Научная статья на тему 'Интегральные инварианты и солитонные решения длинноволновых уравнений'

Интегральные инварианты и солитонные решения длинноволновых уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
86
39
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
СОЛИТОН / ДЛИННОВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ / ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ / SOLITON / WAVE EQUATIONS OF LONG WAVES / INTEGRAL INVARIANTIES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Новоселов Виктор Сергеевич

Обсуждаются три первых интегральныхинв арианта солитонныхре шений уравнений Кортевега-де Фриса (KdV), регуляризованного длинноволнового (RLW) и смешанного длинноволнового (MLW). Предложена новая модель равновеликихсо литонов ISM. Дано аналитическое построение односолитонного и двухсолитонного решений ISM-уравнения. Показано, что двухсолитонное решение ISM-уравнения представляет собой своеобразный равновеликий солитон с переменной скоростью. Библиогр. 7 назв.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Integral invarianties and soliton solutions of the long wave equations

The initial equation describing the propagation of nonlinear waves in the one-dimensional case in a medium with dispersion is the Korteweg-de Vries equation (KdV) whose solutions are stable solitary wave structures (solitons). Solutions of the KdV equation were first obtained numerically. Later the method to solve the KdV equation analytically was found and exact solutions in the form of solitons were obtained. The fellowing equations describing the propagation of medium with dispersion are the regularised, long-wave equation (RLW) and the mixed, long-wave equation (MLW). In this paper three first integral invariants: the soliton solutions of the KdV, RLW, MLW equations are discussed. A new isometric soliton model (ISM) is proposed. An analytical construction of the one soliton and the two soliton solutions of ISM equation is given. As it is schown the two soliton solution of ISM equation represent the original isometric soliton with the variable velocity.

Текст научной работы на тему «Интегральные инварианты и солитонные решения длинноволновых уравнений»

Сер. 10. 2010. Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 535.5:578.08 В. С. Новоселов

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ И СОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛИННОВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Работа является продолжением статьи [1], в которой рассматривались аналитические солитонные решения трех уравнений: Кортевега-де Фриса (KdV), регуляризован-ного длинноволнового (RLW), смешанного длинноволнового (MLW), а также их инте-претирования применительно к нейродинамической задаче распространения нервных импульсов от сенсорных нейронов к центральной нервной системе и обратно к моторным нейронам. Солитоном называется уединенная волна u(x,t), удовлетворяющая граничному условию и ^ 0, а также любая ее производная по t и по х, стремящиеся к нулю при \х\ ^ то. Были получены явные выражения для односолитонных решений, а для KdV-уравнения и двухсолитонное решение. В настоящей статье обсуждаются интегральные инварианты указанных уравнений, предложена новая модель равновеликих солитонов ISM. Дано аналитическое решение одно- и двухсолитонного решений ISM-уравнения. Показано, что двухсолитонное решение этого уравнения представляет собой своеобразный равновеликий солитон с переменной фазовой скоростью.

2. Форма записи уравнений в статье [1] позволяет для солитонных решений записать первый интегральный инвариант

Инвариант Д выражает условие сохранения общей массы солитонов.

Уравнение К^У имеет [2, 3] счетный набор инвариантов, представляющих собой интегралы по координате х от —то до то для полиномов над функцией и(х,£) и конечным числом ее производных. Укажем два последующих интегральных инварианта для приведенного к стандартному виду

Новоселов Виктор Сергеевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры механики управляемого движения факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 190. Научные направления: аналитическая механика, динамика управляемых систем, биомеханика, вероятностные процессы. E-mail: [email protected].

© В. С. Новоселов, 2010

(1)

Ut + 12uux + Uxxx — 0

(2)

уравнения KdV, а именно

(3)

Как известно [4, 5], RLW-уравнение имеет, кроме интеграла (1), еще только два интегральных инварианта. Для RLW-уравнения, приведенного к виду

иь + 12иих и1хх — ° (4)

получаем

сю сю

/2 — J (и2 + иХ)dx, /3 — J и^ё,х. (5)

— ю — ю

Для MLW-уравнения вида

иЬ + 12иих + иххх &иЬхх — 0 (6)

указанные инварианты равны

сю сю

12 — !и^ 13 — !(4и3 -их+^х^. (7)

—ю —ю

Формулы (3), (5) и (7) показывают, что, в отличие от первого интегрального инварианта (1), инварианты /2 и /3 принимают различный вид для уравнений (2), (4), (6) и имеют более сложную физическую интерпретацию.

