Индуктивность прямоугольных контуров Текст научной статьи по специальности «Физика»

'Т

Проектирование и технология радиоэлектронных средств

УДК 621.3.013.71

М. Ю. Антипов, Г. Н. Цицикян ЦНИИ СЭТ, филиал ФГУП "Крыловский государственный научный центр" (Санкт-Петербург)

Индуктивность прямоугольных контуров

Рассмотрено взаимное влияние двух прямоугольных контуров при их различных конфигурациях. Получены формулы для расчета взаимоиндукции и на их основе построены зависимости коэффициента взаимной индукции от расстояния между различными по форме контурами. Установлена связь коэффициентов взаимной индукции для различных вариантов контуров.

Взаимная индуктивность, электродинамические силы

В радиотехнике и электронике применяются резонансные контуры с прямоугольными катушками индуктивности. Затруднение при проектировании устройств вызывает отсутствие в ряде случаев выражений для расчета индуктивных параметров прямоугольных контуров, в частности, расположенных в одной плоскости. В связи с этим ключевую роль приобретают расчетные выражения для определения индуктивностей прямолинейных параллельных проводников, имеющиеся, например, в [1]—[5].

Выражение для взаимной индукции двух параллельных прямолинейных проводников (рис. 1) имеет вид [5]

М =

4л

+

\Ы 12 +12 -И + "1 +

12 - к + "1 12+12 + «2 + 12 +12 -1 + "1

+ 1„ ( +Ь + "Ш.-^, + +

(/2+12 -11 + "1 )(/2+ "2)

+ "1 + "2 - "1 - "2

(1)

/2

Рис. 1

© Антипов М. Ю., Цицикян Г. Н., 2016

где цо - магнитная постоянная;

"1 =>/(/2 + /2- /1 )2 + ь2; "2 =^(/2)2 + ь2; "1=А/(/1 - /2)2 + ь2; "2 =^(/2+ /2 )2 + ь2.

Выражение (1) можно привести к выражениям из [3], [4], если использовать обозначения:

"1 = Б; 02 = С; "1 = В; а2 = А; ¡2 = с; ¡1 = с - Ь; /2 = ё - Ь; /2+ /2 = с + ё - Ь = ", Тогда (1) принимает вид

М = ц0/(4л) х Г (" + А)" (Ь + В)Ь 1

х < 1п-

(ё + Б) (с + С)

+ (С + Б)-(А + ВН. (2)

Следует отметить, что выражение (2), хотя выглядит компактнее (1), не дает существенных преимуществ при определении взаимных индук-тивностей прямоугольных контуров.

Рассмотрим систему двух расположенных вдоль

одной линии проводников 1 и 2 при расстоянии ё между ними (рис. 2). В этом случае (1) можно представить в следующем виде:

мЬ=о =

4л

/11п/1 + ^ + ё + /21п/1 + ^ + ё +

+ ё 1п

/1 + ё /2 + ё

(/1 + /2 + ё )ё

(/2 + ё)) /1 + ё)

(3)

№

17

/

/

2

Аг1

Рис. 3

Результат (3) при дополнительном условии /1 = ¡2 = I приводится к виду, известному из [6]:

м (¡1 = /2 = /, а, Ь = 0) =

4л

2/ + а ,, а(2/ + а)

2/ 1п--+ а 1п-—

/ + а

(/ + а 2

(4)

что может служить доказательством справедливости формулы (1). Однако, с другой стороны, он лишь частично совпадает с формулой из широкоизвестного источника [7]. Выявившееся противоречие потребовало подробного рассмотрения задачи о взаимоиндукции двух прямоугольных контуров (рис. 3).

