CC BY
25УДК 378. 147
ИНСТРУМЕНТАЛЬНОЕ СРЕДСТВО WOLFRAMALPHA В ОБУЧЕНИИ ЭЛЕМЕНТАМ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКОГО БАКАЛАВРИАТА
Д.А. Власов
В центре внимания статьи - инструментальное средство WolframAlpha, использование которого в процессе обучения теории вероятностей позволяет реализовать прикладную направленность обучения, приблизить учебно-познавательную деятельность студентов экономического бакалавриата к будущей профессиональной деятельности в условиях информатизации экономических исследований. Представлены содержательно-методические особенности содержания математической подготовки студентов экономического бакалавриата на уровне задач определения вероятности попадания случайной величины в заданный интервал. Показано, что методически целесообразное использование инструментального средства WolframAlpha в практике преподавания прикладных математических дисциплин позволяет более рационально организовать учебно-познавательную деятельность студентов, акцентировать внимание на развитие инновационных компонентов профессиональной компетентности, связанных с принятием решений в условиях риска и неопределенности. Использование WolframAlpha при обучении решению задач на определение вероятности попадания случайной величины в интеграл позволяет формировать представления о возможностях новых инструментальных средств при исследовании социально-экономических ситуаций, характеризующихся законами распределения с различными параметрами.
Ключевые слова: бакалавр экономики, методические особенности, теория вероятностей, визуализация, математическое моделирование, рисковая ситуация, математическая подготовка.
WOLFRAMALPHA TOOL IN TEACHING ELEMENTS OF PROBABILITY THEORY TO STUDENTS, SEEKING BACHELOR DEGREE IN ECONOMICS
D.A. Vlasov
WolframAlpha tool is in the focus of attention in this article. The usage of this tool in the course of teaching probability theory enable teachers to realize applied orientation of training, to bring students' educational and informative activities closer to future professional activity in the conditions of informatization of economic researches. The paper also represents substantial and methodical features of content of mathematical training of student, seeking bachelor degree in economics. These features are presented at the level of problems of identification of probability of a random variable entering a given interval. It is shown that the use of WolframAlpha tool in practice of teaching applied mathematical disciplines allows to organize educational cognitive activity of students more rationally, to focus attention on development of the innovative components of professional competence, connected with decision-making in the conditions of risk and uncertainty. The use of WolframAlpha while teaching how to solve problems of identification of probability of a random variable entering a given interval, allows to form ideas about potential of new tools, used to study social and economic situations, which are characterized by laws of distribution with various parameters.
Keywords: bachelor degree in economics, methodical features, probability theory, visualization, mathematical modeling, risk situation, mathematical training.
Задача нахождения вероятности попадания случайной величины в заданный интервал считается одной из центральных задач теории вероятно-
стей. Она возникает при изучении не только дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», но и при изучении будущими бакалавра-
ми экономики других дисциплин прикладной математической подготовки -«Теория игр», «Теория риска», «Теория массового обслуживания», «Количественные методы и математическое моделирование» и др. Данная задачи играет особую роль в развитии модельных представлений студентов экономического бакалавриата о социально-экономических ситуациях, характеризующихся риском и неопределенностью.
Рассмотрим содержательно-
методические особенности задач данно-
V»
го вида. С методической точки зрения необходимо отметить связь задачи нахождения вероятности попадания случайной величины в заданный интервал с целым множеством математических понятий различного уровня сложности. Для более глубокого понимая методических особенностей задач данного вида мы предлагаем разбить базовые математические понятия на четыре уровня, содержание которых представлены далее.
Уровень I: «Интервал», «Неравенство», «Двойное неравенство», «Неравенство с модулем», «Случайная величина», «Дискретная случайная величина», «Непрерывная случайная величина», «Вероятность», «Несобственный интеграл», «Определенный интеграл».
Уровень II: «Закон распределения», «Эмпирическая функция распределения», «Функция распределения», «Плотность функции распределения».
Уровень III: «Равномерное распределение», «Гиперболическое распределение», «t-распределение Стью-дента», «Распределение Фишера», «Экспоненциальное распределение», «Логнормальное распределение»,
«Нормальное распределение», «Распределение хи-квадрат».
Уровень IV: «Бета распределение», «Распределение Вейбулла», «Полукруговое распределение (Вигне-ра)»; «Гамма распределение»; «распределение Гумбеля»; «Распределение Коши»; «Логистическое распределение»; «Распределение Мойала»; «Распределение Накагами»; «распределение Парето»; «Распределение Райса», «распределение Рэлея».
