Импульсные перелеты космического аппарата со сбросом ступеней в атмосферу и фазовым ограничением (часть II) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.384.2

DOI: 10.18698/2308-6033-2019-10-1925

Импульсные перелеты космического аппарата со сбросом ступеней в атмосферу и фазовым ограничением (часть II)

1 12 © И.С. Григорьев , А.И. Проскуряков '

1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Москва, 119991, Россия 2 Филиал Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова в городе Баку, Баку, А21144, Азербайджан

Рассмотрена идея уменьшения замусоренности околоземного пространства за счет сброса отработавших ступеней в атмосферу Земли. Решена задача оптимизации импульсного перелета между опорной круговой орбитой искусственного спутника Земли и целевой эллиптической орбитой с фазовым ограничением на максимальное удаление космического аппарата от Земли. Производные в условиях трансверсальности принципа Лагранжа в процессе решения вычислены с помощью специально разработанной технологии численно-аналитического дифференцирования. В первой части статьи была представлена формализация задачи и приведено описание полученных траекторий. Во второй части статьи исследованы условия оптимальности принципа Лагранжа, проведен их анализ и сравнение полученных следствий с ранее известными результатами.

Ключевые слова: космический мусор, импульсные перелеты, сброс в атмосферу, оптимизация траектории космического аппарата, фазовое ограничение

Введение. Импульсная постановка задачи перелета космического аппарата (КА) с опорной орбиты на целевую эллиптическую с фазовым ограничением на максимальное удаление КА от Земли, формализация задачи и общее описание результатов приведены в первой части статьи [1]. Вторая часть статьи посвящена анализу необходимых условий оптимальности принципа Лагранжа и сравнению с уже известными результатами.

Принцип Лагранжа. Введем следующие обозначения:

г Х1 ' РХ'

У , Рг = Ру , V = УУ , рУ = Руу

V2, V Р* , V , V РУ2 )

Применение принципа Лагранжа к решаемой задаче рассмотрим для случая импульса довыведения 1,5 км/c (определяет последовательность моментов 0 < т1 < < т2 < < ¡я < Т ) [1]:

щ = Ау, щ = А V, АуДов = Ау2 + Аук + АУТ .

Функция Лагранжа имеет вид

т1- '1- т2— '2- 'Я- Т-

Л = | Ьё' + | Ьё' + | Ьё' + | Ьё' + | Ьё' + | Ьё' + /.

0+ т1+ '1+ т2+ '2+ 'Я+

Здесь лагранжиан

Ь = Рх (х- ух ) + Ру (У - уу ) + рг (г - ) +

+Ру.

Г

v

+р

уу

V + —

/у г 3

V Г у

+ Ру.

г

\

Н = Рхух + Рууу + Ртут - "Г (Рухх + РууУ + Рутт),

терминант

I = 1о + /Т1 + /'1 + 1Х2 + /'2 + 1Я + Т + кдов (Д удов - Ау* ) - к0тп

и гамильтониан

г3

ГДО Рх (•), Ру (•), Рг (•), Рух ( ), Руу (•), Руг () — сопряженные

переменные (функциональные множители Лагранжа) на каждом из шести участков [1]; /0, /т1, /т2, /й, /, 2, /Я, /Т — части терминанта, соответствующие моментам времени 0, х1з т2, '1, '2, 'Я, Т из [1]. Величины импульсных воздействий Ду0, Аук, ДуЯ, Дусб*, ДуТ из [ 1] входят в терминант в виде компонент Дудов и тп :

/о = Хяо (х2 (0+ ) + у2 (0+ ) + г2 (0+ ) - Яо2) +

+ о (х(0+ )Сох + у(0+ )Соу + т(0+ )Сог); ^ = кхП (х(Т + ) - х(Т-)} + кут (у(тг + ) - у(тг- )} + ктт* (т(Т+ ) - Ф«- )} +

(ух (Т+ ) -ух (Т-)}

+ куутг (уу (Т + ) - уу (Т- )} + (ут (Т+ ) - (Т- )} + + ку (х(Т- )ух (Т- ) + у (Т- )уу (Т- ) + т(Т- )ут (Т- )} + К (Т*+ - Т*-}, * = 1, 2;

4 = кх'к (х('к +) - х('к-)} + кул (у('к+) - у('к-)} +

+ кт'к (т('к + ) - т('к- )} + к'к ('к + - 'к-}, к = 1,2;

1Я = кхЯ (х('я +) - х('я-)} + куЯ (у('я +) - у('я-)} + ктЯ (т('я +) - т('я- )} + + кя ('я+ - 'я- } + кЯ1 (х2 ('я + ) + У 2 ('Я+) + т2 ('я+) - Я2} + + кя 2 (х('я- К ('я- ) + у ('я- )уу ('я - ) + т ('я- у ('я- )} + + кЯ3 (х('я+ )ух('я + ) + у('я + )уу ('я + ) + т('я + )ут ('я+ )};

Т = V (*2 (Т-)+у2 (Т- ) - яТ)+X ^ (Т- ).

