Индикаторные системы, связанные с пара-эрмитовыми пространствами ранга один Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

ИНДИКАТОРНЫЕ СИСТЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПАРА-ЭРМИТОВЫМИ ПРОСТРАНСТВАМИ РАНГА ОДИН1

© Н. Б. Болотова

Ключевые слова: симметрические пространства; конечномерные представления; производящие функции.

Аннотация: Предъявляются системы дифференциальных уравнений, выделяющие пространства конечномерных представлений группы БЬ(п, К), реализующихся в многочленах на группе Гейзенберга размерности 2и — 3.

Индикаторные системы были введены Желобеико, см. [2], гл. X. Это - системы уравнений, выделяющие конечномерные представления группы ЯЬ(п, С), содержащиеся в основной невырожденной серии представлений этой группы. Мы рассматриваем аналогичные представления, содержащиеся в вырожденной серии представлений группы ЯЬ(п, К), отвечающей разбиению и = = 1 + (и — 2) + 1 числа и. Они ревизуются в многочленах на подгруппе Z нижних унипотентных блочных матриц. Группа ^ ^^^^етберга раз мерности 2и — 3.

Будем записывать матрицы из С в блочном виде соответственно указанному разбиению. Пусть Z, В и Н - подгруппы, состоящие соответственно из матриц

1 0 0

г = | і Е 0 ев 1

Ь =

р * *

0 д *

0 0 г

**0

**0

00

пп— 2

где в - вектор-строк а из К , і - вектор-столбе ц из Кп 2, е - число из К р, г матрица из СЬ(и — 2, К). Матрица, обратная матрице г, есть

числа из

К*

1 0 0

^_1 = ( —г е о

с —в 1

где Т = вг — с. Пусть йг = йс йв2 ... dвn-l дг>2 ... йгп-1 - инвариантная мера на Z.

Почти всякую матрицу д € О можно записать в виде произведения: д = Ьг (разложение Гаусса).

Представление Т\т^ где 1,т € {0,1, 2,...}, группы О действует в некотором подпространстве Уг,т пространства V многочленов на Z по формуле

(Тт(д)/) (г) = /(г) г1/рт,

где г, г, р находятся из разложения Гаусса матрицы гд: гд = Ьг. Пространство Уі,т содержит тождественную единицу 1 в качестве циклического вектора. Представление Ті,т неприводимо, его младший вектор есть 1, старший вектор есть е1 с т, старший вес есть (I, 0,..., 0, —ш).

Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы" РНП 2.1.1/1474 и Темпланом 1.5.07.

д

Пусть Е^ обозначает "матричную единицу", это матрица, в которой на месте (і, і) стоит 1, а на остальных местах стоят нули. В алгебре Ли группы ^ ^^^ицы Ец, Еп¿, і = 2,... ,и — 1, являются образующими. Инфинптезимальные операторы левых сдвигов на группе Z, отвечающих этим матрицам, - это дифференциальные операторы

д ^ д д

Li = ТТГ , Рі = Іі~--+ т;— , і = <2, ■ ■ ■ ,и — 1

діі де двг

Назовем индикаторной системой следующую систему уравнений:

1т+1 ^ = 0, рі+і}- = 0, і = 2,... ,и — 1.

Теорема. Пространство Уі, т есть в точности пространство решений в У индикаторной системы.

Одним из основных шагов в доказательстве теоремы служит интегральное представление многочленов из У т\

f (z)= / Kl)F(Z) dZ, Jz

/г

здесь Е - обобщенная функция на группе Z, сосредоточенная в единице группы, в этой точке с = 0 в = 0 г = О Ядро Кг, т(г, () есть

Кг>т(г, () = (1 — вJv + ас)1 (1 — пЛ + са)т,

где г и ( имеют параметры, см. (1), с, в, г и а, п, V, соответственно, Л обозначает диагональную матрицу порядка п — 2 с диагональю {—1,1,..., 1} Таким образом, ядро Кг,т(г, () служит производящей функцией для многочленов из Vт- В частности, дельта-функция 5(г), сосредоточенная в точке Е, переходит в единицу.

Этот результат обобщает работу [1], где рассматривались представления Тг,т с I = т, такие представления используются при изучении полиномиального квантования на пара-эрмитовом пространстве О/П.

ЛИТЕРАТУРА

1. Болотова Н.Б. Индикаторные системы для представлений вырожденных серий линейной группы // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки. 2007. Т. 12. Вып. 4. С. 430-432.

2. Желобенко Д.П. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970.

Abstract: We present systems of differential equations to describe spaces of finite dimensional representations of the group SL(n, R) acting от polynomials on the Heisenberg group of dimension 2n — 3.

Keywords: symmetric spaces; finite dimensional representations; generating functions.

Болотова Надежда Борисовна к. ф.-м. н., доцент

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов

e-mail: [email protected]

Nadezhda Volotova

candidate of phys.-math. sciences,

senior lecturer

Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov

e-mail: [email protected]