Важно раскрыть, почему задача нахождения вероятности попадания случайной величины в заданный интервал имеет существенное значение для развития профессиональной компетентности будущих бакалавров экономики. Важным компонентом профессиональной компетентности выпускников экономических университетов являются модельные продления о социально-экономических проблемах и ситуациях, методах их количественного анализа и моделирования. Необходимо принять во внимание, что большинство социально-
экономических событий имеют вероятностную природу. В качестве примеров укажем следующие: событие А -«Доходность проекта не менее д.е.»; событие В - «Риск проекта не более д.е.»; событие С - «Долг по кредиту не менее и не более д.е.»; событие й - «Страхования сумма не менее и не более д.е.»; событие Е -«Количество ежедневных посетителей /^егпе^магазина не менее».
Так как перечисленные события имеют вероятностную природу, для их анализа следует привлекать аппарат теории вероятностей, центральным понятием которой является вероятность - мера случайности. События А -
Е демонстрируют лишь немногие приложения задачи нахождения вероятности попадания случайной величины в заданный интервал для анализа социально-экономических ситуаций. В современных условиях анализ социально-экономических ситуаций требует привлечения элементов риск-анализа [19] и актуарной математики [16]. Таким образом, данный тип задачи в различных содержательных контекстах встречается в различных областях хозяйственно-экономической деятельности и является одним из приемов повышения качества принимаемых решений [10].
Несмотря на различные содержательные контексты данная задача может быть сведена к нескольким типовым задачам, на которых остановимся далее.
Типовая задача 1. Определение вероятности.
Типовая задача 2. Определение вероятности.
Типовая задача 3. Определение вероятности.
Типовая задача 4. Определение вероятности.
Типовая задача 5. Определение вероятности.
Типовая задача 6. Определение вероятности.
Данные типовые задачи также имеют важные модификации. Продемонстрируем их на примере типовой задачи 5, хотя аналогичное расширение затрагивает все представленные шесть задач.
Задача 5.1. Средняя величина и среднее квадратичное отклонение известны.
Задача 5.2. Средняя величина известна, среднее квадратичное отклонение неизвестно.
Задача 5.3. Средняя величина неизвестна, среднее квадратичное отклонение известно.
Хотя описанные выше задачи не являются алгоритмически сложными, они требуют особого внимания со стороны преподавателей прикладных математических дисциплин экономических университетов по причине разнообразия социально-экономических ситуаций, усложняющих процесс идентификации задачи и содержательной интерпретации получаемых результатов. Также следует отметить, что задача определения вероятности попадания случайной величины в заданный интервал в практике преподавания математических дисциплин в экономическом бакалавриата часто встречается не изолированно, а в комплексе с другими задачами или является частью более сложных задач, например, задач теории приятия решений, требующих от студентов навыков комплексного применения вероятностного и математического моделирования.
Отметим, что задача определения вероятности попадания случайной величины в заданный интервал имеет определенную техническую (вычислительную) сложность. Так, например, студентам для решения подобных задач требуются навыки работы со статистическими таблицами, в которых представлены значения специальных функций. Также практика изучения задач данного типа свидетельствует о сложностях, возникающих при анализе содержательного смысла получаемых результатов в терминах анализируемой социально-экономической ситуации. На данные
сложности указывает публикация [17], содержащая рекомендации по проведению количественного анализа социально-экономических ситуаций. Авторы рекомендуют использовать инструментальные средства для решения задач данного вида, а также определяют ориентиры для сравнительного анализа эффективности вероятностно-
статистических методов.
Проанализируем далее математическую сущность задач данного вида. Под вероятностью попадания случайной величины в интервал принято понимать меру возможности выполнения неравенства, в котором есть нижняя и верхняя границы. Как уже отмечалось, содержательный смысл ситуаций, приводящих к задачам данного вида, может быть разнообразен. В качестве основных тематических направлений, полезных для составления прикладных задач социально-экономической тематики и расширения вероятностных представлений студентов экономического бакалавриата приведем следующие. Первое направление связано с оценкой доходности финансовых активов. В публикации [15] отмечается необходимость совершенствования вероятностно-статистической оценки доходности в контексте принятия решений и исследования бизнес-устойчивости компаний. Второе направление связано с анализом автоматизированного производства на основе закона распределения массы изделия. В рамках третьего направления на основе закона распределения качества производимой продукции ставится задача анализа качества. Четвертое направление подразумевает управление количеством поступающих заявок на основе закона распределения количества поступаю-
щих заявок). Пятое направление связано с анализом спроса на производимую продукцию на основе закона распределения спроса. Шестое направление позволяет выполнять простейший актуарный анализ на основе закона распределения страховых случаев. Седьмое направление связано с оценкой рисков проектов [18] на основе закона распределения риска (ущерба). На практических аспектах реализации данного направления мы остановимся далее.
