Импульсные перелеты космического аппарата со сбросом ступеней в атмосферу и фазовым ограничением (часть i) Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 539.384.2

БОТ: 10.18698/2308-6033-2019-9-1917

Импульсные перелеты космического аппарата со сбросом ступеней в атмосферу и фазовым ограничением (часть I)

1 12 © И.С. Григорьев , А.И. Проскуряков '

1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Москва, 119991, Россия 2 Филиал Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова в городе Баку, Баку, А21144, Азербайджан

В работе рассмотрена идея уменьшения замусоренности околоземного пространства за счет сброса отработавших ступеней в атмосферу Земли. Решена задача оптимизации импульсного перелета между опорной круговой орбитой искусственного спутника Земли и целевой эллиптической орбитой с фазовым ограничением на максимальное удаление космического аппарата от Земли. Производные в условиях трансверсальности принципа Лагранжа в процессе решения вычислены с помощью специально разработанной технологии численно-аналитического дифференцирования. В первой части статьи представлена формализация задачи и приведено описание полученных траекторий. Во второй части статьи будет показан анализ условий принципа Ла-гранжа и сравнение полученных следствий с известными результатами.

Ключевые слова: космический мусор, импульсные перелеты, сброс в атмосферу, оптимизация траектории космического аппарата, фазовое ограничение

Введение. В работе рассматривается задача оптимизации траекторий перелетов космического аппарата (КА) с низкой круговой орбиты искусственного спутника Земли заданного наклона ¡0 и радиуса ^0 на целевую эллиптическую орбиту. Исследование проводится в импульсной постановке. Предполагается, что сумма импульсов до-выведения КА с целевой орбиты на геостационарную (ГСО) ограничена заданной величиной. КА оснащен двумя ступенями, содержащими необходимое количество топлива для совершения требуемых маневров. Отработавшие ступени за счет дополнительных импульсных воздействий переводятся на орбиты, касающиеся условной границы атмосферы (высота перигея 100 км). Время существования объектов на таких орбитах считается малым. Предполагается, что дополнительные импульсы для сброса ступеней в атмосферу подаются в апогеях орбит, с которых осуществляется увод ступеней, и не меняют наклон орбиты, т. е. являются тормозными. Расход массы на совершение маневров учитывается по формуле Циолковского, сухие массы ступеней считаются пропорциональными массе находящегося в них топлива с коэффициентом пропорциональности а [1]. Масса двигателя и дополнительных конструкций не учитывается. Оставшаяся после

сброса второй ступени масса КА на целевой орбите считается полезной и максимизируется.

В данной статье авторы продолжают раскрывать и развивать тему, затронутую в [2]. Однако в настоящей работе в постановке задачи отсутствует априорное предположение апсидальности импульсных воздействий, и ограничение на максимальное удаление учитывается как фазовое. Можно считать, что задача оптимизации рассматривается в кольце

к={яШ1П < г ц) < ятах},

где г (V) — расстояние от центра Земли до КА, км, в момент времени V, с; Лтщ и Дтах— ограничение на минимальное и максимальное удаление КА от центра Земли соответственно, км.

Такая постановка задачи близка к постановке [3, с. 70]. Величина минимального удаления равна радиусу условной границы атмосферы. В задаче фазовое ограничение г(V) > Дт1п не является активным.

Существуют различные подходы получения необходимых условий оптимальности первого порядка в задачах оптимизации траекторий перелетов КА в импульсной постановке. Один из таких подходов предполагает рассмотрение задачи в импульсной постановке как задачи оптимизации в классе обобщенных функций. При этом импульсные воздействия интерпретируются в качестве управлений, обобщенных 8-функций Дирака [4]. Использование этого подхода приводит к громоздкому учету соответствующих множителей Лагранжа в виде меры, и данный подход в настоящее время при решении задач не получил большого распространения. Другой подход [5, 6], предполагающий непосредственное использование метода вариаций, также приводит к громоздким преобразованиям.

