CC BY
120
ИНФОРМАЦИОННОЕ РАВНОВЕСИЕ
Чхартишвили А.Г.
(МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва) а1ехсИ@8ра.да8и.ги
1. Теория игр и информационное управление
Одной из центральных проблем философии и науки является проблема адекватного описания человеческого поведения, в частности -поведения в ситуации с несовпадающими интересами. Математические подходы к ее решению разрабатывались еще в первой половине XIX в., а к середине прошлого века окончательно сформировалась теория игр, и некоторые важные аспекты поведения были формализованы в терминах целевых функций, стратегий и пр. С тех пор различные теоретикоигровые модели широко применяются для анализа социальноэкономических систем (см., напр., [1, 7, 11]).
С теоретико-игровой точки зрения задача управления состоит в следующем: создать для управляемых субъектов игру с такими правилами, чтобы исход этой игры был по возможности благоприятен для управляющего органа. Для формирования нужных правил игры можно применять различные способы: накладывать ограничения на допустимые стратегии игроков (разрешать или запрещать какие-либо действия), изменять их целевые функции (например, платить зарплату или взыскивать штрафы), влиять на информированность в момент принятия решения (подробнее о классификации типов управления см. [3, 6]). Последний способ называется информационным управлением (см. также определения информационного управления в [4]).
Ясно, что для осуществления информационного управления необходимо представлять, каков будет результат игры в зависимости от информированности ее участников. Информированность эта может быть различной, поэтому получающееся равновесие не будет, вообще говоря, «обычным» равновесием, которое принимается в качестве решения игры с полной информированностью (см, напр., [3, 10, 12]). Это будет особое -информационное - равновесие. Определение информационного равновесия для некоторых частных случаев информированности участников игры можно найти в [2, 6].
Целью данной работы является определение информационное равновесия в максимально общем виде. Для этого сначала (в п. 2) проводится различие между информационной и стратегической рефлексией, вторая из
которых обычна для любой теоретико-игровой модели, в то время как первая характеризует модели с особой ролью «информационной составляющей». Далее, в п. 3 описывается структура информированности, на основании которой принимаются решения участниками игры; определяется понятие сложности структуры информированности. В п. 4 в качестве концепции решения игры дается определение информационного равновесия. Наконец, в п. 5 на качественном уровне обсуждаются некоторые виды информационного управления, то есть воздействия на информированность субъекта на момент принятия решения.
2. Информационная и стратегическая рефлексия
Рассмотрим теоретико-игровую модель взаимодействия между n субъектами (будем называть их агентами). i-й агент осуществляет выбор действия xieXi, ieN = {1, ..., n}. В результате одновременного и независимого выбора действия агентами i-й агент получает выигрыш, описываемый действительнозначной функцией fi(x1,...,xn) , ieN.
Для выбора действия в описанной ситуации каждый агент должен так или иначе смоделировать действия других агентов, чтобы самому выбрать действие, максимизирующее целевую функцию (предположение
о том, что агент, выбирая свое действие, пытается максимизировать целевую функцию с учетом всей имеющейся у него информации, называется гипотезой рационального поведения [3]). Это моделирование агентом хода мысли других агентов называется рефлексией. И здесь весьма существенную роль играет информированность агентов, под которой понимается совокупность той информации, которой обладает агент на момент принятия решения.
Наиболее простым и естественным является предположение о том, что каждому агенту известен состав N участников игры, целевые функции {f}, множества {X}, а также известно, что это известно остальным
агентам, и им известно также о его информированности и т. д. В таких случаях говорят, что упомянутые составляющие игры являются общим знанием (common knowledge - см., напр., [10, 12]). Можно сказать так: все агенты знают, в какую игру они играют, т. е. условия игры (правила, возможности и интересы участников) являются общим знанием.