Для определения взаимной индуктивности между контурами определим отдельно вклады, даваемые горизонтальными и вертикальными проводниками контуров. Для вклада горизонтальных проводников имеем:

мг = м|л=0 + м|й*0 = = И0 |/11п ¡1+2+А +

2 л [ ¡1 + а + /21п ¡1 + ¡2 + а + а 1п а ((1 + ¡2 + а)

¡2 + а ((1 + а )((2 + а)

¡2 + а+\/((2 + а )2 + ь 2

¡^п--Л1)2 '--

а +

л/а2

+Ь

х| 1п

¡ 1 ¡1 + ¡2 + а + + ¡2 + а )2 + ь2

¡2 + а + ^(¡2 + а )2 + ь 2 -((1 + а )х

¡1 + ¡2 + а + + ¡2 + а )2 + ь2

х(а +л/ а2 + ь2 )}-

^¡2 + а+^¡(¡2 + а)

¡1 + а+ а )2 + ь2

у1((2 + а)2 + ь2 + а)

- 1п

22 + Ь

2 + Ь2 +

на расстояниях а, ¡1 + а, ¡2 + а и ¡1 + ¡2 + а, запишем в виде

Мв =-

2л

ь 1п Ьь2 + а2 + а -

а

- Ь 1п

ь ь2+((-+а 22

¡1 + а у и '

-((1 + а}- ь 1п

+ Ь 1п

ь + ^ ь2 +((2 + а 2

¡2 + а

^ь2 + ((2 + а 2 -((2 + а 2 + ь + ь 2 +((1 + ¡2 + а 2

¡1 + ¡2 + а ■ ^ь2 +((1 + ¡2 + а 2 + ((1 + ¡2 + а 2

(6)

После ряда преобразований в (6) взаимная индуктивность для контуров на рис. 3 определится суммированием выражений (5) и (6):

' ¡1 + ¡2 + а

¡11п——2-+

¡1 + а

+ ¡21п ¡1 + ¡2 + а + а 1п а ((1 + ¡2 + а 2

м=м г + м в =

1 О

2л

¡2 + а

(1 + а 2(2 + а 2

- ¡11п ¡1 + ¡2 + а + 512 - ¡2 1пА + ¡2 + а + 512

- а 1п

¡1 + а + ¡2 + а + s2

(1 + ¡2 + а + 512 2(а + 50 2

(2 + а+52 2( + а + 512

- Ь 1п (Ь+50 2ь+512 2( + а 2 ((2+а 2 +

(1+¡2+а 2 (ь+51 2(ь+52 2 + 2 (0 + 512 2 2 (1 + 52 2,

(7)

где

50 = "

■ л/а2 + ь2 + ^ + ¡2 + а2 + ь2}. (5)

Вклад во взаимную индуктивность вертикальных проводников длиной ь, расположенных

-л1а2 + Ь2; 5 = + а 2 + ь2; 52 = >/(( + а 2 + ь2 ; 512 = >/(( + ¡2 + а 2 + ь2 .

Корректность формулы (7) подтверждается сопоставлением расчета по ней и результата в [2] для двух контуров с размерами ¡1 = 0.3 м, ¡2 = 0.2 м, а = 0.25 м, Ь = 0.1 м, полученного на основе промежуточных приемов. Взаимная индуктивность в соответствии с [2] равна 6.35 -10 10 Гн,

а по (7) -6.366-10-10 Гн, т. е. результаты расчетов практически совпадают.

Положив ¡1 = ¡2 = /, получим выражение для взаимной индуктивности одинаковых контуров:

М ((, ё, к )=^ 2л

(2/ + ё)((+ ё + s¡)

2/ 1п^--А-Ц- +

+ ё 1п-

(/ + ё )(2/ + ё + 52/) ё (2/ + ё)((+ ё + 5/) (/ + ё)2 (2/ + ё + 52/) (ё + 50 )

(к + )2 (2/ + ё )ё + к 1п—^ 2 ^---+

(/ + ё) (к + 5'ц )(к + 50 )

+ 2 ('0 + 5'2/)- 4'/

(8)

где

'2/ =

7к2 +(2/ + ё)2; ^ = Vк2 + (/ + ё)2;

50 = л/к2 + ё2.

