CC BY
56
Инструментарий множественных сравнений в стратегическом планировании.
Instrumentation of multiple comparisons in strategic planning.
Высоцкая В.В.
аспирантка кафедры «Системного анализа и моделирования экономических
процессов»
Финансового Университета при Правительстве российской Федерации, г. Москва,[email protected]
Шмерлинг Д.С.,
к.ф.-м.н.
профессор-исследователь Национального Исследовательского Университета
Высшая Школа Экономики профессор Финансового Университета при Правительстве российской
Федерации,
г. Москва, кафедра «Системного анализа и моделирования экономических
процессов» [email protected]
Аннотация.
В работе обсуждаются проблемы развития государственного стратегического планирования (СП) в РФ. Затронутапроблеманедооцениванияроли экспертных оценок приСП. Рассмотрено применение многоуровневых математических моделей множественных и парных сравнений экспертных оценок, дано описание типов актуальных задач из данной предметной области и из теории графов. Приведены нерешенные на данный момент задачи математического дискретного
моделирования. Обоснована целесообразность поиска их решения для СП, представлен возможный подход к нахождению общего решения.
This paper discusses the problems of development of the state of Strategic Planning (SP) in the Russian Federation. It is touched the problem of underestimation of the role of expert assessments in SP. It is viewed the application of multi-level mathematical models of multiple and pairwise comparisons of expert assessments, it is described the types of actual tasks of a given subject area and graph theory. It is given unresolved at the moment the problem of mathematical discrete modeling. Explained the expediency of finding their solution for SP, it is given the possible approach to finding common solutions.
Ключевые слова
Стратегическое планирование, экспертные оценки, математические модели множественных и парных сравнений, ориентированные графы, турниры, циклы.
Strategic planning, expert assessments, mathematical models of multiple and pairwise comparisons, directed graphs, tournaments, cycles.
1. Введение
Достаточно часто при попытке оценить те или иные экономические объекты мы сталкиваемся с неопределенностью, вызванной как малой изученностью анализируемых экономических процессов и систем, так и общим недостатком информации. Зачастую не существует определенной оценки показателей, и принимать решения приходится исходя из экспертных оценок«альтернативных» объектов, полученных с помощью методов парных и множественных
сравнении.Однако мнения экспертов по одному и тому же вопросу могут расходиться, что сводит ситуацию к принятию решений в условии неопределенности. Нельзя упускать из виду то, что выбор методов и приемов обработки заключений экспертов должен зависеть и от степени согласованности их суждений.
Существует ряд технико-экономических задач с применением аппарата экспертных оценок на основе множественных сравнений:
• постановка целей стратегического развития;
• задачи векторной оптимизации;
• планирование и принятие решений при управлении производством, НИР и ОКР;
• задачи идентификации;
•эвристические алгоритмы управления;
• эргонометрические исследования;
•задачи о ранжировании и согласованности;
•общие задачи прогнозирования.
Приведем примеры широко используемых во всем мире в стратегическом планировании математических моделей, основанные на парных сравнениях:
• модель Л.Л. Терстоуна[5];
• модель Бредли-Терри-Льюса (BTL) [5];
• моделиТ. Саати Analytic Hierarchy Process/ Analytic Network Process [12];
• модельPromethee and Gaia Ж.-П. Бранси П.Б. Марешаль[3];
• алгебраические модели теории графов [11].
Данные модели обладают популярностью благодаря удобству и простоте применения при сравнении объектов, оценить которые можно только с помощью экспертов. В процессе их использования решаемая задача структурируется, определяется соотношение между элементами или критериями, что приводит к очевидному «оптимальному» решению. Множество соответствующих методов
поиска оптимальных рейтингов (ratings) и ранжировок (rankings)описано в книге Лангвиль и Мэйер[].
