CC BY
46
УДК 537.311.6:621.372
1МПЕДАНСН1 МОДЕЛ1 ДВОЯМНИХ СТРУКТУР1
Пндшна М. А., магктрантка; Водолазька М. В., астрантка;
Адаменко Ю. Ф., к.т.н., доцент; Нелт €. А., д.т.н., професор
Нацгоналъний технгчний ушверситет Украгни «КиХвсъкий полгтехнгчний ¡нститут», м. КиХв, УкраХна,
IMPEDANCE MODELS OF DOUBLE WELL STRUCTURES
Gindikina M. A., Undergraduate Student; Vodolazka M. V., Postgraduate Student; Adamenko Yu. F., PhD, Associate Professor; Nelin E. A., Doctor of Engineering, Professor
National Technical University of Ukraine «Kyiv Polytechnic Institute», Kyiv, Ukraine,
Вступ
Двоямна квантово-мехашчна структура (ДЯС) мае квантово-мехашчнш потенщал у виглядi двох взаемно зв'язаних потенщальних ям. Такий потенщал широко використовуеться для моделювання систем з двома станами (two-state systems), до яких вщносяться молекули ряду речо-вин, стани електрошв, фотошв та шших елементарних частинок [1]. В останнш час цей потенщал привертае особливу увагу у зв'язку з бурхли-вим розвитком квантово!' шформатики. Моделi ДЯС мають не лише значне прикладне, але й важливе педагопчне значення для розумшня фiзико-техшчних особливостей таких структур, а також особливостей квантово-мехашчно! суперпозицп сташв як фундаментально! квантово-мехашчно1' концепцiii [2, 3].
Моделi двоямного потенцiалу на основi 5-функцiй [4] та прямокутно! залежностi [2, 3, 5] дозволяють отримати аналiтичнi рiшення, дослiдити важливi особливостi ДЯС, дають «тдказки» вщносно конструктивних рi-шень ДЯС з заданими параметрами.
Традицiйно квантово-механiчнi задачi вирiшують у матричнiй формi зшиванням рiшень на границях з умов безперервност хвильово! функцii та ii похiдноi. В iмпедансному пiдходi [6-8] граничш умови враховано автоматично, що суттево спрощуе моделювання; у багатьох випадках ршення мае аналггичний характер.
Метою статтi е розробка iмпедансних моделей ДЯС та до^дження на !х основi характеристик таких структур. 1мпедансш моделi дозволяють отримати аналггичш рiшення при суттевому узагальненш задач у порiв-няннi з вщомими традицiйно вирiшеними задачами. Для спрощення перет-ворень iмпеданси нормовано зi збереженням характеру iмпедансу в диспе-рсивному i реактивному середовищах.
1 http://radap.kpi.ua/radiotechnique/article/view/954
Аналопя двоямноУ структури i зв'язаних коливальних контурiв
В [9] звернуто увагу на аналогш ДЯС i двох зв'язаних контурiв (рис. 1). Двоямний потенщал моделюе взаемодш двох атомiв, в результат яко1 енергетичний рiвень поодинокого атома розщеплюеться на два близь-ко розташованих рiвнi. На рис. 1, а i 1, б показано хвильовi функцii, що вь дповiдають цим рiвням.
Розщеплення енергетичного рь вня атома аналогiчно розщепленню резонансноi частоти коливального контура для двох зв'язаних контурiв. Для шюстрацн аналогii порiвняемо рiвняння Шредiнгера для хвильово1' функцii у(х) i рiвняння для струму I (?) контура без втрат:
Рис. 1. Хвильов1 функци для перших р1вшв ДЯС та схема зв'язаних контур1в: а — симетрична функщя нижнього р1вня; б — антисиметрична функщя верхнього р1вня; в — зв'язаш контури, С, Ь, 1М —
емшсть, шдуктившсть та взаемна шдуктившсть контур1в, 11, 2 — струми в л1вому 1 правому контурах.
ах
+ к > = 0,
а21
а?2
ь®21 = о,
к
де к = л/2тЕ / Й — хвильове число, т — ефективна маса електрона, Е — енергiя електрона (потенщальна енерпя електрона У=0), й = Ь/2к, постiйна Планка; ю0 = 2п/0, /0 — резонансна частота. Таким чином, ршення для i I(?) аналогiчнi, причому аналогом частоти е корiнь квадратний з енергii.
