CC BY
102
УДК 621.396:681.323 DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-8-653-658
ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КОМПЛЕКСНОГО ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА БАТТЕРВОРТА
С. И. Зиатдинов
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения,
190000, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]
На основании теории вычетов в общем виде получены выражения для частотной передаточной функции комплексного полосового фильтра Баттерворта. Показано, что импульсная характеристика комплексного фильтра также является комплексной и содержит вещественную и мнимую составляющие, сдвинутые по фазе на 90°. Для преобразования вещественного фильтра низких частот в фильтр Баттерворта необходимо импульсную характеристику фильтра низких частот умножить на комплексный гармонический сигнал с заданной частотой. Предложена методика расчета вещественной и мнимой составляющих импульсной характеристики комплексного полосового фильтра Баттерворта различных порядков. Рассмотрены конкретные примеры.
Ключевые слова: комплексный полосовой фильтр, частотная передаточная функция, импульсная характеристика, полюсы.
При решении задач фильтрации полезного сигнала на фоне шумов, восстановления непрерывного сигнала по его периодическим отсчетам и т.д. используются фильтры нижних частот (ФНЧ). Среди ФНЧ можно выделить фильтры Баттерворта, обладающие гладкой амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) в зоне прозрачности и достаточно резким спадом коэффициента передачи за ее пределами.
Вместе с тем представляет интерес построение комплексного полосового фильтра Бат-терворта, средняя частота АЧХ которого могла бы перестраиваться, принимая как положительные, так и отрицательные значения. Для исследования особенностей прохождения сигнала через полосовой фильтр необходимо знать его импульсную характеристику, нахождение которой и является целью настоящей работы.
В общем виде [1] частотная передаточная функция фильтра Баттерворта может быть представлена следующим образом:
W (p) =■
П Pi
i=1
-, (1)
П (P - Рг)
i=1
где s — порядок фильтра; pt — полюсы передаточной функции.
После несложных преобразований уравнения (1) представим выражение для частотной передаточной функции комплексного фильтра Баттерворта нечетного порядка:
0,5roSD
W(Р) = TS-D75----ср---. (2)
П L(P -Р0) + 2aiЮср(Р -Р0) + Юср J(p -Ро + юср)
г=1
Для фильтра Баттерворта четного порядка передаточная функция имеет вид
W (p) =
0,5 ю^р
s /2
П |_(p - Ро)2 + 2a юСр (p - Po) i=1
(3)
+ ю,
ср.
В соотношениях (2) и (3) p = ую; ю — круговая частота; Юо— средняя частота АЧХ фильтра; юср — частота среза фильтра, отсчитываемая относительно средней частоты Юо; po = уЮо . При этом для фильтра четного порядка ai = cos n(i - 0,5) / s, нечетного — ai = cos ni / s .
Импульсная характеристика как реакция фильтра на 5-функцию определяется следующим соотношением [2, 3]:
С + j'<X>
h(t) = j Ws (p)eptdp = £ res,-
(4)
c-jcc
i=1
где ^ геБу — сумма вычетов в подынтегральной функции выражения.
¡=1
Представим подынтегральную функцию в виде
(р)ер = Р( р)/ Q( р),
где Р( р) = ю0ерГ, а
(л-1)/2
1 + Юс
Q(p) = П [(p - p0)2 + 2агюср(p - po) ' -ср i=1
для фильтра нечетного порядка и
s/2
Q( p) = П[(p - po)2 + 2ai юср(p - po)
(p - po + юср )
+ ю:
ср
— для фильтра четного порядка.
Тогда вычеты функции Р(р)/ Q (р) в точках р= р1 определяются формулами
Р(р)
геБу = п . -, прир= р1.
dQ(p)
йр
При этом импульсная характеристика фильтра принимает вид
,, ч ^ Р(р)
= 1 прир=ру.
(5)
i=1
dQ(p)
dp
(6)
Переходная характеристика фильтра как реакция на единичное входное воздействие [4] может быть найдена из выражения
g(t) = j h(T)dT .