Следует заметить, что знание интегральных инвариантов, даже счетного числа как для KdV-уравнения, не дает возможности установить картину тесного взаимодействия солитонов, именно - время и место встречи, изменение формы или фазы при взаимодействии.

3. В работах [5, 6] показано, что взаимодействие солитонов RLW-уравнения не является упругим в том смысле, что при ударе они сохраняются неполностью и появляются дополнительные осциллирующие волны. Тот же вывод относится к MLW-уравнению при £ — 0. Аналитически построить двухсолитонное решение для отмеченных уравнений не удается.

Исходя из RLW-уравнения (5), можно указать новое уравнение, имеющее строгое аналитическое двухсолитонное решение. Перейдем в уравнении (5) к переменной

х

V — § u(y,t)dy, которая представляет собой солитонную массу, расположенную левее

—ю

выделенного сечения х. Это часть солитона, которая еще не прошла через сечение х для правостороннего решения (фазовая скорость положительна) или уже прошла через него для левостороннего солитона (фазовая скорость отрицательна). Подставим в уравнение (4) представление и — vx и выполним интегрирование по х:

VI + - vtxx — 0. (8)

Заменяя в (8) одно из двух vx на —vt, приходим к новой модельной задаче с уравнением

Vt — 6vtvx + Vtxx, (9)

которому отвечает интегродифференциальное уравнение для переменной и(х\Ь)

х

д [

щ = 6ищ + 6их— и(у,г)йу + щхх, (10)

—ю

существенно отличающееся от уравнения (4). Солитонные решения уравнения (10) отвечают граничному условию: и ^ 0 при \х\ ^ ж. Указанные решения могут быть как право-, так и левосторонними.

Положим в уравнении (10) и = и(£), £ = х — ct, с = const = 0 и учтем граничное

условие. Получим односолитонное решение

1 1,-2 и = -сп 4

-(х -ct-xo)

х0 = const. (11)

В отличие от со литонов статьи [1], амплитуда 4 = | и волновое число к = ^ солитона (11) не зависят от скорости с. При этом скорость перемещения солитона может быть как положительной, так и отрицательной. Зависимость и от х является плавной кривой, распространенной от —ж до ж. Она имеет вид холмика с наибольшей высотой A. Высота холмика стремится к нулю при \х\ ^ ж.

Уравнение (10) представим в виде

ди д ( , г ? ди(У1*) /1 о\

at = di Г““ + 6" J -hi-dy I ■ (12>

Из формулы (12) следует, что общая масса солитонного решения рассматриваемой модельной задачи

tt

I1 = J u(y,t)dy = const (13)

— tt

является инвариантом. С помощью (13) преобразуем выражение (12)

!<•-—*£ (“I h- *>*) (14)

Формулу (14) можно интерпретировать словами. Изменение в сечении х величины и(х,Ь) за вычетом диффузии [7], т. е. uxx, определяется градиентом произведения этой величины на интенсивность проходящей через сечение массы солитонного решения и направлено в обратную сторону данного градиента.

После несложных преобразований, выключающих умножение (10) на и, найдем еще один интегральный инвариант новой модельной задачи

tt

I2 = j (и2 + иХ — 2u3)dx. (15)

— tt

Формулы (14) и (15) показывают, что значения интегральных инвариантов не зависят от скорости с односолитонного решения (11). Так, например, Ii = 1.

Для аналитического построения двухсолитонного решения модельной задачи (9), (10) введем вспомогательную переменную w, для которой

д д2

г> = — In w = wxw~1, u=-^—rr\nw. (16)

дх дх2

Уравнение (9) примет вид однородного уравнения второй степени относительно переменной w

wwtxxx wtwxxx 3wxwtxx + 3wxxwtx wwtx + wxwt - °. (17)

Уравнение (17) превращается в соответствующее однородное уравнение (см. [1]) для модели KdV, если в первых четырех членах производную по t заменить на производную по х и поменять знаки на обратные.

Как и в [1], решение ищем в виде

w = 1 + X(e&1 + e^2)+ X2De^'1+^2, А = const = 0, D = const, (18)

где, в отличие от этой статьи,

tii = х — Cit — bi, Ci = const, bi = const, i = 1, 2. (19)

На основании формул (18) и (19)

d~/W А^1+е’?2) + 27А 2£>е’?1+’ь, 7 = 0,1,2,...,

—X(cie^1 + cV2) — 27А2D(ci + C2)e^1+^2. (20)