Размышления агента о выборе своего действия включают в себя стратегическую рефлексию - какие действия выберут остальные? Размышления такого рода можно проводить различным образом, и исход игры, соответственно, будет разный. В настоящей работе мы будем исходить из наиболее распространенной на сегодняшний день концепции
решения игры - равновесия Нэша. Равновесие Нэша - это ситуация, в которой каждый агент выбирает наилучшее для себя действие при фиксированных действиях остальных (или, иначе говоря, от которой каждому агенту невыгодно отклоняться в одиночку). Более строго: вектор действий
у * * ч
(х1,..., хп ) называется равновесным по Нэшу, если
\ / •ЛГ* /*/"* * * * N
"е N X = аг§тах/,(xг-l,X,xг+l•••,х„).
Для нас существенным является следующее соображение: чтобы вычислить свое действие г-й агент должен знать целевые функции { f},
множества {X} и быть уверенным, что и остальные игроки их знают, и что они знают, что все остальные их знают и т. д. Таким образом, концепция равновесия Нэша существенно опирается на то обстоятельство, что условия игры являются общим знанием.
Теперь усложним ситуацию. Пусть выигрыши агентов зависят не только от их действий, но и от некоторого неизвестного параметра ве0 -состояния природы, т. е. целевая функция г-го агента имеет вид fi(в, х1,..., хп) . Тогда стратегической рефлексии логически предшествует информационная рефлексия - размышления агента о том, что каждый агент знает (предполагает) о параметре в, а также о предположениях других агентов и пр. Тем самым, мы приходим к понятию структуры информированности агента.
3. Структура информированности
Если в ситуации присутствует неопределенный параметр ве0 (будем считать, что множество 0 является общим знанием), то структура информированности г-го агента I включает в себя следующие элементы. Во-первых, представление г-го агента о параметре в - обозначим его вг, вге0. Во-вторых, представления г-го агента о представлениях других агентов о параметре в - обозначим их ву, в33е0, уе N. В третьих, представления г-го агента о представлении у-го агента о представлении к-го агента
- обозначим их вук, вуке0, j,kеN. И так далее.
Таким образом, структура информированности I г-го агента задается набором всевозможных значений вида в3 ■ , где в3 ■ е0, / - целое
А У1-3/ У1- 3/
неотрицательное число и з'ь.. .у/ е N.
Аналогично задается структура информированности игры в целом I -набором значений вг ^ , где вг ^ е0, / - целое неотрицательное число и гь...,г/ еК Подчеркнем, что структура информированности I «недоступ-
на» наблюдению агентов, каждому из которых известна лишь некоторая ее часть.
Совокупность связей между элементами информированности можно наглядно изобразить в виде дерева (рис. 1). При этом структура информированности г-го агента изображается поддеревом, исходящим из вершины в,.
в] ... втз ... вгп
/\\/\\/\\
Рис. 1
Сделаем важное замечание: в данной работе мы ограничимся рассмотрением «точечной» структуры информированности, состоящей лишь из элементов множества 0. Более общим случаем является, например, интервальная либо вероятностная информированность. Последний случай обсуждается в [12], однако приводимые там математические объекты настолько сложны, что, по-видимому, их конструктивное применение вряд ли возможно.
Для формулировки некоторых определений и свойств нам понадобятся следующие обозначения: Х+ - множество всевозможных конечных последовательностей индексов из N X - объединение Х+ с пустой последовательностью; \а | - количество индексов в последовательности а (для пустой последовательности принимается равным нулю).
Если вг - представления г-го агента о неопределенном параметре, а ви
- представления г-го агента о собственном представлении, то естественно считать, что вii=вi. Иными словами, г-й агент правильно информирован о собственных представлениях, а также считает, что таковы и другие агенты и т. д. Формально это означает, что выполнена аксиома автоинформированности, которую далее будем предполагать выполненной.
Аксиома автоинформированности: VieN Vt,seS etiis=6tis .
Эта аксиома означает, в частности, что, зная Qt для всех teS+, таких что |t |=g можно однозначно найти Qt для всех teS+, таких что |t |<g
Наряду со структурами информированности Ii, ie N, можно рассматривать структуры информированности Iy (структура информированности j-го агента в представлении i-го агента), Iyk и т. д. Отождествляя структуру информированности с характеризуемым ею агентом, можно сказать, что, наряду с n реальными агентами (i-агентами, где ieN) со структурами информированности Ii, в игре участвуют фантомные агенты (t-агенты, где teS+, |t|>2) со структурами информированности It.={вт }, seS. Фантомные агенты, существуя в сознании реальных агентов, влияют на их действия, о чем пойдет речь далее.