Коэффициент магнитной связи между контурами определяется как

К = \м\Цць2. (9)

Для его определения наряду с (8) воспользуемся формулой для индуктивности прямоугольного контура (рамки) (рис. 4) со сторонами к и /р и шири-

[ (диаметром провода) 2/0 ( ^ к, /р ) :

ной (

^ л

/р1п

2/р к

+ к 1п-

го (/р + ^/2 + к2 ) 2/р к

+ 2

го (к ^/р2 + к2 ) го + ^/2+к2 -((р + к)

(Ю)

Вывод (Ю) приведен в [8]. Например, для системы из двух контуров одинаковых размеров при к = о.2 м, /р = /1 = /2 = о.2 м,

го = 1 мм по (Ю) получим:

+ 2 (о.оо1 + V0.22 + 0.22 - 2

= 7.247 -10-7 Гн.

■ оЛ

Тогда при ё = о.1 м коэффициент магнитной связи в соответствии с (9) составляет:

К

795-1о = 1.214-1о-2,

й оЛ 7.247 -10-7

а при ё = 1 м:

К\а=1 =

9.456-10-11

7.247 -10

-7

= 1.3о5 - 10-4,

т. е. при увеличении расстояния между контурами на порядок коэффициент магнитной связи между ними уменьшился на 2 порядка.

Выражение для взаимной индукции двух контуров разных размеров (рис. 5) приводим без вывода:

М2 (/,ё,кц + кц,кц - кц) = цо/(2л) х

2 (/ + ё)1п / + ё + +

2/ + ё + 5/

+ (2/ + ё (ln1/ + ё + '2/ +(к22 + к11) х

2/ + ё + 52/

(кц + кц + 5/+) (2/ + ё (/ + ё)2 (кц + кц + 5+/ )(( + кц + 5+) - (к22 - к11 )х (/ + ё)2 (кц -кП + 52/)(к22 -кП + (кц - кц + 5-) (2/ + ё

+ 2( - 50 + 52/ - 52/) + 4(( - 5/+)],

х 1п

х 1п

(11)

где

50 =^(к22 + к11 )2 + ё2 ; 50 = <\/(к22 - к11 )2 + ё2;

р

Рис. 4

= у! (22 - ьц 2 + ^ + а22, 52+ = ^(22 + ь112 + а22 ; ^ = >/((2 -ьц2 +ш + а22.

На рис. 6 приведены зависимости коэффициента взаимной индукции от расстояния между контурами а для линейных размеров, представленных в таблице.

Осуществив ряд преобразований, перепишем (11) в следующем виде:

м2 ((, а,Ь22 + Ьц,Ь22 - Ьц2 = 1^0/(2л) х

х-Ы

^ ¡ + а + 57+ , ¡ + а + 5/ ^

1п-;--1п-—

+ а

2¡ + а + 52¡

((+ а + )

2¡ + а + ^21 2

1п

- 1п

(2¡ + а + )(а+5+) ((+ а+я-2

(2¡+а + )(а + + (Ь22 + Ь112х

м, нГн 10 1 0.1 0.01

Рис. 6

а, м

Кривая Ь11 Ь22 ¡1 ¡2

м

1 0.1 0.3 0.2 0.2

2 0.1 0.1 0.2 0.6

3 0.1 0.1 0.2 0.2

4 0.1 0.1 0.2 0.02

5 0.1 0.01 0.2 0.2

х 1п

х 1п

(ь22 + Ьц + s¡+) (2¡ + а2а (¡ + а)2 (Ь22 + Ьц + 52)(( + Ьц + -(Ь22 -Ь112х (ь22 - Ьц + (2¡ + а2 а (¡ + а)2 (ь22 -Ь11 + )(ь22 -Ь11 + 5о)

+ 250+ + 2- 45+ - 2- 252"¡ + 45- I. (12)

Прибавим и вычтем удвоенное значение коэффициента взаимной индукции (4). При этом (12) может быть представлено в виде

м2 ((^ Ь22 + Ь11, Ь22 - ) = = м1 ((,а,Ь22 + Ьц) -м1 ((,а,Ь22 - Ьц). (13)

Таким образом, (13) можно интерпретировать как суперпозицию двух пар контуров (рис. 7).

пРи Ь22 - Ь11 = 0

¡ + а + г* - п

1п--— = 0; 54 = 0

2¡ + а+

и (12) переходит в (8) с учетом того, что Ь22 + Ьц = Ь.

