CC BY
91
До 80 - ргччя Приднтровсъког державног академП будгвництва та архитектуры № 1 Ычень 2010 УДК 519.21
ИНФОРМАЦИОННАЯ ЭНТРОПИЯ КАК СРЕДСТВО ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА
МЕТАЛЛА
В. И. Большаков, д. т. н., проф., Ю. И. Дубров, д. т. н., проф., Жевтило Е. Ю., студ.
Ключевые слова: численно неприводимая задача, структура металла, информационная энтропия, генератор случайных чисел.
В природе наблюдаются явления, не поддающиеся строгой математической интерпретации, которые принято называть численно неприводимыми задачами. Так, в материаловедении ключевая связь структура - свойства, как правило, выражается вербально (см. например [1; 2]), при этом насчитывается большое количество работ, которые нацелены на идентификацию свойств металла на базе анализа его структуры [3; 4]. Обычно такой анализ производится по снимкам структуры металла, где не учитывается, что при абсолютно одинаковых условиях получения одного и того же металла (химический состав, технологические режимы его получения и т. д.), как правило, не наблюдается одинаковых изображений структуры (см. например рис.1).
ОбразгцЗ
Рис.1. Структура стали 35ХМ, полученная со шлифов при одинаковых начальных
условиях
В то же время идентификация механических свойств металла на предпроектной стадии его создания зачастую производится на основании визуальной оценки снимков структуры металла, минуя дорогостоящие испытания на основании интуиции и прошлого опыта, как это показано в таблице, взятой из литературы [4] и по ней цитируемой.
Данный способ оценки качества металла продиктован затруднениями в инвариантном воспроизведении его структуры и отнесением процесса его производства к таким, при моделировании которых наблюдаются трудности в их идентификации. Относительно недавно ученые в области хаотической термодинамики пришли к выводу, что подобные процессы (турбулентные течения, вихри в атмосфере, экономические системы, биологическая эволюция) могут быть описаны только неприводимыми алгоритмами, что подтверждает известную гипотезу С. Уолфрема [5]. Результаты этих алгоритмов невозможно предсказать, не выполнив их полностью. Данное положение инициирует поиск метода формальной оценки структуры металла, инвариантной относительно неопределенности, которая возникает за счет многообразия изображений его структуры при практически одинаковых показателях
характеристик его качества. Такие задачи встречаются достаточно часто во многих областях науки, и их принято называть численно неприводимыми.
Гипотезу о численной неприводимости идентификации качества металла путем анализа его структуры можно сформулировать так: разрешающую функцию, областью определения которой является множество изображений структуры материала, а областью значений -множество векторов, характеризующих его качества, можно создать лишь путем применения алгоритма полного перебора. Очевидно, что, учитывая технические и организационные трудности на этом пути, на данном этапе научно-технического прогресса следует, по крайней мере, временно отказаться от попыток решения этой задачи с помощью «чисто» аналитического аппарата.
В 1950 -х годах 20 века. американский математик и инженер Клод Шеннон указал принципиально новую область математики, истоки которой связаны с совсем элементарными соображениями о свойствах случайных событий [6]. Основным свойством случайных событий является отсутствие полной уверенности в их наступлении, создающими неопределенность при выполнении связанных с этими событиями опытов. Очевидно, что в разных случаях эта неопределенность будет разной [7].
Значение неопределенности естественно связано с числом возможных исходов к. При к = 1 исход опыта вообще не является случайным и, наоборот, при больших значениях к, предсказание результата опыта весьма затруднительно . Невоспроизводимость изображения структуры металла, которая появляется при одинаковых условиях его изготовления, имеет вполне определенную причину, которая, в свою очередь, является следствием какой-то иной причины и т. д.
Клод Шеннон формально представил неопределенность как информационную энтропию
Н(х) = -£Р№Р, (1)
1=1
где Р1 - вероятность наступления события, в нашем случае - вероятность появления того
или иного растрового изображения шлифа.
Отождествляя энтропию с информацией, Клод Шеннон пришел к выводу, что количество информации, приобретаемое при полном выяснении состояния некоторой физической системы, равно энтропии этой системы.
Существует определенная связь между энтропией информационной и термодинамической. В 1877 году Людвиг Больцман нашел, что энтропия системы может относиться к количеству возможных микроскопических состояний, согласующихся с их термодинамическими свойствами.