Здесь Х0 , ^дов ; ХЯ0, ХС0 ; , Хутг , Хжт1 , , ^гутг , , Х™ , Хтг

О' = ^ 2); Хх/к , ^угк, , Кк (к = 1,2); ХхЯ , , ХхЯ , , ХЯ2,

А,Я3; ХТ, — числовые множители Лагранжа. (Дополнительная нумерация функций, связанная с номером участка и формально необходимая, согласно теореме [2], в настоящей работе не используется для упрощения системы обозначений).

Согласно принципу Лагранжа, необходимые условия (первого порядка) минимума имеют следующий вид.

1. Условия стационарности по фазовым переменным (уравнения Эйлера — Лагранжа):

Ц

Р x =-3

r Ц

Р y ="Г

r Ц

Р г = 3"

Г

Pvx - 3X (xPvx + УРуу + zPvz )

Pvy - ^T (xPvx + yPvy + zPvz )

Pvz - ^Г (xPvx + yPvy + zPvz )

ГЛХ = -Рх, Руу = -Ру, Иуг У г ■

2. Условия трансверсальности и стационарности 2.1. В начальный момент времени:

Vo

Px (o+) = 2Kr0x(0+) + КсoCox - Po -—

Ro

'äv,

0 y

V Ävo

cos z'o +

Äv

o г

ÄVo

Sin /0

Vo

Py (o+) = 2Xro у (0+) + Кс oco y + Po —

Ro

Äv

o x

V ÄVo

cos /0

Pz (o+ ) = 2Kr o г (0+ ) + Кс oCo г + Po ^

Ro

— x ÄVr Pvx (o+ ) = -Po --, Pvy (0+ ) = -Po

Äv

o x

V Ävo

Sin /0

Ävo Ävo

oy

Äv

Pvz (o+ ) = -Po

Здесь Po = Шп2

1+-

а

(1 + а) exp

Äv

сб1

а

exp

Ui

\ i \ \ К o

(1)

Ävo z Ävo

вели-

/ /

чина базис-вектора Лоудена в начальный момент времени, Po = V Pix (0+ ) + Ply (0+ ) + pI (0+ ).

Из (1) можно получить:

Рх (0+ ) = 2кЯ0 х(0+ ) + кс 0с0 х + (Руу (0+ ) cos *0 + Рут (0+ ) sin *0 },

Я0

у0

Ру (0+) = 2кя0у(0+) + кс0с0у - — Руу (0+) cos *0,

у,

Рт (0+ ) = 2кЯ0т(0+ ) + кс0с0т - — Рут (0+ ) sin *0.

Условие стационарности в начальный момент времени отсутствует.

Интеграл Белецкого — Егорова — Пайнса в центральном ньютоновском гравитационном поле задается формулой

К = [г, Рг ] + [V, "ру ].

Пусть ег, еу , ес — три ортонормированных вектора, С = Я0у0 ес — вектор кинетического момента — постоянная задачи; г (0+ ) = Я0 ег — радиус-вектор; у0 = у0 еу — вектор скорости на круговой орбите до приложения импульса. Согласно свойству векторного произведения,

[ег, еу ] = ес, [еу, ес ] = ег, [ес, ег ] = еу .

Из условий (1) следует, что (С, К} = 0.

Докажем это:

Ду^ = у (0+) - ; = у(0+) - -1 [С, г (0+ }"

ух(0+)-

тСу , ус.

С>2 г>2

хС тс

уу (0+ ) - Яг + С ^ (0+) Я 2 + Я2

■ Ду0Гег + Ду0уёу + Ду^;

Рг (0+) = 2к я 0 г (0+) + кс 0С - к0

дтп

дДу0

дДу0 Эх(0+) дДу0 ду(0+) дДу0 дт(0+)_

л

Импульсные перелеты космического аппарата со сбросом ступеней... С учетом

ЭАу0 _ Ауо*Су -АуоуС2 ЭАУ0 _АУ0хС* -АУо(*

Эх(0+)

Я2АУ0 ' ду(0+) Я2АУ0

ЭАу0 _Ау0уСх -Ау0хСг

д*(0+)

Рг (0+) = 2> я 0 г (0+) + >с 0С +

Р0

Р0

Я2АУ0

[(С, Ау ]

= 2ХК 0 г (0+) + 0С + С0 [ес, А^Л + А^ёу + А^ёс ] =

Я)АУ0

= 2> ^0 г (0+) + Хс 0С +

уоРо Я)АУ0

Ау0 гёу +

уоРо

Ру (0+) = ->)

дтп

Я Ау0

Г ЭАу0 Л ЭУ*(0+) ЭАу0

Ау0у (-ёг ),

ЭАу0

Тогда

[г(0+), Рг (0+ )] =

Поскольку

Эу*(0+)

г(0+ ),2>Я0;(0+) + >СоС + 0 л

ЯсАУС

А%.ёу

ЯоАУО

Ау0уёг

[г(0+),; (0+ )] = 0, >С о [ г (0+), С ] = >С о Я^о [ёг, ёс ] = ->С о Я)Го,

то

(С, [Г(0+ ), Рг (0+ )]):

'С ^ АуогГс

Ау

о

Л ЯУоРо Ауо

Ау0г.

