ИНЕРЦИЯ: НАУЧНЫЙ И МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКИЙ АСПЕКТЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 521.1; 522.7; 523.8 DOI 10.21661/r-486088

Кулик В.И., Кулик И.В.

Инерция: научный и мировоззренческий аспекты

Аннотация

В статье ставится цель проникнуть в понятие «инерционное состояние тела» и что такое, или как понимать выражение «инерционная сила». Авторы рассматривают инерционное состояние тела или системы, как независимое, самостоятельное, само сохраняемое и только внутренне диалектически изменяемое состояние системы, живущей по своим внутренним законам.

I

Ключевые слова: время, орбита, скорость, инерция, центробежная сила, центростремительная сила, движущееся тело, кинетическая энергия, инерционная сила, потенциальная энергия.

Kulik V.I., Kulik I.V.

Inertia: scientific and world outlook aspects

Abstract

Comprehension of the concepts: «inertial condition of a body» and «inertial force» is the main aim of the article. Authors consider an inertial condition of a body or a system, as independent, autonomous, self-retaining and only internally dialectically changeable condition of the system living under the internal laws.

I

Keywords: inertia, time, an orbit, speed, centrifugal and centripetal force, inertial, a moving body, kinetic and potential energy.

Предисловие

В предисловии редактора к работе [1] академик А. Ю. Ишлинский кратко охарактеризовал следующие основные постулаты классической механики.

Классическая механика постулирует наличие «абсолютной» системы координат с началом в центре масс Солнечной системы и с осями, направленными к «неподвижным» звёздам. Пространство принимается за евклидово, время считается независимой категорией, «абсолютным», всюду текущим одинаково.

Каждое тело (точнее, материальная точка) ускоряется в такой системе координат под воздействием других тел. Мера этого воздействия называется силой, силой физической, или Ньютоновой, естественно - по определению. Ускорение обратно пропорционально массе тела, его мере инерции. Верен закон действия и равного, противоположно направленного противодействия -третий закон Ньютона. Всякой Ньютоновой силе, т. е. воздействию одного тела на другое, присуща равная, противоположно направленная и действующая по той же прямой сила воздействия второго тела на первое. Векторные величины, хотя бы и называемые по ряду причин силами и имеющие ту же размерность, но не вызывающие «абсолютного» ускорения и не имеющие

отношения к третьему закону Ньютона, таким образом, не являются физическими, Ньютоновыми или естественными силами. Так называемые силы инерции, встречающиеся в классической механике, как раз и являются в этом смысле силами фиктивными.

Сила инерции? Чему она равна? А быть может это не сила? Инерция - это природное свойство тел сохранять покой или движение, когда на тело не действуют внешние силы или их равнодействующая равна нулю.

Исследование по теме

1. Если тело массой т движется равномерно с постоянной скоростью V и на него не действуют внешние силы, или они уравновешены (что означает, что тело движется по инерции), то оно обладает кинетической энергией движения равной = mv2/2. Здесь т масса тела, V скорость движения тела. Эту энергию можно определить, остановив принудительно движение тела или доведя его скорость до нуля, т. е. до скорости V = 0, и измерив ту работу, которую произведёт тело при изменении его скорости движения от V до V = 0.

2. Аналогичным образом, находящаяся в состоянии инерционного покоя, например, упругая пружина, также обладает внутренней, скрытой энергией, но не кинетической, а потенциальной энергией, например, как пружина, у которой закон изменения энергии -

Wп = кх2/2. Здесь к - «квазиупругая сила» пружины, х - перемещение свободного конца пружины. Эту энергию можно определить, переместив конец пружины на расстояние х = а. Произведённая работа будет равна потенциальной энергии принудительно сжатой (или растянутой) пружины.

3. Ни движущееся тело массой т, ни покоящаяся упругая пружина, сами по себе, не обнаруживают явно никаких сил до тех пор, пока они не войдут в соприкосновение с другим телом, или друг с другом (или в зону взаимного бесконтактного влияния друг на друга, если таковое имеет место быть).

4. На рис. 1 и 2 показано тело массой т = 1 г, которое обладает кинетической энергией и движет-

ся равномерно со скоростью V в направлении указанном стрелкой навстречу неподвижной упругой преграде, обладающей собственной потенциальной энергией. На рис. 1 и 2 (и далее) обозначено: т - масса движущегося тела; к - квазиупругая сила «преграды» (например, - пружины, см. рис. 1); ^ - постоянная сила, рис. 2, действующая между телом и «преградой»; а - путь тела от контакта до полной остановки; т - время от контакта до полной остановки; g - ускорение; vO = V -скорость тела до контакта (а при упругом контакте - также и после контакта); W. - энергия. На всех рисунках на движущееся тело действует сила преграды направленная везде справа налево, как «сопротивление», препятствующее движению

Рис. 1 Взаимодействие тела с линейно-упругой преградой, т = 1 г

тела. При движении тела слева направо преграда препятствует движению, а при движении тела справа налево сила преграды действует как «напор», сопутствует движению. Отметим, что на рис. 2, 4, 5, 6 взаимодействие тела с преградой постоянного сопротивления подобно взаимодействию тела с гравитационной силой вблизи Земли.

5. Как только масса т коснётся неподвижной преграды в т. О (например, - пружины), она начнёт сжимать пружину производя работу (работу по сжатию пружины) и расходовать свою кинетическую энергию (в прошлых столетиях её называли «движущей силой»), при этом, сила взаимодействия может меняться!

6. Здесь (при соприкосновении) кинетическая энергия движущегося по инерции тела переходит (перетекает, преобразуется...) в потенциальную энергию сжимающейся пружины, причём этот переход происходит в строгом соответствии с законом сохранения энергии. Далее, этот переход происходит в строгом соответствии с законом изменения силы самой преграды (например, пружины - её потенциальной характеристики к и х!) и законом изменения кинетической энергии движущегося тела массы т (его - кинетической характеристики V и т!).

7. И в момент соприкосновения, и во время сжатия пружины, и в момент остановки тела, возникающая и действующая между телом (массой т) и преградой (пружиной), сила может быть различной (изменяющейся, постоянной...), но работа, совершаемая движущейся массой т до полной остановки своего движения относительно неподвижной преграды, всегда равна начальной (бывшей до контакта с преградой) кинетической энергии WK, а после остановки тела она равна, теперь уже, потенциальной Wп энергии сжатой пружины. Эта энергия остановившегося тела теперь содержится в сжатой телом пружине. В момент начала контакта тела с пружиной Wп = 0, в момент остановки тела Ws, = 0.

Рис. 2. Взаимодействие тела с преградой постоянного сопротивления, т = 1 г

В момент контакта (и в промежутке контакта) движущегося тела с преградой всегда энергия Wк +

Жк =

const, а в крайних точках или my2 , (тогда Wn = 0), или 2 kx2

Wn = , (тогда WK = 0).

8. О движущемся теле (или массе m) нельзя сказать, какой силой инерции оно обладает, или чему равна его сила инерции. Эта сила при контакте определяется кинетической энергией самого движущегося тела и законом изменения силы упругости (силы сопротивления) преграды, как системы, обладающей своим собственным законом изменения своей внутренней потенциальной энергии.

На рис. 3 подробно показаны основные параметры взаимодействия равномерно движущегося тела, обладающего вдвое большей массой m = 2 г, но прежней кинетической энергией движения

Рис. 3. Взаимодействие тела с линейно-упругой преградой, т = 2 г

На рис, 4, 5, 6 подробно показаны основные параметры взаимо

W

mvO

2-5,65685425^_32 г■ см2

с 2

2 с2

с той же самой преградой (см. рис.1), закон изменения силы которой упруго-линейный, Е= кх, где к = 1 [г/с2] - «квазиупругая сила» преграды.

действия равномерно движущегося тела с преградой, которая воздействует на движу-щееся тело постоянной силой F= const.

И опять о движущейся массе m с кинетической энергией WK нельзя сказать, какой «силой инерции» она обладает, или чему равна её «сила инерции», смотри рис. 3 и рис. 4, где сила зависит от свойств или ха-

Рис. 4. Взаимодействие тела, m = 1 г с преградой - постоянной силой упругого сопротивления: m = 1 г; Fj = 4 гсм/с2 = const;

W

W = 32 гсм2/с2; а = 8 см; v = 8 см/с; g = 4 см/с; т = 2,0 с

рактеристики другого тела - «преграды». Точно так же мы ничего не можем сказать и о «силе инерции» покоящейся пружины, смотри рис. 3, (пока движущееся тело не коснулось свободного конца пружины, ни о какой силе не может быть речи). Максимальная сила сжатой преграды (при контакте тела с ней) зависит от характеристики («квазиупругой силы») преграды и той кинетической энергии, которой обладало тело до контакта с преградой.

Вот как объясняет инерцию И. Ньютон (в переводе академика А.Н. Крылова [8]). «Врождённая сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает своё состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Эта сила всегда пропорциональна массе (не всегда, смотри рис. 4 и рис. 5, где сила не пропорциональна массе и рис. 4 и рис. 6, где сила пропорциональна массе, или рис. 1. где сила F = var, а масса m = const, но всегда F = mg) и если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на неё.

От инерции материи происходит, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя или движения. Поэтому «врождённая сила» могла бы быть весьма вразумительно названа «силою инерции». (Обратите внимание, как осторожно

И. Ньютон вводит здесь это понятие - «сила инерции»).

«Эта сила проявляется телом единственно лишь, когда другая сила, к нему приложенная, производит изменение в его состоянии. Проявление этой силы может быть рассматриваемо двояко - и как сопротивление, и как напор. Как сопротивление - поскольку тело противится действующей на него силе, стремясь сохранить своё состояние; как напор - поскольку то же тело, с трудом уступая силе сопротивляющегося ему препятствия, стремится изменить состояние этого препятствия. Сопротивление приписывается обыкновенно телам покоящимся, напор - телам движущимся. Но движение и покой при обычном их рассмотрении различаются лишь в отношении одно к другому...» [8].

Итак, «врождённая сила материи» есть свойство материи, или есть не что иное, как инерция. «... Проявление инерции в высшей степени отлично от того, которое свойственно обычным силам». [9]. (Обратите внимание на мысль Л. Эйлера - «отлично от...»).

«Приложенная сила, - продолжает И. Ньютон, - есть действие, произведенное над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного

Рис. 5. (F и W) = const, m Ф const. Взаимодействие тела, m = 2 г с преградой - постоянной силой упругого сопротивления: m = 2 г;

F. = 4 гсм/с2 = const; W„, = W_. = 32 гсм2/с2; а = 8 см;

2 K2 112

v0 = 5,656854 см/с; g = 4 см/с2; т = 2,828427 с

движения. Сила проявляется единственно только в действии и по прекращении действия в теле не остаётся. Тело продолжает затем удерживать своё новое состояние вследствие одной только инерции. Происхождение приложенной силы может быть различное - от удара, от давления, от центростремительной

Рз - 8 —const

— О- — sC цн

г—- ОС ЦП

■—■ ОС г—^ iN

Г— ОС "О ЦП

■г--) чс ■—• ос с--

о — ^ -г ^ Г--

цн гп ЦП -ф СТ4

■— Q '/"1 |/"1 Г—

■сн Г-J i/-, ос

гн as -ф sC се

об гч г-.j сг-

О ^ с^ (»■} чС ЭС О ОС

ОС Г-Г чс V~T ^ Tf r-i

3

(7=8

Рис. 6. (F и Wk) Ф const, m = const. Взаимодействие тела, m = 2 г с преградой - постоянной силой «упругого» сопротивления: m = 2 г; F3 = 8 гхм/

с2 = const; W„_ = W__ = 64 гсм2/с2; а = 8 см; v_ = 8 см/с; g = 4 см/с2; т = 2,0 с

' Кз Из 7 'О ? <j ? ;

силы». И далее: «Волчок, коего части вследствие взаимного сцепления отвлекают друг друга от прямолинейного движения, не перестаёт равномерно вращаться, поскольку это вращение не замедляется сопротивлением воздуха...», [8].

Мнение Ньютона о вращательном движении допускает обоснование того, что и вращательное движение обладает свойством движения (или вращения) по инерции! Из всего сказанного можно сделать заключение, что «только покой или только равномерное движение» характеризует инерционное состояние тела.