Если говорить о связи энтропии термодинамической и информационной, то здесь идет дискуссия в течение длительного времени собственно о наличии этой связи. Мнения разделяются. Исходя из определений: термодинамическая энтропия является функцией состояния термодинамической системы, мерой необратимого рассеяния энергии (т. е. количества энергии, при которой система не способна совершать работу), а информационная энтропия - мерой неопределенности состояния некоторой физической системы. Связь этих энтропий можно интерпретировать следующим образом: в случае термодинамической энтропии - при снижении количества рассеиваемой энергии стабильность термодинамической системы будет расти; и аналогично в информационной энтропии - при снижении значения энтропии повышается информативность системы, т. е. ее однозначность.
Информационную энтропию - меру неопределенности состояния некоторой физической системы - естественно измерять количеством информации, т. е. уменьшением энтропии этой системы после получения о ней сведений.
Свойства энтропии Н(х) оправдывают ее выбор в качестве характеристики степени неопределенности. Во - первых, она обращается в нуль, когда одно из состояний достоверно, а остальные невозможны. Во вторых, при заданном числе состояний энтропия обращается в максимум, когда эти состояния равновероятны, а при увеличении числа состояний она
9
Например, если бы изображение структуры металла при параллельных опытах повторялось и было одинаковым, т.е. к = 1, неопределенность была бы равна нулю.
увеличивается. Ко всему, энтропии присуще свойство аддитивности, т.е. когда несколько независимых систем объединяются в одну, их энтропии складываются10.
Таким образом, информационная энтропия может выступать в качестве оценки структуры металла, если ее определять как сумму энтропий каждой из отличающихся друг от друга, по какому - либо признаку областей его шлифа.
На основании вышеизложенного мы предлагаем вычислять энтропию H(x) структуры
металла, например, стали, как сумму энтропий одинаковых по окрасу областей в изображении его структуры (см. рис. 2).
H(x) = -£#(*„) при H(xn) = ±P(xl)logP(xl). (2)
1 1 При этом вероятность P(x) для областей с одинаковым окрасом вычисляется как
m
отношение суммарной поверхности каждой из этих областей ^ sm , отнесенной к полной
1'
поверхности всего шлифа-s.
P (х)=-1-
(3)
Как правило, растровые изображения шлифов отличаются наличием близких по окрасу более светлых и более темных областей различной конфигурации. Так, например, на рисунке 2 приведено растровое изображение шлифа, содержащего бейнит (-1) с остаточным аустенитом (-2) для стали Ст 16Г2АФ, где в результате вычисления соответствующих сумм площадей
5*1 = 0,48 и S2 = 0,32 вероятности соответственно равнялись Р(х1) = 0,48 Р(х2) = 0,32 . После чего суммарная энтропия для данной марки стали равнялась Н(х) = 0,0791. Эта величина является инвариантной характеристикой, или индикатором механических свойств данной марки стали в соответствующей базе данных (см. например, таблицу 1).
Рис. 2. Структура стали 16Г2АФ
Такой подход к вычислению геометрической вероятности является справедливым, т. к. эту вероятность можно отождествить с достаточно большим числом случайным образом выбранных точек на заданном участке поверхности шлифа, отнесенном к относительно большому числу случайным образом выбранных точек на всей поверхности шлифа. В этом, собственно, состоит известный метод Монте - Карло [10; 11], суть которого заключается в задаче вычисления площади сложной фигуры.
s
m
s
10Методы теории информации позволяют адекватно описывать не только различные физические процессы, но и процессы, происходящие в живых организмах и сообществах (см. например [8; 9]).
Таблица
Механические свойства стали 16Г2АФ
Название структуры
Микро структ
ура
Термическая обработка
Информационная неопределенность
и т
са
л
е д
ен рч с о
оП
и
лт еса
5 £ с с ^
е т
е о
к
л
л е т и с о н т О
е и н е
н -
-и
л д
у
1
2
3
Бейнито-мартенситн ая
структура
Закалка с отдельного нагрева в воде без отпуска
0,1612
921
888
13,1
Бейнитная структура с участками полигональ ного феррита
Закалка с прокатного нагрева без
отпуска (деформация 16,7%)
0,1016
1318
1103
6,9
Бейнитная структура с участками полигональ ного феррита
Закалка с прокатного нагрева без
отпуска (деформация 34,9%)
0,1538
1300
1140
5,2
43
Бейнито-мартенситн ая
структура
Закалка с отдельного нагрева и отпуска 1ч при 600°С
0,1428
811
744
13,4
Реечный мартенсит
Закалка с прокатного нагрева и отпуска 600°С (деформация 16,7%)
0,1332
815
778
16,5
Реечный мартенсит
Закалка с прокатного нагрева и отпуска 600°С (деформация 34,9%)
0,1216
800
600
7,6
60
Бейнито-мартенситн ая
структура
Реечный мартенсит
Закалка в баке с водой без отпуска
0,1048
902
737
Закалка в камерном устройстве без отпуска
0,0412
921
888
5,9
6,1
Реечный мартенсит
Закалка в баке с водой отпуск 600°С, 1ч
0,0706
600
500
16,7
66
5
6
7
8
4
На квадрат, в котором расположена фигура, площадь которой следует определить, набрасывают случайные точки А1,А2,...,Ап . Каждая точка характеризуется координатами X и У, т. е. А1 = (х1,ух\ А2 = (х2,у2),.... Если случайные числа X и У будут равномерными в интервале [0,1], то и точки А1,А2,...,Ап равномерно покроют поверхность квадрата.