Определим фундаментальное для дальнейших рассмотрений понятие тождественности структур информированности.
Определение 1. Структуры информированности Ii и Im (l, meS+) называются тождественными, если выполнены два условия:
1. els= вта для любого oeS;
2. последние индексы в последовательностях l и m совпадают.
Будем обозначать тождественность структур информированности
следующим образом: Il=Im .
Первое из двух условий в определении 1 прозрачно, второе же требует некоторых пояснений. Дело в том, что далее (в п. 4) мы будем обсуждать действие t-агента в зависимости от его структуры информированности It и целевой функции f, которая как раз определяется последним индексом последовательности t. Поэтому удобно считать, что тождественность структур информированности означает в том числе и тождественность целевых функций.
Утверждение 1. Il=Im ^ VseS Ils=Ims■
Доказательство. Ii=Im ^ Vs, keS в^к=9msK^ VseS Iis=Ims■
Обратная импликация очевидна: достаточно положить s равной пустой последовательности.»
Содержательный смысл утверждения 1 состоит в том, что тождество двух структур информированности в точности означает тождество всех их подструктур.
Следующее утверждение является, по сути, иной формулировкой аксиомы автоинформированности.
Утверждение 2. VieNVt,seS Itiis=Itis.
Доказательство. VieN Vt,seS 0tiis=0tis ^ VieN Vt,s,keS
qtiisk = qtisK VieN V t,seS Itiis=Itis .•
Определение 1 (как и последующие) можно переформулировать так, чтобы соответствующее свойство структуры информированности выполнялось не объективно, а т-субъективно - в представлении т-агента (теХ+).
Определение 2. Структуры информированности 1Я и 1д (Я, деХ+) называются т-субъективно тождественными, если 1тЯ=1тд .
В дальнейшем мы будем формулировать определения и утверждения сразу т-субъективно для теХ, имея в виду, что если т - пустая последовательность индексов, то «т-субъективно» означает «объективно».
Определение 3. Я-агент называется т-субъективно адекватно информированным о представлениях т-агента (или, короче, о д-агенте), если
!тЯд = (1, деX+, теХ).
Будем обозначать т-субъективную адекватную информированность Я-агента о д-агенте следующим образом: 1Я >т 1д .
Утверждение 3. Каждый реальный агент т-субъективно считает себя адекватно информированным о любом агенте, то есть
"iеN"теХ "аеХ+ I >т, 1а.
Доказательство. В силу утверждения 2 справедливо тождество 1та=1тш , что по определению 3 означает, что Л >т, 1а .•
Содержательно утверждение 3 отражает тот факт, что рассматриваемая точечная структура информированности подразумевает наличие у каждого агента уверенность в своей адекватной информированности о всех элементах этой структуры.
Определение 4. Я-агент и д-агент называются т-субъективно взаимно информированными, если одновременно выполнены тождества
^тЯц. = , !щЯ = 1тЯ (1, деX+, теХ).
Будем обозначать т-субъективную взаимную информированность Я-агента и д-агента следующим образом: 1Я ><т 1д .
Определение 5. Я-агент и д-агент называются т-субъективно одинаково информированными о а-агенте, если
^тЯа = ^тда (а Я деX+, теХ).
Будем обозначать т-субъективную одинаковую информированность Я-агента и д-агента о а-агенте следующим образом: 1Я >а<т 1д .
Определение 6. Я-агент и д-агент называются т-субъективно одинаково информированными, если "iеN 1тЯ, = 1тд, (Я, деХ+, теХ).
Будем обозначать т-субъективную одинаковую информированность Я-агента и д-агента следующим образом: 1Я ~т 1д .