Для зв'язаних контурiв рiвняння для I(?) бшьш складне, резонансна
частота розщеплюеться на двi частоти / i /п; /111 = /0 / + кзв , де
кзв = М / Ь — коефщент зв'язку. На нижнiй частот струми в контурах си-нфазш, на верхнiй — протифазнi (рис. 1, в), що аналопчно стввщношен-ню знакiв функцii у(х) в потенщальних ямах ДЯС. Зв'язок мiж потенща-льними ямами ДЯС залежить вiд коефiцiента проходження потенцiального бар'ера, який !х вiдокремлюе. Зi зростанням зв'язку зростае стутнь розщеплення рiвнiв, що визначаеться рiзницею значень !х енергiй.
ДЯС як система з двома станами виконуе функцш лопчних операцiй, аналогiчну бiтам у класичному комп'ютерi. Загальний стан тако!' системи (хвильова функцiя) — q-бiт — квантова суперпозицiя двох сташв 10) i 11), вщповщно нуля i одиницi [10]:
к)=Ф)+, Ы
+ с
II
= 1.
(1)
де с1 i с11 — комплекснi амплпуди. Стан (1) виражае принцип суперпозицн
квантово!' мехашки як лшшно!' теорii: якщо стани 10) i 11) е рiшенням рiв-
няння Шредiнгера для системи, то будь-яка суперпозицiя цих ршень та-кож е ршенням рiвняння.
Принциповi вiдмiнностi квантовоi мшроскотчно!' суперпозицii вiд ма-кроскопiчноi привертають значну увагу у зв'язку з рiзними можливими и трактуваннями [11].
Моделi на основi iмпедансних 5-неоднорщностей
На рис. 2 приведено двi моделi ДЯС на основi iмпедансних 5-неодно-рiдностей, запропонованих в [12].
Знайдемо вхщний iмпеданс ДЯС на рис. 2, а. Вхцщий 1мпеданс 78 визнача-еться формулою
(2)
о-
761
а
г-У
I
о
. Ь .
пе-
Рис. 2. Модел1 ДЯС на основ! 1м': дансних 5-неодн орщностей: а — 5-бар'ер в потенщальнш ям1, Ь — вщстань м1ж 5-бар'ером 1 стшкою
ями, шдекс «с» вщповщае зовшшньому середовищу на вход1 ДЯС, 1 1 7 — нормоваш 1мпеданси,
75 1 Zg — вхщш 1мпеданси на правш 1 л1вш межi 5-бар'ера; б —
дв1 5-ями, Ь — вщстань м1ж 5-ямами, i — нормований 1мпеданс (нормування викона- но до модуля зовшшнього середовища на виход1
ДЯС, Е < 0 ), 75 \ 75 — вхщш
1мпеданси право'1 5-ями 1 на правш меж1 л1во'1 5-ями.
=
6 1 - 7В
де В = \<фЪ, штрих вiдповiдае середовищу, до iмпедансу якого виконано нор-мування; 7 = ^(Е - V)т' / Ет.
7
Для iмпедансу 6 маемо [12]
7б = 7б + 2щ, (3)
де ц = аVт' / 2Е / %, а — константа, що визначае ефектившсть бар'ера i дорiвнюе його «площЬ>: а = Vй, Уа i а — висота i товщина бар'ера (шдекс «а» вiдповiдaе бар'еру); для 5-бар'ера V i а ^ 0.
Вхiдний iмпедaнс ДЯС дорiвнюе
В (4)
7,
_7б
1
7 В
Поставивши в (4) вирази (2) i (3),
пiсля перетворень отримаемо
7 =
7(1+2пВ - В2 )+2^ц- В)
(5)
' 1+2пВ - В2 - 2iZB(1 + цВ)
Власним значенням ДЯС вщповщае умова узгодження iмпедaнсiв, що виражаеться у рiвностi iмпедaнсiв у прямому i зворотному напрямках у будь-якш точцi дисперсивного середовища структури [13]. На лiвiй межi потенщально!' ями ця умова мае вигляд:
7 =-7с. (6)
Знак «-» обумовлений комплексною спряженiстю iмпедaнсiв 7С в
прямому i зворотному напрямках.