Так для всех схем рис. 1 ... 5, при движении тела слева направо до соприкосновения с неподвижным телом (в т. О), имеем инерционное прямолинейное равномерное движение. На участке 0 < х < а активного контакта тела с пружиной, движение тела уже понимается как не инерционное. Кинетическая энергия тела WK = 32 гсм2/с2 (расходуется, исчезает...) переходит в потенциальную энергию сжимающейся пружины, а в точке х = а никакого вообще движения нет, остановка тела (или инерционный покой, пусть даже кратковремен-

ный, где скорость движения тела v = 0), а в сжатой пружине потенциальная энергия теперь, напротив, равна Wn = 32 гсм2/с2. Затем происходит движение справа налево, пружина разжимается и на участке а > х > 0 она разгоняет тело и отдаёт телу накопленную потенциальную энергию. Как только контакт тела с подвижным торцом пружины прекратится в т. О, сила пружины перестаёт действовать на тело и оно, само по себе, продолжает теперь уже инерционное прямолинейное равномерное движение, обладая прежней кинетической энергией WK = 32 гсм2/с2.

Из показанных на рис. 1, 2, 3, формул: энергии, силы, скорости, ускорения, времени, пути, можно, при известных остальных параметрах, опять-таки, определить: путь а, пройденный телом, начальную скорость v0, при движении слева направо, или конечную скорость при движении тела справа налево, смотри стрелки на рисунках, указывающих изменение отсчёта х, и другие параметры. Например, рис. 4, если кинетическую энергию движущегося тела увеличить в два раза, сохранив массу m = 1 г, то скорость начальная станет v0 = 11,3137085 см/с, и тело пройдёт до остановки путь а = 16 см., а ускорение равное g = 4 см/с2 и сила преграды F = 4 г^см/с2 останутся прежними.

Всё это можно было бы определять именно так, если бы гравитационная сила не «отличалась» от «обычных» сил. Вспомните высказывание [9] Л. Эйлера («отлично от...»), на которое мы обратили внимание раньше.

Поэтому, необходимо сделать два важных замечания.

Первое замечание заключается в следующем.

На рис. 2 и 4 масса m = 1 г движется с кинетической энергией WK = 32 г^см2/с2 со скоростью v = 8 см/с, встречая преграду, воздействующую на движущееся тело с постоянной силой F = 4 гсм/с2, и через время т = 2 с оно останавливается.

На рис. 5 тело, теперь уже вдвое большей массы m = 2 г, движется с той же самой кинетической энергией WK = 32 гсм2/с2, но со скоростью v = 5,65685425 см/с, встречая ту же преграду, воздействующую на движущееся тело с той же постоянной силой F = 4 гхм/с. При этом уменьшается ускорение тела в два раза до величины g = 2 см/с2 и увеличивается время на том же (а = 8 см) пути до величины т = 2,82842 с. Здесь ускорение обратно пропорционально массе. Как видим, масса увеличилась, а сила осталась равной прежней величине. И потому сила - не всегда пропорциональна массе. Она зависит от закона изменения силы самой преграды, но не массы, движущегося по инерции тела.

При сравнении рис. 5 и 6 обнаруживаем: (F и Wk) ф const, m = const, здесь сила разная, ускорение пропорционально силе, сила не пропорциональна массе , так как m = const. Также и ускорение - не всегда обратно пропорционально массе тела, смотри внимательно рисунки 4, 5, 6 и подписи к ним.

Второе замечание заключается в следующем.

В гравитационном поле Земли всё не так. Если тела разных масс падают на Землю с одной и той же

высоты, например а = 8 см, и ускорение свободного падения принимаем равным g = 4 см/с, то скорость в конце падения V = ^2=>/2 • 4 • 8 = 8 см / с будет для всех тел одинакова, одинаково будет и время падения тел ¡2т г- I- „. в конце пути, равном х

= 8 см.

Это можно проследить по рис. 4 и 6, где (после перемещения слева направо, что мы отождествляем с подъёмом тела вверх от Земли с одинаковой начальной скоростью vО = 8 см/с) в точке а скорость тела любой массы становится равной нулю, и затем, падая (движение справа налево) в точку О, в конце пути равном а = 8 см, тела любой массы приобретают прежнюю одинаковую скорость и проходят этот путь за одинаковое время равное т = 2 с. Для примера, смотри рис. 2, при «падении» (движение справа налево), путь, пройденный телом при равноускоренном движении, принято определять по формуле

gт2 _ 4■ (т8 -т3)2 _ 4• (2,0- 0,418861)2

х* =:

2

2

■ = 5 см

Особенность будет заключаться в том, что тела разных масс притягиваются к Земле с одинаковым ускорением, но с разными силами m- ■ g — m- —-r-—г = Fi

1 2-(a-x)

всегда пропорциональными массам тел (потому, что принимается ускорение g = const). Энергия тел разных масс в конце падения также будет различная mv2 _ ^ . a - щ, но пропорциональна массам тел. Это

доказано экспериментами на Земле и Луне.

Итак, современное воззрение на инерцию таково: если на тело действует внешняя сила (или равнодействующая системы внешних сил, приложенных к телу, не равная нулю), то уже о движении по инерции не может быть речи, [1].

Тогда выходит, что движение по кругу (где равнодействующая системы внешних сил, приложенных к телу, равна нулю) - можно назвать инерционным и прав Г. Галилей! Кроме того, и X. Гюйгенс утверждал, что центростремительные силы Ньютона уравновешивают центробежные!

Однако, центробежную силу, действующую на тело, движущееся по круговой или по эллиптической орбите, сегодня продолжают называть то «силой инерции», то «инерционной силой», или ещё хуже - «фиктивной»? Но «сила инерции» есть реакция на «внешнюю приложенную к телу силу» и потому эти силы должны быть всегда равны между собой и противоположно направлены, так же, как и ускорения, вызванные этими силами, смотри рис. 3 и рис. 4.

Однако, на небесное тело, движущееся в солнечной системе по эллиптической орбите, действуют вдоль радиуса две различные, противоположно направленные и, прежде всего, реальные силы: центростремительная сила И. Ньютона FN = утМи центробежная сила X. Гюйгенса FG = mV2/Я,, которые имеютразлич-

ный закон изменения силы от радиуса и не равны друг другу на всей траектории движения тела, кроме параметра орбиты - радиуса RО, см. рис. 7.

Основная часть исследования (примеры)

Рассмотрим теперь несколько примеров, которые позволят нам глубже проникнуть в понятие «инерционное состояние тела или системы» и понять, что такое, или как вообще можно понимать выражение «инерционная сила».

Пример 1.

Этот пример (рис. 7 и 15) рассмотрим подробней (мы будем к этой теме возвращаться постоянно), в котором (в качестве примера) принято: гравитационная постоянная у = 1 см3 /гс2; масса лёгкого тела т = 1 г; центральная масса системы М = 64 г.; апогейный радиус RB = 6 см; скорость в апогее орбиты V = 2,(6) см/с; перигейный радиус RH = 3 см; скорость в перигее орбиты V = 5,(3) см/с; параметр орбиты RО = 4 см; скорость перпендикулярная к параметру, радиус-вектору

R0 орбиты V0

V„,

4 cм/с, период обращения Т =

7,497364958 с, и где показаны основные параметры движения тела массой т по такой орбите в центрально симметричном поле. Считаем, что т << М.

1.1. О силах (см. [3, 6])

Указанные выше силы, по данным к рис. 7, 14, 15, имеют следующие значения:

Сила X. Гюйгенса, (в литературе называют «не реальной», «фиктивной»...), и сила И. Ньютона, (которую называют «реальной»), в апогее - на радиусе RB,

здесь Р^ < FN,

= mVl = 1 - 2,(6)2 = 1(lg5) г-см ^ = ymM = Ы-

64

R2

б2

^1,(7)'

Силы X. Гюйгенса и И. Ньютона на параметре орбиты - RО

здесь Fg = Fn

F _ mVTO RO

1 • 42 _ 4 г • см

F _ymM_ _ 1 -1 ■ 64 _ 4 г ■ см N _ RO ~ 42 _4 с2

Силы X. Гюйгенса и И. Ньютона в перигее - на радиусе RН, здесь FG > FN ,

Fg _■

nV§ _ 1- 5,(3)2 R„ - 3

_ 9,(481)-

ymM _ 1 ■ 1 ■ 64

= R2 _ 32 :

: 7,(1)-

Равенство этих двух сил Равенство этих двух сил имеет место только на параметре орбиты, т. е только на радиусе R или

Fg =

nVp Ro

= 4

г • см

с

2

= \Fn =

ymM

RO2

Разница этих двух сил

FN - FG =

ymM ГmVT] ]

V R2 \ L R i

= =ymM . - Ro

"' R2 I1 R у

Именно разница двух сил (!) и действует на обращающуюся массу.

Если получается знак плюс (+) - результирующая сила - FG) направлена к Центру, если получается знак минус (-) - результирующая сила (Ру - FG) направлена от Центра. ^ Отношение этих двух сил = .

1.2. О скорости (см. [2, 4, 6])

Покажем теперь общее выражение скорости движения тела по траектории и её составляющих, рис. 7, в зависимости только от изменения «радиус-вектора» R. и под действием двух вышеуказанных сил, см. ранее в работе [6]:

- скорость движения перпендикулярная к радиус-вектору R,, или тангенциальная (движение по всей

траектории) у =

Vo^RQ R,

(1)

- скорость движения вдоль радиус-вектора, или радиальная (при движении от апогея, от т. В, к перигею, к т. Н, делаем замену Rt=RВ, а при движении от перигея, от т. Н, к апогею, к т. В, делаем замену R,=RН)

Рис. 7. Траектория (орбита) и составляющие скорости движения по орбите в предположении т <<М

F

N

2

С

F.

G

с

B

с

^ = Го

ЯО - 2 Яо + 2 ^ - ;

(2)

Я

Я

Я2

- скорость касательная к траектории или орбитальная (при движении от перигея, от т. Н, к апогею, к т. В, делаем замену R*=RН, а при движении от апогея, от т. В, к перигею, к т. Н, делаем замену R*=RВ)

(3)

_ 2 Я2 Я*

2 Я

утМ

1 ■ 64 1-1-64 = 10,(6) 6

. (4)

Таким образом, замечаем, что работа от силы FN больше, чем от силы FG на величину - WGB = 10,(6) - 3,(5) = 7,(1), как и в перигее, и равна энергии движения тела на среднем радиусе орбиты.

Кинетическая энергия движения самого тела массой т в апогее со скоростью ¥ш = ¥±в = ¥в, по касательной к орбите на радиусе RB и в то же самое время перпендикулярно к радиус-вектору RB

Составляющие скорости в зависимости от радиуса R: ¥к - радиальная, ¥Т - тангенциальная и ¥в - орбитальная, показаны на рис. 7, 13, 15.

Несмотря на то, что траектория обращения материальной точки т вокруг Центра М симметрична относительно линии апсид, тем не менее, параметры движения изменяются по-разному (угол р, скорость V ...).

При движении от апогея (верхняя точка орбиты - В) к перигею (нижняя точка - Н) до линии параметров доминирует сила центростремительная, и тело приближается к Центру (смотри направление радиальной скорости ¥к слева от линии апсид, рис. 7). При движении от перигея (нижняя точка орбиты - Н) к апогею (верхняя точка орбиты - В) до линии параметров доминирует сила центробежная, и тело удаляется от Центра (смотри направление радиальной скорости ¥к справа от линии апсид, рис. 7, 15). В точках В и Н скорость вдоль радиуса ¥{, = 0 - это «.мгновенный» инерционный покой. А на радиусе RО обнаруживается равенство сил, т.е. - «мгновенное инерционное» движение. Происходит колебательное движение между радиусами RB и R Эти реальные, природные силы: центростремительная сила И. Ньютона и центробежная сила X. Гюйгенса - противоположно направлены, равно-правны и одного порядка значимости.

1.3. Об энергии (см. [4])

Движение из бесконечности до радиус-вектора RB (до апогея орбиты)

Если предположить, что тело массой т передвинуто гравитационной силой («центростремительной» силой Ньютона FN) из бесконечности до радиуса RВ (где апогей орбиты RВ - расстояние, измеряемое от центра массы М), то работу, которую совершит эта сила Е, , будет равна:

ГКЕ

т ■ Нв

т ■ У2в

1■2,6(6)2 : 2

= 3,5(5)

г ■ см2

(6)

Таким образом, замечаем, что работа от силы FGB (при движении от RB до да) равна кинетической энергии движения ^ТКВ самого тела массой т.

