CC BY
20УДК 004.931; 004.932 ГРНТИ 28.23.15
ИНФОРМАТИВНОСТЬ ФРАКТАЛЬНЫХ ПРИЗНАКОВ В ЗАДАЧАХ ТЕКСТУРНОГО АНАЛИЗА ОПТИЧЕСКИХ И РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
А.Н. ПОТОЦКИЙ
ВУНЦ ВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)
В работе приведены отдельные результаты научного обзора работ в области анализа радиолокационных и оптических изображений с использованием фрактальных признаков. Обобщены известные фрактальные признаки изображений, дана их общая характеристика. Приведены области применения рассматриваемых признаков. Рассмотрены перспективные направления дальнейших исследований.
Ключевые слова', радиолокационные изображения, текстура изображений, фракталы, фрактальные признаки.
FRACTAL FEATURES INFORMATIVITY IN PROBLEMS OF OPTICAL AND RADAR IMAGES TEXTURE ANALYSIS
AN. POTOTSKIY
MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)
The paper presents the results of a scientific review in the field of radar and optical image analysis using texture-fractal features. The known fractal features of images are generalized, their general characteristic is given. The application particularity of the considered features in image processing are analyzed. Perspective directions of further researches are considered.
Keywords: radar images, image texture, fractals, fractal features.
Введение. Высокие пространственная, спектральная и радиометрическая разрешающая способность современных систем мониторинга земной поверхности позволяют формировать высокодетальные оптические (ОИ) и радиолокационные изображения (РЛИ), на которых антропогенные аномалии и подстилающая поверхность представляются соответственно распределёнными и пространственно-протяженными объектами. В подобных условиях изобразительные свойства изображений преимущественно определяются текстурой, представляющей собой пространственную организацию глобальных и локальных топологических примитивов с однородными статистическими характеристиками [1].
В настоящее время при тематической обработке изображений для описания свойств текстуры традиционно применяют статистический, структурный (синтаксический), спектральный, геометрический и модельные подходы [1]. Относительно новым является топологический [2], сущность которого заключается в описании особенностей пространственных конфигураций, образуемых сочетанием отсчетов яркости изображения в пределах некоторого локального участка анализируемой выборки. Числовую характеристику указанным особенностям можно дать с использованием теории фракталов, описывающей геометрию природных процессов и форм на основе принципов самоподобия и масштабной инвариантности [3-5]. На основе исследования локальных и глобальных топологических особенностей пространственной структуры поля интенсивности изображений появляется возможность дифференцировать анализируемые множества по их геометрической и структурной регулярности (нерегулярности).
Актуальность. Несмотря на достаточно большое число работ в области фрактальной обработки изображений, посвященных разнообразным практическим приложениям, в отечественном и зарубежном сегменте научных изданий существует определенный пробел публикаций обзорного характера, дающих интегральное представление о состоянии исследований в рассматриваемой предметной области.
Цель работы заключается в обобщении результатов существующих работ в области фрактальной обработки изображений, использованию фрактальных признаков и соответствующих мерах информативности, полученные различными авторами.
Общая характеристика. Тематическая обработка (дешифрирование) изображений, формируемых оптико-электронными системами (ОЭС) и радиолокационными станциями с синтезированной апертурой антенны (РСА), осуществляется в интересах обнаружения отдельных и/или групповых объектов, сегментации и классификации различных областей, а также идентификации среди них некоторых отдельных, дифференцируемых от остальных по специфическим (требуемым) свойствам. Перечисленные задачи отличаются как подходами к обработке изображений, так и сложностью (глубиной) проводимого анализа. При этом важной является задача максимальной степени автоматизации обработки, которая в том числе связана с выбором и использованием информативных свойств и признаков объектов на изображениях.