Предположим, что существует величина ущерба (риска), тогда есть и плотность функции распределения риска (функция распределения риска). В такой ситуации, возникает задача определения вероятностей того, что ожидаемый ущерб случайно выбранного проекта будет не меньше её, но и не более определение величины. Требуется определить, насколько это возможно (высокая степень вероятности - «почти гарантировано», средняя степень вероятности -«возможно», низкая степень вероятности - «маловероятно»). Также инвесторов часто интересует вопрос - с какой вероятностью ожидаемая величина риска проекта попадет в некоторую зону, соответствующую уровню допустимого риска (данная зона определяется инвестором на основе ряда факторов, в том числе отношения к риску).
В качестве особых возможных случаев отметим вероятность того, что ожидаемый ущерб (риск) будет больше или меньше. С практической точки зрения многообразие рисковых ситуаций требует особого внимания к идентификации функции распределения риска. Отметим, что несмотря на то, что каждая рисковая ситуация является уникальной, выработан ряд классических и неоклассических функций рас-
пределения, позволяющих адекватно их моделировать. Более подробно методика идентификации и вероятностно-статистического анализа риска представлена в работе [9], где авторы указывают на востребованность использования компьютерного моделирования для построения функций распределения.
В качестве типовой ошибки при решении задач данного типа укажем неверный учет распределения вероятностей случайной величины (распределение имеет другой вид, распределение идентифицировано с ошибкой и др.), применяемой в вычислительном процессе. В большинстве университетских пособий и учебных программ по дисциплинам высшей экономической школы встречаются задачи, в которых указан вид распределения случайной величины, в частности, задано, что случайная величина имеет нормальное распределение (в предположении о непрерывном виде зависимости вероятности от величины).
С методической точки зрения следует понимать, что это всего лишь частный случай и с целью усиления прикладной направленности обучения математике не следует ограничиваться только им. Однако сокращение аудиторных часов на математические дисциплины, а также наблюдающееся изменение начального уровня математической подготовки студентов не предполагают всестороннего рассмотрения данных задач. Как результат, большинство выпускников не имеют навыков определения вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, в случае если она имеет распределение вероятностей, отличное от нормального. Однако на уровне эко-
номической магистратуры, в рамках специальных учебных дисциплин, связанных с математическим и имитационным моделированием социально-экономических систем, естественно, возникает потребность повторного обращения к задаче данного типа. Мы считаем, что нельзя ограничиться исключительно нормальным распределением вероятностей. Отметим, что инструментальное средство
WolframAlpha поддерживает работу с различными законами распределения, что существенно расширяет работу преподавателя по подбору задач для организации учебно-познавательной деятельности студентов.
Решение описанных выше методических проблем в контексте высшей экономической школы нам представляется в области информатизации профессиональной подготовки будущих бакалавров экономики, в частности, применения нового инструментального средства WolframAlpha. Ранее в работах были рассмотрены различные приложения WolframAlpha в контексте анализа теоретико-игровых моделей, количественных методов и эко-нометрического моделирования.
Остановимся на организационно-методических аспектах информатизации математических дисциплин, преподаваемых в высшей экономической школе. Следует отметить исследования [12; 14], содержащие рекомендации по использованию новых информационных технологий и средств информатизации в процессе изучения математических дисциплин. Рассматривая процесс информатизации содержания прикладной математической подготовки будущего бакалавра экономики, нельзя не отметить исследования
[4; 11], раскрывающие основные тенденции в сфере эволюционного развития методических систем обучения. Авторы указывают на необходимость использования потенциала педагогического проектирования и педагогических технологий для внедрения информационных технологий во все этапы учебно-познавательной деятельности студентов.