В современной экономике существуют чрезвычайно сложные системы, содержащие большое количество взаимодействующих элементов. Построение моделей для них возможно благодаря, так называемым, знаковым и взвешенным орграфам и тому подобным «конструкциям», происходит следующим образом: за вершины принимаются элементы парного сравнения[5], которые могут быть сравнимы и не сравнимы (в таком случае они соединяются или не соединяются дугой).
Данный способ математического моделирования сложных экономических задач применим в условиях недостаточности информации, и позволяет прийти к установлению весьма полезных закономерностей и выводов отношения качеств объектов. Таким образом, появляется возможность моделировать процессы и изобретать новые контуры путем введения новых переменных или перестановкой уже имеющихся, а методы и приемы моделирования процессов и их закономерностей необходимо внедрить в стратегическое планирование и планирование экономических процессов государства, региона, предприятия. Методы парных сравнений поддаются обобщениям в разных направлениях.
2. Актуальность применения парных и множественных сравнений при
принятии решений и в СП
Существует множество экономико-математических задач, где возникают комбинаторные и «теоретико-графовые» конструкции парных и множественных сравнений. Рассмотрим некоторые классы этих конструкций: к ним в первую очередь относятся так называемые турниры, смешанные графы и циклы, графы с пропусками и «неполные» графы, что означает, что имеется и-вершин, соединенные дугами или арками(ориентированными ребрами), а также не соединенные ничем вершины.
В виде вышеупомянутых конструкций могут быть представлены транспортные сети: одно направление (стрелка) - одностороннее движение, две стрелки - двусторонне движение, где нет соединения (стрелки или ребра) -дороги нет. Таким же образом могут быть представлены схемы электрических сетей и наглядно изображены направления потоков любых ресурсов: природных, человеческих, финансовых, экономических и т.д.Также при СП и принятии решений могут быть изображены приоритеты заинтересованных лиц, а также факторы, влияющие на сложившуюся ситуацию.
Исторически, отдельная часть этих задач формулировалась в терминах экспертных оценок, точнее, парных и множественных сравнений. Парные сравнения представляют собой сравнения на любой паре объектов между собой по заданному критерию(-ям), если это возможно. Построение графа при этом происходит следующим образом: направление стрелки идет от объекта с большей (лучшей) характеристикой к объекту с меньшей(худшей)характеристикой (см. рис 1.2-1.3) по заданному критерию. Если объекты кажутся эксперту равноценными, то они просто соединяются дугой без направления. Если же сравнить объекты по заданному критерию не представляется возможным, то соединение между ними отсутствует. Построение графов при множественном сравнении объектов подчиняется той же логике, что и парных, но на количестве объектов п>2.
V 1 2 3 i \
1 1 172
~2 0 * ~ 3 12 - *"
Рис. 1.1 Орграф и матрица парных сравнений. Рис. 1.2 Орграф и матрица парных сравнений.
В данных задачах могу возникать ошибки экспертов, которые в составленном графе представляют собой циклы. В настоящее время остается нерешенной задача
о подсчете количества полностью ориентированных и смешенных циклов с количеством вершин п>3, [12],[17].
По сравнению с другими странами, в России гораздо меньше трудов в области теории графов и множественных сравнений, несмотря на явную необходимость в освоении и экономическом развитии территорий, а также в развитии транспортных сетей.
В настоящее время в министерствах Российской Федерации практически не используется аппарат теории графов и экспертных оценок, основанных на парных и множественных сравнениях при планировании государственного бюджета и федеральных целевых программ. Также данные методы используются крайне редко при приятии решений о распределении на конкретной территории экономических и социальных объектов. В то время как в Соединенных Штатах Америки еще с 1976-го данный инструментарий широко используется для стратегического развития и планирования на государственном уровне. Яркий пример - курс развития американской системы образования [14], отдельные попытки были и ранее.