В результат постановки (6) в (5) для власних значень ДЯС отримаемо
(ТЕ +1) [Тс (1 + 2л£) + 1(2л - В)] + (ТСВ +1)(Т - В) = 0. (7)
Якщо зовнiшнi середовища на входi i виходi ДЯС однаковi, то ТС = г i (7) прийме вигляд
(ТВ + 0 [ г (1 + лВ) + ¿(л - Е)] = 0. У цьому випадку власш значення ДЯС визначаються формулами
В: =
л+|Т|
В::=-м.
(8)
1 -л| Т
Формула для В:: вiдповiдае парним за номером власним значенням по-
тенцiальноi ями без 5-бар'ера. При цих значеннях 5-бар'ер не впливае, оскiльки хвильовi функцii непарнi з нулем посередиш ями. Якщо
V = УС = да, то = i з (8) отримаемо В: = -л-1 i В:: = 0, що збiгаеться
з [14].
На рис. 3 суцшьними лтями показано залежностi вхiдного iмпедансу ДЯС згiдно (5). Власнi значення ДЯС визначають абсциси точок перетину залежностей 1 з залежностями 2 i 3. Цi значення ствпадають з (7) i (8).
Рис. 4 шюструе зближення рiвнiв розглянутоi ДЯС при зменшеннi зв'язку мiж ямами.
Штриховими лiнiями на рис. 3 показано залежност вхiдного iмпедан-су ДЯС зi скiнченним бар'ером, що шюструють вiдповiднiсть характеристикам 5-моделц параметри бар'ера: Уа=1,5 еВ, а=0,1 нм.
. 0,09
-0,5
Т/1
-Тс /1
-1,5
0,07 Е, еВ 0,05
0,03
0
0,15
0,05 0,1
Е, еВ
Рис. 3. Залежносп вхщного 1мпедансу ДЯС (1) 1 1мпедансу зовшшнього середовища (2, 3). У=0,15еВ, ¿=1,5 нм, а=0,15 еВ нм,
т = т = т0, де т0 — маса електрона; Ус=0,2еВ, тс = 4т0 (2); УС=У,, тс = т0 (3).
0,75
0,02 0,25 0,5
а, еВ-нм
Рис. 4. Залежносп власних значень ДЯС. Ус=У, тс = т0.
1
Розглянемо ДЯС на основi 5-ям (рис. 2, б). У цьому випадку = 1(1 + 2п), п = т' /2|Е\ / П, В = 1|В\, |В| = th(|к'\Ь) i
4л(Л| В -1)
^ = 1
1 +
1+1В (1 - 2Л)
(9)
На рис. 5 наведено залежносл входного iмпедансу ДЯС згiдно (9). Власш значення ДЯС визначаються абсцисами точок перетину залежнос-тей i горизонтальних лiнiй, що вiдповiдають, згiдно (6), -2С /1. На рис. 5 показано такi точки для 2С = 21 (тС = 0,25т0).
Виходячи з (2) i (9) пiсля перетворень для власних значень ДЯС одержимо
ехр( - 2\к '\Ь)
1 -1 Л
1 +
2(Л -1)
(10)
При = 1, маемо ехр( - |к Ь) =
Л-1 -1
2Л +1 - К
, що зб^аеться з формулою для
цього випадку [4].
Рис. 6 шюструе перехщ власних значень ДЯС до власного значення потенщально! ями. Залежносп 1 i 2 вщповщають (10). Залежностi 3 для ДЯС зi скiнченними ямами добре узгоджуються з залежностями 11 5-моделi (1).
Ъ/1
0,1 0,075
--- 2 -■-■ 3
|Е|, еВ 0,05
0,025
0
0,15
0,05 0,1
|Е|, еВ
Рис. 5. Залежност вхщного 1мпедансу ДЯС. Ъ=1 нм, а=0,1 еВнм, т = т' = т0.
1
3
Ь, нм
4
Рис. 6. Залежносп власних значень ДЯС. а=0,1 еВнм; т = т' = т0. тС = т0, (1);
тС = 0,25т0 (2); Уа =-1 еВ, а=0,1 нм (3).
Влaснi значення несиметричноУ двоямноУ структури
Розглянемо найбiльш загальний випадок несиметрично! ДЯС з прямо-кутним потенцiалом (рис. 7, а). Для знаходження власних значень скорис-таемося узагальненою моделлю бар'ерно! структури [13] (рис. 7, б). Для ДЯС в цш моделi вiдрiзок лiнii передачi вiдповiдае бар'еру, а iмпеданси
0
2
5
ZL R е^валентш лiвiй i правiй ямам i зовнiшньому середовищу.