(2)

Второе слагаемое

[у (0+ ), Ру (0+ )]:

Ро

Г (0+ Х^0- А^ Ауо

:(г (0+) = Ау) + 1?0):

АУо АУо

Ауо

Роуо

ёу, Ауо гёг + Ау)уёу + А^ёс

Ауо

» АУо г (-Гс) + » АУосГг АУо АУо

И

(C, [v (0+ )Pv (0+ )]) =

C » Avor(-)

Av,

o

^ovoP 0 Avo

Av0 r.

(3)

Складывая (2) и (3), получаем, что (С, К) = 0, т. е. компонента

векторного интеграла Белецкого — Егорова — Пайнса, сонаправленная с компонентой вектора ес, равна нулю. Что и требовалось доказать.

2.2. В моменты времени т, (/ = 1,2) сброса отработавших ступеней

dmni

а(1 + а)

' f u ^

1 - exp

v c у j

exp

f Avc6jл

ЭАу,

c6i

(1 + а) exp

v

d vc6i М^атм

' Avc^ Л2

а

V ^ J

/ У

2r ■ + r

ai ' 'атм

drai vc6i (rai (rai + гатм ))

Введем обозначения:

2 '

л dmni YtI = к0mn(3-i) ТГ-

ЭАу,

Г dvc6i Л

c6i

V drai y

/ л dmni

YtI = ^0mn(3-i) ТГ-

ЭАу,

c6i

С учетом (4) вид условий трансверсальности упрощается:

х(т_ )

Рх (Т_ ) = кхл _ к(т_ ) + ут г

Ру (т,_ ) = кут1 _ кущУу (т,_ ) + Ут Рг (т,_ ) = кгтг _ кт (т,_ ) + Ут

Pvx (Ti-) = кvxxi - кrvix(Ti-) + YTi

Pvy (Ti- ) = кvyxi - кrviy (Ti- ) + YT

r ■ 'ai 1

y( Ti - )

r ai 5

z (Ti- )

r ai 1

vx (Ti- -)

vTi

vy (Ti -)

vTi

vz (Ti- )

Pvz(Ti-) = ^vzxi - кrviz(Ti-) + Y

vTi

Px (Ti + ) = кxxi, Py (Ti+ ) = кyxi, Pz (Ti+ ) = кZTi ,

pvx (Ti + ) = ^vxzi, Pvy (tI+ ) = кvyxi, Pvz (ti+ ) = кvzx

(4)

(5)

Из условий стационарности Н (т , - ) = , Н (т, + ) = - следует непрерывность гамильтониана в моменты времени т,:

Н (т, - ) = Н (т, + ). (6)

Из условий трансверсальности (5) следует, что в моменты сброса ступеней векторный интеграл Белецкого — Егорова — Пайнса непрерывен:

К 1x1-= К 1тг + .

Доказательство: используя непрерывность координат и скоростей КА:

Рг (тг+ ) - Рг (тг- ) = >г

Ру (тг+ ) - Ру (тг- ) = >г

Ч (т,- Л Г *(Т/- )'

1x1

уу (тг - )

V

(тг- )

/

V

у(тг- )

2(тг- )

/

Чт,- )) , Г у* (тг- )л

Утг

V

у(тг - )

2(тг- )

/

уу (тг - ) (тг- )

= ^/(т,) - ^(т,).

Тогда, используя свойства векторного произведения:

[° (тг+ ), Рг (тг+ )] - [г (тг- X Рг (тг- )] =

[°(тг), .Рг (тг + ) - Рг (тг- )] :

°Сг Х>ту (т ) - — Г (т,)

= [Г(тг), у(т )] - ^ [г (т,), Г(т,)] = [Г(т,), у(т,)];

[°(т, + ), Ру (т, + )]- [Г(т,- X Ру (т,- )]:

[у (т, X Ру (т, + ) - Ру (т, - )]:

у (т, Х^/ (т,)-^у (т,)

= [Г(т,), г (т,)] - ^ [Г(т,), Г(т,)] = >у [Г(т,), Г(т,)].

Отсюда следует непрерывность интеграла Белецкого — Егорова — Пайнса:

К |т, + -К |т4-= [Г(т,), Г(т,)] + [Г(т, Х°(т,)] = = ([Г(т,),Г(т,)]-[г(т,),Г(т,)]) = 0.

Что и требовалось доказать.

2.3. В момент времени t1 Обозначим через p1 следующее выражение:

Pi

к 0

exp

' М2Л

1 + -

а

(1 + а) exp

Av

сб2

а

mn1.