При планировании на государственном уровне в Российской Федерации заметна недооценка экспертных методов, которые должны применяться на ранних стадиях планирования до или одновременно с традиционными эконометрическими (регрессионные и временные ряды) и технико-экономическими методами (бизнес-планами). Недооценка экспертных методов связана с отсутствием федерального закона об экспертной деятельности, проект которого был подготовлен много лет назад. Экспертные оценки могут быть применены и на более поздних стадиях.
Разработанные и разрабатываемые документы, призванные регулировать деятельность при стратегическом планировании в рамках ГЦП свидетельствуют о том, что специалисты и органы государственной власти все более вовлечены в проблематику технологий стратегического планирования (СП) Государственных Целевых Программ (ГЦП).
В настоящее время органы государственной власти занимаются подбором и отработкой целевых показателей, пригодных для целей управления. В терминах моделей упомянутые органы государственной власти находятся на стадии апробации выбранного набора контролируемых факторов моделей и характеристик - показателей.
Проблема области состоит в том, что на данный момент Методические указания МинистерствРоссийской Федерации по разработке и реализации Государственных Программ Российской Федерации включают в себя лишь основы стратегического планирования без указания расчетных методов. В то время как существует множество научных работ, обосновывающих необходимость «стадии предпланирования», на которой будет проводиться первоначальная оценка будущей стоимости объектов, а также выбираться оптимальное направление развития экономического объекта.
К примеру, выяснить на ранней стадии, какой сценарий развития предпочтительней, исходя лишь из расчета технико-экономических не всегда возможно, т.к. существует множество неизмеримых или плохо измеримых факторов, которые могут быть оценены и сравниваться только посредством экспертных мнений, обработка которых посредством математических моделей, основанных на парных и множественных сравнениях, приводит к нахождению коллективного мнения экспертов или оценке объекта близкой к истинной ценности.
В России на государственном уровне недооценены возможности математических моделей в стратегическом и политическом планировании, тогда как в ведущих странах мира проводятся многочисленные исследования и разработки в данной области. Судя по масштабам проектной деятельности, так называемые, многоуровневые модели употребляются в тысячах организаций, что можно легко подтвердить косвенной оценкой по данным поисковика«Google»: при наборе в строке поиска "pairwisecomparisons" десятую часть от 285 000 найденных ссылок составляют 28 500 оригинальных информационных порталов.
Не так давно появились примеры ведомственного интереса, так Минэкономразвития России и Минфин России в 2014 году скорее всего попытаются усовершенствовать процесс разработки стратегических программ и бюджета, прибегая к многоуровневому математическому моделированию, но на данный момент, несмотря на утверждение ФЗ №172 от 28.06.2014 «О стратегическом планировании в Российской Федерации» [1], этот вопрос остается нерешенным
3. Математические постановки задач множественных и парных
сравнений.
При изучении систем, где имеется ориентация (т.е. направление потоков), неизбежно возникают т.н. ориентированные графы. Широко известным примером является парные сравнения (pairedcompares) - основа экспертных оценок в теории группового выбора. Рассмотрим для определенности турнирыпредставленные на Рис. 2. [16], один из них второго порядка, два - третьего и четыре - четвертого. Такие турниры для любого порядка показывают варианты парных сравнений, которые может делать эксперт или лицо принимающее решение (ЛПР) при сравнении соответственно 2-х, 3-х, 4-х объектов. Таким образом, при сравнении ^-объектов, N>4, количество транзитивных двоек, троек, четверок служит оценочным показателем качества суждений эксперта или ЛПР. Чем больше транзитивных подграфов или чем меньше циклических подграфов, тем выше квалификация эксперта или ЛПР (тем последовательнее суждения ЛПР).
Рис.2. Виды турниров [2].
Число возможных неизоморфных турниров (тех, которых нельзя свести один к другому перенумерацией вершин [16]) при росте п растет очень быстро. Число всех турниров растет еще быстрее и равняется 2х, где х- число сочетаний из п по 2.