дхЛ

dY+1w

дхЛ дг

При подстановке выражений (20) в уравнение (18) члены порядка А взаимно уничтожаются, а приравнивание нулю членов с А2 дает В = 0. Поскольку при В = 0 формулы (20) принимают вид

wx = и>хх = wxxx = т — 1, т = Wtx = Wtxx = Wtxxx = —А {^в*1 + С2в*2) ,

то представление (18) тождественно относительно любой степени А удовлетворяет уравнению (17). Включаем 1п А в постоянную Ь¿, т. е. заменяем Ь* на Ь + 1п А. Эту величину, как и в статье [1], будем обозначать через Ь*. С помощью формул (16) и (18) при В = 0 получаем

и = (в*1 + в*2 )(1 + в*1 + в62у2 . (21)

Решение (21) является обобщением односолитонных решений (11) при отсутствии в*1 или в*2. Будем называть (21) одним из вариантов двухсолитонного решения модели, отвечающей уравнениям (9), (10) с граничным условием и ^ 0 при \х\ ^ о.

Формула (21) дает возможность проследить за характером убывания двухсолитонного решения при \г\ ^ оо. Пусть, например, С1 > С2 > 0. Тогда при г ^ —о имеем и ~ (^-(х — Clt — 61)), а при Ь —> оо получаем и ~ ^сЬ2 (^-(ж — — Ъ2)).

4. Решение (21) запишем в виде

^ch-2 \\{х-х)

(22)

X = — 1п {в-С1^Ь1 + в-С2^Ь2) . (23)

Отсюда видно, что наибольшее значение величина и, равная достигает при х = х,

т. е. при в*1 + в*2 = 1. Для определения фазовой скорости двухсолитонного решения

продифференцируем (23) по времени

Vв = X = (снв-С^-Ь1 + с2в-С^-Ь1) (в-С1*^-Ь1 + в~С^~Ь2)-1 . (24)

и

Приходим к следующему выводу. Двухсолитонное решение (21) представляет собой своеобразный результирующий солитон (22) с переменной фазовой скоростью (24). Если ci и c2 имеют одинаковые знаки, то скорость vs не обращается в нуль. При q > 0 (i = 1,2) результирующий солитон перемещается в положительную сторону оси х, при ci < 0 - в обратную. Если ci и c2 имеют разные знаки, то возможно существование моментов времени возврата (поворота). Пусть ci > 0 и c2 < 0. Приравнивая правую часть (24) нулю, получаем момент времени остановки

Т = (ln(ci\c2\ i) — bi + b2) (ci + \c2\) i. (25)

Из формулы (24) следует: vs > 0 при t < T и vs < 0 при t > Т. Поэтому точка остановки (25) является одновременно и точкой возврата.

При ci = c2 = c > 0 по формулам (24) и (25) имеем

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

х = ct + b, b = — ln (e—b1 + e—b2) , vs = c.

Потому на основании формул (22) и (23) получаем односолитонное решение (11) со скоростью c и начальной фазой хо = b. Это решение переходит в одно из порождающих односолитонных решений при bi = ж или b2 = ж. Если ci = —c2 = c > 0 и bi = b2 = b, то находим

х = b — ln 2 — ln ch ct, vs = —c th ct.

Моментом времени возврата будет Т = 0, соответственно vs > 0 при t < 0 и vs < 0 при t > 0. В момент времени t = 0 правосторонний солитон переходит в левосторонний. Скорость солитона изменяется от c > 0 при t = —ж до нуля при t = 0, затем становится отрицательной и возрастает по абсолютной величине от 0 до c при t = ж.

Таким образом, амплитуда А = j, средняя ширина В = А~11\ = 4, а также инварианта I2 как односолитонного решения (11), так и двухсолитонного решения (22) уравнений (9) и (10) оказываются одинаковыми, не зависят от скорости и направления движения. Солитоны отличаются друг от друга только различными скоростями движения и начальными фазами. Поэтому предложенную модель, отвечающую указанным уравнениям и граничному условию и ^ 0 при \х\ ^ ж, можно назвать моделью равновеликих солитонов, или ISM (Isometrik solitons model).

5. Сопоставим двухсолитонные решения уравнения KdV- и ISM-моделей. В переменной v уравнение KdV (2) имеет близкий по форме уравнению (9) модели ISM вид

vt + 6v‘x + vxxx = 0. (26)

В статье [1] двухсолитонное решение KdV-уравнения интерпретировалось как результат взаимодействия двух солитонов с амплитудами А4 = ^с*, положительными фазовыми скоростями q и волновыми числами y/Ai, г = 1,2. Тесное взаимодействие г и j солитонов, отвечающих уравнению (26), происходило при достижении взаимного расстояния

между вершинами солитонов 6 = 2 In ^ > и . > о. Более быстрый г-й со-

VAi-y Aj

лптон увеличивал начальную фазу на величину ^А^18, а более медленный j-й солитон уменьшал ее на величину ^A^S. Чем меньше отличались амплитуды солитонов, тем больше взаимное расстояние, на котором происходит удар солитонов с изменением начальных фаз. Следует иметь в виду, что понятие удара солитонов довольно условное. Ведь каждый солитон в любой момент времени t простирается вдоль всей оси х от —ж до ж.