На высокодетальных ОИ и РЛИ многообразие сочетаний разнородных природных и антропогенных объектов приводит к формированию большого числа фоноцелевых ситуаций (рисунок 1, 2), для различения которых требуются информативные текстурные меры. Как отмечено в работе [6, 7], текстурно-фрактальный подход к анализу изображений позволяет исходя из особенностей отображения на изображениях тех или иных природных объектов получить характеристики, адекватно описывающие такие сложно поддающиеся количественному описанию структурные и геометрические свойства объектов, как упорядоченность, однородность, внутренняя организованность, периодичность и т.д. Иллюстрация к проявлению подобных свойств представлена на рисунке 3, где приведены синтезированные изображения текстурных участков земных покровов, проявляющих в заданном диапазоне масштабов самоподобный характер.
С позиций фрактальной обработки пространственные (структурные) геометрические особенности текстуры изображений могут обладать скейлинговыми, сингулярными, мультифрактальными и направленными свойствами как по отдельности, так и в виде совместного проявления. При этом масштабные отражают проявление самоподобного характера распределения отсчетов яркости текстурных участков, а мультифрактальные - совместное распределение нескольких самоподобных множеств. Сингулярные особенности текстуры характеризуются проявлением свойств масштабной инвариантности во всем допустимом диапазоне, а ее направленные свойства определяются пространственным распределением скейлинга. На рисунке 4 представлены поля интенсивности (в трехмерном представлении) изображений текстурных участков, приведенных на рисунке 3, характеризуемые преимущественно наличием только одного из перечисленных свойств.
Более сложной в геометрическом и более разнообразной в структурном плане является текстура реальных изображений высокого разрешения, характеризуемая проявление одновременно мультифрактальных, анизотропных и скейлинговых свойств на незатененных (однородных) участках. Иллюстрация некоторых представляющих интерес для дешифрирования ситуаций при автоматической обработке текстурных участков на высокодетальных РЛИ приведена на рисунке 5. Соответствующие для некоторых из них поля интенсивности приведены на рисунке 6.
Анализ представленных на рисунке 4 и рисунке 6 поверхностей исходных изображений позволяет утверждать, что корректное решение задачи общего и детализированного описания текстуры будет зависеть от выбора того или иного фрактального признака, обладающего способностью отразить все соответствующие ей геометрические и структурные особенности.
: Ч' С
□
8
□
Рисунок 1 - Типовые области и ситуации радиолокационного мониторинга земной поверхности: 1 - целеподобные объекты на подстилающей поверхности; 2 - участок урбанизированной местности; 3 - граница «поле-тень»; 4, 5, 6, 8 - поля сельско-хозяйственного назначения; 7 - граница «поле-застройки»; 9 - искусственные объекты; 10 - инженерные сооружения; 11 - границы «поле-тень-застройка»; 12 - целеподобный объект (РЛИ участка земной поверхности, РСА TerraSAR-X, 12.09.2012)
Рисунок 2 - Типовые области и ситуации радиолокационного мониторинга водной поверхности: 1, 2 - морские судна; 3 - граница «море-суша»; 4, 5 - инженерные сооружения (здания); 6, 7, 8 - кильватерные следы; 9, 10 - участки водной поверхности с различной степенью взволнованности; 11 - целеподобные объекты; 12 - участок горно-лесистой местности; 13 - участок русла реки (РЛИ Гибралтарского пролива, РСА TerraSAR-X, 05.07.2009)
