CC BY
41
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
^1 1 bk1 * c1k
™ср 2 1 bk 2 * c2k
Кр3 1 bk 3 * c3k
™ср 4 1 * c4k
k = 1 3.
В данной системе второй индекс обозначает компоненту вектора. Данную систему можно преобразовать к виду
Wpi
-T -T
Wcp 2 --T -T
Wcp 3 - Wcp1 -T -T
Wcp 4 - Wcp1
bk1 * c*k
bk 2 * c2k
bk 3 * c3k
* c**k
к = 1 3.
если
Полученная система имеет решение,
>> 0,(4)
что естественным образом накладывает ограничения на возможность работы алгоритма. Считая, что характеристики ДУС не меняются в течение двух витков, можно на первом витке выбрать наиболее оптимальные участки программного углового движения для кор-
T w» 1
-T -T 0
Кр 2 - Кр1
-T -T 0
Кр3 - Кр1
-T -T 0
™ср 4 - ™ср 1
рекции, а на втором витке, повторяя программу полета, выполнить калибровку ДУС.
Также из (4) следует, что наиболее оптимально для работы алгоритма первый и второй разворот произвести с неравными сонаправленными средними угловыми скоростями, а третий и четвертый поворот должны быть произведены со взаимоперпендикулярными средними угловыми скоростями.
Библиографический список
1. Бранец, В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский, - М.: Наука, 1992.
2. Бранец, В.Н. Введение в теорию бесплатформенных инерциальных навигационных систем / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский, - М.: Физматлит, 1992.
3. Шашков, Г.Н. Система алгоритмов для определения ориентации по измерениям звездного датчика и датчика угловой скорости. Спутник связи «Ямал», бортовой комплекс управления, новые решения, под редакцией В.Н. Бранца.
4. Измайлов, Е.А. Скалярный способ калибровки и балансировки БИНС / Е.А. Измайлов, С.Н. Лепе, А.В. Молчанов и др. // Юбилейная XV Санкт-Петербургская международная конференция по интегрированным навигационным системам: сб. материалов. - СПб.: 2008. - 145 с.
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
угол-параметр-код и их основных составных ЧАСТЕЙ
В.В. АЛЕКСЕЕВ, ст. науч. сотрудник ФГУ «22 ЦНИИИМинобороны России»,
В.М. ИСАЕВ, проф. каф. электроники и микропроцессорной техники МГУЛ, д-р техн. наук, гл. науч. сотрудник ФГУ «22 ЦНИИИ Минобороны России»
Цифровые преобразователи угла (ЦПУ) являются неотъемлемой частью систем управления специальных объектов. Эти системы построены на основе управляющих ЭВМ, в которые информация об измеряемом угловом положении органов управления передается от ЦПУ с определенной точностью. Поэтому для оценки точностных возможностей этих изделий требуется применение информационных характеристик.
Существующая номенклатура ЦПУ представлена двумя видами: преобразователями угол-код (УК), основой построения которых является кодовая шкала, и преобразова-
caf-emt@mgul.ac.ru
телями угол-параметр-код (УПК), состоящих из аналоговых датчиков угла, в качестве которых чаще всего используются вращающиеся трансформаторы (ВТ), и аналого-цифровых преобразователей (АЦП) сигналов ВТ в код.
Для оценки точности обоих видов ЦПУ применяют достаточно большой объем дифференциальных характеристик, таких как: n - число разрядов, q - угловая длительность расчетного кванта, как правило равная 360°/2n, N = 2n - информационная емкость (число квантов), Е1 - погрешность квантования, Е2 - погрешность воспроизведения уровней квантования (погрешность координат
ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 3/2009
121
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
смены значений кода), Е - погрешность преобразования, которая определяется как сумма составляющих Ег и Е2 [1].
Недостаточная информативность оценки точности преобразователей УК на основе только дифференциальных характеристик и необходимость введения ее интегральной оценки показана в [1]. Для этого вида преобразователей выведен интегральный критерий точности - достоверность кода Р(Е). Кроме этого разработаны математические модели ее определения и программы расчета с использованием законов распределения вероятностей (ЗРВ) погрешностей преобразователей для основных условий их применения. В моделях учтено, что погрешность Е2 преобразователей УК не должна превышать величины, равной половине кванта. Это характерно для данного вида изделий.