Тогда

Px (t1- ) = ^xib Py (t1- ) = ^y/b Pz (t1- ) = ^zib

Pvx (t1- ) = P1

Av,

1x

Pvy (t1- ) = P1

Av

1y

Pvz (t1- ) = P1

Av,

Av1 Av1 Av1

Px (t1+ ) = кxt1- Py (t1+ ) = кyt1- Pz (t1+ ) = кzt1-

Pvx (t1+ ) = P1

Av

1x

Pvy (t1+ ) = Pr

Av1y Av1z

- - Pvz (t1+ ) = P^-1

Av1

Av1 Av1

H (t1- ) = - 11- H (t1+ ) = , 1-

где P1 = V pIX (t1-)+Ply (t1-)+PIZ (t1-) = >/P4(t1+)+Pvy(t1+)+PvZ(t1+).

Следствиями условий трансверсальности и стационарности в момент t1 являются сонаправленность вектора импульса

(Av1x, Av1y, Av1z) и базис-вектора Лоудена (pw(t1),pVz(^)) и

условия непрерывности сопряженных переменных и гамильтониана в данный момент времени:

Px (t1+ ) - Px (t1- ) = 0, Pvx (t1+ ) - Pvx (t1- ) = О,

Py (t1+ ) - Py (t1- ) = о, Pvy (t1+ ) - Pvy (t1- ) = 0, (7)

Pz (t1+ ) - Pz (t1- ) = 0, Pvz (t1+ ) - Pvz (t1- ) = 0,

H (t1+ ) - H (t1- ) = 0.

(8)

Учет непрерывности радиус-вектора (х(^), .у(^), г(^)) и сопряженных переменных (7) позволяет упростить выражение (8) до условия ортогональности вектора (рх ру р2 (^)) и вектора импульса, известное ранее как необходимое условие максимума функции р(^) в момент промежуточного импульсного воздействия без дополнительных ограничений [3].

Из условий трансверсальности следует, что в момент времени

K

K

t1+-

Импульсные перелеты космического аппарата со сбросом ступеней...

Доказательство: из непрерывности координат КА и сопряженных переменных получаем, что

[°(*1+ ), Рг (¡1+ )]-[°(*1- ), Рг (¡1- )] = [°(0, Рг (¡1)Н°Й), Рг (¡1)] = 0.

Используя свойства векторного произведения и непрерывность сопряженных переменных, вычислим:

[у(¡1+ ), Ру (¡1+ )] - [у(¡1- ), Ру (¡1- )] = = [у(¡1+), Ру (¡1)]-[у (¡1-), Ру (¡1)] = [у(¡1+) - у(¡1-), Ру (¡1)] =

P1 Äv1

[v ) - v ft-), v ) - v (t1- )] = 0.

Что и требовалось доказать. 2.4. В момент времени t2

px (t2- ) = К xt 2j py (t2- ) = К yt 2j pz (t2- ) = К zt 2j

1 Äv2x „ ,, ч = л Äv2y „ ч л Äv2z

■ Кдов . j pvy (t2-) = Кдов . j pvz (t2-) = Кдов .

Äv2 Äv2 Äv2

Px (t2+ ) = К xt 2 j Py (t2+ ) = К yt 2 j Pz (t2+ ) = К zt 2 j

Ävi x „ „ ч л Äv2 У - л Äviz

(9)

pvx (t2+) = Кдов . J pvy (t2+) = Кдов . j pvz (t2+) = Кдов

Äv2 ' д Äv2 д Äv2

H (h_) = -X2 J H (t2+) = -К,2 J (1o)

где Кдов = ^/p2(t2_)+p2У(t2_)+p2(t2_) ^ VP2(t2+)+p2(t2+)+pvz(t2+).

Следствиями условий (9), (1o) являются сонаправленность вектора импульса и базис-вектора Лоудена

(Äv2x, Äv2y, Äv2z ) ^Т (Pvx (t2 X Pvy (t2 ), Pvz (t2 ))

и условия непрерывности сопряженных переменных и гамильтониана в данный момент времени:

Px (t2+ ) - Px (t2- ) = ° Py (t2+ ) - Py (t2- ) = ° Pz (t2+ ) - Pz (t2- ) = 0, Pvx (t2 + ) - Pvx (t2- ) = ° Pvy (t2 + ) - Pvy (t2- ) = ° Pvz (t2 + ) - Pvz (t2- ) = 0,

H(ti+ ) - H(ti-) = 0. (11)

Учет непрерывности радиус-вектора (x(t2), y(t2), z(t2)) и сопряженных переменных (9) позволяет упростить (11) до условия ортогональности вектора (px (t2), py (t2), pz (t2)) и вектора импульса, из-

вестное ранее как необходимое условие максимума функции р(/) в момент промежуточного импульсного воздействия без дополнительных ограничений [3].