Отметим, что отношения одинаковой информированности о каком-либо агенте (определение 5) и одинаковой информированности (определение 6) являются отношениями эквивалентности (то есть рефлексивны, симметричны и транзитивны на множестве агентов).
Покажем, что одинаковая информированность (см. определение 6) равносильна одинаковой информированности о любом агенте (см. определение 5).
Утверждение 4. 1я ~т 1д ^ "аеХ+ 1Х >а<т 1д.
Доказательство. 1Я~т 1д ^ {по определению 6} "iеN 1Я =
{в силу утверждения 1} ^ "iеN "кеХ 1тЯ,к = 1тдк ^ {полагая а=
гк} "аеХ+ 1тЯа=1тда " аеХ+ I' >а<т!д ••
Определения 3-6 показывают, что описание ситуации в содержательных терминах адекватной, взаимной и одинаковой информированности могут быть описаны через тождество соответствующих структур информированности. Следующее утверждение касается связи введенных понятий друг с другом.
Утверждение 5. Для любого теХ следующие три условия равносильны:
1. любые два реальных агента т-субъективно являются взаимно информированными;
2. все реальные агенты т-субъективно являются одинаково информированными;
3. для любого ге N значение 1аг т-субъективно зависит только от /'.
То есть для любого теХ имеем:
(" г,] е N I, ><тI ) «• (11~т...~т 1п) «• ("iеN "аеХ 1таг =1тг).
Доказательство. Докажем для трех условий утверждения импликации 1^2, 2^3, 3^1.
1^2. Для любых ij,mеN имеем I >т 1т , I] >т 1т , что означает выполнение тождеств 1тт=1тт , 1ут=1т . Отсюда 1тш=1]т , что доказывает условие 2 (с учетом определения 5 и утверждения 4).
2^3. Для пустой последовательности а условие 3 тривиально, поэтому возьмем произвольную непустую последовательность аеХ+ . Тогда а =/1^/1 (/ке^ к=1,...,/), при этом для любого iеN справедливы следующие соотношения:
I\я ={в силу утверждения 2} = I^ = {поскольку 11 ~т 1и } = I^ =
{в силу утверждения 2} = /а .. = {поскольку ^ ~т ^ 1 и в силу утвержденИЯ 4} = = ... = = Iта .
3^1. Для любых г,]е N имеем ITj=Iт■ , ITjг=Iтi , что означает I ><т I]. •
Понятие тождественности структур информированности позволяет определить их важное свойство - сложность. Заметим, что наряду со структурой I мы имеем счетное множество структур Д , теХ+, среди которых можно, при помощи отношения тождественности, выделить
классы попарно нетождественных структур. Количество этих классов естественно считать сложностью структуры информированности.
Определение 7. Будем говорить, что структура информированности
I имеет конечную сложность V = VI), если существует конечный набор попарно нетождественных структур {Iт , Iт , ..., Iт }, ъеХ+,
1е {1,., V}, такой, что для любой структуры I , ае Х+, найдется тождественная ей структура Iт из этого набора. Если такого конечного набора
не существует, будем говорить, что структура I имеет бесконечную сложность: и(7)=¥.
Ясно, что минимально возможная сложность структуры информированности в точности равна числу участвующих в игре реальных агентов.
Определение 8. Любой набор (конечный или счетный) попарно нетождественных структур I , теХ+, такой, что любая структура ^ , ае Х+, тождественна одной из них, назовем базисом структуры информированности I.
Если структура информированности I имеет конечную сложность, то можно определить максимальную длину последовательности индексов у такую, что, зная все структуры II; , те Х+, \т \=у, можно найти и все остальные структуры. Эта длина в определенном смысле характеризует глубину рефлексии, необходимую для описания структуры информированности.
Определение 9. Будем говорить, что структура информированности I, И(7)<¥, имеет конечную глубину у = у(I), если
1. для любой структуры ^ , аеХ+, найдется тождественная ей структура Ц , теХ+, \т \=у;
2. для любого целого положительного числа X , Х<У, существует
структура ^ , аеХ+, нетождественная никакой из структур ^ , теХ+,
\т \ = X.
