CC BY
118
УДК 519.85:519.21:004
И.В. МАКСИМЕЙ, Д.Н. ШЕВЧЕНКО
ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В СМ-ДЭС
Abstract. Technology and software are offered for simulation modeling of the broad class of the random processes. There are two well-known problems of probability theory and reliability theory associated with analysis of random processes. The article contains examples of solving these problems by simulation in the package SM-DES. Possibility of solving a wide range of other applications is also presented.
Key words: simulation modeling, statistical modeling, random processes, information technologies, parametric failure.
Анотація. Пропонуються технологія і програмне забезпечення імітаційного моделювання широкого класу випадкових процесів. Наведені приклади вирішення двох відомих задач теорії ймовірностей і теорії надійності, пов'язаних з аналізом випадкових процесів, методом імітаційного моделювання в пакеті СМ-ДЕС. Показано можливість вирішення широкого спектру інших прикладних задач.
Ключові слова: імітаційне моделювання, статистичне моделювання, випадкові процеси, інформаційні технології, параметрична відмова.
Аннотация. Предлагаются технология и программное обеспечение имитационного моделирования широкого класса случайных процессов. Представлены примеры решения двух известных задач теории вероятностей и теории надежности, связанных с анализом случайных процессов, методом имитационного моделирования в пакете СМ-ДЭС. Показана возможность решения широкого спектра других прикладных задач. Ключевые слова: имитационное моделирование, статистическое моделирование, случайные процессы, информационные технологии, параметрический отказ.
1. Введение
Поведение множества технических и организационных систем может быть описано случайными процессами (СП). Исследование подобных систем зачастую сводится к подробному анализу соответствующих СП, например, процесса параметрического (износового) отказа силовой механической системы.
В настоящее время известно большое количество аналитических моделей СП, каждая из которых рассматривает, однако, узкий класс соответствующих систем. Эффективным способом анализа произвольных систем и соответствующих им СП является имитационное моделирование. Проблемы последующего статистического анализа СП, требующего получения большого количества реализаций, успешно решаются с использованием современной компьютерной техники. Наибольшее преимущество имитационное моделирование имеет в случае анализа систем, функционирование которых описывается многомерными СП с зависимыми компонентами, когда аналитические методы громоздки и трудоемки.
Основными проблемами имитационного моделирования являются:
- реализация алгоритмов, позволяющих адекватно генерировать СП;
- реализации алгоритмов постановки и проведения имитационных экспериментов, а также сбора и анализа статистики по множеству полученных реализаций (траекторий) СП;
- автоматизация имитационного моделирования для решения практических задач.
В настоящее время существует программное обеспечение, предназначенное для имитационного моделирования СП. Иногда создатели новых классов СП сами реализуют программное обеспечение для генерации СП [1, 2]. Однако вышеуказанное обеспечение, как правило, не является общедоступным и не предназначено для универсального практического использования.
В данной связи актуально рассмотрение известных классов СП, допускающих «алгоритмическое» описание и применимых для имитационного моделирования задач теории игр, параметри-
ческих отказов технических систем и решения других практических задач, а также разработка средств автоматизации имитационного моделирования. Особый интерес представляют СП с непрерывным временем и фазовым пространством, применимые для моделирования параметрических отказов механических систем, задач гидравлики и др.
Для имитационного моделирования СП при анализе технических систем предлагается оригинальный программный комплекс СМ-ДЭС, реализующий агрегатный способ формализации [3]. Каждый агрегат имитационной модели предназначен для генерирования того или иного класса СП, их функционального преобразования и сбора статистики о реализациях СП.
2. Описание алгоритмов моделирования некоторых классов СП
Пусть а , в - одномерные случайные величины с произвольными законами распределения, тогда СП, определяемый выражением
1;{^) = а + вХ, 0 < ^ , (1)
называется веерным случайным процессом.