Значення енергп задовольняють умовам E > V1 > 0, E < V, Vc, Va. Для власних значень маемо [13]
A = Z
ZR ZL
a Z2 - 7 7 7a ZRZL
(11)
де A = th(i£aa).
1мпеданси ZR L формулами
визначаються
Рис. 7. Несиметрична ДЯС та узагальнена модель бар'ерно'1 структури: а — шдекс «1» вщповщае л1вш ям1, 1мпеданси пронормовано до 1мпедансу право'1' ями; б — ZL r — екв1валентш вхщш 1мпеданси.
Zr =
z-iB _iZ1B - Zc
, 7L =
, —L . (12) 1 - iZB L z - iZcB\
В формулi для ZL враховано комплексну спряженють вхiдних iмпедансiв у прямому i зворотно-
му напрямках.
В результат постановки (12) в (11) отримаемо
(Z - iB)(Zi - iZcBi) + (1 - iZB)(Zc - iZiBi)
A =
Za(1 - iZB)(Zi - iZcBi) + Za-1(Z - iB)(Zc - iZiBi)
(13)
На рис. 8, а i 8, б приведено залежносп власних значень несиметрич-но1 ДЯС вiд параметрiв лiвоï ями. Збiльшення власних значень при зрос-таннi V1 обумовлене тим, що довжина хвилi в лiвiй ямi пропорцiйна
JE - V1, а ï^ зменшення при зростаннi bi — збшьшенням довжини резо-нансноï хвилi в лiвiй ямi. Збiльшення рiзницi мiж власними значеннями ДЯС при зростанш V1 i b1 спричинене збшьшенням рiзницi мiж власними значеннями лiвоï i правоï ям.
0,15
0,13
E, еВ 0,11
0,09
0,02
0,04 Vi, еВ
0,06 0,08
0,11
0,08 E, еВ 0,05
0,02
1,5
2
b 1, нм
2,5
Рис. 8. Залежносп власних значень несиметрично'1' ДЯС. V = Vc = Va = 0,2 еВ, a = b =1 нм, m = m = m' = m = m = m ; b=1 нм (а); V1 = 0 (б).
0
3
1
7 = 7 7 = 1
Для симетрично! ДЯС с , 1 i (13) приймае вигляд
2(7 - В)(1 - 17В)
А =-Г^ -Т. (14)
7а (1 - 7В)2 + 7- (7 - 1В)2
Двоямний потенцiал звичайно розглядають при V = i Е < Уа [5]. У
цьому випадку виходячи з (14) отримаемо рiвняння
В2 + 2£^хаВ + £2 = 0
з ршеннями В = -£сШ(%а/2) i В = -£Ш(%а/2), де £ = \7а |_1; та = т' маемо £ = к' / % i рiшення ствпадуть з [5].
Якщо Va = V i та = т = т, то 7а = 7 i з (14) отримаемо
X = \ка\. при
1
^Х а=-
Г£-1В +1 £В -1
£В -1 £-1В +1 у У випадку товстого бар'ера, коли ха > 2,
В *
(15)
1 :
i з (15) маемо
2
2у/ Е (V - Е) 2Е - V
(16)
£ - £-1
При а = в формулi (16) знак «=» i це вiдомий вираз для поодиноко! потенцiальноi ями. Такий результат i очiкувався, оскiльки у цьому випадку зв'язок мiж ямами вiдсутнiй.
Рис. 9, а шюструе зменшення власних значень ДЯС i !х зближення з розширенням ям. Це пояснюеться вiдповiдно збiльшенням довжини резонансно! хвилi i зменшенням зв'язку мiж ямами, обумовленим зменшенням коефiцiента проходження бар'ера. Рис. 9, б шюструе перехщ власних значень ДЯС до власного значення потенщально! ями зi зменшенням зв'язку мiж ямами.
0,11 г
0,08 Е, еВ 0,05
0,02
0,11
0,10 Е, еВ
0,09
1
3
1
3
а, нм
1,5 2 2,5 Ь, нм
Рис. 9. Залежност власних значень симетрично! ДЯС. V = Va = 0,2 еВ, т = т' = та = т0; а = 1 нм (а), Ь =1 нм (б).