Рисунок 3 - Текстурные участки синтезированных изображений подстилающей поверхности, различающиеся масштабными свойствами: а - Б = 2,2; б - Б = 2,4; в - Б = 2,6; мультифрактальными свойствами: г - Б = 2,2,...,2,4; д - Б = 2,3,...,2,5; е - Б = 2,2,...,2,5; ж - Б = 2,1,...,2,5; з - Б = 2,05,...,2,57; и - Б = 2,1...2,8; направленными свойствами: к - Б (ф = 20°,...,110°) = 2,3; л - Б (ф = 120°) = 2,5;м - Б (ф = 40°) = 2,4
Э1
и
10 5 0
-5 -
-10 > 300
а)
о о
100
300
100 ,
б)
300
о о
200
б)
100
О О
300
200
100
-2 , 300
г)
100
О О
300
200
100
200
300
д)
100
200
100
0 0
е)
300
о о
300
100
ж)
О О
300
3)
300 0
Рисунок 4 - Пространственная структура поля яркости изображений: изотропных однородных: а - рис. 3,а; б - рис. 3,б; изотропных неоднородных: в - рис. 3,г; г - рис. 3,е; д - рис. 3,ж; е - рис.3,г; анизотропных
однородных: ж - рис. 3л; з - рис. 3„м
Э1
и
ч
ВОЕННЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ, СВЯЗИ И НАВИГАЦИИ ^
Ш-Шщ'- ¡ 1, ■ ' . и ms -. ü
[ :v ií'iШ'е/ ¿s. "' ■ Vй , ? *
а isjixW ^¡¡Щ* - i
* '-^r- • i - ) 1 з i
: : - jifias^ В.....-....... SI
Ш
Рисунок 5 - Текстурные участки радиолокационных изображений подстилающей поверхности высокого разрешения, различающиеся масштабными, мультифрактальными и направленными свойствами
в различных вариантах сочетаний (РЛИ подстилающей поверхности, РСА Sandia MiniSAR, 2006)
а)
о о
300
б)
о о
300
д)
О о
300
г)
о о
е)
300 300
300
300
300
Рисунок 6 - Пространственная структура поля яркости изображений: а - рис. 5, а; б - рис. 5, б; в - рис. 5, г; г - рис. 5, в; д - рис. 5, з; е - рис. 5, и; ж - рис. 5, к; з - рис. 5, м
Характеристика фрактальных признаков. Приведем краткую характеристику используемых фрактальных признаков [2-14] (таблицу 1).
Фрактальная размерность (ФР) В характеризует степень шероховатости текстуры изотропной поверхности (при В = 2 поверхность изображения гладкая, а при В = 3 «сморщенная»).
Показатель Херста («фрактальная коразмерность») Н также как и ФР В = 3 -Н характеризует степень «шероховатости» поверхности.
Локальный (на масштабе е) показатель Херста Н (г). Признак характеризует
«шероховатость» изображения на одном из масштабов анализа е из диапазона значений скейлинга Е.
Таблица 1 - Текстурно-фрактальные признаки изображений
№ признака, I Наименование Условное обозначение
1 = 1 Фрактальная размерность В
2 Показатель Херста Н
3 Локальный (на масштабе е) показатель Херста Н (г)
4 Расширенный показатель Херста ЕГГ
5 Локальная (на масштабе е) фрактальная размерность В (г)
6 Фрактальная сигнатура {В (£)}
7 Размах вариации фрактальной сигнатуры г
8 Распределение самоподобия НВ (7)
9 В-размерностная мера (фрактальная мера) Ко
10 Локальная (на масштабе е) В-размерностная мера (локальная фрактальная мера) К (г)
11 Массив фрактальных размерностей по направлениям ориентации компонент текстуры {Н<р„)}
12 Фрактальная сигнатура по направлениям ориентации компонент текстуры {В (^)}
13 Пространственный фрактальный кепстр
14 Последовательность показателей массы И Ч)}
15 Спектр обобщенных фрактальных размерностей {В,}
16 Мультифрактальный спектр (спектр сингулярностей) {I и
17 Морфологические мультифрактальные показатели к}
18 Локальный (на масштабе е) морфологический мультифрактальный показатель ^ (г)
19 Морфологическая мультифрактальная сигнатура К (г)}
20 Направленная морфологическая мультифрактальная сигнатура & Ы)}
21 Направленная морфологическая мультифрактальная сигнатура (сокращенной размерности) К (гк.))}
22 Лакунарность на малых масштабах анализа е {Л(г}}
23 Лакунарность на больших масштабах анализа е {С (г)}
Расширенный показатель Херста Е¥¥ является разновидностью квазиизотропного локального показателя Херста Н (е), адаптированного для решения задач обнаружения объектов и границ.
Локальная (на масштабе е) фрактальная размерность В (е). По сущности признак тождественен локальному показателю Херста Н (е).