Ступенчатость КА внесла коррективы: максимумы функции р(/) в моменты и ¿2 по величине могут различаться. Из условий трансверсальности следует, что в момент времени ¿2

^2- = ^ (12)

Доказательство (12) аналогично доказательству, приведенному для момента времени .

2.5. В момент времени ¿к импульса на фазовом ограничении

Рх ^К- ) = ^хК - ^К 2ух - ),

Ру (гК- ) = ^уК - ^К2уу (1к- ),

Рт (1К - ) = ^ К - ^ К 2vz (1К - X

Рх (^К + ) = ^ хК + 2^К1 х(*К + ) + ^К3ух (*К + ),

Ру (¿К + ) = ^уК + 2^К1У (*К + ) + ^КЗуу (*К + ),

Рт (*К + ) = ^ тК + 2^К1 Фк + ) + (*К + );

Ак

(13)

дов .

Аук

Рух (¿К- ) = -К 2 х(Ь- ) + Х хК

АууК

Руу (К ) = 2у (К ) + ^дов -Т-

АуК

Рут (^К- ) = 2т^К- ) + ^дов

Ау

'К

Рух (¿К+ ) = ^ КЗ х(^К+ ) + \ хК

Ау

К

Ау„

'дов .

АуК

(14)

уК

Руу (К ) = ^К3у (К ) + ^дов .

АуК Аугк

Рут (К ) = ^КЗт(^К + ) + ^дов . ;

АуК

Н (¿к- ) = -к , Н (¿К+ ) = -к . (15)

Следствием (15) является условие непрерывности гамильтониана:

Н (¿к+ ) - Н (¿к- ) = 0. (16)

Импульсные перелеты космического аппарата со сбросом ступеней... Исходя из условий трансверсальности (13), (14) можно сделать вывод, что в этот момент времени К |tR- = К |tR + . Докажем это:

Рг (^Я + ) - Рг (¡Я- ) = 2>Я1г(¡л ) + >л3Г+ ) + 2Г(*л- ).

Используя непрерывность координат КА и свойства векторного произведения, получаем:

[г^Я + X Рг (¡Я + )] - [г^Я- ), Рг (Л )] = [°(¡Я X Рг (Л ) - Рг (Л )] =

= [г (¡Я), 2>Я1? (¡Я) + >Я3° (¡Я+) + >Я 2° (¡Я- )] = = 2>Я1 [г (¡Я ), г (¡Я ) ] + >Я3 [г (¡Я ), у (¡Я+ ) ] + >Я2 [Г (¡Я ), у (¡Я- )] = = >Я3 [г (¡Я ), у (¡Я + )] + >л 2 [г (¡Я ), - )];

[у (¡Я + ), Ру (¡Я + )] = [у (¡Я+ ), > Я3у (¡Я )] +

у (¡л+),

'дов

Аул

АууЯ

К Ау*л )

>д

= >л 3 [у (¡Я +), г (¡Я )] + [у (¡Я +), у (¡л+) - у (¡Я- )] =

Аул

= > Я 3 [Г(л), Г (¡л)]-^ [Г(л), у^л -)];

Ау

[Я'л - ), Ру (¡Я- )] = -[у (¡Я- ), >л 2 Г (¡Я )] +

у (¡л - X

X

дов

Аул

ГАу*я^

АууЯ \АуЯ )

>д

= -Я 2 [у (¡Я- ), г (¡л )] + [у (¡Я- ), у (¡л+) - у (¡Я- )] =

Ауя

= ->л 2 [Я'л -), Г((л [ЯЛ-), я*л+)];

АУл

[Г(/л+ ), Ру (/я+ )] - [у (!л- ), Ру Оя- )] =

= >Я3 [у (¡Я + ), Г (¡Я )] - ^ [у (¡Я + ), у (¡Я -)] +

АуЯ

+ >Я 2 [у (¡Я- ), Г (¡Я )]-Ау^ [Я'л- ), Я*Я+ )] = >Я3 [у (¡Я+ ), Г (¡Я )] + + >л 2 [у (¡Я- ), т )]-(Ил + )Я'л - )] - [Г(^Я + ), у (¡Я - )]) =

= >Я3 [Я*Я + ),Г(¡Я )] + >Я2 [Я*Я-),Г(¡Я )];

К \л+ - К Я = X Я3 [Я^Л ), у (¡Я+ )] + >Я 2 [Г (¡Я ), у (¡Я - )] + + XЯ3 [Я'л+У^л)] + XЯ2 [Я'л- ), г (¡Я )] =

= X Я3 ([Г (¡Я ), у (¡Я + )] - [Г (¡Я ), у (¡Я+ )]) + + X Я 2 ([Я'л), Я'л - )] - [г(^Я ), Я'л-)]) = 0.

Что и требовалось доказать. 2.6. В момент времени ТР* (Т- ) = ^х^ ) -Xдов АуТу,

ЯТ Аут

Ру (Т-) = ^туТ) + Xдов ^,

Лт Аут

р* (т-) = - т;

гт\-\ Аут* , , . Ауу /7, ч_, Ау ^^

ру* (т-) = ^ов"-, руу (т-) = ^ов"-, руг (т-) = ^ов"-. (17)

Аут Аут Аут

Условие стационарности в конечный момент времени имеет вид

Н (т) = 0.