б
5
Висновки
1мпедансш моделi ДЯС суттево спрощують анаиз таких структур. Моделi на 0CH0Bi 5-неоднорiдностей дозволяють отримати аналiтичнi ви-рази для характеристик ДЯС. В результат аналiзу особливостей вхiдних iмпедансних характеристик встановлено iмпеданснi умови для власних значень ДЯС, розмщено! мiж хвильовими середовищами з рiзними iM^-дансами. 1мпедансна модель несиметрично! ДЯС з прямокутним потенща-лом дае можливють проаналiзувати особливостi залежностей власних значень вщ параметрiв тако! структури.
Перел1к посилань
1. Фейнман Р. Фенмановские лекции по физике. Квантовая механика (вып. 8, 9) / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. - М. : Мир. - 1978. - 524 с.
2. Jelic V. The double well potential in quantum mechanics: a simple, numerically exact formulation / V. Jelic, F. Marsiglio // Eur. J Phys. - 2012. - Vol. 33, No. 6. - P. 1651-1666.
3. Hasegawa H. Bound states of the one-dimensional Dirac equation for scalar and vector double square-well potentials / H. Hasegawa // Physica E. - 2014. - Vol. 59. -P. 192-201.
4. Markos P. Wave Propagation From Electrons to Photonic Crystals and Left-Handed Materials / P. Markos, C. M. Soukoulis. - Princeton and Oxford: Princeton University Press, 2008. - 352 p.
5. Basdevant J.-L. Lectures on Quantum Mechanics. / J. L. Basdevant. - N. Y. : Springer, 2007. - 308 р.
6. Khondker A. N. Transmission line analogy of resonance tunneling phenomena: the generalized impedance concept / A. N. Khondker, M. R. Khan, A. F. M. J. Anwar // J. Appl. Phys. - 1988. - Vol. 63, No. 10. - P. 5191-5193.
7. Нелин Е. А. Импедансная модель для "барьерных" задач квантовой механики / Е. А. Нелин // УФН. - 2007. - Т. 177, №3. - С. 307-313.
8. Нелш С.А. Квантово-мехашчш структури з дельта-функцюнальним потенща-лом / С.А. Нелш, М.В. Водолазька // Наум вют НТУУ "КШ". - 2013. - № 4. - с. 137144.
9. Спроул Р. Современная физика / Р. Спроул. - М. : Наука, 1974. - 296 с.
10. Валиев К. А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления / К. А. Валиев // УФН. - 2005. - Т. 175, № 1. - С. 3-39.
11. Менский М. Б. Квантовая механика: новые эксперименты, новые приложения и новые формулировки старых вопросов / М. Б. Менский // УФН. - 2000. - Т. 170, № 6. - С. 631-648.
12. Водолазская М. В. Модель импедансных дельта-неоднородностей для микро- и наноструктур / М. В. Водолазская, Е. А. Нелин // Известия вузов. Радиоэлектроника. -2014. - Т. 57, № 5. - С. 25-34.
13. Нелин Е. А. Импедансные условия резонансного прохождения и резонансной локализации волн в барьерных структурах / Е. А. Нелин // ЖТФ. - 2011. - Т. 81, № 1. -С. 137-139.
14. Галицкий В. М. Задачи по квантовой механике // В. М. Галицкий, Б. М. Карна-ков, В. И. Коган. - М. : Наука, 1981. - 658 с.
References
1. Feinman R., Leiton R. and Sends M. (1978) Fenmanovskie lektsii po fizike. Kvantovaya mekhanika (vyp. 8, 9) [Fenman's lectures on physics. Quantum mechanics (Vol. 8, 9)]. Moscow, Mir Publ, 524 p.
2. Jelic V. and Marsiglio F. (2012) The double well potential in quantum mechanics: a simple, numerically exact formulation. Eur. J Phys., vol. 33, no. 6, pp. 1651-1666.
3. Hasegawa H. (2014) Bound states of the one-dimensional Dirac equation for scalar and vector double square-well potentials. Physica E., vol. 59, pp. 192-201.
4. Markos P. and Soukoulis C. M. (2008) Wave Propagation From Electrons to Photonic Crystals and Left-Handed Materials. Princeton and Oxford: Princeton University Press, 352 p.
5. Basdevant J.-L. (2007) Lectures on Quantum Mechanics. New York, Springer, 308 р.
6. Khondker A. N., Khan M. R. and Anwar A. F. M. J. (1988) Transmission line analogy of resonance tunneling phenomena: the generalized impedance concept. J. Appl. Phys., vol. 63, no. 10, pp. 5191-5193.