Фрактальная сигнатура {В (г)} (совокупность значений локальных фрактальных
размерностей В (г)). Для изотропного однородного самоподобного множества значения В (г) для различных масштабов едины, т.е. В(г) = В, где г= 1,2,..., Е-1, Е - число масштабов анализа.
Позволяет выявлять локальные аномалии («разладки») в топологических особенностях текстуры (ее шероховатости).
Размах вариации фрактальной сигнатуры г характеризует однородность текстуры: отсутствие вариации свидетельствует об однородности и самоподобии анализируемого участка. Распределение самоподобия НВ (7) характеризует проявление и изменение наиболее
характерных участков изображения - доменных блоков, с использованием которых при кодировании (сжатии) можно восстановить изображение с наибольшей точностью. Позволяет идентифицировать аномальные участки на изображении, обусловленные наличием нехарактерных для данного изображения объектов.
1)-размерпосптая мера (фрактальная мера) К0 представляет собой площадь поверхности изображений, которая для «гладких» и «сморщенных» текстур соответственно принимает меньшие и большие значения.
Локальная {на масштабе е) В-размерностная мера (локальная фрактальная мера) Ап (е). Дифференцирующее свойство признака заключается в том, что для однородной текстуры значения Кп(е) для различных масштабов анализа едины и постоянны, тогда как для
неоднородной, а также при наличии текстурных аномалий, значения признака на различных масштабах могут варьироваться.
Массив фрактальных размерностей по направлениям ориентации компонент текстуры
{В (фп)}. Признак представляет собой массив значений ФР В, вычисленных вдоль различных
угловых направлений анализа изображения и позволяет охарактеризовать наряду со значениями шероховатости текстуры направленные свойства анизотропных поверхностей.
Фрактальная сигнатура по направлениям ориентации компонент текстуры {В(е,ц>п)}
является расширенным вариантом признака {В (ц>п)}, который учитывает изменения направлений
ориентации элементов текстуры также и от масштаба анализа. Позволяет идентифицировать преобладающие направления ориентации элементов текстуры изображения на локальных масштабах анализа.
Пространственный фрактальный кепстр X представляет собой фрактальную сигнатуру, выраженную в виде зависимости ¿"(г) = и построенную в логарифмическом масштабе, где
.V,, - измеряемый параметр изображения (площадь поверхности).
Последовательность показателей массы (скейлинговая функция моментов) т(,). Представляет собой совокупность «масс» или «вероятностей» } распределения отсчетов яркости выборки после определенным образом выполненного разбиения.
Мультифрактальный спектр меры (спектр сингулярностей меры) I(а) относится к
группе признаков, характеризующих локальные и глобальные особенности меры изображения, извлекаемые при мультифрактальном анализе, который непосредственно связан с исследованием особенностей распределения интенсивности отсчетов яркости по площади изображения и выявления сингулярностей в его структуре. Физический смысл функции I(а) заключается в том, что она представляет собой Хаусдорфову размерность некоторого однородного
фрактального подмножества Са из исходного множества С , характеризуемого одинаковыми вероятностями заполнения ячеек = еа, где а - показатель Липшица-Гёльдера.
Спектр обобщенных фрактальных размерностей (размерностей Реньи) Вч ( -да< q )
тесно связан со скейлинговой функцией моментов г(q) соотношениемВч =(q -1) q) и описывает локальные топологические особенности изображений. В частности, размерность В 1 характеризует меру «однородности» текстуры (для однородного участка изображения размерность В_1 принимает малые значения); размерность В0 есть ФР; размерность В1 соответствует информационной (энтропийной) размерности, характеризующей степень регулярности распределения отсчетов яркости (высоким значениям В1 соответствует равномерное распределение интенсивности яркости пикселей); размерность В2 (корреляционная) характеризует степень корреляции между значениями отсчетов яркости изображения в к-ой ячейке изображения, полученной при некотором произвольном разбиении. Спектр морфологических мультифрактальных показателей Ь1] является альтернативой
спектру размерностей Реньи, вычисляемых при морфологической обротке анализируемых изображений.