Аналогично начальному моменту времени компонента интеграла Белецкого — Егорова — Пайнса (сонаправленная с вектором ё* ) равна нулю.

Таким образом, данный интеграл сохраняеГ свое значение на всех участках траектории и ортогонален векторам С и ё2,. Следовательно, он коллинеарен вектору ё* (только первая его компонента отлична от нуля).

3. Условия дополняющей нежесткости:

Xдов (Аудов -Ау* ) = 0,

X Я 2 (х(^л - )у* (¡л - ) + у (¡Я - )уу (¡Я - ) + 2 (¡л - у (¡л - )) = 0,

XЯ3 (х(!л +)у*(/я+) + у(Л )уу 0я +) + 2(Л К(!л +)) = 0.

4. Условия неотрицательности (неположительности):

X0 ^0, Xя2 ^0, Xяз^0, Xдов ^0.

5. Множители Лагранжа не равны одновременно нулю (условие НЕРОН).

6. Множители Лагранжа могут быть выбраны с точностью до положительного сомножителя (условие нормировки). В качестве такого условия используется А,0 = 1.

Теперь можно провести сравнение полученных условий оптимальности и их следствий с известными результатами задачи импульсной постановки без учета ступенчатости [3].

Согласно (6), (8), (11), (16), гамильтониан непрерывен в точках приложения импульсных воздействий [3, с. 34] (результат расширен на случай импульсов сброса ступеней в атмосферу). Согласно (13), функции Рх (•), Ру (•), Рг (•) разрывны в момент приложения импульса на фазовом ограничении: «Если в момент сообщения импульса точка находится на границе, то функция ¥г (^) разрывна в этой точке» [3, с. 34].

В моменты приложения всех импульсных воздействий (кроме импульсов сброса ступени) импульс скорости направлен вдоль сопряженного вектора. Этот результат соответствует формуле (1.42) в работе [3].

Гамильтониан в конечный момент времени равен нулю, что соответствует результату, представленному в [3, с. 35].

В моменты приложения промежуточных импульсных воздействий (кроме импульсов сброса ступеней и импульса на фазовом

ограничении) вект°ры (Рх(-Х Ру( ) Рг( )) и (Рух(-Х Руу( ) Руг ()) °р-

тогональны [3, с. 36].

Условия трансверсальности вычислялись с использованием технологии численно-аналитического дифференцирования. Всего имеется 72 фазовые переменные и, следовательно, столько же условий трансверсальности. В классе ех1_уа1ие выделяется память под 72 переменные. Для каждой сопряженной переменной в каждый момент времени ( 0+, т,±, ¿к±, гК±, Т-, I = 1,2, к = 1,2 ) создается отдельная переменная в программе.

Результаты расчетов. Траектории рассматриваемых перелетов КА между опорной круговой и целевой эллиптической орбитами рассчитаны при Руд = 350 с, g = 9,80665 км/с2, /0 = 0,9 рад, К0 = КЗ + 200 км,

ц = 398601,19 км3/с2, а = 0,08, К = 280 000 км, гатм = КЗ +100 км, КЗ = 6378,25 км, КТ = 42164 км.

Результаты расчетов приводятся для рассмотренной траектории с

*

импульсом довыведения Ау = 1,5 км/с.

На рис. 1 представлен общий вид зависимости функции р от времени на траектории перелета. Детально вид этой зависимости в окрестности характерных точек т1, ¿1, т2, ¿2 и гк представлен на рис. 2.

9 МО5, с

Рис. 1. График зависимости функции р от времени:

1 — разрыв рассматриваемой функции в момент сброса второй ступени

0,04

390 395 400 405 МО3, с в

0,122451

65 66

Рис. 2. График зависимости функции р от времени в окрестности точек т1, /1, т2, ¿2,

67 68 МО4, с г

Как следует из (9) и (17), р(42) = р(Т) = Хдов. Кроме того, в (14) ХК2 = ХК3 = 0, и потому р(^ ) = Хдов = 0,1228696733. Значения р(0) = 0,1230001207 и р(^) = 0,1229511111 близки к значению р(42) = р(^) = р(Т) = 0,1228696733, но не равны ему, и это не погрешность расчетов. Как отмечалось выше, различие максимумов функции р связано со ступенчатостью КА.

В начальный момент времени КА переводится на переходную орбиту:

х(0+ ) = 6578,25 км, у(0+ ) = 0 , z(0+ ) = 0, ух (0+ ) = 0, уу (0+ ) = 5,826811 км/с, ^ (0+ ) = 7,265244 км/с,

рх(0+ ) = 1,0344951 • 10-4, ру(0+ ) = 0, р2 (0+ ) = 0, рш(0+ ) = 0, р.у (0+) = 0,0794531, рш (0+ ) = 0,0938949.