7. Nelin E.A. (2007) Impedance model for quantum-mechanical barrier problems. Phys. Usp., vol. 50, no. 3, pp. 293-299.
8. Nelin E.A. and Vodolazska M.V. (2013) Quantum-Mechanical Structures with Delta-Functional Potential. Naukovi visti NTUU KPI, no. 4, pp. 137-144.
9. Sproul R. (1974) Sovremennaya fizika [Modern physics]. Moskow, Nauka, 296 p.
10. Valiev K. A. (2005) Quantum computers and quantum computations. Phys. Usp., vol. 48, pp. 1 - 36.
11. Menskii M. B. (2000) Quantum mechanics: new experiments, new applications, and new formulations of old questions. Phys. Usp., vol. 43, pp. 585- 600.
12. Vodolazka, M. and Nelin, E. (2014) Model of impedance delta-inhomogeneities for micro- and nanostructures. Radioelectronics and Communications Systems. Vol. 57, No 5. pp. 208-216.
13. Nelin E. A. (2011) Impedance conditions for resonance propagation and resonance localization of waves in barrier structures. Technical Physic., vol. 56, no. 1, pp. 132-134.
14. Galitskii V. M., Karnakov B. M. and Kogan V. I. (1981) Zadachi po kvantovoi mekhanike [Tasks on quantum mechanics]. Moscow, Nauka, 658 p.
Гтдтна М. А., Водолазька М. В., Адаменко Ю. Ф., Нелт С. А. 1мпедансн1 модел1 двоямних структур. Розроблено 1мпедансн1 модел1 двоямних структур на основ1 8-неоднор1дностей та прямокутного потенщалу. Розглянуто аналогю двоямног структури та зв 'язаних коливальних контур1в. Отримано аналтичш вирази для вх1д-ного iмпедансу i власних значень двоямних структур. Показано, що характеристики двоямних структур зi сюнченним потенщалом та на основi ô-неоднорiдностей добре узгоджуються. До^джено залежностi власних значень вiд параметрiв структур.
Ключов1 слова: двоямна структура, iмпедансна ô-неоднорiднiсть, вхiдний iмпе-
данс.
ГиндикинаМ. А., ВодолазскаяМ. В., Адаменко Ю. Ф., Нелин Е. А. Импедансные модели двухъямных структур. Разработаны импедансные модели двухъямных структур на основе 8-неоднородностей и прямоугольного потенциала. Рассмотрено аналогию двухъямной структуры и связанных колебательных контуров. Получены аналитические выражения для входного импеданса и собственных значений двухъямной структуры. Показано, что характеристики двухъямных структур с конечным потенциалом и на основе 8-неоднородностей хорошо согласуются. Исследованы зависимости собственных значений от параметров структур.
Ключевые слова: двухъямная структура, импедансная S-неоднородность, входной импеданс.
Gindikinа M. A., Vodolazka M. V., Nelin E. A. Impedance models of double well structures.
Introduction. In this paper the impedance models double well structures (DWS) which is based on S-inhomogeneities and rectangular potential are developed. The models of double well potential which is based on Sfunctions and rectangular depending allow to obtain analytical solutions and to investigate important features of DWS.
Analogy of double well structure and coupled oscillatory circuits. The analogy of DWS and coupled oscillatory circuits are considered. It is presented comparison the Schrödinger equation for the wave function and the equation for the current circuit without loss. It is shown that DWS as the system with two states performs the function of logical operations similar bits in classical computer.
Models based on the impedance Sinhomogeneities. Two models of DWS based on the impedance Sinhomogeneities: Sbarrier in the potential well and two Swells are developed. The analytical expressions for input impedance and eigenvalues are received and investigated. It is shown that characteristics of DWS with finite size and Sinhomogeneities agree well.
Eigenvalues of asymmetric double well structure. The most general case of asymmetric DWS with a rectangular potential is considered. The eigenvalues of such a structure on the basis of a generalized model of barrier structures are found. Dependences of eigenvalues of symmetric and asymmetric DWS are presented.
Conclusions. Impedance models allow to obtain the analytical solutions with substantial generalization problems in comparison with known traditionally solved problems. By analysis of input impedance characteristics conditions for the eigenvalues DWS placed between environments with different wave impedance are received.
Keywords: double well structure, impedance Sinhomogeneity, input impedance.