Локальный (на масштабе е) морфологический мультифрактальный показатель (е). В
определенной степени признак соответствует локальному показателю Херста Н (е). Отличие
признака Ь9 (е) от Н (е) заключается в возможности учета «сосредоточенных» текстурных
аномалий, что зависит от порядка скейлингового момента q при ячеечном разбиении, -да < q < +да.
Морфологическая мультифрактальная сигнатура (е)} представляет собой
характеристику участка текстуры, определяющую меру вариации локальных морфологических мультифрактальных показателей Ьч (е) при изменении масштаба анализа е и описывающую
мультифрактальные свойства текстуры на различных (но ограниченных некоторым числом) масштабах анализа е.
Направленная морфологическая мультифрактальная сигнатура \Ьч (е,Ч>„)} характеризует
распределение локальных морфологических мультифрактальных показателей на различных пространственных масштабах вдоль различных угловых направлений анализа.
Направленная морфологическая мультифрактальная сигнатура (сокращенной
размерности) {ьд (е(ф„ ))} . По существу, признак тождествен {Ьц (е,фп)}. Отличие состоит в том,
что признак имеет меньшую размерность, так как для каждого масштаба анализа е учитывается только преобладающее для данного масштаба направление ориентации компонент текстуры.
Лакунарность (на малых и больших масштабах анализа е) {л(е)}, {С(е)}. Признаки
{л(е)} и {С (е)} соответственно позволяют получить усредненную информацию о
распределении (заполнении) «массы» фрактальной поверхности на больших и малых масштабах анализа е.
Области применения фрактальных признаков [9-14] систематизированы в таблице 2. Анализ результатов применения фрактальных признаков в задачах обработки изображений (из-за ограничения на объем работы не представляется возможным указать исчерпывающий список публикаций, поэтому отмечены только обзорные) позволяет отметить следующее. Во-первых, по степени информативности их условно можно подразделить на универсальные, дающие общую характеристику текстуры ( Ц, 12 ) и отличающиеся для разных задач различной эффективностью, и специализированные (в первом приближении - 13,..., 12з ), обладающие
существенно лучшим детализирующим качеством и наиболее приспособленные для узкого класса задач (сегментация, идентификация, классификация). Отдельно стоит отметить о целесообразности использования производных от признаков («признак признака»), в частности /7, позволяющих получить дополнительную информацию о текстурных особенностях изображений.
Таблица 2 - Применение фрактальных признаков в задачах обработки изображений
№ п/п Задачи обработки Условное обозначение применяемого признака
1 Обнаружение объектов (текстурных аномалий) О, Н,Й(а), ЕР, Щ, г{Ь[е)],К0, К0(а) {Л(£)}
2 Обнаружение границ 0,Н,Н(е),гт
3 Сегментация областей Й{е),{Ц5)},{0{(Рп)},{0{е,ср1)},{Вд}, Ж}, / а), К}, К («)}, К Ил)}, К (^))}
4 Классификация {ад}-№)}• ы-{Ф)ь {/ И, К}, К И, К (^)}, к К,))}
5 Фильтрация шумов Д, В,, Б—!, Н , / (а), {В }, {г( д)}
6 Кодирование (сжатие) Н° (7)
7 Слияние разнородных данных Б
8 Идентификация областей Д. А. 0_1,Й(а),[)(8),г{Ь(е]],0(срл),1д{е)
9 Синтез текстур Я, Я(е),
Во-вторых, признаки по размерности можно разделить на однокомпонентные ( / — /5 , /7,
/9 , /10 , /18 X многокомпонентные (векторные) (/6, ./и,..., /17 , /\9, /20 , /23 ), а также
тензорные ( /20, /21). Вопрос об оценке информативности каждого из признаков и сравнении их меры дескриптивности между собой можно корректно ставить и получать только для конкретных задач обработки изображений с учетом многообразия их изобразительных свойств.