В работе используется подход, связанный с исключением из рассмотрения управлений 5-функций Дирака и формализацией в виде гладкой задачи на наборе участков пассивного полета [7]. Основным недостатком и одновременно достоинством используемого подхода является необходимость выбора структуры траектории — последовательности пассивных участков перелета, соединенных в общую траекторию условиями стыковки. Разные последовательности таких условий стыковки — основных импульсов маневра, импульсов сброса ступеней, моментов выхода на фазовое ограничение — приводят к разным формализациям задачи и с этой точки зрения являются недостатком. С другой стороны, наличие априорной информации о структуре решения задачи, полученной в результате рассмотрения задачи в более простой постановке, а также простой учет условий и ограничений по сравнению с другими подходами и однотипность проводимого анализа формально различных задач разной структуры являются достоинством.

В рассматриваемой задаче простой постановкой был случай с априорным предположением об апсидальности импульсных воздействий [2]. Изучение этой упрощенной задачи позволяет предполагать, что вне зависимости от величины суммы импульсов довыведения и разделяемого импульса весь перелет КА с опорной круговой орбиты на ГСО состоит из трех орбит и пяти основных импульсов, а также из двух дополнительных импульсных воздействий, переводящих отработавшие ступени на орбиты, касающиеся условной границы атмосферы. Причем некоторые из этих орбит составляют траекторию выведения КА с опорной орбиты на целевую, а оставшиеся орбиты — траекторию довыведения КА (спутника) с целевой орбиты на геостационарную.

Согласно [7], решение формализованной задачи импульсной постановки на основе принципа Лагранжа сводится к решению краевой задачи и осуществляется численно методом стрельбы. В силу громоздкости получение условий краевой задачи в явном виде вызывает определенные сложности. Поэтому уже на этапе формирования краевой задачи и далее при ее численном решении применяется метод численно-аналитического дифференцирования. При этом в программной реализации вместо стандартного класса «плавающая точка» используется специально разработанный класс ех1_уа1ие, оказавшийся эффективной реализацией этой идеи.

После численного решения задачи для сравнения с результатами [3] проводится анализ полученных условий принципа Лагранжа.

Формализация задачи. Перелет рассматривается в центральном ньютоновском гравитационном поле в вакууме в прямоугольной декартовой системе координат, связанной с центром Земли. Ось г этой системы перпендикулярна плоскости экватора и направлена с юга на север, ось х лежит в плоскости экватора и направлена по линии узлов начальной круговой орбиты от нисходящего узла к восходящему, ось у дополняет систему координат до правой. Система дифференциальных уравнений движения центра масс КА имеет следующий вид:

где х^), у(^), г(^) — координаты центра масс КА, км, в момент вре-

Земли, км, в момент времени I, с; V* (/), Уу (/), Уг (/) — компоненты

*(*) = V* «), У Ц) = Vy (*), ¿Ц) = Уг (*),

мени

расстояние от КА до центра

вектора скорости центра масс КА в момент времени t, с; р — гравитационный параметр Земли.

Пусть в момент т происходит мгновенное импульсное воздействие (это условие необходимо при формализации задачи согласно [7]):

т- = т+; (1)

положение объекта при этом не изменяется:

х(т-) = х(т+х Хт-) = у(т+X z(t-) = z(т+); (2)

скорость объекта и масса изменяются скачком. Следует учитывать, что скачок массы связан с величиной импульса формулой Циолковского:

т(т+ ) = т(т-)exp,

где

Av = ^Avl + Av2y + Av2z ,

Avx = vx (т+ ) - vx (т-), Avy = vy (т + ) - vy (т- ),

Avz = vz (т+ ) - vz (т- ). Здесь c = Рудg3 — скорость истечения реактивной струи, Руд — удельная тяга, g3 — ускорение свободного падения на поверхности Земли; Avx, Avy, Avz — компоненты вектора импульса.