Отделение первой ступени происходит в апогее первой переходной орбиты в момент времени т1 = 6192,47 с:

х (т1- ) = х (т1+ ) = -16561,18066 км, у (т1- ) = у (т1+ ) = 0,

z (т1_ ) = z (т1+ ) = 0 , Ух (Х1_ ) = Ух (т1+ ) = 0 ,

уу (Т1_ ) = уу (Т1+ ) = -2,314462 км/с, Уz (т1_ ) = vz (т1+ ) = -2,88582 км/с,

Рх (Т1_ ) = -1,8935453 •Ю-6, Ру (ц_ ) = 0, р2 (т1_ ) = 0, РуХ (т1_ ) = 0, руу (Х1_) = 0,0195526, рУ2 (т1_) = 0,0374016, рх (т1+ ) = -2,9551455 •Ю-6, ру (Т1+ ) = 0, рг (Т1+ ) = 0, рух (Т1+ ) = 0, руу (Т1+ ) = 0,0160736, руг (Х1+ ) = 0,0330637.

В момент времени г1 = 12384,96 с прохождения перигея К А переводится на целевую эллиптическую орбиту:

х(*1_) = х(1) = 6578,25 км, у(^_ ) = у(^+ ) = 0, z (¿1_ ) = z (¿1+ ) = 0, ух (г1_ ) = 0, Уу (41_ ) = 5,826811 км/с, у2 (г1_ ) = 7,265244 км/с, ух (г1+ ) = 0,

уу (/1+) = 6,819735 км/с, vz (4+) = 8,43862 км/с, р^) = рх+) = 1,0452395 •Ю-4,

ру (41_ ) = ру (41+ ) = 0, рг (41_ ) = рг (41+ ) = 0, рух (41_ ) = рух (41+ ) = 0,

руу (41_ ) = руу (41+ ) = 0,0794224, рУ2 (гх_ ) = рУ2 (гх+ ) = 0,0938565.

Отделение второй ступени происходит на целевой эллиптической орбите.

В апогее целевой эллиптической орбиты в момент времени т2 = 206 237,84 с происходит перевод второй ступени на орбиту, касающуюся условной границы атмосферы:

х (Т2 _ ) = х (Т2+ ) = =-223 261,13382 км, у (т2 _ ) = у (т2 + ) = 0,

z(т2_ ) = z(т2 + ) = 0 , ух (т2_) = ух (т2+) = 0 ,

Ь (Т2- ) =у (Т2+ ) = -0,200939 км/с, у, (т2- ) =

= у, (т2+ ) = -0,248637 км/с, рх (т2- ) = -1,0066009-10-7, ру (т2- ) = 0, р, (т2-) = 0, рух(т2-) = 0, руу(Т2-) = -0,0800844, ру,^) = 0,0508963, Рх(Т2+ ) = -1,0845194-10-7, ру(т2+ ) = 0, р,(т2+ ) = 0, рш(т2+ ) = 0, руу (Т2+ ) = -0,0835796, ру, (Т2+ ) = 0,0465714.

В момент времени ¿2 = 400090,72 с прохождения перигея целевой орбиты начинается довыведение КА на геостационарную орбиту — КА переводится на первую орбиту довыведения:

х(*2-) = х^2+) = 6578,25 км, у^-) = у(2+) = 0, г (¿2- ) = , (¿2+ ) = 0, ух (¿2- ) = 0, уу (¿2- ) = 6,819734 км/с, у, (¿2- ) = 8,43862 км/с, Ух (¿2+ ) = 0, уу (¿2+) = 6,840153 км/с, у, (¿2+) = 8,462749 км/с, р^-) = рг('2+) = 1,0458611 10-4, ру(?2_) = ру^2+) = 0, р^2-) = р,(Ь+) = 0, рух (¿2- ) = рух (¿2+ ) = 0, руу (¿2-) = руу (¿2+) = 0,0793712, ру, (¿2- ) = ру, (¿2+ ) = 0,0937932.

В момент времени ¿к = 669989,19 с прохождения апогея первой орбиты довыведения импульсом на фазовом ограничении КА переводится на вторую орбиту довыведения:

х(Ъ-) = х(^+) = -280 000 км, у(^-) = + ) = 0, ,(к) = = 0, ух (¿к- ) = 0, уу (¿к- ) = -0,160701 км/с, у, (¿к- ) = -0,198822 км/с, ух (¿к+ ) = 0, уу (¿к+ ) = -0,610317 км/с, у, (¿к+ ) = -0,01179 км/с,

рх (¿к- ) = 0, ру (!к-) = 0, р, (¿к_ ) = 0, рух (1К- ) = 0,

руу (гк-) = -0,1134457, ру, (¿к-) = 0,0471911, рх (к ) = -1,13047596-10-7, ру (¿к+ ) = 0, рг (¿к + ) = 0, (к ) = 0, руу (¿к+ ) = -0,1134457, ру, (¿к+ ) = 0,047191.