Представим себе, что у нас есть число сравниваемых объектов п>6. Пусть а(3),Ь(4),с(5) - число транзитивных троек, четверок и пятерок эксперта 1, и для эксперта 2 - Д3)^(4)М(5). Допустим, что а(3)>Д3), Ь(4)<^(4), с(5)>^5). Как определить, какой из экспертов «лучше» (более последователен)?
Общепринятого способа решения данной задачи на данный момент не существует. К тому же, «экономных» алгоритмов (менее трудоемких, чем простой перебор) для графа М(3,4,5...к): совместно при разном количестве трое, четверок и пятерок, автору также не известны. В то время, как перебор весьма трудоемок, т.к. в турнире с п-вершинами число подграфов с т-вершинами равно числу сочетаний из т по п.Также неизвестна их природа: монотонно или немонотонно количество троек, четверок, пятерок и т.п. Хуже того, до сих пор не существует общего алгоритма сравнения оценок экспертов, в частности не установлены веса для циклов с разными количествами вершин.
Приведем пример практического применения, иллюстрирующий важность поставленной задачи: в европейской части Российская Федерации транспортные сети развиты достаточно хорошо, в то время как в Сибири очень мало аэродромов. Для сравнения, в Канаде более тысячи малых аэродромов, что делает доступной практически любую точку страны и является катализатором роста экономики.
Для полетов особенно в восточной части страны необходимо множество
небольших аэродромов, которые должны быть размещены в разных точках. Пусть
а/- стоимость размещения аэродрома /-мощности, где от 0 </ <р, в/-ом пункте, где
1 <}<1„ а й/- стоимость эксплуатации /-й мощности в /-ом пункте. Тогда общие
9
затраты от размещения/- ой мощности в 7-ом пунктесij=aij+dij. Помимо стоимости размещения мы имеем риски г-при размещениш-ой мощности в 7-ом пункте,о- -дополнительные возможности при размещении /- ой мощности в 7-ом пункте, и, соответственно,^- - ожидаемая прибыль от размещения/- ой мощности в 7-ом пункте. Индекс эффективности будет равен:
= (1)
Где Ь и с - в условных валютных единицах, аг ио-«математическое ожидание риска» или «дополнительной возможности», изменяемое от 1 до R и от 1 доО. Пусть для простоты p=t, тогда рассмотрим задачу
тах([у) (2)
где максимум берется по всем р! перестановкам, то есть размещениям р-различных мощностей в различных пунктах.
Решение такой задачи означает получение наилучшего из возможных размещений р-аэродромов в заранее выбранных пунктах. Различие величины ^между случайно выбранным размещением и оптимальным (полученным благодаря решению задачи) может быть весьма внушительным.Для решения этой задачи необходимо привлекать аппарат дискретной оптимизации, так как прямой перебор всех р! вариантов очень трудоемок.
Данный пример дает реальное представление о нерешенных до сих пор в практических задачах многокритериального выбора, которые существуют на сегодняшний день. Подобные задачи имеют ярковыраженную дискретную природу. Актуальность и важность их решения для экономики и математики очевидна. Адекватная постановка вопроса и общее решение сделают простым и очевидным выбор, от которого зависят капитальные затраты, настолько, что будет невозможно воспользоваться административным положением и «прикрыть» личные противоречащие общественности интересы, выбрав альтернативный вариант.
4. Подходы к решению задач.
В виду широкой распространенности задач основанных на экспертных оценках и задач многокритериального выбора в стратегическом планировании и не только необходима разработка общего решения и адекватной постановки вопроса.
Для правильной постановки задачи, необходимо дать некоторые определения из теории графов [9], [16]:
Ориентированный граф (орграф) — граф, рёбрам которого присвоено направление.
Смешанный граф — граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые — неориентированными.
Транзитивный граф - граф, у которого любая пара вершин подобна, т.е. вершины из этой пары переводятся друг в друга автоморфизмом.
Узел графа — какая-либо вершина графа, где могут сходиться/выходить рёбра и/или дуги.