Большой интерес для переосмысления возможностей информатизации учебного процесса по математическим дисциплинам в высшей экономической школе, на наш взгляд, представляют исследования [1; 2]. В них поднимаются различные вопросы, в том числе в области повышения квалификации преподавателей высшей школы в контексте информационно-коммуникационных технологий. Возможности информационных технологий для индивидуализации обучения математике в высшей школе раскрыты в публикации [13]. Авторы отмечают, что использование информационных технологий в рамках изучения темы «Дифференциальные уравнения» позволяет существенно расширить число прикладных задач, приводящих к моделям в виде дифференциальных моделей (дифференциальных уравнений).
Экспериментальное исследование творческой активности студентов в процессе обучения математике с использованием информационных технологий, результаты которого представлены в работе [3], свидетельствуют о принципиальной эффективности информационных технологий для решения актуальных методических задач, связанных с повышением качества математической подготовки. Отметим, что согласно публикации [6], инфор-
мационные технологии следует рассматривать как основу интегративно-го подхода в обучении математическим и естественнонаучным дисциплинам, позволяющего существенно расширить модельные представления студентов.
Общедидактические аспекты информатизации на уровне высшей экономической школы представлены в исследованиях [5; 8]. Авторами выделены наиболее значимые технологические приемы, позволяющие управлять инновационными процессами. Отметим, что с нашей точки зрения ряд технологических приемов можно распространить на управление информатизацией прикладных математических дисциплин. В публикации [1] отмечается, что информационно-коммуникационные технологии и эффективная образовательная среда являются основой проектирования конкурентоспособного университета будущего.
Остановимся на дидактических возможностях инструментального средства WolframAlpha для исследования вероятностно-статистической оценки рисков проектов на основе закона распределения риска (ущерба). Итак, для нахождения вероятности попадания величины риска (случайной величины) в заданный интервал необходимо выполнить ввод специального запроса на определение искомой вероятности. Запрос содержит параметры для определения вероятности, указание на вид используемого распределения риска, параметры этого распределения. Следует обратить внимание студентов, что важно указать вид распределения случайной величины, а также все необходимые параметры распределения. Важно понимать, что один и тот же вид
распределения в зависимости от особенностей анализируемой социально-экономической ситуации может характеризоваться различными значениями параметров. В процессе анализа социально-экономических ситуаций ряд исследователей рекомендуют использовать нормальное распределение, задаваемое двумя параметрами - средней величиной и отклонением. В контексте
анализа рисков проектов следует конкретизировать обозначения и содержательный смыл. Пусть существует множество проектов. На множестве проектов риски распределены нормально с параметрами у. е. (среднее значение ущерба), у. е. (средне-квадратичное отклонение ущерба).
*\№>ИтатА1рЬа
= Ехатр 1а> Зифпм
#1Л/№гатА1рИа
| Р(2500С<300)Х~1Ю|[па1 теап=300 £11=75
— Вготтее Ежатр'ев X Зшрпве К
■N300 < Х<4001 г I X ~ пиша! (ЬжпЬи
И250 3001 . I
#\Л/оИтатА1р1па
Нт]-«
#\Л/о11татА1рИа
I Р^МЮМЭЗ) Х-поппв! таап-300 8Й=75
I | Р(301Ю«40С)Х"Г
= ВггмтеЬ(»тр1ю ЭС 51
14400 «.X <.4501 ,-погта] сВвспЬи«
ПЗ№<Х<400>'..|Пг,, X » |шгта! (йэшЬийоп
Рисунок 1. Примеры реализации задачи в инструментальном средстве WolframAlpha
Таблица 1. Запросы, реализуемые в инструментальном средстве WolframAlpha
Номер запроса Вид запроса Параметры распределения риска Результат (%)
1 P(300<X<400) X~normal mean=300 sd=75 40,88
2 P(250<X<300) X~normal mean=300 sd=75 24,75
3 P(400<X<450) X~normal mean=300 sd=75 6,85
4 P(300<X<400) X~normal mean=300 sd=25 49,99
5 P(250<X<300) X~normal mean=300 sd=25 47,83
6 P(400<X<450) X~normal mean=300 sd=25 1
7 P(300<X<400) X~normal mean=500 sd=75 8,74
8 P(250<X<300) X~normal mean=500 sd=75 0,34
9 P(400<X<450) X~normal mean=500 sd=75 16,13
»Wolfram Alpha
[ P(ÏSHlt»SIM) X-n
PiÎM , X -. ХЙ1
z\
WolframAlpha
iH^lH^Ï' H*-F) НЧ=)
»WolframAlpha
n [ ^IKhK^MH^
TD
С H«3Lb7QI