Далее в настоящей статье рассмотрены общие условия импульсного воздействия и их формализация в требующихся в постановке задачи ситуациях:

• в моменты подачи импульсов (начало и конец траектории);

• промежуточных импульсных воздействий;

• импульсного воздействия на фазовом ограничении;

• импульсных воздействий сброса ступеней в атмосферу. Импульс в начальный момент времени. До первого импульсного воздействия КА находится на опорной круговой орбите заданного наклона /0 и с заданным восходящим узлом в положительной части оси Ох:

x2 (0- ) + y2 (0- ) + z2 (0- ) = R2, x(0- )Co x + y (0- )Co y + z (0- )Q z = 0,

v^ (0- ) = - (y(0-) cos io + z(0- ) sin io), (3)

vy (0- ) = x(0-) cos io, vz (0- ) = x(0-) sin io,

где

R = R3 + ho.

Здесь С0х, С0у, С02 — компоненты вектора кинетического момента КА относительно центра Земли; Со — значение модуля этого вектора; Е0 — радиус опорной орбиты; ЯЗ — радиус Земли; И0 — высота опорной орбиты; Уо — модуль вектора скорости на опорной орбите.

С использованием условий (1), (2) при формализации задачи величины х(0-), у(0- ), г(0_ ), ух (0- ), Уу (0-), (0- ) и сам момент 0- из рассмотрения исключаются и условия (3) трансформируются:

величина импульсного воздействия в начальный момент времени имеет вид:

Avo х = vx (°+ ) + -f (y (°+ ) cos ¿o + z (0+ ) sin ¿o);

Vo Vo

Avo y = Vy (0+) - —x(0+) cos ¿o; Avo z = vz (0+) - — x(0+) sin ¿o. Xo Xo

Промежуточные импульсные воздействия. В моменты импульсных воздействий в промежуточные моменты времени (без дополнительных условий и ограничений) ^ и ¿2 выполняются условия:

величины импульсных воздействий в эти моменты времени имеют вид

x2 (0+ ) + y2 (0+ ) + z2 (0+ ) = R2, x(0+ )Cox + y(0+ )Co y + z (0+ )QZ = 0;

где

tk+- tk-= o, k = 1,2,

x(tk + ) - x(tk- ) = 0, y(tk + ) - y (tk- ) = 0, z (tk + ) - z (tk- ) = 0;

где

Avkx = vx (tk + ) - vx (tk- ), Avky = vy (tk + ) - vy (tk- ), Avkz = vz (tk + ) - vz (tk- ).

Импульсное воздействие на фазовом ограничении. В момент

импульсного воздействия ¡к на фазовом ограничении выполняются условия:

¡к + - ¡к- = 0;

+ ) - - ) = 0,

У (¡к + ) - У (¡к - ) = 0, * (¡к+) - * (¡к-) = 0;

х2 (¡к+)+У2 (¡к+) + *2 (¡к+) - к2 = 0; (4)

х^к- >х (¡к-) + У (¡к- >у (¡к-) + *(^к-V (¡к -) ^ 0; (5)

х^к+ V (¡к+) + У(¡к+X (¡к+) + *(¡к+ V (¡к+) ^ 0, (6)

где к — величина максимального удаления КА от Земли, км.

Величина импульсного воздействия в момент подачи импульса на фазовом ограничении представлена следующим образом:

Дук =^4 +ДуУк +Ау2к ,

где

Аххк = Хх (*к + ) - Хх 0к- );

Ауук = Уу (^к+ ) - Уу (*к- );

Ау*к = (/к+) - (1к -).

Отметим, что условия (5), (6) подчеркивают возможность излома траектории в момент импульсного воздействия на фазовом ограничении: перед выходом на фазовое ограничение (4) радиальная составляющая скорости КА положительна (5), а после схода — отрицательна (6).

Импульсы сброса ступеней. В моменты т и т2 сброса первой и второй ступеней выполняются условия:

Т/ + - V = 0, / = 1, 2,

х(т/+) -х(т/-)=а у(т/+) - у(т/-)=а *(т/+) - *(т/-)=o,

Хх (Т + ) - (Т/-) = 0, Уу (Т/ + ) - Уу (Т/- ) = 0, V* (Т/ + ) - V* (Т/-) = а

х(Т/- )ух (Т/- ) + У (Т/- )уу (Т/- ) + *(Т/- )У* (Т/- ) = 0.

