Инициирование роста трещин при кратковременных импульсных нагружениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИНИЦИИРОВАНИЕ РОСТА ТРЕЩИН

ПРИ КРАТКОВРЕМЕННЫХ ИМПУЛЬСНЫХ НАГРУЖЕНИЯХ

А. А. Лукин1, В. А. Морозов2

1. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, anton.lukin.a@gmail.com

2. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, vaa@math.spbu.ru

Введение. В работе [1] в рамках «балочного» подхода к проблеме распространения трещины [2] на основе построения уравнения Лагранжа было выведено уравнение движения трещины при импульсном нагружении. Предполагалось, что импульс волны напряжения распространяется вдоль продольной оси призматического прямоугольного бруска, который содержит трещину длиной I, простирающуюся через всю ширину бруска (рис. 1, а). Трещина представляет препятствие для прохождения импульса напряжения. Поверхности трещины рассматривались как свободные поверхности, при отражении импульса напряжения от которых появляются растягивающие напряжения вблизи этих поверхностей (зона суперпозиции, рис. 1, б).

Рис. 1. а) — система координат, б) — луч раскрывания трещины.

В настоящей работе ставится задача численного решения выведенного в [1] уравнения распространения трещины на основе полученных экспериментальных данных по хрупкому импульсному разрушению полиметилметакрилата (ПММА), а также описание двух методов инициирования роста трещины и измерения скорости ее движения. Будет произведено сравнение расчетных и экспериментальных данных при движении трещины в ПММА.

1. Инициирование роста трещины и измерение скорости ее движения.

Эксперименты производились на образцах из ПММА при двух различных способах нагружения. В первом из них импульс волны напряжения распространялся вдоль продольной оси призматического прямоугольного бруска толщиной b = 8 мм, содержащего

© А. А. Лукин, В. А. Морозов, 2010

Рис. 2. Схема эксперимента.

1 — генератор высоковольного напряжения; 2 — образец ПММА; 3 — подложка ПММА; 4 — взрываемый проводник; 5, 6 — экранирующие камеры; 7 — первоначальная трещина; 8 — движущаяся трещина; 9, 10 — лазеры; 11, 12 — фотодиоды; 13 — измеритель тока (пояс Роговского); 14 — осциллограф ТБ82012.

предварительно приготовленную трещину (см. рис. 1), длина которой варьировалась. Схема эксперимента приведена на рис. 2.

Генерирование механического импульса напряжения осуществлялось с помощью электрического взрыва проводников (ЭВП). Взрываемый проводник 4 в виде полоски шириной 6 мм с нанесенным на бумажную основу тонким слоем алюминия, помещался между образцом 2 и подложкой 3, которая также, как и образец, представляла собой призматический прямоугольный брусок. ЭВП производился от накопителя энергии 1 на конденсаторе емкостью 0,5 мкф, который заряжался до напряжения 18-26 кв. Ток разряда измерялся с помощью пояса Роговского 13 и регистрировался на цифровом осциллографе 14. Определение скорости движения трещины осуществлялось с помощью двух лучей лазеров 9, 10, разнесенных на расстояние 3 мм друг от друга и просвечивающих образец. Движущаяся трещина 8 при распространении по образцу последовательно перекрывала два луча. Изменение интенсивности света лазерных лучей, прошедших через образец, фиксировалось с помощью фотодиодов 11, 12 и отображалось на осциллографе 14, где измерялся временной интервал между осциллограммами. С целью избавления от электромагнитных и световых наводок при ЭВП, образец и фотодиоды помещались в стальные экранирующие камеры 5, 6. В процессе проведения опытов в образцах измерялись профили напряжения <г(£), вызываемого взрывом проводника 4, с помощью специально разработанного пьезоэлектрического датчика давления. Датчик устанавливался на грани образца, перпендикулярной к направлению распространения волны напряжения. Электрический сигнал с него подавался на цифровой осциллограф 14 (рис. 2). Типичная осциллограмма импульса давления, регистрируемого осциллографом, приведена на рис. 3. В экспериментах длительность импульса давления составляла порядка 20 мкс.