Если И7)=¥, то и глубину будем считать бесконечной: у (I) =¥.
4. Информационное равновесие
Если задана структура информированности игры, то тем самым задана и структура информированности каждого из агентов (как реальных, так и фантомных). Выбор т-агентом своего действия хт в рамках гипотезы рационального поведения определяется его структурой информированности Д , поэтому, имея перед собой эту структуру, можно смоделировать его рассуждения и определить это его действие. Выбирая свое действие, агент моделирует действия других агентов (осуществляет рефлексию). Поэтому при определении исхода игры необходимо учитывать действия как реальных, так и фантомных агентов.
Определение 10. Набор действий хт, теХ+, назовем информационным равновесием, если выполнены следующие условия:
1. структура информированности I имеет конечную сложность п;
2. "Я, д еХ+ !я=!д ^ хя*=хд*; (*)
3. "г е N "а еХ
4 = аг8т ах /г (в<Й, xаIl,•••, х*,. _l, х , 4,+1.^ х*. п). (**)
х еХ1
Необходимость третьего условия в определении 10, по-видимому, не вызывает сомнений. Приведем два примера, показывающих важность первых двух условий.
Примеры 1-2. В этих примерах участвуют два агента с целевыми функциями следующего вида:
2 2 х х
М6, ^ х2) = (6 _ х2)х1 _ “р ?2(в, xl, х2) = (6 _ х1)х2 _ “р
где хгеЯ, г-1, 2. Различие лишь в структурах информированности.
Пример 1. Пусть структура информированности имеет следующий вид (напомним, что в силу аксиомы автоинформированности можно не расматривать элементы с идущими подряд одинаковыми индексами):
61 = 1, 612=3, 6121=5, 61212=7, .;
62=2, 621=4, 6212=6, 6^121=8, ...
Она имеет бесконечную сложность. Система уравнений (**) в данном случае принимает следующий вид:
х1=1-х12, х2=2-х21,
x12=3-x121, х21 =4-х212;.
x121=5-x1212, х212=6 х2121,
х1212=7-х1212Ь x2121=8-x21212,
и. т. д.; и. т. д.
Видно, что в системе счетное число уравнений, причем решений у нее бесконечно много - произвольно выбирая значения х1 и х2, можно выразить через них остальные переменные. •
Пример 2. Пусть структура информированности имеет следующий вид: 6а=1 для любого аеХ+. Если при этом условие (*) не выполнено, то в системе (**) оказывается счетное число уравнений: х1=1-х12, х2=1-х21,
х12=1-х12Ь х21 = 1-
x121 = l-x1212, х212=] х2121,
х1212=1-х1212Ь x2121 = l-x21212,
и. т. д.; и. т. д.
И здесь, как и в примере 1, решений бесконечно много - произвольно выбирая значения х1 и х2, можно выразить через них остальные переменные. •
В соответствии с условием (**), для определения информационного равновесия требуется решить бесконечное (счетное) число уравнений и
* /-ч
получить столько же значений хт . Однако оказывается, что на самом деле число уравнений и значений конечно.
Утверждение 6. Если информационное равновесие хт, теХ+, существует, то оно состоит из не более чем п попарно различных действий, а в системе (**) содержится не более чем п попарно различных уравнений.
Доказательство. Пусть хт, теХ+, - информационное равновесие. Тогда из конечности структуры информированности и условия (*) сразу следует, что попарно различных чисел хт не более п.
Рассмотрим две любые тождественные структуры информированности: IЯ=Iд . Соответственно, имеем 6Я=6д и хЯ =хд . Далее, для любого iеN справедливо IЯ,=IДi , следовательно хя, =хд, . Поэтому два уравнения системы (**), у которых в левой части стоят действия хЯ и хд , тождественно совпадают. •
Таким образом, для нахождения информационного равновесия хт, теХ+, достаточно записать п условий (**) для каждого из п попарно различных значений хт, отвечающих попарно различным структурам информированности ^ .