Фильтр Баттерворта первого порядка. Из соотношения (2) находим, что
Wi(p ) = ■
^р
(р - ро) + Юср
Эта частотная передаточная функция имеет один комплексный полюс р1 = ро - юср = = 7'юо - Юср. Тогда Q(p) = (р - ро) + Юср, а dQ(p / йр) = 1.
В результате, согласно (6), импульсная характеристика фильтра Баттерворта первого порядка определяется выражением
h(t) = 0,5юср (е^"+ eja0t) = ro^e"^ (cos ro0t + j sin ro0t).
Таким образом, импульсная характеристика комплексного фильтра Баттерворта носит комплексный характер.
Фильтр Баттерворта второго порядка. Из выражения (3) находим частотную передаточную функцию рассматриваемого фильтра
0,5 roi.
W2( p ) = ' ср
(Р - Р0)2 + 2а1госр (P - P0) + ro2
"ХрЧ^ 1 ^ср
где ах = соб(л /4) =1/72. При этом
б(Р) = (Р - Ро)2 + 2а1юср(Р - Ро) + ®2Р и / Ф = 2Р + 2а1юср.
Частотная передаточная функция ^ (р) имеет два комплексных полюса
Р1,2 = (-а1 ± М1 - а2 ) юср + -/'юо . После подстановки этих полюсов в выражение (5) получим
е(-а1 ± л/1 - а12 ) ®ср^ + УЮо*
ге81,2 = юср
В результате импульсную характеристику фильтра Баттерворта второго порядка можно представить следующим образом:
-—г ю
h(t) = resj + res2 = -\/2юсре ^ sin—1(cos ю0Г + j sin ю0Г).
л/2
Фильтр Баттерворта третьего порядка. Для этого фильтра частотная передаточная функция имеет вид
0,5 ю;р
W3( p) = ср
(Р - Р0)2 + 2а1®ср(Р - Ро) + <] (Р - Ро + юср) где а1 = соб(л /3) = о, 5. Тогда
б(Р) = [(Р - Ро)2 + 2а1Юср (Р - Ро) + ®2р ] (Р - Ро + Юср ) ,
Р) / Ф = 3(Р - Ро)2 + 4юср (Р - Ро) + 2ю2р . Полюсы частотной передаточной функции фильтра можно представить следующим образом:
юср ю;?р 0 ю„
Pi = jro0 -госр; Р2,з =^"2L±\-го2р +jro0 (-1 ±j^3)^•/Ю0. При этом вычеты в точках p= Pi 2 з определяются выражениями
-0,5ro t ±j0,5\/3(»t+jro0
res1 = госре ср 0 ; res2,3 = госр ■
-1,5 ± j 0,5^3
В результате импульсная характеристика фильтра Баттерворта третьего порядка будет иметь вид
) = геБ1 + геБ2 + геБ3 =
-0,5юсрГ ( 1
- С1П I 1 / ЧГ| , ,
-"ср'
= со,
ср
-юсрГ
+ e
ср
J- sin 0, 5л/3гос^ - cos0,5 >/3гос^
(cos ro0t + j sin ro0t).
Фильтр Баттерворта четвертого порядка. Частотная передаточная функция для фильтра четвертого порядка имеет вид
О 5Ю4
р) =
0,5ю4
1
(р - ро)2 + 2а1Юср (р - р0) + ю2р ] |_(р - ро )2 + 2а2Юср (р - р0) + ю2р где а1 = соб(п /8), а2 = соб(зл /8).
Нетрудно показать, что функция Q(p) в этом случае записывается следующим образом:
Q( P) = (Р - Po)4 + Ъъ( Р - Po)3 + h( P - Po)2 + bi( P - P0) + ю4
ср
3 2
где b = 2(a1 + а2)юср; b2 = 2(1 + 2а1а2)юср; b3 = 2(a1 + а2)юср.
При этом
dQ( p) / dp = 4(p - P0)3 + 3Ьз (p - P0)2 + 2b2(p - P0) + ¿1.
Полюсы частотной передаточной функции ^(р) определяются соотношениями р\,2 = (-а1 ± ./>/1 - а12 ) )р + М, рз,4 = (-а2 ± ./>/1 - а2 ) Юср + 7Ю0.