В-третьих, для решения тех или иных задач обработки (обнаружение, сегментация, классификация) наблюдается довольно четкое деление фрактальных признаков по группам (смотри таблицу 2). Можно сделать достаточно тривиальный вывод о том, что с усложнением уровня глубины анализа и интерпретации требуются признаки более содержательные в информационном смысле и эффективные в вычислительном. Менее очевидно то, что для сохранения высокого качества обработки при выборе подходящего признака необходимо учитывать текстурные свойства обрабатываемых изображений (смотри рисунок 1-3, 5).
В-четвертых, требуют проработки вопросы, связанные с уточнением диапазона значений фрактальных признаков, в т.ч. при дрейфе сигнатур текстуры и ее «размывании»; уточнением границ возможности применимости признаков при различных искажениях и непреднамеренных (преднамеренных) воздействий на формируемые изображения (смаз, шум, расфокусировка).
Выводы.
1. Обобщение результатов исследований по информативности текстурно-фрактальных признаков свидетельствует о целесообразности их применения для обработки высокодетальных оптических и радиолокационных изображений в интересах решения задач обнаружения
искусственных объектов на фоне подстилающей поверхности, сегментации текстурных областей на классы, а также идентификации среди выделенных классов требуемых.
2. Целесообразно проведение дополнительных исследований по оценке информативности фрактальных признаков в различных областях текстурных неоднородностей изображений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Харалик Р.М. Статистический и структурный подходы к описанию текстур для обработки изображений // ТИИЭР. 1979. Т. 67. № 5. С. 98-120.
2. Потапов А.А. Радиофизические эффекты при взаимодействии электромагнитного излучения миллиметрового диапазона волн с окружающей средой. Ч. 6. Информативность текстур оптических и радиолокационных изображений земной поверхности // Зарубежная радиоэлектроника. 1994. № 7. С. 11-30.
3. Потапов А.А. Новые информационные технологии на основе вероятностных текстурных и фрактальных признаков в радиолокационном обнаружении малоконтрастных целей // Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48. № 9. С. 1101-1119.
4. Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы / перев. Логунова А.Р. Москва -Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2002. 656 с.
5. Федер Е. Фракталы / Пер. с англ. М.: Мир. 1991. 254 с.
6. Gneiting T., Percival D.B., Sevcikova H. Estimators of Fractal dimension: assessing the roughness of time series and spatial data / Techical report. 2010. № 577. 38 p.
7. Учаев Д.В. Разработка теоретических основ и геоинформационных приложений мультифрактальных методов анализа пространственной структуры сложных природных систем. Дис. ... канд. техн. наук (Специальность 25.00.35). М.: Московский государственный университет геодезии и картографии, 2009. 199 с.
8. Потапов А.А., Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Пахомов А.А., Герман В.А. Новейшие методы обработки изображений / Под ред. А.А. Потапова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 496 с.
9. Sun W., Xu G., Gong P. et al. Fractal analysis of remotely sensed images: A review of methods and applications // International Journal of Remote Sensing. 2013. Vol. 27. № 22. P. 4963-4990.
10. Jansson S. Evaluation of methods for estimating fractal properties intensity images. Master's Thesis in Computing Science. Umea University Department of Computing Science. 2006. 82 p.
11. Макаренко Н.Г., Каримова Л.М., Круглун О.А. Скейлинговые свойства цифровых изображений земных ландшафтов // Современные проблемы дистанционного зондирования Земли из космоса. 2014. Т. 11. № 2. С. 26-37.
12. Потапов А.А. Фрактальные и текстурные обнаружители слабых радиолокационных сигналов на фоне интенсивных помех. Часть I. Введение в принципы топологических обнаружителей // Радиотехника. 2019. № 1. С. 80-92.
13. Гузенко О.Б., Катулев А.Н., Храмичев А.А., Ягольников С.В. Автоматическое обнаружение и сопровождение динамических объектов на изображениях, формируемых оптико-электронными приборами в условиях априорной неопределенности. Методы и алгоритмы. Монография / Под ред. А.А.Храмичева. М.: Радиотехника, 2015. 280 с.
14. Teng H.T., Ewe H.T., Tan S.L. Multifractal dimension and its geometrical terrain properties for classification of Multi-band multi-polarized SAR image // Progress in Electromagnetics Research. 2010. PIER 104. P. 221-237.