Степеньюузла - количество связей (ребер/дуг), присоединенных к узлу.
Цикл - замкнутая цепь в графе между вершинами и ребрами.
Турнир - ориентированный граф, в котором каждая пара вершин соединена одним ребром.
Полустепень исхода/захода узла в орграфе - число дуг исходящих/входящих из вершины.
Рис. 3. Ориентированные графы с турнирными тройками и без. Рассмотрим рисунок 3 [16], на котором представлены ориентированные графы, содержащие р-турниры с р- числом вершин. Примем за - узел между вершинами графа, а si - полустепень исхода узла.
Таким образом, если число р- нечетное, то
* = Ф-т (3)
, если числор - четное:
* = р/2. [18] (4) На рисунке 3 [17], приведены виды турнирных троек. В графе А нет циклов
поскольку максимальное число сильных 3-циклов в турнире с заданной последовательностью равно [18]:
(5)
К сожалению, формула (5) не определяет максимальное количество турнирных четверок [17].
р: ^ ^^ С:
Рисунок 4. Турнирные тройки и четверки.
Рассмотрим графы F и G (рис 4.) [17]: для обоих графов последовательность, вычисляемая по формуле (5) одинакова: 3, 3, 2, 1. Это означает, что количество нетранзитивных троек одинаково в обоих графах. Однако неодинаковое количество четверок: две в графеР: УгУ2У4У5, УгУ3У4У5 и три в графе G: УгУ2У4У5, У2У3У4У5, У]У3У4У5 свидетельствует о том, что данная формула не подходит для циклических четверок. На данный момент существуют формулы (6) для максимального числа турнирных 4-ок, 5-ок и 6-ок [11]:
О — Р ( О, еслирнечетно,
/(р,п) = -( ..г,р?„-2лП (6)
™ 2 \n-lj \п-1
, еслирчетно.
Существует алгоритм для определения реального числа циклических четверок
для графов. Все вышеперечисленные решения подходят только для
ориентированных графов. В то время как, для смешанных графов на данный
момент, существуют лишь общие решения и алгоритмы подсчета турниров и
12
циклов с вершинами р не больше трех. В настоящее время ведется разработка общего решения для нахождения турниров и циклов с количеством вершин р>3 для смешенных графов.
Предлагается сравнивать по согласованности (consistency) матрицы и графы парных сравнений с учетом транзитивностей в циклах 3,..., n-го порядка. Предположим, имеются 2 ориентированных графа F и G с одинаковым количеством вершин р, что представляет собой набор парных сравнений р-элементов по одному и тому же критерию экспертами G и F. Допустим, в каждом изданных графов присутствует разное количество турнирных троек, четверок и пятерок. Сравнение оценок эксперта F и эксперта G предлагается проводить следующим образом: по критерию «грубости» совершенной ошибки (коэффициент ai) и по процентному содержанию количества совершенных ошибок из максимально возможного количества ошибок в графе (коэффициент в)-
Таким образом, турнирная тройка принимается за самую грубую ошибку, потому что, образно говоря, ее наличие означает, что «эксперт заблудился в трех соснах», чем больше сосен, тем сложнее в них заблудиться. Соответственно, чем «грубее» ошибка, тем менее квалифицирован эксперт. Сравнение экспертов сводится к нахождению значения функции (7), тот эксперт, у которого значение выше, тот и дал худшую оценку:
f(Ciхахвг) =Сзхаз хвз + С4^а4 >04 +■■■ + CnXan>вп (7)
, где ют 3 доп,
m— максимально возможное количество смешенных циклов с количеством
вершин i в графе с количеством вершин р, 1 1
ai =- х- - коэффициент «грубости» i-го рода ошибки при парном сравнении pi р
объектов,
С— количество i-циклов в графе,
0i = mi - процентное соотношение возникновения циклов i-го уровня в графе.