Для моделирования веерного СП в СМ-ДЭС реализован специальный класс агрегатов, графическое изображение которых представлено на рис. 1 а, задание параметров (1) осуществляется в панели на рис. 2 а. Примеры нескольких реализаций веерного СП с параметрами а = 0 и в~ N(0,5;0,5) представлены на рис. 3 а.
б)
' Схемограф 2.0 - D:\Mon доку.. - ПХ
Схема Редактирование Помощь
ЛН7 АУГ АУ7
АХ -1 -1-Ь ¡¿, -2 1- АХ
Рис. 1. Графическое изображение имитационной модели веерного СП в пакете СМ-ДЭС: обычного (а); с внешним управлением параметром в (б)
а)
Имя АУ1 Тип А_ВвврПроц
Состояние | Параметры В4Иф*шА npouftCC |
Параметры
ввнрмог О Закон Мат ожидание/ СКО/эКа/
процесса распре д-я beta/mn max
Мпчпт.н эмочомио Оптрпим |0 Y>
Г
Угол мак поме длзшш * |0.6 [0.5
1* Роэнгрывоиуго» Экслоненц «ДОЙ О» 1ИвИ 40ЦИИ
Твбпичмо*
Значение процес норм н Влййцлла
МИНИМ» ПоЖорн максимальное
[•10000 110000
Количество пропускаемых уровней квантования fl
СЖ | Отмвм* 1
Рис. 2. Задание параметров веерного СП в пакете СМ-ДЭС: обычного (а); с внешним управлением параметром в (б)
. Диаграммы временные 1Г1ВД
' ^Г...Л
1/4
0 —
10 20 30 40 51 □ 60 70 30 90
¿ля граммы ор*м«ииые - □ X
СП 30 .11 111
Л1 1
г+Т ..2
„ гП гУ ТГ 1 г : : Л : и : : 1 : ^ 1—1 Г Г
1 Э 20 Э0 40 50 60 71 Э 80 00
Рис. 3. Семейство реализаций веерного СП в СМ-ДЭС: обычного (а); модифицированного (б)
При моделировании веерного СП значения случайных величин а и Д разыгрываются один
раз при I = 0. Однако возможна модификация, когда значение Д разыгрывается всякий раз, когда значение процесса £( изменяется на фиксированную величину А£ (на один квант):
£() = а + / А£ = а + в t1 + Д2 (¿2 - )+... + Д (¿г - ), (2)
где Д - г -я реализация случайной величины Д, ti - модельное время разыгрывания Д, предшествующее моменту времени t( < t), определяемое рекуррентным уравнением
А£
^ ^-1 +-^. (3)
Рг
Примеры нескольких реализаций модифицированного веерного СП с параметрами а = 0 и Д ~ N(,5;0,5) представлены на рис. 3 б.
В качестве законов распределения величин а и Д целесообразно использовать равномерное, нормальное, логнормальное и распределение Вейбулла, которые охватывают широкий класс типовых распределений, а также таблично заданное распределение. Для моделирования веерного СП, значение параметра Д которого зависит от состояния других объектов (агрегатов), в СМ-ДЭС реализован агрегат «Управляемый веерный процесс». Его графическое изображение представлено на рис. 1 б, а задание параметров осуществляется в панели на рис. 2 б.
Случайный процесс £() с дискретным временем называется процессом с независимыми приращениями, если для любого натурального г и любых моментов времени t0 < t1 <... < tn случайные величины £ (0 ) , £ (1 )- £ (0 ),..., £ кг )-£ (^-1 ), являющиеся приращениями процесса £(<), независимы в совокупности [4]. В пакете СМ-ДЭС реализован специальный класс агрегатов, моделирующих СП с независимыми, одинаково распределенными, приращениями А£ =£( )-£^г-1) и
одинаково распределенными интервалами времени Аt = ti - ti-1 между сменами состояний СП. Начальное состояние £^0) процесса также может подчиняться некоторому заданному распределению (рис. 4).