Если у всех агентов одинаковые представления о параметре в , и притом все агенты являются одинаково информированными, то сложность структуры информированности минимальна и равна числу игроков. В этом случае система (**) переходит в «обычную» систему для расчета равновесия Нэша (см. п. 2), а информационное равновесие - в равновесие Нэша.
Если структура информированности имеет конечную сложность, можно построить граф информационного равновесия, наглядно показывающий взаимосвязь между действиями агентов (как реальных, так и фантомных), участвующих в равновесии. Вершинами этого ориентированного графа являются действия хт, теХ+, отвечающие попарно нетождественным структурам информированности It. Между вершинами проведены дуги по следующему правилу: к каждой вершине ха{ проведены дуги от (п-1) вершин, отвечающих структурам I] ]еМ{/'}. Если две вершины соединены двумя противоположно направленными дугами, будем изображать одно ребро с двумя стрелками.
Подчеркнем, что граф информационного равновесия соответствует системе уравнений (**), в то время как решения ее может и не существовать.
Рассмотрим несколько примеров нахождения информационного равновесия.
Примеры 3-5. В этих примерах участвуют три агента с целевыми
х2
функциями следующего вида: (в, х1, х2, х3) = (в - х1 - х2 - х3)х1 - , где
х>0, ¡е N={1, 2, 3}; ве {1, 2}. Для краткости будем называть агента, считающего, что в = 1, пессимистом, а считающего, что в =2, - оптимистом. Таким образом, в примерах 3-5 ситуации различаются лишь вследствие различных структур информированности.
Пример 3. Пусть первые два агента оптимисты, а третий - пессимист, причем все трое одинаково информированы. Тогда, в соответствии с утверждением 5, для любого о е X выполняются тождества
Iо1=I1, I02=I2, 1о3=13.
В соответствии с (*), аналогичные соотношения выполняются
*
для равновесных действий хо . Видно, что любая структура информированности тождественна одной из трех, образующих базис: {/ь 12, 13}. Поэтому сложность данной структуры информированности равна 3, а глубина равна 1. Граф информационного равновесия Рис 2 изображен на рис. 2.
Для нахождения информационного равновесия надо решить систему уравнений (**), которая в данном случае (с учетом утверждения 6) имеет следующий вид:
* * 2 - Х2 - Х3
*
2 - х1 - х.
** 1 - х1 - х2
* 1
х, =-, 1 2
* 1
х2 = —, 2 2
х3 = 0.
3
х2 =
3
ж
х3 =
Таким образом, действия реальных агентов в ситуации информационного равновесия будут следующими: х1 = х2 =1/2, х3 =0.»
Пример 4. Пусть первые два агента оптимисты, а третий - пессимист, который считает всех трех агентов одинаково информированными пессимистами. Первые два агента одинаково информированы, причем оба они адекватно информированы о третьем агенте.
Имеем: /1 ~ /2 , /1 > /3 , /2 > /3 , /1 ~з /2 ~з 1з .
Эти условия можно записать в виде следующих тождеств, выполняемых для любого оеХ (мы воспользовались определениями 3, 6 и утверждениями 1,2,5): /12о=/2о, /13о=/3о, /21 о=/1 с /23о=/3о, /3d2=/32, /3о3=/3.
Аналогичные соотношения выполняются для равновесных действий
*
Хо .
Левые части этих тождеств показывают, что любая структура /о при |о|>2 тождественна некоторой структуре /%, |т|<|а|. Поэтому глубина структуры / не превосходит 2 и, следовательно, она имеет конечную сложность. Правые части показывают, что базис образуют следующие структуры: {/1, /2, /3, /31, /32} (нетрудно убедиться, что они попарно различны).
Таким образом, сложность данной структуры информированности равна 5, а глубина равна 2. Граф информационного равновесия изображен на рис. 3.
Рис. 3
Для нахождения информационного равновесия надо решить систему уравнений (**), которая в данном случае имеет следующий вид:
2 — * — *
* 2 Х2 Х3
Х1 =-----2----3 =
*
* 2 Х, Х-
Х0 =----------------- ---------:
** Х* _ 1 — Х31 — Х32 X, — .
**
* _ 1 — Х32 — Х Х-51 .