Рис. 4 иллюстрирует характерные осциллограммы, получаемые с фотодиодов, по которым определяется время движения трещины в фиксированном интервале между лучами 3 мм.

Второй способ нагружения подобен описанному в работе [3]. Схема опыта представлена на рис. 5.

Взрываемый проводник 4 помещался в технологический надрез 5. Все остальное аналогично первому способу нагружения.

Измеренная при втором способе нагружения скорость движения трещины в зависимости от амплитуды напряжения приведена на рис. 6. Эта скорость измерялась в тот момент времени и в том месте, когда трещина выходила на стационарный режим распространения. Пересечение графика с горизонтальной осью дает пороговое значение амплитуды разрушающей нагрузки около 70 МПа. Эта величина примерно на 25% меньше зарегистрированной в работе [3] и ближе к ее статическому значению. На наш взгляд это расхождение можно объяснить большей длительностью импульса давления в настоящих экспериментах и отличием характеристик выбранного материала образцов.

Воспользовавшись полученным нами ранее в работе [1] соотношением 7эф = а2та/Е, определим эффективную поверхностную плотность энергии на разрыв для условий данного эксперимента:

а = 0.7 • 108 Па, Е = 5.25 • 109 н/м2, а =1.1 • 103 м/с,

т = 20 • 10-6 с, 7эф = 2 • 104 н/м.

Полученное значение 7эф далее используем при численном решении уравнения движения трещины в ПММА.

2. Численное решение уравнения движения трещины. В работе [1] уравнение движения трещины представлялось в виде

2П71 + 7ПН - Ш7 = - —/4*3, (1)

6а2 4

где I — длина трещины, £ — время, 7 — удельная поверхностная энергия той области, которая была задействована при движении трещины, Е — модуль Юнга, а — амплитуда импульса напряжения, а — скорость поперечных волн. Уравнение (1) есть нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка для трещины, распространяющейся тогда, когда напряжение постоянной амплитуды приложено мгновенно. Аналитическое решение такого уравнения — довольно сложная задача, поэтому мы будем искать его

0,00000 0,00001 0,00002 0,00003 0,00004

Рис. 4- Осциллограммы напряжения с фотодиодов.

Рис. 5. Схема эксперимента.

1 — генератор высоковольтного напряжения; 2 — образец ПММА; 3, 13 — экранирующие камеры; 4 — взрываемый проводник; 5 — технологический надрез; 6 — трещина; 7, 8 — лазеры; 9, 10 — фотодиоды; 11 — измеритель тока (пояс Рогов-ского); 12 — осциллограф ТБ82012.

решение численно одним из возможных способов. При решении данного уравнения основной трудностью является постановка начального условия.

Дело в том, что движение трещины начинается не в момент приложения напряжения, а с некоторым запаздывнием. Существуют разные точки зрения, связанные со стартом трещины: либо 1(0) = 0 и время запаздывания связывается с развитием дефектной структуры материала (например, микрорастрескивание, размножение и слияние дефектов), либо 1 (0) = 0, тогда существует время выхода на стационарную скорость. К сожалению, в настоящее время пока не удается экспериментально (в том числе и нам) построить полную траекторию распространения трещины, а измеряется скорость только на стационарном ее участке.

В рамках предложенной модели [1] мы делаем предположение при решении уравнения движения трещины (1), что при 1(0) = 1о 1 (0) = 0,1(0) = 0. Вводим аппроксимацию решения в виде гиперболы

1 = (12 + /ЗЧ2)1/2, (2)

Рис. 6. Зависимость скорости движения трещины от приложенного напряжения.