Величины импульсных воздействий в моменты сброса ступеней представлены следующим образом:

АУсб/ = Ут/ - Усб/, I = 1,2;

Ут/ = >/ у2 (Т- ) + УУ (Т / - ) + у2 (Т/- ),

Импульсные перелеты космического аппарата со сбросом ступеней... где ут — модуль скорости в апогее орбиты сброса ступени; усбг- —

модуль скорости ступени в апогее соответствующей орбиты, касающейся условной границы атмосферы (т. е. после дополнительного импульсного воздействия). Согласно [8], вычисляется по формуле

_ I 2цта1

Усбг _ .

Гаг(Гаг + Гатм ) Гатм _ Яз +100;

гаг _ >/х2 (тг_ ) + У2 (тг_ ) + 22 (тг_ ),

где а — радиус апогея соответствующей орбиты, с которой происходит сброс ступени, км; гатм — радиус перигея орбиты, касающейся условной границы атмосферы (постоянная величина в задаче), км; ЯЗ — радиус Земли.

Импульс в конечный момент времени. После последнего импульсного воздействия КА должен находиться на ГСО:

х2 (Т+ ) + у2 (Т+ ) _ ЯТ _ 0, 2(Т+ ) _ 0; Ух(Т+ ) __У~у(Т+ ); Уу(Т+ ) _ У-х(Т+ ); у(Т+ ) _ 0; (?)

Ят Ят

УТ _

V Ят '

где УТ — модуль вектора скорости на ГСО; ЯТ — радиус ГСО, км.

Как и в начальный момент времени с использованием условий (1), (2), при формализации задачи величины х(Т+), у(Т+), г(Т+), Ух (Т+), Уу (Т+ ), Уг (Т+ ) и сам момент Т+ из рассмотрения исключаются, а условия (7) преобразуются:

х2 (Т_ ) + у2 (Т_ ) _ Я2 _ 0, г(Т_ ) _ 0;

величина импульсного воздействия в момент выведения на ГСО имеет вид

ДуТ _ ^ДуТх + ДУТ„ + АУТ

где

Дутх __ УгУ(Т_ ) _ Ух (Т_ ),

ЯТ

ДУТу _ -~х (Т_ ) _ Уу (Т_ ), ДУтг __Уг (Т_ ). Ят

Функционал и ограничение импульса довыведения. Аналогично [2] масса КА считается безразмерной:

то = 1.

Обозначим щ1 и щ2 характеристическую скорость маневра, реализованную за счет топлива из первой и второй ступеней соответственно. После выполнения первой серии маневров (до сброса первой ступени) масса КА

' Щ1

т1- = т0 ехр

V с

После тормозного импульса масса сброшенной ступени составляет

Ассб1

т1сух = т1с ехр1

где т1с — масса сбрасываемой ступени, состоящая из сухой массы и массы топлива, необходимого для реализации маневра сброса в атмосферу.

Примем, что топлива в ступени не осталось и это ее сухая масса. С другой стороны, масса топлива в первой ступени составляет

т1т = т0 ¡1 - ехр щ]] + т1с - ехр (- ^Усб1 тогда сухая масса ступени

т1сух = а Vто ^ - ехР V-0) + т1с ^ - ехР "Г")] ) .

Масса сбрасываемой ступени т1с определяется в результате решения линейного уравнения

т1с ехр ¡-^1) = а Vто (1 - ехр (-С-]] + (1 - ехр (-^Г^) :

ат0 - ехр (- Щ

т1с =

(1 + а) ехр а

Итак, после сброса первой ступени масса КА

т1+ = т1- - т1с.

Вторая ступень отделяется на целевой орбите. Аналогично предыдущему случаю

, ч аm1+1 1 - exp [ - —

I —2 1 V V С

m2_ = mx+ exp [--I; т2с =-

c) ,Л . , I Лус62

(1 + а)ехр| |-а

тп = Ш2+ = Ш2-- Ш2с.