Движение из бесконечности до радиус-вектора RН (до перигея орбиты)

Если предположить, что тело массой т передвинуто гравитационной силой («центростремительной» силой Ньютона FN) из бесконечности до радиуса RН (где перигей орбиты RН - расстояние, измеряемое от центра массы М), то работу, которую совершит эта сила Е , будет равна

ш ¡у- т ■ М утМ 1 ■ 64 ,, кн к ян 3

. (7)

Если предположить, что тело массой т передвинуто вращательной («центробежной» силой Гюйгенса Е^ от радиуса RН (где перигей орбиты RН - расстояние, измеряемое от центра массы М) до бесконечности, то работу, которую совершит эта сила Е^, будет равна:

|х с

Ген = I • ¿Щ

I КгЗ • ¿Щ

2 • Щ

_ 1 утМ • RO _ 1 1-1 • 64 • 4 _

R2

32

14,2(2)

н г • см

°+2 • % 2 кН

Таким образом, замечаем, та от силы F„ больше, чем о

что силы

(8)

рабо-Е, на

- = 21,(3) -14,2(2) = 7,(1), как и в апогее, и равна энергии движения тела на среднем радиусе орбиты.

Кинетическая энергия движения самого тела массой т в перигее со скоростью VDH = У± н = VH, по касательной к орбите на радиусе RН и в то же самое время перпендикулярно к радиус-вектору RН

= ^

_гтУ1н

1- 5,3(3)2 : 2

=14,2(2)

г - см2

. (9)

Если предположить, что тело массой т передвинуто «вращательной» («центробежной» силой Гюйгенса Е^) от радиуса RВ (где апогей орбиты RВ - расстояние измеряемое от центра массы М) до бесконечности, то работу, ко-торую совершит эта сила Ес,, будет равна:

ж с

^ав - 1 ■ йЩ = с±

1 утМ • RO

2 R2

1 Ъ-3 ■

1•1• 64 • 4

62

2 ■ Ш

= 3,5(5)

-0 +1 ■ % 2 ъВ

г • см2

(5)

Таким образом, замечаем, что работа от силы FGH (при движении от RH до да) равна кинетической энергии движения самого тела массой т.

Движение от радиус-вектора RВ до радиус-вектора ^

Гравитационная энергия (работа силы Ньютона -Едг) при перемещении массы т от радиуса RB (апогей орбиты) до радиуса RН (перигей орбиты)

= 7тМ

в - ¡н

¡в ■ ¡н

= 1 ■ 1■64■

6-3 6 ■ 3

= 10,6(6)

г ■ см2

(10)

WN(вн) = WN(Bo) + WN(oн) = 5,(3) + 5,(3) = 10,(6)

или Wщca-H) - „-В) = ЖК(Йн = 21,(3) -10,(6) = 10,(6).

2

с

2

2

2

2

с

2

с

Таким образом WN(BO) = WN(OH) = 5,3(3). Это означает, что работа гравитационной силы по перемещению тела массой т от радиуса RB (апогей орбиты) до радиуса RО (параметр орбиты) равна работе гравитационной силы по перемещению тела массой т от радиуса RО (параметр орбиты) до радиуса RН (перигей орбиты), а также работа с внешней стороны орбиты равна работе внутри орбиты.

Вращательная энергия (работа силы Гюйгенса -FG) при перемещении массы т от радиуса RB (апогей орбиты) до радиуса RН (перигей орбиты)

!21. (11)

' G(BH)

ymM ■ R0 ' 2

Rl - RH I 1-1 ■ 64 ■ 4 ( 62 - 32

=10,6(6)

• ¡Н ) 2 ^ 62 • 32, ^(ЕН) = WG(во) + WG(0H) = 4,4(4) + 6,2(2) = 10,(6)

или -Н) - <ю-В) = Жс(вН) = 14,(2) - 3,(5) = 10,(6).

Таким образом [^С(ВО) = 4,4(4)] < [^в(ОН) = 6,2(2)]. Это означает, что работа «вращательной», т. е. анти-гра-витационной силы по перемещению тела массой т от радиуса RB (апогей орбиты) до радиуса RО (параметр орбиты) не равна (меньше!) работе гравитационной силы по перемещению тела массой т от радиуса RО (параметр орбиты) до радиуса RН (перигей орбиты), а также работа с внешней стороны орбиты равна работе внутри орбиты.

Итак, при перемещении тела из бесконечности до радиуса RВ работа гравитационного поля была равна также WNB = 10,(6), а работа вращательного поля, была равной WGB = 3,(5). При перемещении тела массой т от радиуса RB до RО работа силы Ньютона №щВ0) = 5,(3), а силы Гюйгенса WG(вo) = 4,(4). При перемещении тела массой т от радиуса RО до RН работа силы Ньютона №щво) = 5,(3), а силы Гюйгенса WG(BO) = 6,(2). И, наконец, при перемещении (внутри орбиты) тела массой т от радиуса RB до RН:

№щвн) = ^щво) + Гщон) = 5,(3) + 5,(3) = 10,(6),

Ге(дд) = + ^о(он) = 4,4(4) + 6,2(2) = 10,(6),

а при перемещении (с внешней стороны орбиты) тела массой т из бесконечности до радиусов RB и RН работа таже:

или да-н> - да-В) = WN(BH) = 21,(3) -10,(6) = 10,(6), или WG(да-Н) - WG(да-В) = WG(BH) = 14,(2) - 3,(5) = 10,(6).

Итак, WG(BH) - №Щвн) = 10,6(6) -10,6(6) = 0. Это означает, что изменения гравитационной и вращательной энергий (или работ сил И. Ньютона и Х. Гюйгенса) по перемещению тела массой т от радиуса RB (апогей орбиты) до радиуса RН (перигей орбиты) равны между

собой. Или №а(вщ = 10,б(б) =.. При этом, в нашем конкретен 10,6(6)

ном примере =6=2, а также =

Кн 3 Ув

5,3(3)

: 2 .

н 3 У в 2,6(6)

Все сказанное ни сколько не ставит под сомнение общее присущее природе свойство инерции, а также, свойство тел к взаимному притяжению, как и природное свойство тел, удаляться друг от друга при их взаимном обраще-нии вокруг общего Центра. Мы еще вернемся к этой теме.

Пример 2

Если мы два одинаковых шарика массой т = 10 г каждый, один из которых подвешен к пружине с харак-

теристикой k = 2450 г/с2 и поднят из состояния равновесия вверх на 6 см (т. е. пружина предварительно сжата на 2 см), а другой шарик свободен, одновременно отпустим с одного уровня, то они оба устремятся вниз к Земле. На рис. 8 показаны некоторые параметры движения этих шариков.

Шарик-1 на пружине, сразу вступает в колебательное движение: из верхней точки О он, увеличивая скорость движения V достигнет точки равновесия, т. 6, (где х = 6 см, а скорость его в этом месте наибольшая и равна

Ц VF =. Д^/ах - х2 =. 12450 ^ 12 • 6 - 62 = 93,91485504 [см / с]

V т \ 10

затем продолжит движение с потерей скорости и остановится в т. 12 (покой!), а затем начнет движение вверх. На весь путь в 12 [см]. он потратит время ~ 0,2 [с].

Шарик-2 свободно падающий проходит тот же путь в 12 [см]. непрерывно увеличивая свою скорость движения VП, которая в конце пути наибольшая VП = 153,3623161 [см/с], а время, за которое он проходит этот путь, меньше, чем у шарика, подвешенного к пружине, и равно 0,156492159 [с]. Однако, в начале движения, предварительно сжатая пружина и сила тяжести (гравитационная) вместе разгоняют подвешенный шарик, и скорость его движения больше скорости свободно падающего шарика.

Когда шарики проходят расстояние равное 4 [см], то их скорости в этот момент одинаковы и равны величине 88,5438 [см/с], но свободно падающий шарик проходит путь в 4 [см] дольше, чем привязанный к пружине шарик.

И когда пройденное расстояние станет равным ~ 9,33828 [см]. свободно падающий шарик догонит шарик, привязанный к пружине, и они одновременно преодолевают это расстояние, смотри пунктирную линию и графики времени tF и tП. Затем свободно падающий шарик обгонит шарик, привязанный к пружине. Один и тот же путь в (ВВ - ВН) = 12 [см] шарики проходят за разное время. Если бы мы задались целью построить графики различных параметров «одновременно» для этих двух систем в зависимости от времени, то возник бы вопрос: «по какому времени t или tПстроить графики»? В различных системах параметр времени различный! Где здесь «абсолютное» время? Время, которым мы пользуемся, привязано к Земным условиям!

2.1. Шарик-1 (на пружине)

Скорость на расстоянии х = 4 [см] с начала движения шарика-1

и VF =.¡^-у!ах - х2 =. 12450 V12 ■ 4 - 42 = 88,54377448 ^ СМ \ т \ 10

Время на расстоянии х = 4 [см] с начала движения

£

шарика-1

1 I x m I x

tF =-■2■ ar^m^2R J ■2■ arcsinsjjr

1° i M

12450 ■2 ■ ™V 26

= 0,078643112 [с] Скорость на расстоянии х = 6 [см] с начала движе ния шарика-1 [к

n vp m ^ax -x2

2450 10

■V12 ■ 6 - 62 = 93,91485505

см с

Рис. 8. Изменение скорости и времени колеблющегося, и свободно падающего тела

Время на расстоянии х = 6 [см] с начала движения шарика-1

1 ~ I х [т , I х ! 10 , I 6

^ =- -2 - агсят^ — ^т -2 - — ^ 2450 '2' 26 =

= 0,063887656 - 2 - 0,785398163 = 0,100354496 [с].

Скорость в конце пути на расстоянии х = 12 [см] с начала движения шарика-1

Ti VF =. —*Jax - x2 =

•12 -122 = 0,0

см

2R V 2450

4 уп = =

\ т \ 10 \ 10

= 88,54377448 — \ с

Время свободного падения с высоты 4 см

1 п=]1¥=М=°'°9035079 и

Скорость в конце пути на расстоянии х = 6 [см] с начала движения шарика-2

I Гд

-10^-980 = 108,4435337

см

i Vn = . — -4Х = J2gX = v2 • 980• 12 = 153,3623161 V m v

Время свободного падения с высоты 8 см

см

1 = ^ = >Щ = 0,127775313 [с]

Время подъёма на высоту 6 [см] с начальной скоростью 153,3623161 [см/с]

п=№■ ()=Ш80- ()=

= 0,045835492 [с] Время свободного падения с высоты 12 см

1 {п=\1¥=у1Ш=0,156492159 и

Время подъёма на высоту 12 [см] с начальной скоростью 153,3623161 [см/с]

Время в конце пути на расстоянии х = 12 [см] с начала движения шарика-1

1 ~ . пг т ~ . ГГ I ю 0 . ¡гг

= — ■ 2 ■ агсхт^= Лк ' 2' агсст^ — = ЛТ^тт ■ 2 ■ а^т.'

= 0,063887656 ■ 2 ■ 1,570796327 = 0,20070899 [с]. 2.2. Шарик- 2 (свободно падающий) Скорость падения на расстоянии х = 4 [см] с начала движения шарика-2

Время свободного падения с высоты 6 см ; =0,110656667 [с]

Скорость падения с высоты х = 12 [см] (на рис. 1 -движение слева на право) определяется по формуле

fc (() = Щ0. ((-V123I2 ) = = 0,156492159 [с]

2.3. Продолжение примера 2, (рис. 9)

Если мы с момента времени tF = 0,078643112 [с], когда шарик-1, привязанный к пружине, пройдёт путь равный 4 [см], отсоединим шарик-1 от пружины, и он, имея в данный момент скорость равную VF = 88,54377448 [см/с], начнёт свободно падать и, наряду с другим, с самого начала свободно падающим шари-ком-2, пройдёт весь путь в 12 [см], то как изменятся рассмотренные параметры по сравнению с предыдущим примером?

(Здесь мы везде, как и прежде, предполагаем ускорение свободного падения тела постоянной величиной, принимая g = 980 [смМ2] = const).

Движение шарика-2 останется без изменений, как и в первом случае.