REFERENCES
1. Haralik R.M. Statisticheskij i strukturnyj podhody k opisaniyu tekstur dlya obrabotki izobrazhenij // TIIER. 1979. T. 67. № 5. pp. 98-120.
2. Potapov A. A. Radiofizicheskie 'effekty pri vzaimodejstvii 'elektromagnitnogo izlucheniya millimetrovogo diapazona voln s okruzhayuschej sredoj. Ch. 6. Informativnost' tekstur opticheskih i
radiolokacionnyh izobrazhenij zemnoj poverhnosti // Zarubezhnaya radioelektronika. 1994. № 7. pp. 11-30.
3. Potapov A.A. Novye informacionnye tehnologii na osnove veroyatnostnyh teksturnyh i fraktal'nyh priznakov v radiolokacionnom obnaruzhenii malokontrastnyh celej // Radiotehnika i
elektronika. 2003. T. 48. № 9. pp. 1101-1119.
4. Mandel'brot B.B. Fraktal'naya geometriya prirody / perev. Logunova A.R. Moskva - Izhevsk: Institut komp'yuternyh issledovanij. 2002. 656 p.
5. Feder E. Fraktaly / Per. s angl. M.: Mir. 1991. 254 p.
6. Gneiting T., Percival D.B., Sevcikova H. Estimators of Fractal dimension: assessing the roughness of time series and spatial data / Techical report. 2010. № 577. 38 p.
7. Uchaev D.V. Razrabotka teoreticheskih osnov i geoinformacionnyh prilozhenij mul'tifraktal'nyh metodov analiza prostranstvennoj struktury slozhnyh prirodnyh sistem. Dis. ... kand. tehn. nauk (Special'nost' 25.00.35). M.: Moskovskij gosudarstvennyj universitet geodezii i kartografii,
2009. 199 p.
8. Potapov A.A., Gulyaev Yu.V., Nikitov S.A., Pahomov A.A., German V.A. Novejshie metody obrabotki izobrazhenij / Pod red. A.A.Potapova. M.: FIZMATLIT, 2008. 496 p.
9. Sun W., Xu G., Gong P. et al. Fractal analysis of remotely sensed images: A review of methods and applications // International Journal of Remote Sensing. 2013. Vol. 27. № 22. pp. 4963-4990.
10. Jansson S. Evaluation of methods for estimating fractal properties intensity images. Master's Thesis in Computing Science. Umea University Department of Computing Science. 2006. 82 p.
11. Makarenko N.G., Karimova L.M., Kruglun O.A. Skejlingovye svojstva cifrovyh izobrazhenij zemnyh landshaftov // Sovremennye problemy distancionnogo zondirovaniya Zemli iz kosmosa. 2014. T. 11. № 2. pp. 26-37.
12. Potapov A.A. Fraktal'nye i teksturnye obnaruzhiteli slabyh radiolokacionnyh signalov na fone intensivnyh pomeh. Chast' I. Vvedenie v principy topologicheskih obnaruzhitelej // Radiotehnika. 2019. № 1. pp. 80-92.
13. Guzenko O.B., Katulev A.N., Hramichev A.A., Yagol'nikov S.V. Avtomaticheskoe obnaruzhenie i soprovozhdenie dinamicheskih ob ektov na izobrazheniyah, formiruemyh optiko-'elektronnymi priborami v usloviyah apriornoj neopredelennosti. Metody i algoritmy. Monografiya / Pod red. A.A.Hramicheva. M.: Radiotehnika, 2015. 280 p.
14. Teng H.T., Ewe H.T., Tan S.L. Multifractal dimension and its geometrical terrain properties for classification of Multi-band multi-polarized SAR image // Progress in Electromagnetics Research.
2010. PIER 104. pp. 221-237.
© Потоцкий А.Н., 2019
Потоцкий Антон Николаевич, младший научный сотрудник научно-исследовательского центра (проблем применения, обеспечения и управления авиацией Военно-воздушных сил), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54 А, AntonPototskiy@mail.ru.