Рис. 4. Графическое изображение (а) и окна параметров СП с независимыми приращениями в пакете СМ-ДЭС: пуассоновского (б); обобщенного пуассоновского (в)
Данный агрегат моделирует достаточно широкий класс известных СП. Например, при начальном состоянии £(0)= 0, интервалах времени Аt между сменами состояний, подчиняющихся экспоненциальному распределению с параметром Я , и приращениях А£ = 1, данный СП является пуассоновским процессом (рис. 5 а). Если при этом приращения подчиняются распределению Коши с параметром Аt = ti - ti-1, то имеем дело с процессом Коши [4, с. 287]; а если произвольному распределению, то - с обобщенным пуассоновским процессом (рис. 4 в и рис. 5 б) [4, с. 312].
Рис. 5. Семейства реализаций СП в СМ-ДЭС: пуассоновского (а); обобщенного пуассоновского (б) В особый класс СП с независимыми приращениями выделяют процесс случайного блуждания - СП с дискретным временем и дискретным фазовым пространством, который при изменении
времени на один шаг Аt с вероятностью р + увеличивает свое состояние на один квант Ах, с вероятностью р- - уменьшает свое состояние на один квант Ах и с вероятностью 1 - р + - р- сохраняет прежнее состояние [3].
В общем случае, интервалы времени Аt между возможными сменами состояний процесса случайного блуждания могут быть случайными величинами. Например, если интервалы времени Аt между возможными сменами состояний подчиняются экспоненциальному распределению с параметром (Я + л), а вероятности переходов определяются выражениями
= Я/ (Я +и), Р = 1 - Р + ,
(5)
то имеем дело с процессом «гибели и размножения», где Я - интенсивность рождения очередной особи, а /л - интенсивность смерти (рис. 6).
+
^^Схемограф 2.0 ... El
а)
Схема Редактирование Помощь
АЧ7 AW АУ7
| АХ р Ц Walk Ÿ Ц & |
Рис. 6. Графическое изображение (а), окно параметров (б) и семейство реализаций в СМ-ДЭС (в) процесса случайного блуждания, соответствующего процессу «гибели и размножения»
Выполняя предельный переход в процессе случайного блуждания при Аt ^ 0 с одновременным выполнением условий
Ах = Ь^/А + о(л/А7), р += -2 + -2^л/а7 + о([А ) и р ~ = -2 - -^л/А^ + о(А), (6)
получают диффузионный СП с коэффициентом переноса а е Я и коэффициентом диффузии Ь > 0 [3]. При а = 0 и Ь = 0 имеем дело с винеровским СП (рис. 7).
б)
,.ч Диаграммы временные MHK
Г71 ьии 1 1 400 200 0 -200 -400 -600 -800 -1 000 -1 200 -1 400 -1 600 -1 800
I
w|
Va jii l.
\ ill jA II iï ^
Мщ* i L
:j. i Tfli L i [
Пи 4 v F " f '
Ж f uJJ W jj
F( ГИ \ш
: "T(T'
[ I 1 000 000 2 000 000 3 D0D 000
Рис. 7. Окно параметров (а) и пример реализации (б) винеровского СП в пакете СМ-ДЭС Смешанным процессом авторегрессии и скользящего среднего (AutoRegressive Moving Average, ARMA) называется СП £(t) с дискретным временем t = 0, ± 1,± 2,... и непрерывным фазовым пространством, значения которого удовлетворяют разностному уравнению [3, 5, 6].
£() = ai -1)+... + ap £(t - Р )+bi n(t -1)+ .. + bq n(t - q)+n(), (7)
где r]{f) - дискретный белый шум - последовательность, состоящая из независимых в совокупности и одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием, p -порядок авторегрессии, a1,...,ap - коэффициенты авторегрессии, q - порядок скользящего среднего, b1,...,bq - коэффициенты скользящего среднего.