** Х* _ 1 — Х31 — Х3
3
* 9
Х1 _ 20,
* 9
Х2 _ 20,
* 1
Х3 _ 5,
* 1
Х31 _ V
* 1
Х32 _ "5.
Таким образом, действия реальных агентов в ситуации информационного равновесия будут следующими: х1 = х2 = 9/20, х3 =1/5.»
3
3
3
Пример 5. Пусть все трое агентов оптимисты, первый и второй взаимно информированы, второй и третий также взаимно информированы. По мнению первого агента, третий считает всех троих одинаково информированными пессимистами; также и первый агент, по мнению третьего, считает всех троих одинаково информированными пессимистами.
Имеем: /1 >< /2 , /2 >< /3 , /1 ~13 /2 ~13 /3 , /1 ~31 /2 ~31 /3 .
Эти условия можно записать в виде следующих тождеств, выполняемых для любого оеХ (мы воспользовались определениями 4, 6 и утверждениями 1, 2, 5):
/12о=/2о , /13о1=/13Ь /13о2=/132, /13о3=/13, /21о=/1о ,
/23о=/3о , /31о1=/31, /31о2=/312, /31о3=/313, /32о=/2о .
Аналогичные соотношения выполняются для равновесных действий
1
Хо .
Левые части этих тождеств показывают, что любая структура /о при |о|>3 тождественна некоторой структуре /%, |т|<|а|. Поэтому глубина структуры / не превосходит 3 и, следовательно, она имеет конечную сложность. Правые части тождеств показывают, что в базис могут входить лишь следующие структуры информированности: /1, /2, /3, /31, /13, /131,
/132, /312, /313.
Далее, из условия следует, что для любого оеХ справедливы соотношения 0131о=в31о=в313о=в13о=в123о=в213о= 1, из которых вытекают тождества /131 =/31, /313=/13, /123=/213.
Таким образом, базис образуют следующие попарно различные структуры: {/1, /2, /3, /31, /13, /132}. Сложность данной структуры информированности равна 6, а глубина равна 3. Граф информационного равновесия изображен на рис. 4.
Рис. 4
Для нахождения информационного равновесия надо решить систему уравнений (**), которая в данном случае имеет следующий вид:
* * 2 — Х2 — Х13
Х? =
*
2 — х — х.
** 2 — Х31 — Х2
. 1 хі32 хі:
**
1 — Х31 — х132
1 * 2
3
* 17
х, =—,
1 35
* 12
х2 = —,
2 35
* 17
х3 = —,
3 35
* 1
х31 = 5’
* 1
х13 = 5’
* = 1 Х132 = 5'
Таким образом, действия реальных агентов в ситуации информационного равновесия будут следующими: х1 = х3 = 17/35, х2 =12/35. •
Х1 =
3
3
Х3
3
3
3
5. Виды информационного управления
Если управляющий орган (который далее будем называть центром) знает структуру информированности игры I, то он может рассчитать информационное равновесие и, тем самым, действия реальных агентов. Сделав это, то есть установив связь между структурой информированности и исходом игры, центр может осуществить информационное управление - повлиять на структуру информированности с целью добиться нужных действий агентов.
Детальное рассмотрение проблематики информационного управления выходит за рамки данной работы. Мы ограничимся упоминанием некоторых его видов, в основном опираясь на работу [6] (где, в частности, исследован ряд частных теоретико-игровых моделей).
В [6] выделены три вида информационного управления:
1. информационное регулирование - целенаправленное влияние на информацию о состоянии природы;
2. рефлексивное управление - целенаправленное влияние на информацию о моделях принятия субъектами решений;
3. активный прогноз - целенаправленное сообщение информации о будущих значениях параметров, зависящих от состояния природы и действий субъектов.
Приведем иллюстративные примеры осуществления этих трех видов информационного управления.