Таким образом, полезная масса может быть представлена в виде произведения двух множителей:

тп = тп1 • тп2,

' щ

а I 1 _ exp [ _

и, 1 V V С

mnl = exp 1

(1 + a)exp[ 1_а

а I 1 _ exp [ _ — и2 1 V V c mn2 = exp1 1

С ) „ . ч I Лусб2

(1 + а) exp а

Решается задача максимизации полезной массы — массы КА на целевой орбите, оставшейся после сброса второй ступени:

_mn ^ min.

Сумма импульсов довыведения Лудов с целевой орбиты на ГСО ограничена заданной величиной Лу :

ЛУдов ^ Лу*.

Неизвестными в задаче являются:

• моменты времени t1, t2, tR, т, т2, T;

• координаты и скорости КА в начальный момент времени после импульсного воздействия: x(0+ ), y(0+ ), z(0+ ), vx(0+ ), vy (0+ ), vz(0+ );

• координаты и скорости КА в моменты времени ti (i = 1, 2, R) :

x(ti+ ), x(ti_ ), y (ti + ), y(ti_ ), z(ti+ ), z(ti_ ), Vx(ti+ ), Vx (ti_ ), vy (ti+ X vy (ti_ ), vz (ti+), vz (ti _);

• координаты и скорости КА в конечный момент времени до импульсного воздействия: x(T_), y(T_), z(T_), vx(T_), vy (T_), vz (T_);

• координаты и скорости КА в моменты тj (j = 1, 2): х(тj+), х(тj_),

У(тj+ ), y(Tj_), z(Tj+ ), z(Tj_), vx(Tj+ ), vx(Tj_), vy (тj+ X vz(Tj+ ), vy (тj_), vz(Tj_).

Отметим, что формализация задачи не закончена: не определены соответствия точной очередности между моментами ¿ь ¿2, ¿к, Т1, т2. Их установление зафиксирует структуру траектории и позволит на основе принципа Лагранжа сформировать краевую задачу.

Решение задачи. Полученная задача на условный экстремум в функциональном пространстве на основе соответствующего принципа Лагранжа сводится к краевой задаче [7]. Условия трансверсальности вычисляются с помощью технологии численно-аналитического дифференцирования. Отметим, что данная технология позволяет получить условия трансверсальности без проведения громоздких преобразований с высокой точностью. В основе технологии лежит идея применения объектно-ориентированного программирования к реализации графового подхода [9-11] вычисления производных функции многих переменных: в вершинах графа хранятся значения функций и их производных до требуемого порядка, вычисления проходят последовательно по правилам дифференцирования, начиная от вершин нулевого слоя, которым приписаны независимые переменные, до последней вершины графа, в которой хранится значение искомой функции и ее производных.

Краевая задача сводится с помощью метода стрельбы к системе нелинейных уравнений. Полученная система решается численно — модифицированным методом Ньютона (модификация Исаева — Со-нина [12] с использованием в условии сходимости нормировки Фе-доренко [13]). Система линейных уравнений, получаемая в процессе применения метода Ньютона, решается методом Гаусса с выбором ведущего элемента по столбцу и повторным пересчетом [14]. Задача Коши решается методом Дормана — Принса 8 (7) с автоматическим выбором шага [15].

Результаты. Рассмотренную задачу удалось решить. Результаты приводятся для ¡0 = 0,9 рад.

В случае импульса довыведения 0,5 км/с: 0 < т1 < ¿1 < < < ¿2 < Т2 < Т и траектория состоит из шести пассивных участков (рис. 1): 1) от 0+ до Т1-; 2) от Т1+ до ¿1-; 3) от ¿1+ до ¿К-; 4) от ¿к+ до ¿2- ; 5) от ¿2+ до т2- ; 6) от Т2+ до Т-.