Если в ARMA p = 0 и q е N, то имеем дело с процессом скользящего среднего (MA) порядка q :
) = bi n(t-1) + ••• + bq n(t - q) + n(t) + f. (8)
где f - математическое ожидание процесса MA [3], а если в ARMA q = 0 и p g N , то имеем дело
с процессом авторегрессии (AR) порядка p :
£{t) = a £{t-1) + ••• + ap £{t- p) + ф). (9)
Адекватное описание наблюдаемых на практике
явлений, моделируемых стационарными СП, зачастую достигается моделями ARMA, порядок которых не превышает 2 [6]. Однако в пакете СМ-ДЭС реализована возможность моделирования процессов ARMA порядка 5 и выше (рис. 8).
Выбирая специальным образом значения параметров ARMA p , {ai}, q, \b}.} в (7), можно моделировать
стационарный гауссовский СП - процесс <^(t) с дискретным временем и непрерывным фазовым пространством, определяемый автокорреляционной функцией R(, t + At), все сечения которого подчиняются нормальному закону распределения [3]. При этом в (7) rj(t) - гауссовский белый шум - последовательность, состоящая из независимых, в совокупности нормально распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2.
При моделировании нестационарных гауссовских СП обычно используют соотношение
z(t ) = %(t )+f(t ), 0°)
где <^(t) - гауссовский стационарный СП с нулевым математическим ожиданием и постоянной конечной дисперсией, f (t ) - неслучайная функция времени, называемая трендом, например [3]:
mm m
fi (t)=ao +Za/, f2 (t)=ao +Zacos(t+Yi X f3 (t)=ao +Za exp(et+y ). (11)
i=1 i=1 i=1
Имитационная модель нестационарного гауссовского СП с трендом f2 (t ) (11) в пакете СМ-ДЭС представлена на рис. 9. На рис. 1° представлен пример реализации данного СП.
При моделировании трендов с функцией f (t ) его значения воспроизводятся с заданной точностью Ах. При этом время t2 очередного изменения значения функции f (t ) определяется в данный момент модельного времени t1 решением уравнения (12):
Имя AR1 Тип A^RMA
Состояние | Параметры Л*тоР#грСкопиСр«ли |
Масштаб времени
Параметры
дискретного Закон Мат ожидание/ “белого шума" раслред*я beta/ mn
СКО/affa/
max
Шаг времени (ГГ (л»термин wj |i
P^COCTOflH^ | Норма iiwm v] |0 |1.61668
Порядок авторегрессии ¡2 скольз среди [о
1 КОЭффМ- 2 циенты 3 0.9 1 0 7 2 3
s V 5
константа ми»*імальное максимальное
I
Рис. 8. Окно параметров процесса ARMA в пакете СМ-ДЭС
/- (/(tl )+Ах), если /(t) возрастает в точке t1 (т.е. / '(tl )> 0), /-1 (/(1)-Ах) если /((убывает в точке ^ {т.е. /'()< 0), t1 + А^ если функция /'(t) = 0,
(12)
где Аt - задаваемая пользователем величина интервала времени, бесконечно малая относительно значения Ах. Если аналитическое решение уравнения (12) затруднено, то можно воспользоваться численным решением, полученным линеаризацией функции тренда /() в точке t1 .