Движение шарика-1 останется без изменений, как и в первом случае только на участке 0 < х > 4. На участке движения 4 < х < 12 шарик-1 теперь уже не подвержен воздействию пружины и потому свободно падает, так же как и шарик-2 (смотри пунктирные линии). Если бы не было гравитационной силы, шарик-1 продолжал бы движение, сохраняя свою кинетическую энергию, двигаясь по инерции со скоростью 88,377448 [см/с]. На рисунке 9 графики изменения скоростей совпадают и оба шарика на участке пути 4 < х < 12 и в конце движения при х= 12 \см\ имеют одинаковую скорость.

H,l447S44Sf

2 3 4 5 6 7 8 9 10 П 12

Рис. 9. Изменение скорости и времени колеблющегося и свободно падающего тела

с

с

Расстояние х = 4 [см] шарики, как и в первом случае, проходят за разное время, причём шарик-1 опережает шарик-2 (разница составляет At = tn - tF = 0,090350790 - 0,078643112 = 0,011707678 [с]). Эта разница сохраняется до конца падения и потому кривые изменения времени на участке движения 4 < х < 12 одинаковы. На участке пути от х = 4 до х = 12 все параметры движения шариков одинаковы. Однако, весь путь равный (ВВ - ВН) = 12 [см] шарик-1 пройдёт за время tF = 0,144784481 [с], а шарик-2 пройдёт за время tn= 0,156492159 [с]. Если на участке движения (ВВ - ВН) = 12 [см] ускорение g Ф 980 см/с2, или g Ф const, то в этом случае необходимо учитывать изменение ускорения g.

Пример 3

Из одной и той же точки вертикально вверх с интервалом времени t выброшены два шарика со скоростью v. Через какое время после вылета второго шарика они столкнутся?

Решение проводим при условии действия на шарики только постоянной гравитационной силы (что справедливо только у поверхности Земли) и параметрах указанных в тексте. Но задача не однозначная, а многовариантная.

Согласно условиям (графики времени полёта шарика - т и других параметров смотри на рис. 9), если шарик (массой m = 1 г, а сила преграды, т. е. ускорение свободного падения g = 4 см/с2) брошен

со скоростью V = 8 см/с от центра притяжения (от т. О), то до остановки (до т. а) он пройдёт путь 8 см. и потратит времени 2 с. Затем начнёт падать вниз к центру и будет падать до места старта также 2 с. Если через 2 с. после старта первого шарика бросить второй шарик, то оба шарика будут двигаться навстречу друг другу (первый - вниз, второй -вверх) и через 1 с они столкнутся. При этом, за время 3 с. первый шарик пройдёт расстояние снизу вверх равное 8 см. и сверху вниз 2 см., а второй шарик за время 1 с пройдёт расстояние снизу вверх равное 6 см. Время гарантированного старта второго шарика должно быть в пределах 0 < т <4 с.

Значение t = 0 с, означает, что шарики брошены вверх одновременно, а значение t = 4 с, означает, что первый шарик упал в момент старта второго. Если t > 4 с, то контакт шариков всегда будет в месте старта и происходить через интервал времени вылета t плюс время полёта т = 4 с.

Время подъёма (на рис. 10 - движение слева направо) определяется по формуле

т = -Vа - х ■ л/8 -V8 - 6 = 1 с.

Время падения (на рис. 10 - движение справа налево) определяется по формуле

= 1 с.

V, 8

5,Ь568

С и. in F (движение i |> ■:<:: Hiinfjaau—• вверх '

mX v " г 4

Время ¡г (движение слева направо—* вверх)

F, W, Wr V, Wn

32 X k V ; > > /

16 \

4' 7« iy k Л

A / s *

33

|г- прем я нидьёма ¿г- время падения _JI

, , 1 ,0!2345678i : Ь = 8 7 6 5 4 3 2 10*

Путь (слева направо)

4 ~2Г

Скорость

1-5,6568542 . ,т

=4 х4 =

1-5.656854^

2-4

2Г ~ 24 Ускорениеg

- - X. I - <' 1 эс

i ГЧСГ,1Г. г I Fi — Л I—

Г: — < I г - о I

М (Ч Л Л Г I

С ^ Т: ЛП С Ci О SC -С с V> чг г! О

(1=8

Л , C.1I

т7-; = 4 —v = L onsl .

2(а-хА) (-3

Путь при подъёме (на рис. 10 -движение слева направо) определяется по формуле

- ту2 „ 1-42 , ,

х6 = а--= 8--= 6 см

6 2F 2-4

Путь при падении (на рис. 9 -движение справа налево) определяется по формуле

- mv2 1-42

2F 2-4

= 2 см

Скорость при подъёме (на рис. 10 - движение слева направо) определяется по формуле - ¡2~¥ I- ¡2~4

8^6 = 4 c-f

Скорость при падении (на рис. 9 - движение справа налево) определяется по формуле

-Ш ^- 4

При принятых в Решении условиях оба шарика при контакте будут иметь одинаковую, направленную навстречу друг другу скорость, равную 4 см/с и находиться в 6 см от места старта. Однако задача может иметь другие условия. Кинетическая энергия массы т в начальный момент старта со скоростью У0

Wk =-

1 •

- = 32-

Рис. 10. Взаимодействие тела с преградой постоянного сопротивления, m = 1 г

Потенциальная энергия (работа) гравитационного поля на пути от т. О до т. а

= ^ = mga = = 32 ^

Пример 4

До какой высоты RB поднимется материальное тело массы т, брошенное в момент времени t = 0 [с] с поверхности тяжёлого Центра (например, с поверхности «Земли») радиуса RH вертикально вверх с начальной скоростью vО? Чему равно время подъёма и свободного падения с этой высоты (с радиуса RВ) на радиус RН? Принять в расчёт изменение ускорения и пренебречь каким-либо сопротивлением (например - сопротивление воздуха).

Принимаем следующие параметры элементов системы и условия задачи:

- масса материальной точки (например «Тела») - т = 1 г;

- масса тяжёлого Центра (например «Земли») - М = 192 г;

- гравитационная постоянная -у = 1 см3/гс ;

2

2

с

4

- начальная скорость движения лёгкой массы т -

vО = 8 см/с;

- ближний к тяжёлому Центру радиус, с которого начинается движение массы т снизу-вверх - RH = 4 см;

- дальний от тяжёлого Центра радиус - RВ, на котором точка массы т останавливается и её скорость вдоль радиуса становится равной нулю;

- делаем предположение, что скорость V материальной точки становится равной нулю на некотором RB расстоянии точки от тяжёлого Центра М.

Замечания

А. Здесь с самого начального момента сила притяжения направлена к центру М, а движение тела происходит - от центра.

Б. Сила, действующая на тело т, прямо пропорциональна массе т и обратно пропорциональна второй степени расстояния R. между массами т и М (т. е сила действует по закону И. Ньютона). Эта сила притяжения направлена к Центру, к точке М, но в начальный момент в точке Н (на радиусе RH = 4 см, рис. 11) начальная скорость vО не равна нулю и направлена от Центра по радиусу. Материальная точка будет подниматься, и удаляться от Центра М, но сила притяжения направленная к Центру, к точке М, будет препятствовать движению материальной точки, и уменьшать её кинетическую энергию и скорость. Стрелки в заголовках таблиц 1 - 4 показывают направление движения тела.

Решение. Графики изменения основных параметров и значения основных параметров системы показаны на рис. 11 (объяснения смотри в тексте).

4.1 Материальная точка будет подниматься до того момента, пока скорость её движения V не станет равной нулю. Это наступит на расстоянии равном RВ (смотри рис. 11) от центра М, определяемом по формуле:

& = Кв =-

2gнR2н 2 -12 • 42

2gнRн - у2о 2-12 • 4 - 82 где ускорение свободного падения

уМ 1-192 см

ёв = -¿Т = ~4Т- =12

= 12 [см ]

(4.1)

(4.2)

4.2 Для пройденного точкой пути имеем выражение

равен (4.3)

х. = R

г г

а = Rв -Rн =-

- ^ ^н

а весь

2•82 • 4

2gнRн - ^ 2-12 • 4 - 8

путь = 8 [см].

4.3 Скорость подъёма, где R. = RH + х . определяется по формуле

. (4.4)

V, =Л -28иЯН-2уМ 1 * -*

я„я,

см с

На радиусе R . = RB = 12 см от центра М, тело массой т остановится, пройдя путь равный а = ^ - RH) = 8 см, а именно:

-2/М

Ъ -кнк1

-2 ■!■ 192 ■

12 - 4 4-12

см с

Рис. 11. Графики изменения и значения параметров: времени - т, скорости - V, силы - Е, потенциальной энергии - ЖП, гравитационного поля тяжёлого центра М, и кинетической энергии - Жк? движущейся материальной точки - т.

Таблица 1. Скорость подъёма с начальной скоростью vО = 8 см/с

R 4 (0) 5 (1) 6 (2) 7 (3) 8 (4) 9 (5) 10 (6) 11 (7) 12 (8)

V. 8 6,693280212 5,65685425 4,780914439 4 3,265986323 2,529822128 1,705605732 0

4.4 Достигнув радиуса удаления, равного RB = 12 см от центра М, тело массой т остановится, и затем начнёт падать на центр из состояния (инерционного) покоя, т. е. с начальной скоростью равной vО = vВ = 0, при этом =RB - х). В конце падения, на радиусе RH = 4 см от центра М, тело массой т приобретёт прежнюю стартовую скорость, равную

(4.5)

■=1 \2гм ■(R " R~l= или = ^rM

R - RH

см с

v0 = V 2-1-192 ■

12 - 4 12 ■ 4

= 8

см с

Таблица 2. Скорость свободного падения с начальной скоростью V = 0 см/с

R 4 (8) 5 (7) 6 (6) 7 (5) 8 (4) 9 (3) 10 (2) 11 (1) 12 (0)

V. 8 6,693280212 5,65685425 4,780914439 4 3,265986323 2,529822128 1,705605732 0

Если бы в начале падения масса т имела начальную скорость к центру М вдоль радиуса равную ¥ = 8, то промежуточные значения скорости определялись бы по формуле

(4.6)

в =J v0 - 2rM ■

RB - Ri rrb

82 - 2■1■192■

f 12- -Ri 1 CM

l Ri 12 J с

Таблица 3. Скорость падения на «центр» с начальной скоростью vO = 8 см/с

R 4 (8) 5 (7) 6 (6) 7 (5) 8 (4) 9 (3) 10 (2) 11 (1) 12 (0)

V. 11,3137085 10,43072385 9,797958971 9,31971796 8,94427191 8,640987598 8,390470785 8,1797973 8

4.5 Сила взаимодействия между массами т и М на радиусе RH = 4 см _ _ утИ _ 1 -1 -192 _ 12

Ги — — .а —12

на радиусе R = 12 см

H RH 42 ymM _ 1-1 -192

г • см

с

2

F =

B RB

122

= 1,(3)

г - см

с

2

4.6 Кинетическая энергия массы т в начальный момент старта

w = mO==32

УУК 2 2

г ■ см

с

2

(4.7)

(4.8)

(4.9)

4.7 Потенциальная энергия (работа) гравитационного поля на пути от RH до R

W

(BN) =YmM ■

RHRB

RB^RH\ = M ■ 192 ■i ^ 1 = 32

4 ■ 12

г ■ см

с

2

(4.10)

4.8 Время свободного падения можно определить по формуле т =

RB . RB — R: - arcsm --

R

в

12k

N

R

B

' 2k

N

•V Ri ( RB — Ri)'

(4.11)

Здесь ^К2 = §{К?-К- • К} --М - ^ - 192 §н - 12 ^ = 1,(3) ^.

Значение радиуса R,, при движении от радиуса RB=12 см до радиуса RH =4 см в конце движения становится равным RB = RH =4 см. Тогда время свободного падения (из инерционного покоя) с начальной скоростью vО = 0 см/с с радиуса RB = 12 см на радиус RH = 4 см согласно формулы (4.11) будет равно

12k

N

R

в

т = А ^ • arcsm. Гв„ R + А-J R, (RB - R,) = 2,026532577 +1,0 = 3,026532577 c.