В [9, с. 235] описан эксперимент, проведенный изучавшим психологию бизнесменом, владельцем компании, импортирующей в США говядину. «Торговые агенты позвонили, как обычно, постоянным клиентам компании - закупщикам говядины для супермаркетов и других точек, торгующих продуктами в розницу, и одним из трех способов предложили им сделать заказ. Одни клиенты услышали предложение, сделанное в стандартной форме. Другим клиентам дополнительно была предоставлена информация о том, что поставки импортной говядины будут сокращены в ближайшие несколько месяцев. Третья группа клиентов получила те же сведения, что и вторая группа, а также информацию о том, что мало кто узнает о предстоящем сокращении поставок, так как эти сведения поступили из надежного, но засекреченного источника.
...По сравнению с клиентами, которым было сделано торговое предложение в стандартной форме, те клиенты, которым было также сказано о дефиците говядины, заказали ее в два раза больше. Клиенты, которые решили, что владеют «исключительной» информацией. приобрели в шесть раз больше говядины, чем клиенты, которым было сделано торговое предложение в стандартной форме».
В этом примере отчетливо видно осуществление информационного регулирования («поставки импортной говядины будут сокращены») и рефлексивного управления («поставки импортной говядины будут сокращены... мало кто узнает о предстоящем сокращении поставок»).
В [5, с. 162] описывается следующий эффект. «Вечером 6 января 1981 года Джозеф Гранвилл, известный советник по капиталовложениям во Флориде, отправил своим клиентам телеграмму: «Цены на акции резко упадут; продавайте завтра». Очень скоро все узнали о совете Гранвилла, и
7 января стало самым черным днем во всей истории Нью-Йоркской фондовой биржи. По общему мнению, акции потеряли в цене где-то 40 миллиардов долларов». Здесь мы, очевидно, имеем дело с активным прогнозом - сам факт прогноза, доведенный до сведения агентов, повлиял на его реализацию.
Еще пример активного прогноза [8, с. 51]: «Если влиятельные эксперты, выполняя заказ главы государства, находящегося в конфликтных отношениях с высшим органом законодательной власти, спрогнозировали неизбежность досрочного роспуска парламента, то это могло подвигнуть
заказчика именно к такому развитию событий, хотя реально оставались возможности для реализации иного сценария».
Приведенные примеры, разумеется, носят качественный характер. Разработка и исследование формальных (теоретико-игровых, имитационных и др.) моделей информационного управления в социальноэкономических системах представляется перспективным направлением дальнейших исследований. Целью данной работы является совершенствование инструментария, позволяющего подходить к информационному управления с теоретико-игровой точки зрения.
Литература
1. БУРКОВ В.Н., ИРИКОВ В.А. Модели и методы управления организационными системами. М.: Наука, 1994. - 270 с.
2. ГОРЕЛИК В.А., КОНОНЕНКО А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. М.: Радио и связь, 1982. - 144 с.
3. ГУБКО М.В., НОВИКОВ Д.А. Теория игр в управлении организационными системами. М.: СИНТЕГ, 2002. - 148 с.
4. Информационное общество: Информационные войны. Информационное управление. Информационная безопасность / Под ред. М.А. Вуса. -СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 1999. - 212 с.
5. МАЙЕРС Д. Социальная психология. СПб.: Питер, 2001. - 752 с.
6. НОВИКОВ Д.А., ЧХАРТИШВИЛИ А.Г. Активный прогноз. М.: ИПУ РАН, 2002. - 101 с.
7. ПИНДАЙК Р.С., РУБИНФЕЛЬД Д.Л. Микроэкономика. М.: Дело, 2001. - 808 с.
8. СИМОНОВ К.В. Политический анализ. - М.: Логос, 2002. - 152 с.
9. ЧАЛДИНИ Р. Психология влияния. СПб.: Питер, 2001. - 288 с.
10. FUDEA^BERG D., T/ROLE J. Game theory. Cambridge: M/T Press, 1995.-579 p.
11. MAS-COLLEL A., WH/ASTOA M.D., GREEA J.R. Microeconomic theory. A.Y.: Oxford Univ. Press, 1995. - 981 p.
12. MYERSOA R.B. Game theory: analysis of conflict. London: Harvard Univ. Press, 1991. - 568 p.