В перигее второй орбиты довыведения импульсным воздействием в конечный момент времени Т = 991689,22 с КА переводится на геостационарную орбиту:

х(Т- ) = 42164 км, у (Т- ) = 0, , (Т- ) = 0, ух (Т.) = 0, уу (Т- ) = 4,052965 км/с, у, (Т- ) = 0,078297 км/с,

рх (Т- ) = -5,95937049-10-6, ру (Т- ) = 0, р, (Т- ) = 0, рш (Т- ) = 0, руу (Т- ) = -0,122478, (Т- ) = -0,0098024.

Числовые множители Лагранжа для представленной экстремали:

Хдов = 0,1228697, о = 1,8920412-10-8, о = 0, X,,.! = 0, ^ = 0,

Ь/1 = 0, = 0, Xx2 = 0, = 0, = -1,130476-10-7, XyR = 0,

X r = 0, Xr = 0, XRi = 0, XR2 = 0, = 0, V = 0, X zT = 0.

Заключение. Интеграл Белецкого — Егорова — Пайнса и гамильтониан непрерывны в моменты подачи промежуточных импульсных воздействий, включая моменты сброса ступеней. Решение задачи перелета КА с опорной орбиты на целевую эллиптическую в рассмотренном случае задачи с фазовым ограничением и при неограниченном заранее времени перелета и довыведения без априорного предположения об апсидальности импульсов является апсидальным. Максимумы функции р на экстремалях различны (и это не является погрешностью расчетов).

ЛИТЕРАТУРА

1. Григорьев И.С., Проскуряков А.И. Импульсные перелеты космического аппарата со сбросом ступеней в атмосферу и фазовым ограничением (часть I). Инженерный журнал: наука и инновации, 2019, вып. 9.

DOI: 10.18698/2308-6033-2019-9-1917

2. Григорьев И.С., Григорьев К.Г. К проблеме решения в импульсной постановке задач оптимизации траекторий перелетов космического аппарата с реактивным двигателем большой тяги в произвольном гравитационном поле в вакууме. Космические исследования, 2002, т. 40, № 1, с. 88-111.

3. Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров при ограничениях на расстояния до планет. Москва, Наука, 1975, 392 с.

Статья поступила в редакцию 06.09.2019

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Григорьев И.С., Проскуряков А.И. Импульсные перелеты космического аппарата со сбросом ступеней в атмосферу и фазовым ограничением (часть II). Инженерный журнал: наука и инновации, 2019, вып. 10.

http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2019-10-1925

Григорьев Илья Сергеевич — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика» механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова. e-mail: iliagri@yandex.ru

Проскуряков Александр Игоревич — аспирант кафедры «Вычислительная математика» механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, старший лаборант кафедры технических наук филиала МГУ имени М.В. Ломоносова в городе Баку. e-mail: ap_91@mail.ru

Spacecraft pulsed flights trajectories with the stages jettison into the atmosphere and phase restriction (part II)

1 2 © I.S. Grigoriev , A.I. Proskuryakov

1 Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991, Russia 2 Baku Branch of Lomonosov Moscow State University, Baku, AZ1144, Azerbaijan

The paper considers the idea of reducing near-Earth space debris by discarding expended stages into the Earth's atmosphere. The problem of optimizing the pulsed flight between the reference circular orbit of an artificial Earth satellite and the target elliptical orbit with a phase restriction on the maximum distance of the spacecraft from the Earth has been solved. Derivatives under the transversality of Lagrange principle in the process of solving are calculated by means of a specially developed technology of numerical-analytical differentiation. The first part of the paper introduces the statement and formalization of the problem. The second part of the paper studies the conditions for the optimality of Lagrange principle, analyses them and compares the findings obtained with the previously known results.

Keywords: space debris, impulses, flights, stage jettison into the atmosphere, spacecraft trajectory optimization, phase restriction

REFERENCES

[1] Grigoriev I.S., Proskuryakov A.I. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2019, iss. 9. https://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2019-9-1917

[2] Grigoriev I.S., Grigoriev K.G. Kosmicheskie issledovaniya — Cosmic Research, 2002, vol. 40, no. 1, pp. 81-103.

[3] Ivashkin V.V. Optimizatsiya kosmicheskikh manevrov pri ogranicheniyakh na rasstoyaniya do planet [Optimization of space maneuvers under constraints on the distances to planets]. Moscow, Nauka Publ., 1975, 392 p.

Grigoriev I.S. Cand. Sc. (Phys.-Math.), Assoc. Professor, Department of Computational Mathematics, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University. e-mail: iliagri@yandex.ru

Proskuryakov A.I. post-graduate student, Department of Computational Mathematics, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University; Senior Laboratory Assistant, Department of Engineering Sciences, Baku Branch of Lomonosov Moscow State University. e-mail: ap_91@mail.ru