б)
Имя ATI Тт А_Трена
Светом«* 1 Параметры ТрамД |
Функция Тренда С Не опреоелема Л Полигармоничесы**
Г Погмом г Полиэкслоненииальиый
Ст ап***, полинома альфа Коэффициента бета гамма
1 i Л 5 го « 2 ) А 5 0« 1 2 Э S 10
константа м»«мальмс* максимальное
12« hioooo (10000
Количество пропускаем*« уровнем *ввнтов»«м 11
1 « 1 Отмен* 1 - 1
в)
Параметры >л»м«мтое
I Има AF1 Тип А_ФункцПреоб I
i Тип функционального преобразования
С не определен С Минимальное
Л Сумма (1*2) С Максимальное
Г PaïHocTb (1-2) С Ср арифметическое
Г Прсижаоа^а (1*2) С Ср геометрическое
Г Отношение (1/2)
Значе**» процесса
минимальное макимальюе
И оооо 1200»
ок I |[ Owj^
Рис. 9. Моделирование нестационарного гауссовского СП: модель в пакете СМ-ДЭС (а), параметры агрегата, моделирующего тренд (б), параметры агрегата необходимого функционального преобразования (в)
Рис. 10. Реализации в пакете СМ-ДЭС стационарного гауссовского СП, тренда и нестационарного гауссовского СП В современной литературе [2, 3, 5, 7] приводятся алгоритмы моделирования других СП, например, ARCH, BL, Gamma, GARCH, FAR, EXPAR, SVM, TAR, TES. Однако особый интерес для имитационного моделирования технических систем представляет стационарный процесс авторегрессии с произвольным распределением состояний (AutoRegressive To Anything, ARTA) [1, 2]. Процесс ARTA точно соответствует заданной структуре автокорреляции (аналогично процессу AR), а также стационарному распределению состояний (отличающемуся, при необходимости, от нормального распределения):
z(t ) = F(0,5 + <t(<f(í ))), (13)
где F-1 (•) - функция, обратная функции заданного стационарного распределения состояний процесса ARTA, Ф() - функция Лапласа, £(t) - стационарный гауссовский СП с единичной дисперсией и заданной автокорреляционной функцией R(t, t + Àt ).
Стационарный гауссовский СП ¿(t) моделируется выражением (9), где порядок p и коэффициенты авторегрессии аг,a2,...,ap определяют авторегрессионную структуру процесса ARTA, а
дисперсия используемого в (9) гауссовского белого шума r¡(t) определяется уравнениями Юла-Уокера [5]. Для определения функции Лапласа используются две аппроксимации непрерывными дробями отношения Миллса [7, с. 256]. В соответствии с методом обратной функции, преобразование F-(•) величины (0,5 + Ф(¿f(t))), подчиняющейся равномерному распределению на интервале (0, 1), завершается получением величины с заданной функцией распределения F (•).
Моделирование нормального стационарного закона распределения состояний процесса ARTA выполняется непосредственным линейным преобразованием ¿(t) стационарного гауссовского СП с единичной дисперсией и заданной автокорреляционной функцией
z() = m{c\+g{c\<()), (14)
где M [¿] - математическое ожидание стационарного процесса ARTA, ст[^\ - его стандартное отклонение. Подход и результаты моделирования ARTA в пакете СМ-ДЭС представлены на рис. 11. Агрегат AS1 на рис. 11 а предназначен для сбора статистики о реализациях моделируемого процесса. На рис. 12-13 представлены результаты статистического анализа автокорреляционной структуры и распределения состояний моделируемого процесса ARTA в пакете Statgraphics.
Рис. 11. Моделирование процесса ARTA: модель в пакете СМ-ДЭС (а), параметры агрегата, моделирующего процесс ARTA (б), пример реализации (в)
1
0,6
(Л
с
о
§ 0,2 £
8-0,2
<
-0,6
-1
а)
i F
" 0,6 -о
t 0,2 L О о CD
3-0,2 -
ГО
a-0,6 -
б)
Estimated Partial Autocorrelations for Col 1
a
10 lag 15
20
Рис. 12. Анализ автокорреляционной структуры процесса ARTA в пакете Statgraphics
25
0
5
Summary Statistics for Col_1
Count 38895
Average 4,97563
Standard deviation 4,94743
Coeff. of variation 99,4333%
Minimum 0,000343408
Maximum 51,771
Range 51,7707
Stnd. skewness 156,758
Stnd. kurtosis 220,468
Chi-Squared Test
Kolmogorov-Smirnov Test
Exponential Normal Exponential Normal
Chi-Squared 100,256 28516,8 DPLUS 0,00134903 0,133291
D.f. 98 97 DMINUS 0,00349396 0,157296
P-Value 0,417807 0,0 DN 0,00349396 0,157296
P-Value 0,729343 0,0
Рис. 13. Статистический анализ распределения состояний процесса ARTA в пакете Statgraphics
3. Примеры использования пакета СМ-ДЭС для имитационного моделирования систем
3.1. Задача о разорении игрока
Укажем решение задачи о разорении игрока, приведенной, например, в [4, с. 333], методом статистического моделирования в пакете СМ-ДЭС. Визуальное изображение имитационной модели СП «разорения игрока» в СМ-ДЭС представлено на рис. 14 а. Элемент AW1 непосредственно моделирует процесс случайного блуждания. Его вероятностные характеристики заданы в окне на рис. 14 б. Здесь вероятность проигрыша одной денежной единицы при ставке на «черное» в европейской рулетке - 19/37, выигрыша - 18/37. Начальный капитал игрока составляет 50 д.е.