2k

N

Таблица 4. Время свободного падения (в секундах) с радиуса RB = 12 см на радиус RH = 4 см

с начальной скоростью V = О см/с (смотри также рис. 11).с

Я. 4 (8) 5 (7) 6 (6) 7 (5) 8 (4) 9 (3) 10 (2) 11 (1) 12 (0)

Т. 3,02653258 2,88951164 2,726741272 2,53430065 2,30562967 2,029279387 1,682657455 1,1802303 0

Таблица 5. Время подъёма (в секундах) с радиуса RН = 4 см до радиуса RВ = 12 см с начальной скоростью V = 8 см/с (смотри также рис. 11).

Я. 4 (0) 5 (1) 6 (2) 7 (3) 8 (4) 9 (5) 10 (6) 11 (7) 12 (8)

Т. 0 0,1370209 0,2997913 0,49223195 0,72090295 0,9972532 1,34387512 1,84630225 3,026532577

Пример 5

При условии примера 4 решить заново задачу, поставленную в примере 3, а именно: из одной и той же точки вертикально вверх с интервалом времени т выброшены два шарика со скоростью V. Через какое время после вылета второго шарика они столкнутся? Смотри примеры 3 и 4.

Решение (эта задача также не однозначная, а многовариантная).

Согласно условиям (графики времени полёта шарика - т и других параметров смотри на рис. 11), если шарик массой т = 1 г брошен со скоростью V = 8 см/с в направлении от центра притяжения М с радиуса RH = 4 см (от точки Н), то до остановки (до точки В) он пройдёт путь 8 см и потратит времени т = 3,02653258 с (смотри табл. 5). Затем этот первый шарик начнёт падать вниз к центру М и будет падать до места старта также т = 3,02653258 с. Если через время т = 3,02653258 с после старта первого шарика бросить второй шарик, то оба шарика будут двигаться навстречу друг другу (первый - вниз, второй - вверх) и через время т = 0,72090295 с после старта второго шарика они столкнутся. При этом, за время т = 5,33216221 с (где т = 3,02653258 + 2,30562963 = 5,33216221 с) первый шарик пройдёт расстояние снизу вверх равное 8 см и сверху вниз 4 см (всего 12 см), а второй шарик за время т = 0,72090295 с (смотри табл. 5) пройдёт расстояние снизу вверх равное 4 см. Время гарантированного старта второго шарика должно быть в пределах 0 < т < 6,05306516 с. Значение т = 0 означает, что шарики брошены вверх одновременно, а значение т = 6,05306516 [с] означает, что первый шарик упал в момент старта второго. Если т > 6,05306516 с, то контакт шариков всегда будет в месте старта и происходить через интервал времени вылеты т плюс время полёта т = 6,05306516 с.

При принятых в Решении условиях оба шарика при контакте будут иметь одинаковую, направленную навстречу друг другу, скорость, равную 4 см/с и находиться в 4 см от места старта или в 8 см от центра тяжёлой массы М. Однако, задача может иметь другие начальные условия.

Кинетическая энергия массы т в начальный момент старта со скоростью vO будет, как и прежде, равна

1-8

- = 32

г - см2 с2

смотри (3.7) и (4.9).

Потенциальная энергия (работа) гравитационного поля на пути от RН до RВ также прежняя, равная

W,

(вн) = УтМ

^н

= 192 ■

12-4 12 ■ 4

= 32

г ■ см2

смотри (3.8) и (4.10), но формулы для определения энергии разные: там, в задаче 3, мы принимали ускорение и силу постоянными величинами, здесь - они переменные величины в зависимости от пройденного пути.

Изменение времени и скорости движения тела массой т определяются по формулам, смотри и сравни (3.2, 3.6) и (4.5, 4.11).

График зависимости скорости от пройденного пути в этом случае уже не есть парабола, смотри и сравни рис. 10 и рис. 11.

Пример 6

В рамках взаимодействия двух пружин и тела т между ними, условия и постановку задачи сформулируем следующим образом. По какому закону будет двигаться материальная точка массы т, вышедшая из состояния покоя и начавшая движение из точки В, рис. 12, по направлению к тяжёлому Центру М в точку Н' под действием «центростремительной силы» FN (силы И. Ньютона), которая прямо пропорциональна массе т и обратно пропорциональна второй степени расстояния R от Центра М, если сопротивление этому движению оказывает «центробежная сила» Ес (сила X. Гюйгенса), которая прямо пропорциональна массе т и обратно пропорциональна третьей степени расстояния Rf от Центра обращения М, [4, 5], (здесь пока предполагается, что RB > = RB - х) > RH), и т<<М, т. е. представляет выражение:

^ = mgG = т ■ '

т1}0

ткп

Я

г ■ см

- сила отталкивания, кс _1152

Д3 _ Д3

где gв =

г ■ см

(6.1)

(6.2)

- ускорение направлено от тяжёлого Центра!

Ускорение от «центростремительной силы» Г при изменении расстояния от тяжёлого Центра М представляется выражением (по закону И. Ньютона)

(6.3)

'ЧГ 192 СММ

192

СМ

72

- ускорение направлено к тяжёлому Центру!

2

с

2

Fn = mgN = m

yM mkd

N

R2

R2

г ■ см

л

6.1 Поскольку движение идёт от большего радиуса RB до меньшего радиуса RH и на радиусе RB скорость (6.4) равна V = 0, и принимая (скромные числа взяты не

- сила притяжения.

Как известно из механики, скорость точки выражается первой производной пути по времени, т. е. ^, а ускорение - второй производной, d2х. ^

dt2

Произведение массы т материальной точки на сообщаемое ей ускорение служит, согласно известному положению динамики, мерой силы, действующей на тело; в данном случае этой силой является равнодействующая двух сил, а именно: силы притяжения («центростремительная» - Е^) и силы отталкивания («центробежная» - Е^). (Принятые числа не должны смущать читателя!)

Считая положительным направление по вертикальной прямой к тяжёлому Центру М, а расстояние между точкой и центром х . - R . мы будем иметь:

с2х=та_ткк С2х'= ко._кк но ¿ч=съах .

т dt2 R3 r2 ' dt2 R3 r2 dt2 dt dt v dt

3 R2 i * kn k

Отсюда | vdv = у— = 1^- - ^л <-х, или ^ | - kN | .

Если материальная точка движется от точки RB до точки R

Ун " R.

рис. 12, и рис. 13, то можно записать: н .т н и после интегрирования

f , , f dR , f dR

J vdv =kG J R3 ~kN J R2,

vb rb R\ rB\

1« -« м- (-t - R)-if (i - R2) •

(6.5)

Так как в точке В скорость (тела между точками В и Н', рис. 12) равна нулю по условию задачи, то:

2 ч, I 1 1 1,1 1 1

v„ = 2k,

, Ru

-R- I"

RH

R2

Общее выражение скорости при движении тела от точки В - «сверху вниз»:

(6.6)

R(B^i) '

2kJR - R

~k° [R? ~ R2

случайно!), что ^ = 192, К = 1152, R = 12, RH = 4, ско-

рость в конце пути будет

384

1 - -11-1152 .f-1 -4 12 I 1152 1 42

-^384 ■ 0,1(6) -1152 ■ 0,0(5) = 0 j

Скорость на расстоянии R . = RO = 6 см (параметр о рбиты) от Центра М, будет

уво = ^3846 " 112)" 1152'( 62 ) = ^384' 08(3) "1152' 0208(3) = 2,8284271 ^]

Итак, скорость тела массы т в начале (т. В) и в конце движения (т. Н) равна нулю (мгновенный инерционный покой), но в промежутке между точками В и Н скорость не равна нулю!

Обнаруживаем, что тело (материальная точка т) совершает колебательное движение между точками В и Н', или между радиусами RB и RH, рис. 12 и 13.

На радиусе RО (т. О рис. 12 или пунктирная окружность, рис. 13) сила отталкивания равна силе при-

тягивания

mk„

m ■ kr

Rf m 1152

63

а именно: = 5,(3) = ' m 192

или в соответ-

ствие с формулами (6.1) и (6.4) запишем равенство:

' " ' ' ^=»-Щ-р,], (6.7)

• t=

5,656854252 6

- 5,(3) = 11

62

где т = 1 [г] - масса движущегося тела; у0 = 5,65685425 — - тангенциальная составляющая скорости, перпендикулярная к радиусу RO [см]; М = 192 [г] - масса неподвижного центра в точке М, (т. О);

СМ3 —

г ■ с 2

гравитационная постоянная.

Тангенциальную скорость vO определяем из равенства LO = ROvl ' мент. Откуда находим

O = ROvO -JkG - const, где L0- кинетический мо-

■s/1152

5,65685425

см с

3

R

v

O

O

6.2 Принимая во внимание, что х = RВ - R рис. 13, можно написать закон изменения времени движения от точки RВ до точки RH, т. е. от х = 0 до х = RB- RH, т. е.

закон изменения времени движения «сверху вниз»:

, _ {И + Щ) „ I X ~ ^ ^ { _ „ )

~ л/ВДВ

. (6.8)

Rя = 8, период колебания тела будет равен

^кА-ко

10,26039864 с

(6.9)

(в + Дн ) _ [

-V"

(Дв + Дн) _

8-г! м

10,26039864 с

массовой системе

Скорость перпендикулярная к радиусу RО в центрально симметричном поле

= Г-Е М ■ Ro = т-64-4 =4 Г смГ

И при К, = 192; = 1152; R[l = 12; Д = 4, х = Я -

N 7 а 7 В В

Скорость перпендикулярная к радиусам гтО и гМО орбит в двух массовой системе, см. рис. 14 и рис. 15 Так как ^ , то

ГтО Ко

см I С I

6.3 Период обращения тела вокруг Центра М, рис. 13, оказывается равен периоду колебания тела вдоль радиуса, смотри раньше формулу (6.9), а именно:

. (6.10)

где, как в примере 1: т = 1 [г], М = 63 [г]

см3 г ■ с2

Если период обращения тела вокруг Центра М равен периоду колебания тела вдоль радиуса, то положение линии апсид неизменно в пространстве.

На рис. 12 показана скорость движения тела т и траектория движения - прямая линия В - Н' которая получается если отталкивающую Га силу (6.1) создаёт пружина. Но в природе есть (не «фиктивная и тому подобная, а реальная) сила, которая аналогична силе пружины, поэтому на рис. 13 траекторией движения показана эллиптическая орбита, где отталкивающей от Центра М является центробежная Fа, - сила X. Гюйгенса (6.1), а противоположно направленная ей является центростремительная FN, -сила И. Ньютона (6.4), см. [6].

7. Графическое изображение изменения некоторых текущих параметров («инерционного»!) движения тела по орбите (см. [6, 7])

В примере 1 мы рассмотрели взаимодействие двух сил Х. Гюйгенса и И. Ньютона (как центробежной -круговое движение, так и гравитационной - линейное движение вдоль радиуса вращения), действующих одновременно на тело, обращающееся по эллиптической орбите вокруг тяжёлого Центра.

Покажем теперь графическое изображение изменения некоторых текущих параметров («инерционного»?!) движения тела по орбите 1, показанного в примере 1 , (и двух тел по орбитам 2 и 3 в двух массовой системе, рис. 14 и 15).

В двух массовой системе обращение двух тел происходит вокруг т. О. При М >> т, т. е. при тяжёлом центральном теле М в т. О (центрально-симметричное поле), две орбиты 2 и 3, с целью упрощения исследования, часто заменяют одной орбитой 1 лёгкого тела т, см. рис. 14 и рис 15.

Плоскость орбиты (плоскость эклиптики) расположена в плоскости чертежа (оси х и у), а ось г, вокруг которой обращается планета, перпендикулярна (к плоскости эклиптики) к плоскости чертежа.

7.1. Движение массы т и М вокруг общего центра, т. О (на параметрах орбит - радиусах гтО и гМО) в двух

X М = т + М = 1 + 63 = 64 [г], у = 1

Гто = На-М = 4 • 64 = 3,9375' М = Утю = Гво= 4 ■ 64 = 3,9375

гмо = Яо '¿М = 4'64 = 0,0625,

уыо = Уыт = VGO ■

= 4 ■ 0,0625

XМ 64 "Ч с

К0 = гт0 + гмо = 3,9375 + 0,0625 = 4 [см]

Угловой (кинетический) момент для орбиты каждой планетной системы свой и в любой точке орбиты - постоянен.

Угловой (кинетический) момент на орбите 2, на радиусе ГтО г

Lm = т• vmO • RO = 13,9375• 4 = 15,75 .