Исследования показывают, что, исходя из принципов формирования измерительной информации в преобразователях УПК, они могут нормально (без сбоя) функционировать в условиях внешних воздействий при наличии у них погрешности Е достигающей величины 5-6 квантов для изделий средней точности и 5-8 квантов для прецизионных изделий. Исходя из этого, попытка использования достоверности кода в качестве критерия для оценки точности такого вида преобразователей оказывалась не всегда успешной, т.к. ошибки при ее расчете увеличивались в возрастающей степени с расширением диапазона d(E2) ЗРВ погрешности Е2.
Это становится понятным при использовании для их определения отношения эквивалентного интервала неопределенности d(E2) к d^2). В соответствии с [2] d (E^) является частью диапазона рассматриваемого ЗРВ погрешности Е2 преобразователя. Он равен диапазону равномерного закона, «замещающего» рассматриваемый ЗРВ и обладающего с ним равным дезинформационным действием, т.е. равноценного с информационной точки зрения. Минимальное значение d3(E2) имеет место при нормальном виде ЗРВ погрешности E Предельное значение отношения d_}(E2) к d^2), определяющее максимально допустимую ошибку в расчете, не должно быть больше единицы. Конкретные значения этого отношения в зависимости от вида и диапазона ЗРВ погрешности Е2 и соответствующие им значения достоверности кода Р(Е), иллюстрирующие изложенное выше в части ошибок при ее расчете, приведены в таблице.
В статье рассматривается подход к интегральной оценке точности преобразователей УПК и их основных составных частей - АЦП и ВТ с использованием критерия «информационная способность» Ми m, выраженного, соответственно, в квантах и в битах. Универсальность этого критерия по сравнению с достоверностью кода, кроме изложенного выше, заключается в возможности его использования как в случаях цифрового (преобразователь УПК и АЦП), так и аналогового (ВТ) выходных сигналов.
Таблица
Зависимость от вида ЗРВ отношения эквивалентного интервала неопределенности погрешности Е преобразователей УПК к диапазону ее распределения
Вид ЗРВ d(E), q P(E), отн. ед. d(E), q d(E)/d(E)
Н*Р ± 2,5 0,163 3,063401 1,225
± 4,5 0,072 6,922118 1,538
Н*ЛУ ±2,5 0,172 2,911563 1,16
±4,5 0,077 6,535300 1,45
Н*УУ ±2,5 0,158 3,168219 1,27
±4,5 0,071 7,055334 1,57
Н*ЛУЛВ ±2,5 0,084 5,956875 2,38
±4,5 0,023 21,38791 4,75
Условные обозначения: * - знак композиции видов ЗРВ: Н - нормального; Н*Р - нормального и равномерного, Н*ЛУ - нормального и линейно убывающего; Н*ЛУЛВ - нормального и линейно убывающего и затем линейно возрастающего
122
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В основу математической модели определения информационной способности преобразователя УПК положено отношение статистических параметров ЗРВ погрешностей Е идеализированного и реального преобразователей. В отличие от принятого в [3] в качестве параметра в отношении выбрано среднее квадратическое отклонение (СКО) o(E) погрешности Е, т.к. оно в наибольшей степени характеризует ее ЗРВ. Отметим, что отношение СКО нашло широкое применение также для решения задач в теории управления и контроля [4].
Для определения g(E) следует принять во внимание, что принципы формирования погрешности Е преобразователей УПК такие же, как у преобразователей УК [1, 5]. Погрешность квантования Е1 является методической и, как известно, имеет равномерный вид ЗРВ [1, 2]. У идеализированного преобразователя погрешность Е будет состоять лишь из погрешности Е1 и, следовательно, ее ЗРВ будет равномерным. У реального преобразователя по тем или иным причинам (несовершенство производства изделий, воздействие на них внешних факторов) появляется погрешность Е которая может подчиняться любому из многих видов ЗРВ от нормального до двухмодального несимметричного. В результате ЗРВ погрешности Е является композицией равномерного ЗРВ погрешности Е и какого-либо из видов ЗРВ погрешности Е
По массивам погрешностей Е идеализированного и реального преобразователей определяется их о(Евд), а(Ерн) и математическое ожидание т(Е ). При этом предполагается равномерное распределение преобразуемой входной угловой величины.