»WolframAlpha
(-TM>'T«lr-Hi«î.-5iWnJ-/ï
II 2 VI ■ К ■ »Ol
□ _
WolframAlpha
С-поптЫ m»«r-'.H» »rt-
I JlVl \ 1 J </I i
; I "1 т I
Рисунок 2. Примеры реализации задачи в инструментальном средстве WolframAlpha Humanities researches of the Central Russia № 2 (11), 2019 41
При использовании инструментального средства WolframAlpha следует обратить внимание студентов, что оно позволяет не только получить числовой результат (определяемую вероятность), но и привести его визуализацию (график плотности распределения случайной величины с выделенным фрагментом - соответствую-
V и и V \ п
щей криволинейной трапецией). В основе результатов, представляемых инструментальным средством
WolframAlpha, лежит соотношение, позволяющее вычислять и визуализировать вероятность попадания случайной величины в заданный интервал при наличии информации о виде распределения. Следует обратить внимание студентов на то, что в условиях предположения о непрерывной зависимости вероятности от значений случайных величин аналогичный количественный результат может быть получен непосредственным интегри-
V»
рованием. С практической точки зрения такой традиционный подход характеризуется значительными трудностями, требует высокой математической культуры, поэтому может быть использован преподавателем однократно в иллюстративных целях.
Итак, продемонстрированы принципиальные возможности инструментального средства WolframAlpha для информатизации учебного процесса по прикладным математическим дисциплинам, предполагающим вероятностно-статистический анализ социально-экономических ситуаций. Представлены рекомендации по расширению числа прикладных задач социально-экономической тематики,
приводящих к задаче определения вероятности попадания случайной величины в интервал. Показана связь задач данного типа с анализом рисковых ситуаций, принятием решений в условиях неопределенности и риска. Фрагменты учебно-познавательной деятельности и особенности её организации в условиях информатизации учебного процесса свидетельствуют о богатых дидактических и исследовательских возможностях инструментального средства WolframAlpha. В частности, включение WolframAlpha как дополнительного инструмента позволяет обогатить учебный процесс по прикладным математическим дисциплинам посредством многоаспектного рассмотрения моделируемых социально-экономических ситуаций.
Представленные фрагменты учебно-познавательной деятельности студентов экономического бакалавриата по решению задач определения вероятности попадания случайной величины в интервал на базе инструментального средства
WolframAlpha могут быть полезны для совершенствования преподавания прикладных математических дисциплин в экономическом университете. В качестве направлений для дальнейших исследований отметим расширение банка прикладных задач социально-экономической тематики, требующих применения вероятностно-статистических методов и новых инструментальных средств, поддерживающих работу с различными функциями распределения случайных величин.
Список литературы
1. Асланов Р.М. Активные методы обучения в соответствии со стандартами CDIO при проектировании курса «Дифференциальные уравнения» средствами информационных технологий / Р. М. Асланов, Е.В. Беляева, С.А. Муханов // Преподаватель XXI век. - 2015. - № 3-1. - С. 76-82.
2. Асланов Р.М. Электронное обучение вчера, сегодня, завтра. проблемы и перспективы / Р. М. Асланов, О. Г. Игнатова // Continuum. Математика. Информатика. Образование. - 2018. -№ 1 (9). - С. 28-35.
3. Афанасьев В.В. Экспериментальное исследование творческой активности студентов в процессе обучения математике / В. В. Афанасьев, Е. И. Смирнов //Ярославский педагогический вестник. - 1996. - № 3. - С. 110-115.
4. Бахтина О.И. Теоретическое обоснование функционирования методической системы электронного обучения / О. И. Бахтина, В. М. Монахов // Вестник Московского университета. Серия 20: Педагогическое образование. - 2018. - № 4. - С. 43-57.
5. Гришин В.И. Организация управления в «Умном» университете / В. И. Гришин, И. А. Калинина, П.А. Карасев // Экономика и управление: проблемы, решения. - 2018. - Т. 5. - № 5. -С. 222-231.
6. Калинина Е.С. Интегративный подход в обучении математическим и естественнонаучным дисциплинам в вузах МЧС России / Е.С. Калинина // Современное образование: содержание, технологии, качество. - 2018. - Т. 1. - С. 86-89.