Пусть N - общее число точек, М2 - число точек, попавших на фигуру £. Очевидно, что N пропорционально площади квадрата, пропорционально площади фигуры. Площадь
фигуры можно оценить по формуле:
£ = £ ^, (4)
1 N1
где £1 - площадь квадрата.
Имитировать последовательность случайных точек, выбрасываемых на квадрат, предлагается, используя генератор случайных чисел (ГСЧ).
В нашем случае последовательность случайных чисел генерировалась с использованием специально разработанной программы, представляющей своеобразный ГСЧ [12; 13].
Рис. 3. Генератор случайных чисел
Идея этого ГСЧ заключается в следующем. Среди численно неприводимых задач наиболее изученной является бильярдная задача, основанная на том, что она подтверждает один из основных результатов численно неприводимых задач: траектория движения отражающегося шара после третьего его соударения непредсказуема. Поэтому траектория движения отражающегося шара (движение которого имитируется лучом), являясь функцией неизвестных факторов, может, в свою очередь, при определенных технических условиях продуцировать последовательность случайных чисел.
Для этого борта бильярда разбиваются на определенное количество ячеек, каждой из которых присваивается определенное число в строго заданной последовательности чисел. Согласно вышеизложенному, отражающийся шар, двигаясь по непредсказуемой траектории, «выбивает» из ячеек числа, последовательность которых является псевдослучайной [14]. При этом, для придания большей «хаотичности», в условия опыта была включена возможность задания деформации бортов бильярда и постоянного движения шаров - отражателей по заданной траектории (на рис. 3 эти траектории указаны пунктиром). В качестве отражающегося шара испускался луч, первоначально с заданным произвольным углом отражения.
Принцип этого ГСЧ использовался непосредственно при решении поставленной задачи -для определения площадей с одинаковыми по окрасу областями на снимке структуры. При этом площадь всего снимка структуры отождествлялась с единицей, а отдельные структурные элементы - ее долями.
Так формируется область случайных чисел, которую мы используем для идентификации структурных составляющих (1 - бейнит, 2 - остаточный аустенит), и затем по количеству точек, попавших в каждую структурную область, определяем ее площади (рис. 4).
Результаты испытаний позволили вычислить вероятности, соответствующие определенным изображениям структуры, и их информационную энтропию, что показано в таблице. В итоге констатируем тот факт, что для каждого изображения структуры определенной марки стали
есть своя информационная энтропия, которая может являться индикатором ее механических свойств.
Рис. 4. Отождествление области случайных чисел с точками на снимке структуры стали
16Г2АФ
На основании вышеизложенного можно сделать вывод, что идентификация характеристик качества стали возможна не только на основе традиционных методов (микроскопия, рентгеноспектральный и рентгеноструктурный анализ и др.) но и путем применения теоретико-информационного подхода [15], что естественным образом должно способствовать созданию базы данных для каждой марки стали.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Материаловедение и технология конструкционных материалов. 2-е изд., перераб. и доп. / Под ред. Ю. П. Солнцева. - М. : МИСИС, 1996. - 576 с.
2. Фридман Я. Б. Механические свойства металлов. В 2-х частях. Ч 1. Деформация и разрушение, 3-е изд. - М. : Машиностроение, 1974. - 472 с.
3. Большаков В. И., Дубров Ю., Жевтило Е. Ю. Моделирование структуры металла как численно неприводимая задача. - К. : Доп. НАН Украши, 2010 (в печати).
4. Большаков В. И., Дубров Ю. И., Буньковская Т. В. Пути решения численно неприводимых задач в материаловедении / Моделирование и оптимизация в материаловедении МОК-42, Одесса : Астропринт, 2003. - 220 с.