Коэффициент в (скорость движения трещины) подбираем так, чтобы решение (2) удовлетворяло уравнению (1) на асимптотах £ = 0 и £ ^ то наилучшим образом. Для этого находим первую и вторую производные по времени для I из выражения (2): I = в2£(1§ + в2^2)-1/2,1 = в2(1о + в2^2)-1/2 + в4^2(12 + в2£2)-3/2. Подставив в (1) значения

I, I, /, получим алгебраическое уравнение относительно в:

(-3£6)в8 - (141 2^4)в6 + (Вг4 - 191 4^2)в4 + (2В^4 - 81 6)в2 + (А£5 + В^2) = 0, (3)

где А = 7Еа7/(6а2), В = а4/4.

Далее численно для каждого значения времени г 1, г2, ¿3, •••, с заданным шагом в

необходимом временном интервале находим корни этого уравнения в(г 1, ¿2, ¿з,..., гп). Оставляем только те корни уравнения, которые удовлетворяют физическому смыслу задачи (вещественные и положительные). Подставляя найденные значения в (г 1, ¿2, ¿3,..., гп) в выражение (2), строим искомое решение уравнения движения трещины г(гьг2,гз, ...^п).

3. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных. Проведено численное решение задачи для движения трещины в материале из ПММА в интервале времени от 0 до 5 • 10-5 с. Результатом расчета было нахождение зависимости длины трещины от времени, т. е. траектории ее движения. Параметры расчета выбирались

следующие: начальная длина трещины г о: 6, 10, 14 мм, удельная эффективная поверхностная плотность энергии на разрыв 7эф = 2-104 н/м, модуль Юнга Е = 5.25-109 н/м2,

амплитуда разрушающего механического напряжения а = 120 • 106 Па, поперечная скорость звука а = 1100 м/с.

На рис. 7 представлены траектории движения трещины для трех различных значений ее первоначальной длины: 6, 10 и 14 мм. На этом же рисунке приведены экспери-

ментальные данные стационарных скоростей движения трещин для соответствующих первоначальных длин. Как видно из приведенных зависимостей, предполагаемое время выхода трещины на стационарную скорость от момента старта го составляет не более

30 мкс для первоначальной длины трещины 1о = 10 мм, что находится в соответствии

с оценкой из асимптотического решения [1]. При этом величина скорости движения

0.(Г

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

2

4

трещины примерно соответствует половине поперечной скорости звука в выбранном материале. Полученные траектории распространения трещин соответствуют данным исследований [4]. Прямая, выходящая из начала координат на рис. 7, соответствует половине поперечной скорости звука в образцах ПММА, на которых проводились эксперименты. Для измерения данной скорости была разработана специальная методика.

Как видно из рис. 7, стационарные расчетные траектории достаточно близко подходят к прямой, соответствующей а/2. Приведенные экспериментальные данные близки к расчетным.

Заключение. Предложены два экспериментальных метода инициирования роста трещин в ПММА и метод измерения скорости их движения при импульсном нагружении с помощью электрического взрыва проводников. Определено пороговое значение амплитуды разрушающей нагрузки в условиях динамического воздействия.

Численное решение уравнения движения трещины при различных начальных её длинах позволило оценить время выхода на стационарную скорость и подтвердить тот факт, что она составляет примерно половину поперечной скорости звука в исследуемом материале. Полученные экспериментальные и расчетные данные не находятся в противоречии.

Литература

1. Морозов В. А. Движение трещины при кратковременных импульсных нагружениях // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2010. Вып. 1. С. 105-111.

2. Зегжда С. А., Морозов Н. Ф., Семенов Б. Н. О «балочном» подходе в задачах распространения трещин // Механика твердого тела. №3. 1999. С. 114-120.

3. Атрошенко С. А., Кривошеев С. И., Петров Ю. В. Распространение трещины при динамическом разрушении полиметилметакрилата. ЖТФ. 2002. Т. 72. Вып. 2. С. 52-58.

4. Bratov V., Petrov Y. Application of incubation time approach to simulate dynamic crack propagation // Int. J. Fract. 2007. Vol. 146. P. 53-60.

Статья поступила в редакцию 21 января 2010 г.