7. Калинина И.А. РЭУ им. Г. В. Плеханова как конкурентоспособный университет будущего / И.А. Калинина, П.А. Карасев // Вестник Российского экономического университета им. Г. В. Плеханова. - 2017. - № 6 (96). - С. 5-14.
8. Кулапов М.Н. Технологические аспекты теории управления инновационными процессами: системный анализ и подходы к моделированию / М.Н. Кулапов, В.П. Варфоломеев, П.А. Карасев // Друкеровский вестник. - 2018. - № 3 (23). - С. 82-100.
9. Лихачев Г.Г. Компьютерное моделирование и математическое обеспечение экономико-социальных задач / Г.Г. Лихачев, И.В. Сухорукова // Экономический анализ: теория и практика.
- 2003. - № 5 (8). - С. 60-62.
10. Мангушева Л.С. Роль информационно-коммуникационных технологий в процессах группового принятия управленческих решений / Л.С. Мангушева, И.Г. Хайрулин // Транспортное дело России. - 2017. - № 1. - С. 42-44.
11. Монахов В.М. Эволюция методической системы электронного обучения / В.М. Монахов, С.А. Тихомиров // Ярославский педагогический вестник. - 2018. - № 6. - С. 76-88.
12. Муханов С.А. Использование технологии Wolfram CDF при изучении нелинейных колебаний / С.А. Муханов, В.В. Бритвина, А.А. Муханова // Системные технологии. - 2018. - № 1 (26).
- С. 23-26.
13. Муханов С.А. Использование информационных технологий для индивидуализации обучения математике на примере темы «Дифференциальные уравнения» / С.А. Муханов, А.А. Муха-нова, А.И. Нижников // Вестник Московского городского педагогического университета. Серия: Информатика и информатизация образования. - 2018. - № 1 (43). - С. 72-77.
14. Смирнов Е.И. Проектирование информационно-аналитических технологий обучения студентов-экономистов / Е.И. Смирнов, Е.Н. Трофимец // Ярославский педагогический вестник. -2010. - Т. 2. - № 2. - С. 137.
15. Сухорукова И.В. Оптимизация бизнес-устойчивости страховой компании / И.В. Сухорукова, Н.А. Чистякова // Экономический анализ: теория и практика. - 2019. - Т. 18. - № 1 (484). -С. 96-107.
16. Сухорукова И.В. Страхование рисков при осуществлении совместной коммерческой деятельности компаньонов / И.В. Сухорукова, Н.А. Чистякова // Проблемы научной мысли. - 2018.
- Т. 4. - № 1. - С. 018-020.
17. Тихомиров Н.П. Моделирование социальных процессов / Н.П. Тихомиров, В.Я. Райцин. -М., Изд-во Российской экономической академии им Г. В. Плеханова, 1993. - 304 с.
18. Тихомиров Н.П. Методы теории риска в управлении природоохранной деятельности /
H.П. Тихомиров, Т.М. Тихомирова. - Экономика природопользования. - 1997. - № 5. - С. 118-129.
19. Тихомиров Н.П. Риск-анализ в экономике / Н.П. Тихомиров, Т.М. Тихомирова. - М.: Экономика, 2010. - 318 с.
References
I. Aslanov R.M. Aktivnye metody obucheniya v sootvetstvii so standartami CDIO pri proektiro-vanii kursa «Differencial'nye uravneniya» sredstvami informacionnyh tekhnologij / R.M. Aslanov, E.V. Belyaeva, S.A. Muhanov // Prepodavatel' XXI vek. - 2015. - № 3-1. - S. 76-82.
2. Aslanov R.M. Elektronnoe obuchenie vchera, segodnya, zavtra. problemy i perspektivy / R. M. Aslanov, O. G. Ignatova // Continuum. Matematika. Informatika. Obrazovanie. - 2018. -№ 1 (9). - S. 28-35.
3. Afanas'ev V.V. Eksperimental'noe issledovanie tvorcheskoj aktivnosti studentov v processe obucheniya matematike / V. V. Afanas'ev, E. I. Smirnov //YAroslavskij pedagogicheskij vestnik. -1996. - № 3. - S. 110-115.
4. Bahtina O.I. Teoreticheskoe obosnovanie funkcionirovaniya metodicheskoj sistemy elektron-nogo obucheniya / O. I. Bahtina, V. M. Monahov // Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 20: Pedagogicheskoe obrazovanie. - 2018. - № 4. - S. 43-57.