5. Капица С. П., Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Синергетика и прогнозы будущего. - М. : Эдиториал УРСС, 2001. - 288 с.
6. Большаков В. И., Дубров Ю. И., Ткаченко А. Н., Ткаченко В. А. Пути решения задач идентификации качественных характеристик материалов на основе экспертных систем. - К. : Доп. НАН Украши, 2006, № 4. - С. 97 - 102.
7. Шеннон К. Математическая теория святи. В кн: «Работы по теории ин формации и кибернетике». - М. : ИЛ, 1963. - 117 с.
8. Волькенштейн М. В. Молекулы и жизнь. Введение в молекулярную биофизику. - М. : Прогресс, 1965. - 504 с.
9. Дубров Ю. И. Оценка эффективности оросителей на основе информационной энтропии. Теоретические основы химической технологии. АН СССР. - М., 1981. С. 85 - 92.
10. Бусленко Н. П. Методы статистических испытаний (Метод Монте-Карло) М. : Физматгиз, 1962. - 111 с.
11. Журбенко И. Г. Определение критической длины последовательности случайных чисел / В кн. «Вероятностно-статистические методы исследования». М. : МГУ, 1983. - 240 с.
12. Синай Я. Г. Динамические системы с упругими отражениями / Успехи математических наук. 1970, № 25, вып. 2. - С.45 - 56.
13. Дубров Ю. И. Исследования имитационной модели «бильярдной задачи», а также ее применение в практике преподавания синергетики / Мат. Междунар. науч. конф. «Математика. Компьютер. Образование». Дубна : 1998.
14. Дубров Ю. И., Фролов В. В., Вахнин А. Н. Учет влияния неуправляемых факторов при анализе и синтезе критерия функционирования сложных систем / Экономика и математические методы. - АН СССР. - М., 1986, № 1. - С. 165 - 170.
15. Большаков В. И., Дубров Ю. И., Жевтило Е. Ю. Исследования работоспособности и эффективности эмпирического прогнозирования качественных характеристик стали на предпроектной стадии ее проектирования. - К. : - Доп. НАН Украши, № 9, 2009. - С. 103 - 106.
УДК 519.21
О ВЛИЯНИИ МЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК МИКРОСТРУКТУРЫ СТАЛИ НА ЕЕ МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА.
Большаков В.И., д. т.н., проф., Дубров Ю.И., д. т.н., проф., Касъян О. С., асист.
Ключевые слова: микроструктура стали, механические свойства, метрические характеристики, топологические характеристики, классификация.
Существующие методы анализа механических характеристик стали направлены в первую очередь на их прямое определение, часто с использованием дорогостоящего и громоздкого оборудования (например [1; 2]). При этом каждый из методов позволяет получать лишь одну характеристику стали. Казалось бы, что наиболее правильным решением в данной задаче было бы установление взаимозависимостей между механическими характеристиками стали. Но для установления таких зависимостей пришлось бы одновременно учитывать все характеристики, что практически невозможно осуществить.
Выходом из сложившейся ситуации является проведение анализа исходных факторов, формирующих структуру. Такой метод применяется довольно часто на предпроектной стадии (например, путем использования термокинетических диаграмм [3]). Однако такой подход не применим для комплексной идентификации существующих структур. Поэтому в качестве определяющего параметра нами выбрана микроструктура стали, которую мы рассматриваем как геометрический объект, растровое изображение которого, с точки зрения языка топологии, представляет простейший объект, детализация которого сведена до минимума. Аппроксимация с применением топологии в материаловедении ранее уже применялась, например, в 1952 году ученым Смитом К. (Smith C.S.) при описании процесса формирования микроструктуры стали [4].
Связывая между собой топологический и метрический методы при помощи классовой модели, которую впервые применил и в 1967 году К. Нюгорд и О. Даль при описании основ объектно-ориентированного программирования ООП [5], создадим классификацию микроструктуры стали. С точки зрения ООП [5], микроструктура - это объект, отнесенный к определенному классу. Класс в ООП включает в себя события, методы и свойства.
Учитывая тот факт, что микроструктура стали достаточно точно не воспроизводится при любых параллельных опытах, как бы точно они не повторялись, целесообразно для создания модели прогноза произвести классификацию микроструктур стали. Это позволит для каждого подмножества микроструктур подобрать его собственный класс с тем, чтобы с его помощью осуществлять идентификацию той или иной микроструктуры. Как уже упоминалось нами ранее [6], мы не можем использовать с этой целью метрику, однако, учитывая то, что свойства класса
