Ai, г = 1,2. Тесное взаимодействие г и j солитонов, отвечающих уравнению (26), происходило при достижении взаимного расстояния

между вершинами солитонов 6 = 2 In ^ > и . > о. Более быстрый г-й со-

VAi-y Aj

лптон увеличивал начальную фазу на величину ^А^18, а более медленный j-й солитон уменьшал ее на величину ^A^S. Чем меньше отличались амплитуды солитонов, тем больше взаимное расстояние, на котором происходит удар солитонов с изменением начальных фаз. Следует иметь в виду, что понятие удара солитонов довольно условное. Ведь каждый солитон в любой момент времени t простирается вдоль всей оси х от —ж до ж.

В 1БМ-модели амплитуды солитонов одинаковы и удар солитонов происходит сразу же, как только возбуждается двухсолитонное решение. В результате удара получается результирующий солитон (21), (22) с перечисленными выше свойствами.

Рассмотренный вариант двухсолитонного решения 1БМ-модели существенно отличается и в отношении массы от двухсолитонного решения К^У-модели статьи [1], для которого

Поэтому масса двухсолитонного решения уравнения К^У равна сумме масс взаимодействующих солитонов. Для рассмотренного выше варианта двухсолитонного решения ТБМ-модели

и совпадает с массой односолитонного решения.

Возможен и другой вариант двухсолитонного решения 1БМ-модели. Непосредственная подстановка в уравнение (9) суммы односолитонных решений V = уг + V3 приводит к уравнению

Подстановка выражений (28) в уравнение (27) приводит к равенству єі+ву = 0, для удо-

ствовать решение уравнения (10) в виде суммы одиночных солитонов с разнонаправленными одинаковыми скоростями и произвольными начальными фазами, что можно проверить и непосредственной подстановкой такого решения в уравнение (10).

Масса данного двухсолитонного решения 1\ = 2 равна сумме масс двух односолитонных решений. Пусть &2 >Ъ\. Для момента времени £ = 0 получим

Решение в виде суммы указанных солитонов сохранится, если в указанный момент времени Ьі и поменять местами. Можно считать, что в момент времени і = 0 произошел

Si = a* (x — aft — Ьі) , D = (a* — aj)(ai + aj) 1, a* = const, a* > aj > 0.

Масса двухсолитонного решения KdV-уравнения

При этом масса односолитонного решения равна

ОО

(27)

Здесь Vі

(1 + e

1

, їїі определяется формулой (19). Для производных запишем

(28)

влетворения которого принимаем с* = —с^ = с. Поскольку и = то будет суще-

удар, солитоны обменялись скоростями и начальными фазами. Но можно также говорить, что удара нет, а солитоны совершают согласованное движение. Один фрагмент такого движения получен в п. 4 при Ъi = .

6. Можно предложить следующий вариант N-солитонного решения 1БМ-модели, где N - любое целое положительное число. Уравнение (17) имеет решение и> = 1 + а, а =

N

е^, $1 определяется формулой (19). Повторяя рассуждение п. 3, запишем

^1

1

= сг(1+сг) = -ch

-2

N

- lnI3'

— Cit — bi

Фазовая скорость такого равновеликого солитона равна

Vs = X = 2_^ Ci.e i=1

N

£«

-Cit-bi

N

N

Vi=l

-1

-Cit-bi

Если С4 имеют одинаковые знаки, то и будет того же знака. В частности, при ^ = с (г = 1, М) оказывается уе = с. Пусть ск > 0, к = 1, N1 и с; < 0, / = Л?! + 1, N. Для

момента времени остановки получаем уравнение

N1 N

^ске-Скт-Ьк - ^2 С\е1с,1Т-Ь‘ =0.

к = 1 ¡=N± + 1

Если Ск = -с\ = с, то

Ni

N

T=Yc Е '■

V fc = 1 i=Ni + 1

be

Литература

1. Новоселов В. С. Смешанное длинноволновое уравнение // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 1. С. 65—72.

2. Захаров В. Е. Метод обратной задачи рассеяния // Кунин И. Л. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975. С. 226-273.

3. Фаддев Л. В., Тахтатджян Л. А. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986. 528 с.

4. Lewis J. C., Tjon J. A. Résonant production of solitons in the RLW équation // Phis. Lett. 1979. Vol. 73A, N 4. P. 275-279.

5. Каримов Г. К., Попов С. П. Численное решение регуляризованного длинноволнового уравнения. М.: Вычисл. центр АН СССР, 1989. 23 с.

6. Маханьков В. Г. Солитоны и численный эксперимент // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1983. Т. 4, вып. 1. С. 123-180.

7. Новоселов В. С. Статистические модели механики: учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999. 200 с.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 1 апреля 2010 г.