В начальный момент времени подается импульс, переводящий КА с опорной орбиты на первую переходную с апогеем га1 и наклоном ¡1 (на рис. 1 этот участок обозначен цифрой 1). В момент т прохождения апогея первая ступень переводится на орбиту, касающуюся условной границы атмосферы (на рис. 1 — орбита С^, далее в момент времени ¿1 прохождения перигея подается импульс, переводящий КА на вторую переходную орбиту с апогеем га2 и наклоном ¡2

Рис. 1. Схема перелета на целевую орбиту с импульсом довыведения 0,5 км/с: а — перелет на целевую орбиту Ц; б — довыведение с целевой орбиты Ц на геостационарную; Сь С2 — орбиты сброса, соответственно, первой и второй ступени в атмосферу

(на рис. 1 — орбита, обозначенная цифрой 2). В момент времени tR прохождения апогея (на фазовом ограничении) подается импульс, переводящий КА на третью переходную орбиту с перигеем гп3 и наклоном /3 (на рис. 1 — орбита, обозначенная цифрой 3). В момент времени t2 прохождения перигея подается импульс, переводящий КА на целевую орбиту с апогеем гац и наклоном /д (на рис. 1 — орбита Ц).

В момент времени т2 прохождения апогея подается импульс, переводящий вторую ступень на орбиту, касающуюся условной границы атмосферы (на рис. 1 — орбита С2). В момент времени Т прохождения перигея КА переводится с целевой орбиты на ГСО — в рассматриваемом случае орбита довыведения с целевой на геостационарную отсутствует.

В случае импульса довыведения 1,0 км/с: 0 < т1 < ^ < tR < < т2 < t2 < Т и траектория состоит из шести пассивных участков (рис. 2): 1) от 0+ до Т1-; 2) от Т1+ до ; 3) от до tR_ ; 4) от tR + до т2_ ; 5) от т2+ до ; 6) от до Т_.

В начальный момент времени подается импульс, переводящий КА с опорной орбиты на первую переходную с апогеем га1 и наклоном /1 (на рис. 2 этот участок обозначен цифрой 1). В момент т1 прохождения апогея первая ступень переводится на орбиту, касающуюся условной границы атмосферы (на рис. 2 — орбита С1), далее в момент времени ^ прохождения перигея подается импульс, переводящий КА на вторую переходную орбиту с апогеем га2 и наклоном /2

Рис. 2. Схема перелета на целевую орбиту с импульсом довыведения 1,0 км/с: а — перелет на целевую орбиту Ц; б — довыведение с целевой орбиты Ц на геостационарную; Д — орбита довыведения

(на рис. 2 — орбита, обозначенная цифрой 2). В момент времени прохождения апогея (на фазовом ограничении) подается импульс, переводящий КА на целевую орбиту с перигеем гпц и наклоном /ц

(на рис. 2 — орбита Ц). В момент времени т2 прохождения апогея подается импульс, переводящий вторую ступень на орбиту, касающуюся условной границы атмосферы (на рис. 2 — орбита С2). В момент времени ¿2 прохождения апогея подается импульс, переводящий КА на орбиту довыведения с перигеем гпд и наклоном /Д (на

рис. 2 — орбита Д). В момент времени Т прохождения перигея КА переводится с орбиты довыведения на ГСО.

При импульсе довыведения 1,5 км/с 0 < т < < т2 < г2 < < Т и траектория состоит из шести пассивных участков (рис. 3): 1) от 0+ до Т1-; 2) от Т1+ до гХ-; 3) от гх+ до т 2_; 4) от т 2+ до ¿2-; 5) от ¿2+ до ¿к _; 6) от ¿к + до Т_.

В начальный момент времени подается импульс, переводящий КА с опорной орбиты на переходную с апогеем га1 и наклоном /1 (на рис. 3 этот участок обозначен цифрой 1). В момент т1 прохождения апогея первая ступень переводится на орбиту, касающуюся условной границы атмосферы (на рис. 3 — орбита С1), далее в момент времени прохождения перигея подается импульс, переводящий КА на целевую орбиту с радиусом апогея гац и наклоном /д (на рис. 3 — орбита Ц).

В момент времени т2 прохождения апогея подается импульс, переводящий вторую ступень на орбиту, касающуюся условной границы

ц

Рис. 3. Схема перелета на целевую орбиту с импульсом довыведения 1,5 км/с: а — перелет на целевую орбиту Ц; б — довыведение с целевой орбиты Ц на геостационарную; Д1 — первая орбита довыведения, Д2 — вторая орбита довыведения

атмосферы (на рис. 3 — орбита C2). В момент времени ^ прохождения перигея подается импульс, переводящий КА на первую орбиту довыведения с апогеем гад1 и наклоном Д (на рис. 3 — орбита Д1).