По полученным значениям о(Е ) = = o(E1) и <з(Ерн) определяется величина потерь информационной способности ДНрн реального преобразователя, как
АНрн = - l°gl (а(Еид)/ а(Ерн)). (1)
Исходя из выражения (1), предположим, что у реального преобразователя погрешность Е2 близка к нулю и, следовательно, о(Ерн) ~ o(E1). Тогда отношение о(Еид)/о(Ерн) будет близко к единице и, учитывая, что логарифм единицы равен нулю, реальный преобразователь в этом случае практически не будет иметь потерь информации на выходе.
Информационная способность преобразователей УПК, выраженная в битах и квантах, на основании выражения (1) определяется соответственно как
m = n - АН н и (2)
M = 2m.PH (з)
Существенное влияние на информационную способность реальных преобразователей оказывает математическое ожидание m(E2) погрешности Е2 и соответственно математическое ожидание т(Ерн) погрешности Е. Для учета этого влияния и принимая математическое ожидание [1, 2], от(Ерн) определяется как
a,(E„) = 4WEIJ)‘H™(Ejy. (4)
В общем случае под воздействием внешнего фактора у реального преобразователя появляется дополнительная погрешность Ед, измеренная в качестве отдельной составляющей погрешности Е2. Тогда суммарное СКО оу(Е ) определяется как
рн ^(£,,)=VK(V>>2+№))2- (5)
По аналитическим выражениям (1) - (3) с учетом зависимости (4) или (5) определяется информационная способность преобразователя.
Частным случаем является отсутствие технической возможности измерения всего массива погрешности Ед. Когда она измеряется в одной фиксированной точке и рассматривается как систематическая составляющая погрешности Е, тогда сЕ(Ерн) определяется как
(6)
Разработанная модель интегральной оценки точности преобразователей УПК, представленная соотношениями (1) - (6), апробирована методами математического моделирования и экспериментальными методами. На рис. 1 показана зависимость потерь информационной способности преобразователей УПК от диапазона и вида ЗРВ погрешности Е2 Для сравнения приведены семейства кривых, соответствующих наиболее характерным для преобразователей УПК диапазонам ЗРВ погрешности Е2, составленных из композиций нормального и отличных от нормального ЗРВ с долей нормальной составляющей в диапазоне композиции, колеблющейся от 0 до 1.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009
123
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
AH(E), бит
1
*
1111 1 1 1 d(E2)=±2q_ ^ $ X - ^ ‘ __
Н
Н*УУ
Н*ЛУ
Н*Р
Н*ЛУЛВ Вид ЗРВ
Рис. 1. Зависимость потерь информационной способности преобразователей УПК от диапазона и вида ЗРВ погрешности Е2
3
2
Из приведенных данных рисунка следует, что наименьшими потерями информации обладают преобразователи с нормальным ЗРВ погрешности Е а наибольшими - преобразователи с композиционным нормального с линейно убывающим, а затем линейно возрастающим ЗРВ погрешности Е2 (ярко выраженный двухмодальный ЗРВ). Наличие такой информации позволяет достоверно оценивать точностные возможности реальных преобразователей в составе систем управления специальных объектов.
Изложенный подход к определению потерь информационной способности преобразователя УПК используется также применительно к АЦП как его составной части.
Математические модели определения информационной способности ВТ разработа-
ны для двух основных режимов применения этих изделий: дистанционной передачи (ДП) и синусно-косинусного (СК) режима. В основу модели (как и у преобразователей УПК) положено отношение статистических параметров ЗРВ погрешностей идеализированного и реального ВТ.