5. Grishin V.I. Organizaciya upravleniya v «Umnom» universitete / V. I. Grishin, I.A. Kalinina, P.A. Karasev // Ekonomika i upravlenie: problemy, resheniya. - 2018. - T. 5. - № 5. - S. 222-231.
6. Kalinina E.S. Integrativnyj podhod v obuchenii matematicheskim i estestvennonauchnym disci-plinam v vuzah MCHS Rossii / E.S. Kalinina // Sovremennoe obrazovanie: soderzhanie, tekhnologii, kachestvo. - 2018. - T. 1. - S. 86-89.
7. Kalinina I.A. REU im. G. V. Plekhanova kak konkurentosposobnyj universitet budushchego / I.A. Kalinina, P.A. Karasev // Vestnik Rossijskogo ekonomicheskogo universiteta im. G. V. Plekhanova. - 2017. - № 6 (96). - S. 5-14.
8. Kulapov M.N. Tekhnologicheskie aspekty teorii upravleniya innovacionnymi processami: sis-temnyj analiz i podhody k modelirovaniyu / M.N. Kulapov, V.P. Varfolomeev, P.A. Karasev // Drukerovskij vestnik. - 2018. - № 3 (23). - S. 82-100.
9. Lihachev G.G. Komp'yuternoe modelirovanie i matematicheskoe obespechenie ekonomiko-social'nyh zadach / G.G. Lihachev, I.V. Suhorukova // Ekonomicheskij analiz: teoriya i praktika. -2003. - № 5 (8). - S. 60-62.
10. Mangusheva L.S. Rol' informacionno-kommunikacionnyh tekhnologij v processah gruppovogo prinyatiya upravlencheskih reshenij / L.S. Mangusheva, I.G. Hajrulin // Transportnoe delo Rossii. -2017. - № 1. - S. 42-44.
11. Monahov V.M. Evolyuciya metodicheskoj sistemy elektronnogo obucheniya / V.M. Monahov, S.A. Tihomirov // YAroslavskij pedagogicheskij vestnik. - 2018. - № 6. - S. 76-88.
12. Muhanov S.A. Ispol'zovanie tekhnologii Wolfram CDF pri izuchenii nelinejnyh kolebanij / S.A. Muhanov, V.V. Britvina, A.A. Muhanova // Sistemnye tekhnologii. - 2018. - № 1 (26). -S. 23-26.
13. Muhanov S.A. Ispol'zovanie informacionnyh tekhnologij dlya individualizacii obucheniya matematike na primere temy «Differencial'nye uravneniya» / S.A. Muhanov, A.A. Muhanova, A.I. Nizh-nikov // Vestnik Moskovskogo gorodskogo pedagogicheskogo universiteta. Seriya: Informatika i in-formatizaciya obrazovaniya. - 2018. - № 1 (43). - S. 72-77.
14. Smirnov E.I. Proektirovanie informacionno-analiticheskih tekhnologij obucheniya studentov-ekonomistov / E.I. Smirnov, E.N. Trofimec // YAroslavskij pedagogicheskij vestnik. - 2010. - T. 2. -№ 2. - S. 137.
15. Suhorukova I.V. Optimizaciya biznes-ustojchivosti strahovoj kompanii / I.V. Suhorukova, N.A. CHistyakova // Ekonomicheskij analiz: teoriya i praktika. - 2019. - T. 18. - № 1 (484). -S. 96-107.
16. Suhorukova I.V. Strahovanie riskov pri osushchestvlenii sovmestnoj kommercheskoj deyatel'nosti kompan'onov / I.V. Suhorukova, N.A. CHistyakova // Problemy nauchnoj mysli. - 2018. - T. 4. - № 1. - S. 018-020.
17. Tihomirov N.P. Modelirovanie social'nyh processov / N.P. Tihomirov, V.YA. Rajcin. - M., Izd-vo Rossijskoj ekonomicheskoj akademii im G. V. Plekhanova, 1993. - 304 s.
18. Tihomirov N.P. Metody teorii riska v upravlenii prirodoohrannoj deyatel'nosti / N.P. Tihomirov, T.M. Tihomirova. - Ekonomika prirodopol'zovaniya. - 1997. - № 5. - S. 118-129.
19. Tihomirov N.P. Risk-analiz v ekonomike / N.P. Tihomirov, T.M. Tihomirova. - M.: Ekonomika, 2010. - 318 s.