К числу очевидных практических приложений полученных выражений следует отнести определение электродвижущих сил взаимной индукции в контурах по заданным изменениям токов во времени в2 =-м (1/ аt) и е =-м (2/ а?). Можно показать, что при повороте одного из контуров на 90° вокруг оси, расположенной в плоскости рис. 3 и 5, коэффициент магнитной индукции и связи между контурами будут равен нулю.

Другое практическое приложение полученных результатов относится к рассмотрению электродинамического взаимодействия контуров с током при различных нестационарных процессах в них. Определим силы, воздействующие на вертикальные отрезки проводников правой рамки с током ¡2 со стороны вертикальных отрезков левой рам-

I

ки ii (рис. 3) [5]:

/21 i1i2

2 + h2 - 2d -

- W (d +1 )2 + h2 + 4 (d +1 ) + + 2a/(d + 2/)2 + h2 - 2 (d + 2/)

■м- —►

J L

h

1

■M- -►

J L

h

1

- ^ y i i1i2

2л

+h

V(d + 2/)2 + h2

-2

d d V(d + / )2 + h2

d

Рис. S

В предельном случае h ^ / (рис. 8):

d

(14)

/21|h / -f 12

h^l 2 л

+h d

-1 - ln

d +

Vd2

+h2

2d

К этой силе следует добавить силу взаимодействия горизонтальных проводников левой рамки с вертикальными проводниками правой рамки. На основании выражений для сил в [5] имеем:

Этот результат может быть проверен на основании (8) при к ^ / в соответствии с определением силы: = /Ц (дМ/ дё). При ё = к имеем:

f21 -[мо/(2л)]i1i2 х

f21 -d—h

х ln

d (d + 2/)( d +1 + V(d +1 )2 + h2

- ln [(d +1)2 (d Wd2 + h2 )

)2

M-012

2л

л/2 -1 - ln

1+ V2

- 45.21 нН.

х

х (d + 2/ + V(d + 2/)2 + h2 )]}.

(15)

Объединив (14) и (15), получим окончательный результат для силы, действующей в горизонтальном направлении: /ц = /21 + /Ц.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

В настоящей статье получены формулы для коэффициентов само- и взаимоиндукции прямоугольных контуров, расположенных в одной плоскости в конфигурациях рис. 2, 5, которые могут быть рекомендованы для практического использования.

1. Grover F. W. Inductance Calculations. Working Formules and Table / D. Van Nostrand Co. inc. New York, 1947. 98 p.

2. Калантаров П. А., Цейтлин Л. А. Расчет индук-тивностей: отрав. кн. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1986. 198 c.

3. Ramo S., Whinnery J. R., Van Duzer T. Field And Waves in Communication Electronics. New York: Wiley, 1965. 844 p.

4. Tesche F. M., lanoz M., Karlsson T. EMC Analysis Methods and Computational Models. New York: Wiley, 1997. 623 p.

5. Цицикян Г. Н. Электродинамические силы в токоведущих частях электрических комплексов / ФГУП "Крыловский государственный научный центр". СПб., 2016. 93 с.

6. Lee Y. Antenna Circuit Design for RFID Applications. Microchip AN710 / Microchip Technol. Inc. Chandler, USA, 2003. P. DS00710C (1-50).

7. Мейнке Х., Гундлах Ф. В. Радиотехнический справочник: в 2 т. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1960. Т. 1. 417 с.

8. Paul C. R. Inductance: Loop and Partial. New-York: Wiley, 2011. 379 p.

M. Yu. Antipov, G. N. Tsitsikyan FSUE "CSRI MET" (Branch of the FSUE "Kryiov State Research Center") (Saint Petersburg)

The Inductance of the Rectangular Contours

The influence of two rectangular contours with their various configurations is considered. The formulas for calculation of mutual induction are received and based on them the dependences of the coefficient of mutual induction of the distance between the contours with various shapes are built. The connection of the coefficients of mutual induction for a variety contours is installed.

Partial Inductance, Electrodynamic Forces

Статья поступила в редакцию 7 октября 2016 г.

/

/