Угловой (кинетический) момент на орбите 3, на радиусе ГМО

LM = М■ vMO ■ RO = 63-0,0625-4 = 15,75

Рис. 14. Схема двух массовой системы т + M=SM: на параметрах орбит, FN=F на среднем расстоянии

Силы

центробежная Га =

FG = = 113,93752 = 3,9375

гт0 3,9375

Fa = '-

М ■ ^'Мо _ 63- 0,06252

17МО гМО

■3,9315

с 2

г -см

с

2

= ГтМ = Ц^ = 3,9375

0,0625

центростремительная =

г • см п

42

Здесь на «параметрах орбит RО, а также гтО и гМО» силы равны всегда! Кинетический эквивалент (аналог) суммы масс

оо

к

V

тО

2

с

"miO

■ rmO = (3,9375)2 -3,9375 = 61,04663086.

Откуда следует вывод: vl ,O ■ rmo ] = y M

1 rmO 1

Ro

vmЮ ' rmO -

yM-

M

S m

- 61,04663086 - vida ■ am

Для орбиты с эксцентриситетом е = 0,(3), на рис. 16 показаны графики некоторых параметров движения тела по орбите в зависимости от равномерно текущего времени - т, или равномерно вращающегося луча, как равномерно текущего угла времени - et, при начале движения от апогея (АП) к перигею (ПЕ).

(В каждой планетной системе своё время, свой временной цикл жизни!).

На рис. 17 показаны те же графики при начале движения от перигея (ПЕ) к апогею (АП) в зависимости от угла ф отклонения радиуса Ri от линии апсид (от начала движения и отсчёта угла и времени), а на рис. 18 -показаны графики, в зависимости от равномерно изменяющегося радиус-вектора - Ri, проведённого из фокуса орбиты, где расположена тяжёлая масса, к обращающемуся телу. Графики изображены за период одного оборота тела вокруг солнечного Центра.

(Необходимо отличать вековые колебания небесных тел от периодических!).

На всех рисунках 16 - 18, показаны изменения следующих параметров:

всех составляющих скорости движения тела (Уорб, ¥окр УРАД); сил FG и их разности dF и углов ф и et и их разности dф, а именно: - сила центростремительная; - сила центробежная; разница сил центростремительной и центробежной dF = Ен - Е(} - это есть сила, которая в действительности действует на небесное тело в любой момент времени; ф - текущий угол текущего радиус-вектора Ю. соответственно кон-

Падение тела йсо Лд 1

Оришни Падение тела

Падение тела Ят —> Як

кретному времени zi (или углу et) с момента начала движения; здесь et = (2л / T) • Zi - текущий угол равномерно вращающегося «луча времени», с момента начала отсчёта, где Т - период обращения небесного тела вокруг солнечного Центра, zi - текущее время с начала отсчёта движения тела; (dq = çi - et) - разница между углом ф поворота радиус-вектора Ri и углом et равномерно вращающегося луча времени с начала отсчёта движения тела от линии апсид. На всех рисунках 15 - 17 вверху на поле рисунков показан эксцентриситет орбиты е, при котором получены графики. Кроме того, на рисунках сверху над средней вертикальной линией указано АП (апогей) или ПЕ (перигей) орбиты. Эта вертикаль указывает значения параметров, когда планета находится на линии апсид в апогее орбиты или перигее орбиты, а начало отсчёта или движение тела, напротив, началось либо в перигее орбиты, либо в апогее орбиты и там же и закончилось, совершив один полный оборот вокруг тяжёлого Центра. Графики построены с помощью авторской программы в среде Turbo Pascal Особые точки на графиках рис. 16 - 18.

7.2. Равенство FN = FG сил И. Ньютона и Х. Гюйгенса имеет место только на параметре орбиты R0, что показано вертикальными пунктирными линиями. При этом, разница этих сил AF = \FN - FG| = 0. В этот момент внешней силы, действующей на движущееся по орбите тело, - «нет».

7.3. На параметре орбиты R0, отмеченном вертикальными пунктирными линиями, радиальная скорость V вдоль радиуса имеет наибольшее значение.

7.4. На линии апсид в перигее ПЕ и апогее АП орбиты радиальная скорость V вдоль радиуса равна нулю, т. е. V = 0. Вдоль линии апсид - покой.

7.5. На линии апсид в перигее ПЕ и апогее АП орбиты окружная V0Kp скорость, всегда перпендикулярная

Раднл'с бесконечности - R,v

Линия параметров

Рис. 15. Основные параметры планетных орбит: 1 - орбита массы m в центрально-симметричное поле с тяжёлой массой М в т. О; 2 и 3 - орбиты в двух массовой системе М - m, обращение двух тел происходит вокруг их общего барицентра т. О.

2

Рис. 16. Движение от АП к ПЕ

Рис. 17. Движение от ПЕ к АП

Рис. 18. Движение от ПЕ к АП Интерактивная наука | 3 (37) • 2019

к радиусу орбиты и орбитальная УОРБ скорость, всегда касательная к орбите, равны друг другу и перпендикулярны к радиусам RН и RВ или к линии апсид.

7.6. В апогее орбиты (и выше линии параметров) > Fа, в перигее орбиты (и ниже линии апсид) FN

< F Окружность радиуса RO или (радиусов г

о)

есть геометрическое место точек равновесия.

7.7. При движении от апогея АП к перигею ПЕ (или от радиуса RВ к радиусу RН) равномерно вращающийся луч времени et обгоняет (идёт впереди угла ф ) угол ф. - текущий угол текущего радиус-вектора R, соответственно конкретному времени т. (или углу et = (2п / Т) ■тi) с момента начала движения, где Т -период обращения небесного тела вокруг солнечного Центра.

7.8. При движении от перигея ПЕ к АП апогею (или от радиуса RН к радиусу RВ) равномерно вращающийся луч времени et отстаёт (идёт сзади угла ф1) от угла ф . - текущего угла текущего радиус-вектора R, соответственно конкретному времени т. (или углу et = (2п / Т) •т) с момента начала движения. При этом, (Аф = |ф. - еф - разница между углом ф . поворотом радиус-вектора R . и углом et равномерно вращающимся лучом времени. На линии апсид в точках ПЕ и АП углы ф . и et, или луч радиуса-вектора R . и луч времени et совпадают, т. е Аф = 0. Круговое колебание указанных лучей также имеет нулевую точку равенства, в момент, когда один луч обгоняет другой, а затем другой луч обгоняет первый.

7.9. Замечание по поводу колебания радиус-вектора R. (обращающейся массы т) относительно равномерно вращающегося луча времени et (угла - е().

Угловая скорость равномерно вращающегося луча

времени «et»

2n

Ю-= — = т т

2n V

---= Vl = 0,838052481 =

7,497364958 R

const,

где: R,=^¡Ab = 4,3694259453; у,= 3,661808255; площадь круга и эллипса - = лАЬ = 59,978919665; кинетический момент - R,V, = 16 = L.

При движении от апогея (АП) к перигею (ПЕ), -когда т планета находится на радиусе R„ то в этот момент угловая скорость радиуса планеты равна угловой скорости 0)Т «луча времени» «еЬ>. До этого момента радиус планеты (или угол Ф*, отклонения линии радиуса-вектора планеты от апогея на линии апсид) отставал от «луча времени» или угла «еЬ>. Теперь угловая скорость обращения планеты на радиусе R, опережает угловую скорость равномерно вращающегося «луча времени» и в перигее на линии апсид и линия радиус-вектора (на котором находится планета) и линия «луча времени» совпадают.

При дальнейшем движении угловая скорость радиус-вектора планеты больше угловой скорости вращения «луча времени» до тех пор, пока мы не достигнем радиуса R, с другой стороны линии апсид. И когда планета вновь будет находиться на радиусе Rt он будет иметь угловую скорость равную угловой скорости «луча времени», но, если ранее отстававшего от радиуса R„ то теперь уходящего вперёд. Угловая скорость

и r

радиус-вектора R. планеты уменьшается, а угловая скорость «луча времени» остаётся постоянной. И только на линии апсид обе прямые линии вновь совпадут.

Изменение угловой скорости смотри на рис. 19 и 20 и табл. 6.

Угловая скорость: в апогее - а„=-В =:

= 0,839839

рад 1.

Таблица 6

№ п/п Т (х + % ) Движение от перигея к апогею 1 Ri = RB - х Движение от апогея к перигею ■УЦ Движение от апогея к перигею _ Уц 1 X + RH Движение от перигея к апогею 1 г, V1« 1 = - Движение от апогея к перигею ■т Движение от апогея к перигею |фг Движение от апогея к перигею

0 3 6 2,(6) 0,(8) 0,(4) 0,0 0,0

1 3,25 5,75 2,7826086 0,8561872 0,4839319

2 3,5 5,5 2,9090909 0,8311688 0,5289256

3 3,75 5,25 3,0476190 0,8126984 0,5804988

4 4 5 3,2 0,8 0,64 1,84383333043 0,927295218002

5 4,25 4,75 3,3684210 0,7925696 0,7091412

6 4,5 4,5 3,(5) 0,7901234 0,7901234 2,27208880395 1,23095941734

4,630574055 4,36942594537 3,661808255 0,790789265 0,838052481 2,37458160954 1,31435092375

7 4,75 4,25 3,7647058 0,7925696 0,8858131

8 5 4 4 0,8 1,0 2,65484914864 1,57079632679

9 5,25 3,75 4,2(6) 0,8126984 1,13(7)

10 5,5 3,5 4,5714285 0,8311688 1,3061224

11 5,75 3,25 4,9230769 0,8561872 1,5147928

12 6 3 5,(3) 0,(8) 1,(7) 3,74868247907 3,14159265359

Стрелки показывают направление движения тела и изменение числового значения параметра

с

Радиусу ,3694259453, при обращении

от апогея, соответствуют:

- угол между радиус-вектором тела и линией апсид

= 1,31435092375,

- угол между равномерно вращающимся «лучом времени» и линией апсид

et = 1, 99002401017 [рад],

- время, пройденное телом на угол от перигея на линии апсид т* = 2,37458160954 с,

- угловая скорость обращения на радиусе R,

ат = — =-—-= = 0,838052481 = const.

т T 7,497364958 R

При этом, период обращения тела по орбите Т = 7, 497364959 с, или

т =

2кК*

= 2x-Pz =

2к- 4,36942594537

= 2к -1,193242683 = 7,497364959 с

V* ^ 3,661808235

Здесь рт = 1,1932426839 [с] = const есть «радиус времени» в секундах.

8. Некоторые зависимости («инерционного»!) движения тел по орбитам в солнечной системе.

8.1. Мы показали [7], рис.21 и 22 здесь, что каждая одиночная планета, или планетная система, в солнечной системе имеет свою собственную Центральную солнечную массу планетной системы - ЦМПС (или - своё собственное «Солнце»). Каждой планете или

планетной системе соответствует внутри Солнца своя орбита, на которой находится Центральная солнечная масса соответствующая внешней планетной системе. Важно заметить, что Солнце - это огромное не твёрдое тело, область пространства, радиус которого охватывает ~ 700000 млн. км. пространства, и что каждая планетная система или планета отвлекает на себя часть солнечной массы, а окружающие Солнце небесные тела своей механической - кинетической энергией -перемешивают солнечную массу, вызывая в ней другие процессы. Поэтому Центральную солнечную массу, соответствующую внешней планетной системе, необходимо рассматривать как ту часть солнечной массы, которую внешняя планетная система отвлекает на себя, которые показаны окружностями (и точками) внутри Солнца, смотри рис. 22.

При рассмотрении движения любой «планетной системы» (как - «Земля-Луна»), или отдельной планеты (как - «Венера»), движение рассматривают как обращение «планетной системы» вокруг «Центральной солнечной массы - массы Солнца», т. е. как двух массовую систему. При таком рассмотрении, если периоды обращения планет и планетных систем определены точно, то либо масса Солнца МС, либо гравитационная постоянная у не остаются постоянными. Поэто-

Рис. 21. Расположение «барицентров» планетных систем в солнечной системе: а) первая часть исследования, б) вторая часть исследования. Однако, все планетные системы должны обращаться вокруг общего Центра масс МСС

му, покажем к каким результатам в исследовании мы пришли, [2, 3, 4, 5]. Мы показали, что каждая планета имеет свою собственную ЦМПС, или Центральную солнечную массу планетной системы (или - своё собственное «Солнце» - М').