Рис. 14. Имитационная модель СП «разорения игрока» в пакете СМ-ДЭС
Рис. 15. Примеры реализаций СП «разорения игрока» (а) и статистическое распределение времени
до разорения в пакете СМ-ДЭС (б)
На рис. 15 а представлены примеры реализаций процесса «разорения игрока» в СМ-ДЭС, а на рис. 15 б - результаты статистического анализа «времени разорения» по 4642 реализациям данного процесса. При этом среднее время до разорения составило 1930 ставок, оценка стандартного отклонения - 1600 ставок, наименьшее время до разорения среди наблюдаемых значений -172 ставки, а наибольшее - 14582 ставки.
Контртело
^N(0
Вал
э-
ю(0
3.2. Имитационное моделирование параметрического отказа вала
Рассмотрим работу вала (рис. 16) при постоянной износной нагрузке с целью опреде-
ления вероятности безотказной работы в течение наработки / по критерию превышения допустимого значения износа А^тах . Примером подобной системы может служить силовая система рельс-
колесо-колодка железнодорожного подвижного состава.
Примем следующие допущения:
- сила (износовая) постоянна: ^ ^ ;
- площадь взаимодействия тел не изменяется, а взаимодействие осуществляется только на линии касания (данное допущение выполняется, например, когда контртело не подвержено износу);
- угловая скорость вращения вала постоянна ш(/) = ш .
В данных условиях величина износа вала АЯ(/ ) прямо пропорциональна наработке I:
АЯ(г ) = Я(0)- Я(/ ) = V-1, (15)
где V - «скорость износа», определяемая материалом вала (в том числе, коэффициентом трения), угловой скоростью вала ш и силой , Я() - радиус
вала в момент наработки I.
В силу анизотропии материала вала скорость
Рис. 16. Структурная схема взаимодействия вала и контртела
А Кш
/(V)
Рис. 17. Веерный процесс износа вала его износа V является случайной величиной с функцией плотности распределения /(у). Тогда величина износа вала АЯ( ) в течение наработки / представляет собой веерный СП (рис. 17).
Для некоторых типовых распределений скорости износа V, известно [8] аналитическое решение поставленной задачи: функция плотности распределения /Д/) наработки вала до отказа, функция отказа ), средняя наработка до отказа и другие показатели. Так, при условии нормального распределения скорости износа V наработка вала до отказа подчиняется альфа-распределению с параметрами а = М[V]/ст\У] и в = АЯтах /а\У] [8].
Для произвольных распределений скорости износа V можно получить решение с помощью имитационного моделирования, которое заключается в многократной реализации СП деградации элементов механической системы во времени до неработоспособного состояния, сборе и анализе статистики о времени наработки объекта до отказа.
Концептуальная модель износа вала в пакете СМ-ДЭС [9] представлена на рис. 18 а. Здесь агрегат AV2 имитирует веерный СП (1) с заданными вероятностными характеристиками; агрегат AV1 имитирует максимально допустимое значение износа ЛЯтах ; агрегат AC1 вырабатывает сигнал «высокого» уровня, если уровень сигнала на выходе агрегата AV1 превышает уровень сигнала на выходе AV2, что соответствует работоспособному состоянию вала и вырабатывает сигнал «низкого» уровня в противном случае; АХ1, АУ1 - вспомогательные агрегаты, необходимые для управления моделированием.