В 1БМ-модели амплитуды солитонов одинаковы и удар солитонов происходит сразу же, как только возбуждается двухсолитонное решение. В результате удара получается результирующий солитон (21), (22) с перечисленными выше свойствами.

Рассмотренный вариант двухсолитонного решения 1БМ-модели существенно отличается и в отношении массы от двухсолитонного решения К^У-модели статьи [1], для которого

Поэтому масса двухсолитонного решения уравнения К^У равна сумме масс взаимодействующих солитонов. Для рассмотренного выше варианта двухсолитонного решения ТБМ-модели

и совпадает с массой односолитонного решения.

Возможен и другой вариант двухсолитонного решения 1БМ-модели. Непосредственная подстановка в уравнение (9) суммы односолитонных решений V = уг + V3 приводит к уравнению

Подстановка выражений (28) в уравнение (27) приводит к равенству єі+ву = 0, для удо-

ствовать решение уравнения (10) в виде суммы одиночных солитонов с разнонаправленными одинаковыми скоростями и произвольными начальными фазами, что можно проверить и непосредственной подстановкой такого решения в уравнение (10).

Масса данного двухсолитонного решения 1\ = 2 равна сумме масс двух односолитонных решений. Пусть &2 >Ъ\. Для момента времени £ = 0 получим

Решение в виде суммы указанных солитонов сохранится, если в указанный момент времени Ьі и поменять местами. Можно считать, что в момент времени і = 0 произошел

Si = a* (x — aft — Ьі) , D = (a* — aj)(ai + aj) 1, a* = const, a* > aj > 0.

Масса двухсолитонного решения KdV-уравнения

При этом масса односолитонного решения равна

ОО

(27)

Здесь Vі

(1 + e

1

, їїі определяется формулой (19). Для производных запишем

(28)

влетворения которого принимаем с* = —с^ = с. Поскольку и = то будет суще-

удар, солитоны обменялись скоростями и начальными фазами. Но можно также говорить, что удара нет, а солитоны совершают согласованное движение. Один фрагмент такого движения получен в п. 4 при Ъi = .

6. Можно предложить следующий вариант N-солитонного решения 1БМ-модели, где N - любое целое положительное число. Уравнение (17) имеет решение и> = 1 + а, а =

N

е^, $1 определяется формулой (19). Повторяя рассуждение п. 3, запишем

^1

1

= сг(1+сг) = -ch

-2

N

- lnI3'

— Cit — bi

Фазовая скорость такого равновеликого солитона равна

Vs = X = 2_^ Ci.e i=1

N

£«

-Cit-bi

N

N

Vi=l

-1

-Cit-bi

Если С4 имеют одинаковые знаки, то и будет того же знака. В частности, при ^ = с (г = 1, М) оказывается уе = с. Пусть ск > 0, к = 1, N1 и с; < 0, / = Л?! + 1, N. Для

момента времени остановки получаем уравнение

N1 N

^ске-Скт-Ьк - ^2 С\е1с,1Т-Ь‘ =0.

к = 1 ¡=N± + 1

Если Ск = -с\ = с, то

Ni

N

T=Yc Е '■

V fc = 1 i=Ni + 1

be

Литература

1. Новоселов В. С. Смешанное длинноволновое уравнение // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 1. С. 65—72.

2. Захаров В. Е. Метод обратной задачи рассеяния // Кунин И. Л. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975. С. 226-273.

3. Фаддев Л. В., Тахтатджян Л. А. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986. 528 с.

4. Lewis J. C., Tjon J. A. Résonant production of solitons in the RLW équation // Phis. Lett. 1979. Vol. 73A, N 4. P. 275-279.

5. Каримов Г. К., Попов С. П. Численное решение регуляризованного длинноволнового уравнения. М.: Вычисл. центр АН СССР, 1989. 23 с.

6. Маханьков В. Г. Солитоны и численный эксперимент // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1983. Т. 4, вып. 1. С. 123-180.

7. Новоселов В. С. Статистические модели механики: учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999. 200 с.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 1 апреля 2010 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.