На рис. 21 а) слева от вертикальной линии «О», или (МСС), показано:

A. - Вертикальная линия «О», на которой, условно, точками изображено положение «Центральных масс планетных систем - М'» в двух массовой системе «солнечный центр - планета». Здесь для «Земли» нам известно А „ = 1,496Т0пм. и неизвестно а 0 =?

3 ' т3

Б. - Левее этой линии «О» показаны (см. пунктирное изображение) окружностями больших размеров положения «барицентров планетных систем» по степени удаления их от центра Солнца - ам (от этой линии «О»). Теперь «планетные системы» разместились иначе по степени их удаления от Солнца: Астероиды

- Меркурий - Плутон - Марс - Венера - Земля - Уран

- Нептун - Сатурн - Юпитер.

B. - И, наконец, слева показаны внешние «планетные системы» по степени их удаления от «солнечного Центра» в известном порядке: Меркурий - Венера -Земля - Марс - Астероиды- Юпитер - Сатурн - Уран

- Нептун - Плутон.

8.2. В первой части исследования, рис. 21 а, [см. также 5], мы принимали за средние расстояния между внешней планетой, например «Земля» и центром «Солнца» величину А, как известную, и определяли положение барицентра, т. О, системы «Земля - Луна -Солнце». Эта точка расположена между планетой и Солнцем, а именно: ат + ам = А, рис. 21 а. (Однако, так в много массовой системе лёгкие планеты обращаться не могут вокруг одного тяжёлого Центра).

Первая часть исследования необходима для получения исходных данных, позволяющих перейти ко второй части исследования, рис. 21 б, табл. 7, и определить истинные параметры планетных систем. Все барицентры размещаются в центре Солнца, (в центре солнечной системы), а «Центральные солнечные массы» «планетных систем» должны располагаться на расстояниях аМ от центра Солнца (правее от этой линии «О») в том же порядке: Астероиды - Меркурий

- Плутон - Марс - Венера - Земля - Уран - Нептун

- Сатурн - Юпитер.

(При любых наших исследованиях и расчётах должен оставаться величиной постоянной период обращения, и для Земли Т3 = 3,155814954051•10+07с.=const.)

Исследуя схему рис. 21 б, (вторая часть нашего исследования), по прежним параметрам Земли, теперь

Рис. 22. Структурная организация планетных систем в много массовой солнечной системе

Таблица 7. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПЛАНЕТНЫХ ОРБИТ Масса всех планетных систем MSM=1,98956784534E+31,•

МАССА солнечной системы МСС =1.99184191973Е+30; Масса внешних планет ssmm=2.66771869889E+27; МАССА Солнца МС= 1.98919231925Е+30; Масса системы Земля-Солнце Z-C = 1.98920421379Е+30;

ТЬ АЬ

0 ЛУНА 2.360591545Е+06 3.844011655Е+08

кЬ гар гре гоо

¡.13Е+01 4.055047895Е+08 3.63297541537Е+08 3.832 4 257 6567 6Е+08

| ИМЯ | ТР | А | ж 1 ТМ

1 МЕРКУР 7 603200000000000Е+06 5. 792357067430314Е+10 3 300030017502097Е+23 1 989192657864826Е+30

2 ВЕНЕРА 1 941408000000000Е+07 1 082104811616329Е+11 4 870044298556125Е+24 1 989198182415078Е+30

3 ЗЕМЛЯ 3 155814954051010Е+07 1 496004535964341Е+11 6 031371673328563Е+24 1 989204213786751Е+30

4 МАРС 5 932933731072000Е+07 2 278788900433821Е+11 6 420058397685898Е+23 1 989193312370780Е+30

5 ЮПИТЕР 3 742797555878400Е+08 7 783637432298838Е+11 1 899017273708025Е+27 1 991860037944473Е+30

6 САТУРН 9 285408000000000Е+08 1 425982790932017Е+12 5 680051666488458Е+26 1 989961020670765Е+30

7 УРАН 2 642889600000000Е+09 2 863634297404032Е+12 8 680078955126728Е+25 1 989291014576303Е+30

8 НЕПТУН 5 166720000000000Е+09 4 477293667848717Е+12 1 020009278137012Е+26 1 989393015504116Е+30

9 ПЛУТОН 7 826803200000000Е+09 5. 905372894743929Е+12 1 250011370265946Е+22 1 989192670364940Е+30

10 АСТЕРО 1 376828094600000Е+08 3. 994332110993689Е+11 8 616245247612233Е+21 1 989192327861824Е+30

| ИМЯ | кМЬ l ЕКЗ | Ш | ШО

1 МЕРКУР 6 027800708817523Е+06 2. 0 60000000000000Е-01 4 786728327548399Е+04 1 007678737640482Е+04

2 ВЕНЕРА 4 084548703100169Е+05 6. 700000000000000Е-03 3 502130955047085Е+04 2 346480407225353Е+02

3 ЗЕМЛЯ 3 298085891823824Е+05 1 675000000000000Е-02 2 978515963832003Е+04 4 989729380995344Е+02

4 МАРС 3 098402766993431Е+06 9 34 0000000000000Е-02 2 413317523231905Е+04 2 263934983302653Е+03

5 ЮПИТЕР 1 047889899803367Е+03 4 8 4 0000000000000Е-02 1 306670628610991Е+04 6 331706391858435Е+02

6 САТУРН 3 502420633321468Е+03 5. 570000000000000Е-02 9 649241175266597Е+03 5 382984148637317Е+02

7 УРАН 2 291689078026030Е+04 4 710000000000000Е-02 6 807982044571425Е+03 3 210122203549415Е+02

8 НЕПТУН 1 950267568359406Е+04 8 700000000000000Е-03 5 444782335747874Е+03 4 737139912553140Е+01

9 ПЛУТОН 1 591339651127826Е+08 2 530000000000000Е-01 4 740703357109022Е+03 1 239731012878685Е+03

10 АСТЕРО 2 308653319491842Е+08 0. 000000000000000Е+00 1 822822248487198Е+04 0 000000000000000Е+00

| ИМЯ | аж 1 аМ | Я.0 | V0

1 МЕРКУР 5 792356106490100Е+10 9 609402145656520Е+03 5 546552602916841Е+10 4 891644357478067Е+04

2 ВЕНЕРА 1 082102162358746Е+11 2 649257582698014Е+05 1 082056235931335Е+11 3 502209563022915Е+04

3 ЗЕМЛЯ 1 496000000000000Е+11 4 535964341343215Е+05 1 495584813191720Е+11 2 978942914027071Е+04

4 МАРС 2 278788164961922Е+11 7 354718983720665Е+04 2 258909748733552Е+11 2 423913258354018Е+04

5 ЮПИТЕР 7 776216598678686Е+11 7 420833620152143Е+08 7 765403794595432Е+11 1 308203799970751Е+04

6 САТУРН 1 425575765073526Е+12 4 070258584907897Е+08 1 421558693582978Е+12 9 664244432023908Е+03

7 УРАН 2 863509345490924Е+12 1 249519131084500Е+08 2 857281582442328Е+12 6 815546079722748Е+03

8 НЕПТУН 4 477064106316804Е+12 2 295615319124123Е+08 4 476954781490997Е+12 5 444988405233494Е+03

9 ПЛУТОН 5 905372857634486Е+12 3. 710944331368345Е+04 5 527375881124265Е+12 4 900122580548160Е+03

10 АСТЕРО 3 994332093692121Е+11 1 730156736816299Е+03 3 994332110993689Е+11 1 822822248487198Е+04

| ИМЯ | гож 1 гоМ | чож | чоМ

1 МЕРКУР 5 546551682755086Е+10 9 201617556203440Е+03 4 891643545964252Е+04 8 115138144512161Е-03

2 ВЕНЕРА 1 082053586792678Е+11 2 649138657525126Е+05 3 502200988756225Е+04 8 574266689727699Е-02

3 ЗЕМЛЯ 1 495580278500000Е+11 4 534691719847697Е+05 2 978933881715666Е+04 9 032311405535686Е-02

4 МАРС 2 258909019677587Е+11 7 290559651383039Е+04 2 423912476043693Е+04 7 823103251343154Е-03

5 ЮПИТЕР 7 758000344723285Е+11 7 403449872146920Е+08 1 306956572973698Е+04 1 247226997052786Е+01

6 САТУРН 1 421152930518143Е+12 4 057630648350806Е+08 9 661485915293115Е+03 2 758516730793351Е+00

7 УРАН 2 857156907723793Е+12 1 246747185348911Е+08 6 815248689960965Е+03 2 973897617835379Е-01

8 НЕПТУН 4 476725237334597Е+12 2 295441564000619Е+08 5 444709227682884Е+03 2 791775506097892Е-01

9 ПЛУТОН 5 527375846390160Е+12 3. 473410495661789Е+04 4 900122549755724Е+03 3 079243671382707Е-05

10 АСТЕРО 3 994332093692121Е+11 1 730156736816299Е+03 1 822822240591590Е+04 7 895608341025456Е-05

| ИМЯ | VB | VH | КБ | ВН

1 МЕРКУР 3 883965619837585Е+04 5. 899323095118548Е+04 6 985582623320959Е+10 4 599131511539669Е+10

2 ВЕНЕРА 3 478744758950662Е+04 3. 525674367095169Е+04 1 089354913854158Е+11 1 074854709378499Е+11

3 ЗЕМЛЯ 4 455261781583975Е+15 3 028840207837024Е+04 1 521062611941744Е+11 1 470946459986939Е+11

4 МАРС 2 197519760023753Е+04 2 650306756684284Е+04 2 491627783734339Е+11 2 065950017133302Е+11

5 ЮПИТЕР 1 244886736052167Е+04 1 371520863889335Е+04 8 160365484022102Е+11 7 406909380575574Е+11

6 САТУРН 9 125946017160176Е+03 1 020254284688764Е+04 1 505410032386930Е+12 1 346555549477103Е+12

7 УРАН 6 494533859367807Е+03 7 136558300077690Е+03 2 998511472811762Е+12 2 728757121996302Е+12

8 НЕПТУН 5 397617006107963Е+03 5. 492359804359025Е+03 4 516246122759001Е+12 4 438341212938433Е+12

9 ПЛУТОН 3 660391567669476Е+03 6 139853593426845Е+03 7 399432237114143Е+12 4 411313552373715Е+12

10 АСТЕРО 1 822822248487198Е+04 1 822822248487198Е+04 3 994332110993689Е+11 3 994332110993689Е+11

| ИМЯ | Ь = Ш | V2R = YSM | Еп | Ед

1 МЕРКУР 2 713176274351345Е+15 1 327189341327412Е+20 1 423653929452274Е+22 1 423653929452274Е+22

2 ВЕНЕРА 3 789587697207302Е+15 1 327193027307340Е+20 5 520345698938841Е+22 5 520345698938841Е+22

3 ЗЕМЛЯ 4 455261781583975Е+15 1 327197051438521Е+20 3 578723048509024Е+22 3 578723048509024Е+22

4 МАРС 5 475401289380401Е+15 1 327189778013784Е+20 1 669837104457023Е+21 1 669837104457023Е+21

5 ЮПИТЕР 1 015873075239703Е+16 1 328969017316553Е+20 4 181204750101187Е+23 4 181204750101187Е+23

6 САТУРН 1 373829068925447Е+16 1 327701992991535Е+20 3 730777263349171Е+22 3 730777263349171Е+22

7 УРАН 1 947393428787882Е+16 1 327254964925309Е+20 1 411084430944692Е+21 1 411084430944692Е+21

8 НЕПТУН 2 437696687597313Е+16 1 327323019944346Е+20 6 754497806204085Е+20 6 754497806204085Е+20

9 ПЛУТОН 2 708481936627429Е+16 1 327189349667488Е+20 5 430112787901620Е+16 5 430112787901620Е+16

10 АСТЕРО 7 280957439766131Е+15 1 327189121149409Е+20 7 167414481721711Е+18 7 167414481721711Е+18

уже при известном ат3=1,496• 1011, определяем истинное среднее расстояние А3 и другие параметры.

Здесь небесное тело т обращается относительно не твёрдого тела М - Солнца или т. О, рис. 21. При переходе от рис. 21а к рис. 21б сохраняются все прежние основные зависимости.