Диаграммы вр«м*мны* . пх
ШШ II/// ////
\\\ Ж.А/ /
//// /Ж
//// ////
11// /¿Р
100 41
1\
0
7000 000000000 4 000000 000000
Рис. 18. Модель веерного процесса износа вала в СМ-ДЭС (а); пример нескольких реализаций данного процесса (б); гистограмма частостей наработки вала до отказа в СМ-ДЭС (в)
Если, например, параметр V -веерного процесса (15) подчиняется логнормальному рас—10
пределению с математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным 5-10 мкм/мкс, некоторое множество реализаций процесса износа вала в пакете СМ-ДЭС представлено на рис. 18 б. При этом фиксировалось время наработки вала до отказа. Гистограмма частостей полученных значений представлена на рис. 18 в.
Для критерия обеспечения точности средней наработки вала до отказа в 4 % относительно точечного значения были получены следующие оценки показателей надежности (табл. 1).
Таблица 1. Результаты имитационного моделирования безотказности вала
Заданная точность оценки средней наработки вала до отказа относительно точечного значения 4 %
Объем выборки реализаций имитационной модели вала до отказа 8867
Точечная оценка средней наработки вала до отказа, ч 550,028
Точечная оценка стандартного отклонения наработки вала до отказа, ч 531,841
Точечная оценка вероятности безотказной работы вала в течение 200 ч 0,783065
4. Заключение
Имитационное моделирование является одним из наиболее универсальных методов анализа сложных систем. В некоторых задачах процесс функционирования исследуемой системы выражается через типовые СП, модели которых широко известны в теории вероятностей. В этой связи, для создания адекватных моделей в программных пакетах автоматизации имитационного моделирования должны быть реализованы алгоритмы большого количества классов типовых СП.
В работе представлен справочный материал по многим классам СП, допускающим алгоритмическое описание, которые применимы для имитационного моделирования технических систем, технологических и экономических процессов. Показана реализация данных СП в программном комплексе автоматизации имитационного моделирования СМ-ДЭС.
Приведены примеры решения самых разнообразных задач: теории игр и параметрической надежности методом имитационного моделирования в пакете СМ-ДЭС. Показана возможность и технология решения широкого класса других теоретических и практических задач, сводящихся к моделированию СП.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Cario M.C. Autoregressive to anything: Time-series input processes for simulation / Marne C. Cario, Barry L. Nelson // Operations Research Letters. - 1996. - Vol. 19. - P. 51 - 58.
2. Кельтон В. Имитационное моделирование. Классика CS / В. Кельтон, А. Лоу. - [3-е изд.]. - СПб.: Питер; Ки-
ев: Издательская группа BHV, 2004. - 847 с.
3. Харин Ю.С. Математические и компьютерные основы статистического анализа данных и моделирования: учеб. пособие / Харин Ю.С., Малюгин В.И., Абрамович М.С. - Мн.: БГУ, 2008. - 455 с.
4. Маталыцкий М.А. Вероятность и случайные процессы: теория, примеры, задачи: учеб. пособие / Маталыц-кий М.А. - Гродно: ГрГУ, 2006. - 588 с.
5. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В. Прохорова. - [репр. изд.]. - М.: Большая Российская энциклопедия, 2003. - 912 с.
6. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В.С. Королюк, Н.И. Портенко, А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. - М.: Наука, 1985. - 640 с.
7. Надежность и эффективность в технике: Справочник: в 10 т. - Т. 2: Математические методы в теории надежности и эффективности / Под ред. Б.В. Гнеденко. - М.: Машиностроение, 1987. - 280 с.
8. ГОСТ 27.005-97. Надежность в технике. Модели отказов. Основные положения. - Мн.: Госстандарт, 2005. -15 с.
9. Shevchenko D.N. Program Technological Complex of a Research of Safety of Electronic Systems / D.N. Shevchenko // Computer Data Analysis and Modeling: Robustness and Computer Intensive Methods: Proc. 6-h International Conference. - Minsk: BSU, 2001. - Vol. 2. - P. 208 - 213.
Стаття надійшла до редакції 17.11.2009