В результате вычеты функции ^4(р) в точках р= р12 3 4 можно найти из соотношений
4 e
res1,2 = 0,5юср-
-<¥+jc2 + J'COqÍ
res34 = 0,5ю4 e
-С3Г±jC4 + jroQÍ
d1 ± jh ' ^ J ср d2 ± jk2
где c1 = -а1юср; c2 = V1 - a2 юср; сз = -а2юср; c4 = V1 - юср;
d1 = 4c3 - 12cfc1 + 3b3c2 - 3b3c2 + 2b2c1 + by;
2 3
k1 = 12c1 c2 - 4c2 + 6¿3c1c2 + 2¿2c2;
d2 = 4c3 - 12c|c3 + 3b3c| - 3b3c4 + 2b2c3 + b;
2 3
k2 = 12c3 c4 - 4c4 + 6¿3c3c4 + 2¿2c4.
Тогда импульсная характеристика фильтра принимает вид
8
h(t) = ^ resi = ю4р [(2d1 sin c2t + 2k1 cos c2t) +
i=1
/)c3i
(2d2 sin c4t + 2k2s cos c4t)] (cos ro0t + j sin ro0t).
d2 + k22
Проанализировав полученные результаты, можно отметить, что импульсная характеристика комплексного фильтра также является комплексной. Для преобразования фильтра нижних частот в комплексный полосовой фильтр достаточно импульсную характеристику фильтра нижних частот умножить на (cos root + j sin root). Рассмотренную методику получения импульсной характеристики легко распространить на комплексные полосовые фильтры Баттер-ворта более высоких порядков.
В качестве примера на рис. 1 приведены АЧХ комплексных фильтров Баттерворта первого, второго и четвертого порядков для случая /0 = ю0 /2п = 15 Гц; fср = юср /2п = 20 Гц. На
рис. 2 для такого случая приведены вещественная и мнимая составляющие импульсной характеристики фильтра Баттерворта второго порядка.
тм
0
-60 -40 -20 0 20 40 60 /, Гц Рис. 1
А(0 40
30 20 10 0 -10 -20
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 /, с Рис. 2
Полученные теоретические результаты могут быть использованы при решении различных задач обработки сигналов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зиатдинов С. И., Гусев А. И., Елисеев А. А. Цифровой фильтр Баттерворта с малым динамическим диапазоном значений весовых коэффициентов // Изв. вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43, № 9. С. 26—33.
2. Зиатдинов С. И. Импульсная и переходная характеристики системы автоматического регулирования с узкополосными сглаживающими цепями // Изв. вузов. Приборостроение. 2006. Т. 49, № 10. С. 30—32.
3. Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы. М.: Наука, 1976. 575 с.
4. Воробьев С. Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Академия, 2013. 320 с.
Сведения об авторе
Сергей Ильич Зиатдинов — д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет
аэрокосмического приборостроения; E-mail: [email protected]
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
информационно-сетевых технологий 08.12.14 г.
Ссылка для цитирования: Зиатдинов С. И. Импульсная характеристика комплексного полосового фильтра Баттерворта // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58, № 8. С. 653—658.
658
С. H. 3uamdunoe
PULSE CHARACTERISTIC OF BUTTERWORTH COMPLEX BANDPASS FILTER
S. I. Ziatdinov
Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation, 190000, Saint Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
General expressions for frequency transfer function of Butterworth complex bandpass filter are derived with the use of the residue theory. The pulse characteristic of a complex filter is shown to be a complex one, phase-shift between the real and imaginary components of the function equals 90°. A method is proposed for calculating the real and imaginary components of the pulse characteristic of a complex Butterworth bandpass filter of arbitrary order. Concrete examples are presented.
Keywords: complex bandpass filter, frequency transfer function, pulse characteristic, poles.
Data on author
Sergey I. Ziatdinov — Dr. Sci., Professor; Saint Petersburg State University of Aerospace Instrumentation; E-mail: [email protected]
Reference for citation: Ziatdinov S. I. Pulse characteristic of Butterworth complex bandpass filter // Izves-tiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Priborostroenie. 2015. Vol. 58, N 8. P. 653—658 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-8-653-658