В момент времени прохождения апогея (на фазовом ограничении) подается импульс, переводящий КА на вторую орбиту довыведения с перигеем гпд2 и наклоном /д2 (на рис 3. — орбита Д2). В момент

времени Т прохождения перигея КА переводится со второй орбиты довыведения на ГСО.

Заключение. Оказалось, что решение задачи является апсидаль-ным. В зависимости от величины импульса довыведения очередность указанных моментов, позволяющих получить решение задачи, различна и величины импульсов довыведения 0,5 км/с, 1,0 км/c и 1,5 км/c представляют собой три характерных случая. Выбор других очередно-стей либо не позволяет решить краевую задачу, либо полученное решение не является искомым. Во второй части статьи будет проведен анализ условий принципа Лагранжа, сравнение полученных результатов с уже известными.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Механика космического полета. Проблемы оптимизации. Москва, Наука, 1975, 702 с.

[2] Григорьев И.С., Проскуряков А.И. Оптимизация целевой орбиты и траектории апсидального импульсного выведения космического аппарата на нее с учетом сброса отработавших ступеней в атмосферу. Инженерный журнал: наука и инновации, 2019, вып. 4. ГО!: 10.18698/2308-6033-2019-4-1869

[3] Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров при ограничениях на расстояния до планет. Москва, Наука, 1975, 392 с.

[4] Орлов Ю.В. Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями. Москва, Наука, 1988, 187 с.

[5] Дубовский С.В. Межорбитальные и межпланетные перелеты. Космические исследования, 1965, т. 5, № 4, с. 494-507.

[6] Ильин В.А., Кузмак Г.Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов. Москва, Наука, 1976, 744 с.

[7] Григорьев И.С., Григорьев К.Г. К проблеме решения в импульсной постановке задач оптимизации траекторий перелетов космического аппарата с реактивным двигателем большой тяги в произвольном гравитационном поле в вакууме. Космические исследования, 2002, т. 40, № 1, с. 88-111.

[8] Дубошин Г.Н. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Москва, Наука, 1976, 864 с.

[9] Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. Санкт-Петербург, БХВ-Петербург, 2002, 1410 с.

[10] Горбань А.Н., Сенашова М.Ю. Быстрое дифференцирование, двойственность и обратное распространение ошибки. Вычислительные технологии, 1999, т. 4, специальный выпуск, с. 55-68.

[11] Сенашова М.Ю. Оценки погрешностей вычисления сложной функции многих переменных и ее градиента. Сибирский журнал вычислительной математики, 2007, т. 10, № 1, с. 77-88.

[12] Исаев В.К., Сонин В.В. Об одной модификации метода Ньютона численного решения краевых задач. Вычислительная математика и математическая физика, 1963, т. 3, № 6, с. 1114-1116.

[13] Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. Москва, Издательство Московского физико-технического института, 1994, 528 с.

[14] McCracken D.D., Dorn W.S. Numerical Methods and Fortran Programming: with application in engineering and science. Wiley International Edition, second ed., 1967, 457 p.

[15] Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Berlin, Springer, second ed., 1993, 528 p.

Статья поступила в редакцию 20.08.2019

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Григорьев И.С., Проскуряков А.И. Импульсные перелеты космического аппарата со сбросом ступеней в атмосферу и фазовым ограничением (часть I). Инженерный журнал: наука и инновации, 2019, вып. 9. http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2019-9-1917

Григорьев Илья Сергеевич — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Вычислительная математика» механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова. e-mail: iliagri@yandex.ru

Проскуряков Александр Игоревич — аспирант кафедры «Вычислительная математика» механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, старший лаборант кафедры технических наук Филиала МГУ имени М.В. Ломоносова в городе Баку. e-mail: ap_91@mail.ru

Spacecraft pulsed flights trajectories with the stages jettison into the atmosphere and phase restriction (part I)

1 12 © I.S. Grigoriev , A.I. Proskuryakov '

1 Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991, Russia 2 Baku Branch of Lomonosov Moscow State University, Baku, AZ1144, Azerbaijan