Кроме того, во всех справочниках даются средние расстояния А, см. рис. 21а, и даются словесные объяснения, что это есть расстояние планеты «до центра Солнца». В действительности расстояния А должно быть и является расстоянием между планетой (или планетной системой) и её центральной солнечной массой, с которой она обращается в паре, а не расстоянием до центра Солнца, которое должно быть равным ат, см. рис. 21 б и 22. Структурная организация планетных систем в солнечной системе показана на рисунках 21 и 22.

8.3 При этом, установлена неизвестная ранее закономерность в сформировавшейся много массовой солнечной системе, в которой «структурная организация планетных систем» объединяет массы, расстояния и периоды обращения небесных тел в единую архитектурно организованную солнечную систему», заключающаяся в том, что планетные системы, как двух массовые системы, расположены в порядке [(0) Астероиды - (1) Меркурий - (9) Плутон - (4) Марс - (2) Венера - (3) Земля - (7) Уран - (8) Нептун - (6) Сатурн - (5) Юпитер] удаления их «центральных солнечных масс» от общего их «барицентра», от Центра солнечной системы, так, что собственные барицентры всех планетных систем расположены в Центре солнечной системы, или в центре Солнца, и в солнечной системе, в целом, сохраняются прочные связи и отношения, которые в рамках основной формулы закона необходимо рассматривать как прочные, долгоживущие («инерционные»), определённым образом организованные, взаимообусловленные закономерности только под углом зрения «структурной организации планетных систем в единую архитектурно организованную солнечную систему», что даёт возможность раскрыть их генетическое (инерционное) основание. Затем отдельно от такого анализа и на его основе упомянутые закономерности должны исследоваться в другом аспекте - как относительно самостоятельное, качественно своеобразное конкретное целое, что даёт возможность выявить специфические (внутренние связи) законы каждой закономерности и решить вопрос о месте её «в единой архитектурно организованной солнечной системе». Такое исследование различных закономерностей отражает каждую из них как единство многообразного и является (и подтверждается) специальной разработкой каждой из них.

Поэтому формулировка общего закона такова: Солнечная система - это единая многомассовая система, в которой структурная организация планетных систем, связывающая массы, расстояния и периоды обращения, характеризуется следующими закономерностями:

А. - «Центральная солнечная масса любой планетной системы равна суммарной массе планетной системы, барицентр которой ближе отстоит от Центра солнечной системы».

Б. - Центральная солнечная масса любой внешней планетной системы равна сумме масс Центра и всех внешних планетных систем, барицентр которых ближе к центру Солнца, то есть - м + £т = М , где £ М+х =Мм +т+х. С 1 ' +

В. - Если от суммарной массы любой планетной системы отнять сумму масс всех внешних планетных систем, включая внешнюю массу рассматриваемой планетной системы, барицентр которых ближе к центру Солнца, то получим «массу солнечной среды», - «массу Солнца», то есть - Мс = X М1+1 - Е т1.

Г. - Уточнённый третий закон Кеплера допускает записывать его так:

или

EM IM2

\2

'2 7

A SMM

SM

м 2 7

или I T

aM 1

SM,

SM,

m2

ml _

am1 am2

где у- SMm = у-£ М ■

у SM м =ГЕ М где также Т2 =

aM 2 7

M 43

Е м

-у- M

M Е м

m

Е M

4л2 A3

= у ■ m ■

m

Е M

4л2 aj у SMn

У IM

4л2 • a3

4л2•A3

VmDA • A

4л2 • У SMm

M _ 4л2 • aM | _

vMDa•aM

а читать следующим образом: «Отношение периодов обращения планетных систем в квадрате помноженное на отношение суммарных масс этих планетных систем равно отношению средних расстояний орбит планетных систем в кубе».

Д. - Для любой эллиптической орбиты в двух массовой системе всегда справедливо:

^КР(0) • Ко = У • IМ = (А) • А,

где А - средний радиус орбиты, а RО - параметр орбиты.

Е. - На любом радиусе любой планетной орбиты справедливо выражение

у = у = 12ГХ Mi у2 = ' ИЛИ

VD(A) 'ОРБ(Л) а/ щ уОРБ(1) СОШ1 ^ = ^М - = ^

Ri

или

у • Е Mi VmD(A)

R

и, если известна

орбитальная скорость V на среднем радиусе А орби-

2

2

3

ты и соответствующий радиус Я. искомой скорости в любой точке орбиты, то орбитальная скорость в этой

. И так далее.

точке на орбите равна V = 1231 ш,

VDi

-V 2

VD(A)

Заключение

А теперь вернёмся к первоначальному определению инерции и сформулируем прежнее определение заново. Предварительно повторим (напомним!) высказывания (суждения) двух известных наших предков.

1. Итак, «врождённая сила материи» есть свойство материи, или есть не что иное, как инерция» (И. Ньютон).

«...Проявление инерции в высшей степени отлично от того, которое свойственно обычным силам». [9]. (Обратите внимание ещё раз на мысль Л. Эйлера -«отлично от...»).

2. «От инерции материи происходит, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя или движения. Поэтому «врождённая сила» могла бы быть весьма вразумительно названа «силою инерции». (Обратите внимание, как осторожно, с каким смысловым оттенком (удерживать, сохранять своё состояние - инерция!), И. Ньютон вводит здесь это понятие - «сила инерции»). «Приложенная сила, - продолжает И. Ньютон, - есть действие, произведённое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения». (Не только состояние покоя и не только прямолинейное движение?!) «Сила проявляется единственно только в действии и по прекращении действия в теле не остаётся. Тело продолжает затем удерживать своё новое состояние вследствие одной только инерции. Происхождение приложенной силы может быть различное - от удара, от давления, от центростремительной силы». И далее: «Волчок, коего части вследствие взаимного сцепления отвлекают друг друга от прямолинейного движения, не перестаёт равномерно вращаться, поскольку это вращение не замедляется сопротивлением воздуха...», [8].

Сделаем замечание. Прямая линия (как «движение») - это частный случай окружности, когда радиус её равен бесконечности, или Я — да. Точка (как «покой») - это частный случай окружности, когда радиус её равен нулю, или Я = 0. Когда два тела т и М равномерно вращаются по окружностям радиусов гтО и гМО, уравновешенные центробежными и гравитационными силами, вокруг общего их центра вращения, точки О, смотри рис. 14 и 15, то вся эта двух массовая система находится в стабильном инерционном (вращательном!) состоянии.

Гироскопические приборы раскручивают при старте ракеты до нескольких десятков тысяч оборотов в минуту, и как бы не изменялось в дальнейшем положение

ракеты в полёте, гироскопы строго держат свою ось вращения, определяя координатное положение ракеты, заданное ещё при старте. Чтобы изменить положение оси гироскопа (изменить его инерционное состояние!) необходимо приложить очень большое усилие, вплоть до поломки гироскопа (кинетическая энергия выплёскивается «мгновенно», подобно взрыву атома, когда мы вмешиваемся в его внутреннее инерционное состояние). Эта «врождённая сила материи», (не о силе, измеряемой динамометром, здесь идёт речь), как «свойство материи сопротивляться изменению своего состояния» и есть «инерция».

Мы понимаем инерционное состояние тела или системы как независимое, самостоятельное, само сохраняемое, долгоживущее, при этом, возможно только внутренне диалектическое изменение состояния системы, живущей и развивающейся по своим внутренним законам.

Инерция - это природное свойство тел (или системы тел) сохранять своё природное состояние (идентичность, «инерционный» покой или движение), до тех пор, пока на систему не действует внешняя сила (или внешняя энергия!), и пока это внешнее воздействие не выведет эту систему из инерционного состояния, в котором она находится (и эволюционирует).

(И. Ньютон: «Тело продолжает затем удерживать своё новое состояние вследствие одной только инерции»!)

В двух массовой «возмущённой» системе т и М тела разбегаются при движении к апогеям своих орбит и уменьшается скорость вращения системы, и сближаются при движении к перигеям своих орбит, и скорость обращения системы увеличивается, - система

Т т

«дышит»: «вдох - 2» и «выдох - 2», где Т - период

колебания, - это её инерционное состояние. (При этом, необходимо отличать вековые колебания небесных тел от периодических!).

Круговое движение небесных тел вокруг их общего (барицентра), центра вращения - инерционное, когда они движутся по окружностям, и силы И. Ньютона и Х. Гюйгенса взаимно уравновешены. Но когда они движутся по эллиптическим орбитам (циклическим кривым), то и движение вдоль радиусов обращения, и периодическая неравномерность обращения, есть колебательное (периодическое) движение, как долго живущее инерционное состояние системы. Опираясь на сказанное Г. Галилеем, Х. Гюйгенсом, И. Ньютоном, Л. Эйлером и другими, мы считаем, и ещё раз напомним, что сказанное нами не ставит под сомнение общее присущее природе свойство инерции, а также, свойство тел к взаимному притяжению, как и природное свойство присущее телам, удаляться друг от друга при их взаимном обращении вокруг общего Центра.

Литература

1. Гулиа Н.В. Инерция. - М.: Наука, 1982.

2. Kulik VI. About oscillatory motion of celestial bodies or two bodies problem (towards solution of two mass system) // Study and application on new technology - Harbin Engineering Press, 1994.

3. Кулик В. Силы, действующие на небесное тело, движущееся по орбите в солнечной системе / В. Кулик, И. Кулик // «Современные направления теоретических и прикладных исследований '2010: сборник научных трудов по материалам международной научно-практической конференции. - Т. 33. Физика и математика. - Одесса: Черно-морье, 2010. - 88 с. (40-54). (15-26 марта 2010 г.).

4. Кулик В.И. Организация планет в солнечной системе. Структурная организация и колебательные движения планетных систем в много-массовой солнечной системе / В.И. Кулик, И.В. Кулик // Verlag. - Deutschland: Lap lambert Academic Publishing, 2014. - 428 c.

5. Кулик В.И. Методика определения эксцентриситета орбиты планеты / В.И. Кулик, И.В. Кулик // Интерактивная наука. - 2016. - №1.

6. Кулик В.И. О силах, действующих на небесное тело, и колебательном движении тела, движущегося по орбите, в солнечной системе / В.И. Кулик, И.В. Кулик // Интерактивная наука. - 2016. - №2.

7. Кулик В.И. Структурная организация планетных систем в много массовой солнечной системе / В.И. Кулик, И.В. Кулик // Интерактивная наука. - 2016. - №3.

8. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. - СПб.,1916.

9. Эйлер Л. Основы динамики точки. М.: Л.: ОНТИ, 1938.

References

1. Gulia, N. V (1982). Inertsiia. M.: Nauka.

2. Kulik, V I. (1994). About oscillatory motion of celestial bodies or two bodies problem (towards solution of two mass system). Study and application on new technology, Harbin. Engineering Press.

3. Kulik, V., & Kulik, I. (2010). Sily, deistvuiushchie na nebesnoe telo, dvizhushcheesia po orbite v solnechnoi sisteme. "Sovremennye napravleniia teoreticheskikh i prikladnykh issledovanii '2010, T. 33. Fizika i matematika, (40, 88. Odessa: Chernomor'e.

4. Kulik, V. I., & Kulik, I. V (2014). Organizatsiia planet v solnechnoi sisteme. Strukturnaia organizatsiia i kolebatel'nye dvizheniia planetnykh sistem v mnogo-massovoi solnechnoi sisteme. Verlag. Deutschland: Lap lambert Academic Publishing.

5. Kulik, V I., & Kulik, I. V (2016). Metodika opredeleniia ekstsentrisiteta orbity planety. Interaktivnaia nauka, 1.

6. Kulik, V. I., & Kulik, I. V. (2016). O silakh, deistvuiushchikh na nebesnoe telo, i kolebatel'nom dvizhenii tela, dvizhushchegosia po orbite, v solnechnoi sisteme. Interaktivnaia nauka, 2.

7. Kulik, V. I., & Kulik, I. V (2016). Strukturnaia organizatsiia planetnykh sistem v mnogo massovoi solnechnoi sisteme. Interaktivnaia nauka, 3.

8. N'iuton, I. (1916). Matematicheskie nachala natural'noi filosofii. SPb.

9. Eiler, L. Osnovy dinamiki tochki. M.: L.: ONTI, 1938.