Для ВТДП характерна линейная функция преобразования входной угловой величины в выходной аналоговый сигнал. Определение его информационной способности выполняется в следующей последовательности.
Формируется массив погрешности Арн отображения линейной зависимости реального ВТДП, измеренной в 180 или 256 угловых координатах. Затем определяются вид ее ЗРВ и значения d(A), т(Арн) и о(А ).
124
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Рис. 3. Зависимости информационной способности СКВТ по классам точности 0,01-0,5
Далее определяется потенциально возможное значение информационной способности реального ВТДП, для чего рассматривается идеализированный ВТДП, имеющий нормальный ЗРВ Аид с диапазоном ^(Авд), равным ^(А ). В этом случае в соответствии с [2] ВТДП будет иметь минимальный эквивалентный интервал неопределенности d(А ). Для нормального ЗРВ с шестисигмовым интервалом d(A ), а, следовательно, о(Авд), равной d(Aрн)/6, значение dэ(Aи ) определяется как в [2]
d3 (Анй ) = ^(Анй )V2ti-e. (7)
В этом случае потенциальная информационная способность реального ВТДП, выраженная через число различимых градаций [2], определяется как Мид = Q / ^э(А ), где Q - диапазон измерения угла, в большинстве случаев равный 360о = 21600’ = 1296000".
Потенциальная информационная способность, выраженная в битах, определяется как
тид = l0gM, . (8)
По полученным значениям о(А ) и а(Арн) и по формулам (1)-(6), подставляя в выражение (2) n = тид определяем информационную способность реального ВТДП.
При определении информационной способности СКВТ исходными данными являются массив погрешности отображения синусной зависимости в, значения асимметрии нулевых положений ротора аас и неравенство коэффициентов трансформации Ak, измеренные в нормальных условиях. При этом важно, чтобы каждое i-е значение погрешности в в массиве соответствовало i-й угловой координате на входе СКВТ [5]. Значения Дааа. и Ak получают из формул, отражающих поведение этих параметров в функции угла поворота, как
Да = Да • sin а; Ak = Ak • cosa.
асг ас г7 г г
Механизм формирования суммарной погрешности СКВТ показан на рис. 2. Ее значения вычисляют как сумму трех указанных на рисунке составляющих с учетом их знака Д = в + Да + Ak, (9)
где г = 1, ... , s; s - величина выборки.
По результатам статистической обработки полученного в соответствии с выражением (9) массива погрешности Дрн рассчитывают значения d^ ), т(Дрн) и о(Д). Далее определяется значение о(А ) в предположении, что ЗРВ погрешности Д нормальный и а(А ) =
рн ид
=d(Affl) / 6. Величина эквивалентного интервала неопределенности d^^) вычисляется по формуле (7). Производится разбиение синусно-косинусной выходной характеристики СКВТ интервалами, равными d3 (Д ). При этом разбиение осуществляется на тех участках синусной и косинусной зависимостей, которые имеют наибольшее приближение к линейной зависимости: 0-45°; 135-225°; 315-360° - у синусоиды и 45-135°; 225-315° - у косинусоиды. Это обусловлено логикой преобразования выходных сигналов СКВТ в преобразователях УПК, построенных по структурной схеме, использующей режим СКВТ. Суммарное число разбиений синусоиды и косинусоиды в пределах Q составит величину информационной способности Мид СКВТ при нормальном ЗРВ погрешности Аид. Информационная способность тид СКВТ вычисляется по формуле (8). Информационная способность реального СКВТ определяется как и для ВТДП.
Зависимости информационной способности СКВТ по классам их точности приведены на рис. 3. Данные рисунка иллюстрируют реальные информационные возможности этих изделий в составе преобразователя УПК для выбора его разрядности в соответствии с классом точности СКВТ.
Разработанные математические модели и алгоритмы расчета информационной способности преобразователей УПК и их основных составных частей - АЦП и ВТ позволяют на единой информационной основе давать интегральную оценку их функциональных возможностей применительно к использованию в цифровых системах автоматического управления. Работоспособность
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009
125