The part I of the paper considers the reducing of the near-Earth space debris due to the stages discharge into the Earth's atmosphere, introduces the solution for optimizing the impulse transfer between the artificial Earth satellite reference circular orbit and the target elliptical orbit with a phase constraint on the maximum distance of the spacecraft from the Earth. A specially developed numerical-analytical differentiation technology allows us to calculate derivatives under the transversality of Lagrange principle. The part II of the paper proposes the transversality and stationarity conditions analysis, which results in the conclusion that the Beletsky — Egorov — Pines integral, and the Hamiltonian are continuous in the moments of all intermediate impulse actions application, including the stage discharge moments. The paper shows that the problem solution for various flight schemes coincides with a similar one without a priori assumption about the impulse effects apsidal nature.

Keywords: space debris, impulse flights, discharge into the atmosphere, spacecraft trajectory optimization, phase constraint

REFERENCES

[1] Grodzovsky G.L., Ivanov Yu.N., Tokarev V.V. Mekhanika kosmicheskogo poleta. Problemy optimizatsii [The mechanics of space flight. Optimization problems]. Moscow, Nauka Publ., 1975, 702 p.

[2] Grigor'ev I.S., Proskuryakov A.I. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii — Engineering Journal: Science and Innovation, 2019, iss. 4.

DOI: 10.18698/2308-6033-2019-4-1869

[3] Ivashkin V.V. Optimizatsiya kosmicheskikh manevrov pri ogranicheniyakh na rastoyaniya do planet [Optimization of space maneuvers with distance to planet constraints]. Moscow, Nauka Publ., 1975, 392 p.

[4] Orlov Yu.V. Teoriya optimalnykh system s obobschennymi upravleniyami [The theory of optimal systems with generalized controls]. Moscow, Nauka Publ., 1988, 187 p.

[5] Dubovsky S.V. Kosmicheskie issledovaniya — Cosmic Research, 1965, vol. 5, no. 4, pp. 494-507.

[6] Il'in V.A., Kuzmak G.E. Optimalnye perelety kosmicheskikh apparatov [Optimal spacecraft flights]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 744p.

[7] Grigor'ev I.S., Grigor'ev K.G. Kosmicheskie issledovaniya — Cosmic Research, 2002, vol. 40, no. 1, pp. 88-111.

[8] Duboshin G.N. Spravochnoe rukovodstvo po nebesnoy mekhanike i astrodinamike [A reference guide to celestial mechanics and astrodynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 864 p.

[9] Voevodin V.V., Voevodin Vl.V. Parallelnye vychisleniya [Parallel computing]. St. Petersburg, BHV- Petersburg Publ., 2002, 1410 p.

[10] Gorban A.N., Senashova M.Yr. Vychislitelnye tekhnologii — Computational Technologies, 1999, vol. 4, spec. no., pp. 55-68.

[11] Senashova M.YU. Sibirskiy zhurnal vychislitelnoy matematiki — Siberian Journal of Numerical Mathematics, 2007, vol. 10, no. 1, pp. 77-88.

[12] Isaev V.K., Sonin V.V. Zhurnal vychislitelnoy matematiki i matematicheskoy fiziki (Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics), 1963, vol. 3, no. 6, pp. 1114-1116.

[13] Fedorenko R.P. Vvedenie v vychislitelnuyu fiziku [Introduction to computational physics]. Moscow, MIPT Publ., 1994, 528p.

[14] McCracken D.D., Dorn W.S. Numerical Methods and Fortran Programming: with application in engineering and science. Wiley International Edition, second printing, 1967, 457 p.

[15] Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Berlin, Springer, second edition, 1993, 528 p.

Grigoriev I.S., Cand. Sc. (Phys.-Mat.), Assoc. Professor, Department of Computational Mathematics, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University. e-mail: iliagri@yandex.ru

Proskuryakov A.I., post-graduate student, Department of Computational Mathematics, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University, Senior Laboratory Assistant, Department of Technical Sciences of Baku Branch of Lomonosov Moscow State University. e-mail ap_91@mail.ru