На данном этапе сравнение оценок экспертов зависит от значения трех факторов, однако, в процессе исследования возможно выявление и других.
5. Заключение.
Подводя итоги, необходимо отметить, что стратегическое планирование на государственном уровне в нашей стране должно носить более выраженный математический характер.
Необходимо более детальное математическое исследование природы существования различных w-подтурниров в одном и том же графе, а также исследования по сравнению графов, содержащих транзитивные циклы.
Решение представленной задачи, практическое социально-экономическое применение которой описано выше, будет основано на теории графов, и применимо в абсолютно любой сфере: от глобальной экономики до микроуровня предприятия.
Список литературы
1. Федеральный Закон Российской Федерации от 28.06.2014 №172-ФЗ «О стратегическом планировании в Российской Федерации».
2. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели М.; МЦНМО, 2000, с.32
3. Аржанова Т.Д., Дубровский С.А., Шмерлинг Д.С., Френкель А.А.. Экспертные оценки. Методы и применение.- М.: Изд. «Наука», С. 290 - 380.
4. Васин А.А. Исследование операций: учеб.пособие для студ. вузов / А.А. Васин, П.С. Краснощеков, В.В. Морозов - М.: Издательский центр «Академия», 2008, с. 464
5. Дэвид Г. Метод парных сравнений; пер. с англ. Н.П. Космарской и Д.С.Шмерлинга. - М.: Статистика, 1978г., с. 144
6. Джефферс Дж. Введение в системный анализ: применение в экологии; пер. с англ. к.ф.-м.н. Д.О. Логофета под редакцией д.ф.-м.н. Ю.М.Свирежева. - М.:Мир, 1981.
7. Дрогобыцкий И.Н. Системный анализ в экономике: учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Математические методы в экономике», «Прикладнаяинфоматика» / - 2-е изд., перераб. И доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2011г., с. 423
8. Квейд Э. Анализ сложных систем. М.: «Сов.радио», 1969г., с. 519
9. Оре О. Теория графов. Пер с англ. И.Н. Врублевской под ред. Н.Н. Воробьева.-:. «Наука», 1968 г., с. 352
10. Подиновский В.В. Введение в теорию важности критериев. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007г., с. 64
11. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам / Пер. с англ. А.М. Раппопорта, С.И. Травкина. Под ред. А.И. Теймана. - М.: Наука, 1985г., с. 496
12. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем: пер с англ. - М.: «Радио и связь», 1991, с. 224
13. Саати Томас Л., Принятие решений при зависимостях и обратных связях: аналитические сети. Пер. с англ./ Научн.ред. А.В, Андрейчиков, О.Н. Андрейчиков. Изд. 2-е. - М.: К.Д. «Либроком», 2009г., с. 360
14. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий: Пер. с англ. -М.: «Радио и связь», 1993, с.220
15. Соколов А.В., Токарев В.В. Методы оптимальных решений. В 2 т. Т.2. Многокритериальность. Динамика. Неопределенность. - 2-е изд., испр. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011г., с. 420
16. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. Пер. с англ. Г.П. Гаврилова. - :. Изд «Мир», 1977 г., С. 324.
17. Ватеке L.W., Harary F., The maximum number of strongly connected subtoumaments, Canad. Math. Bull., 8, 4 (1965), 491-498.
18. Kendall M.G., Smith B.B., On the method of paired comparisons, Biometrika, 31 (1940), 324-345.
19. LangvilleAmy .N., MeyerC.D., Who's # 1?: The science of rating and ranking, Princeton & Oxford: Princeton Univ. Press, 2012. - XVI, 247 pp.
20. Schmerling D.S. The Review of some papers on paired comparisons published in Russia // Статистическиеметодывклиническихисследованиях / Под. ред. А.А. Жиглявского и В.В. Некруткина. - СПб: изд-во С.-Петербург ун-та. 1998. С. 291-302.
21. www.wikipedia.org
