Имитационное моделирование энергетических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 620.4.001.18

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ © В.Р. Елохин1

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Предлагается имитационный метод статистической аппроксимации, основанный на методах математической статистики, численных методах решения экстремальных задач. Дан подход к построению многооткликовой прогнозной модели энергопотребления страны. Ил. 1. Табл. 1. Библиогр. 5 назв.

Ключевые слова: энергетическая система; имитационная аппроксимация; моделирование; прогнозирование; энергопотребление.

ENERGY SYSTEM SIMULATION MODELLING V.R. Elokhin

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074.

The article proposes a simulation method of statistical approximation based on the methods of mathematical statistics and numerical solution methods of extremum problems. An approach to building a multi-response forecast model of country energy consumption is proved. 1 figure. 1 table. 6 sources.

Key words: energy system; imitation approximation; modeling; forecasting; energy consumption.

Согласно общему мнению XXI век будет переломным в развитии отечественной экономики. Он характеризуется исчерпанием дешевых запасов нефти и газа, постепенным переходом к практически неисчерпаемым, но чрезвычайно капиталоемким источникам энергии, необходимостью их более экономного использования, усилением влияния энергетики на экономику и окружающую среду, достаточно неопределенной перспективой развития энергетических систем (ЭС).

В этих условиях возникает острая потребность получить ответы на вопросы: какова должна быть оптимальная стратегия развития экономики, в том числе ЭС, не повлияют ли на темпы экономики новые источники энергии, не приведет ли удорожание топлива и энергии и рост их капиталоемкости к необходимости изменить структуру промышленного производства и образ жизни?

Интенсивно усложняющаяся ситуация с экономикой, энергетикой подчеркивает важность своевременных ответов на указанные вопросы. Именно здесь особое значение приобретает необходимость дальнейшего развития научно-методической базы системных исследований в энергетике, которая неразрывно связана с общим уровнем математического моделирования и профессиональностью применения ЭВМ.

Известно, что многие задачи исследования реальных систем, например, задачи исследования динамических свойств практически любой составной части ЭС, описываются математическими моделями, в которых число уравнений и переменных зачастую достигает сотен и тысяч. В этих условиях становится невозможным эффективно выполнять проверку адекват-

ности исходной математической модели. Неразрешимой проблемой оказывается однозначность интерпретации полученных решений из-за: 1) существенной неопределенности информации во всех звеньях технологической цепочки процесса исследования той или иной системы (в том числе из-за известной субъективности сформированных модельных показателей); 2) весьма большого числа анализируемых технико-экономических показателей модели, т.е. уже сама модель здесь становится как бы «вещью в себе». Отсюда вытекает необходимость создания соответствующих условий для проведения расчетов на ЭВМ, избавления исследователя от рутинной работы, упрощения отдельных стадий моделирования и процедуры анализа принимаемых решений. Безусловно, что наиболее сложной проблемой для системных исследований ЭС является учет неопределенности условий и факторов, а также неоднозначность оценки вариантов процесса развития той или иной составляющей ЭС и принимаемых решений. Проблема неопределенности, в свою очередь, обусловливает значительную неформализуемость процесса исследования.

Очевидно, что проблема извлечений наибольшего количества сведений об изучаемых процессах в энергетических системах при ограниченных затратах (временных, стоимостных) является в настоящее время весьма актуальной. Интуиция экспериментатора в этом случае становится все менее и менее надежной опорой. В частности, чтобы узнать число различных состояний объекта (условий развития ЭС), требуется провести n=uk испытаний (наблюдений) над соответствующей моделью (например, оптимизационной) ЭС (здесь и - число уровней - число значений показателя

1Елохин Владислав Романович, доктор технических наук, профессор кафедры экономической теории и финансов, тел.: 89834173612.

Elokhin Vladislav, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Economical Theory and Finance, tel.: 89834173612.

в заданном диапазоне, к- число рассматриваемых переменных, например, размер вектора потребностей в модели ЭС). Нетрудно видеть, что на первый взгляд простая система (модель) с пятью переменными на пяти уровнях имеет 3125 состояний, а для десяти переменных на четырех уровнях - их уже свыше миллиона.

В этих условиях является очевидным отказ от таких экспериментов, которые включают все возможные опыты: перебор слишком велик. Тогда возникает вопрос, сколько и какие опыты надо включить в эксперимент, чтобы решить поставленную задачу. Именно здесь и необходимо планирование эксперимента, которое представляет собой не только способ обработки экспериментальных данных, но и средство оптимальной организации процесса исследования. При этом существенно следующее: стремление к минимизации общего числа экспериментов; одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс по специальным правилам-алгоритмам; использование математического аппарата, формирующего многие действия экспериментатора; выбор четкой стратегии, позволяющей принимать объективные (с позиции исследователя) решения после каждой серии экспериментов.

Именно поэтому при обследовании сложных ЭС необходимо применять машинные имитационные эксперименты, основу которых составляют методы математической статистики и методы решения специфических экстремальных задач. В процессе реализации таких экспериментов происходит: 1) формулирование исходной проблемы; 2) построение соответствующей математической модели; 2) планирование имитационных экспериментов: 3) проведение имитационных экспериментов с математической моделью на ЭВМ; 4) анализ результатов этих экспериментов; 5) принятие соответствующих решений.

В основе настоящей работы лежит предлагаемый автором имитационный метод статистической аппроксимации (ИМСА), который представляет собой специальным образом ориентированный комплекс вероятностных моделей и статистических методов (рисунок). Применение этого метода особенно важно на стадии прогнозирования развития сложных ЭС, когда речь идет об исследовании влияния нескольких ключевых факторов (переменных) на поведение моделируемой системы. ИМСА становится особенно ценным инструментарием при анализе результатов реализации региональных программ развития ЭС. Имитационно-статистическая аппроксимация оказывается необходимым элементом аппарата исследования зоны неопределенности ЭС и согласования их решений в условиях неполноты исходной информации. Определяющим назначением ИМСА является построение имитационных моделей, позволяющих анализировать объективные закономерности развития региональных ЭС при заданных стратегиях развития экономики страны. Актуальной представляется задача разработки и внедрения технологий и технических средств, обеспечивающих широкомасштабный (в меру экологической и экономической целесообразности) вклад

инновационных технологий, нетрадиционных источников энергии (в частности, биоэнергии) в экономику страны (региона).

Отличие предлагаемого здесь подхода от известных ранее, базирующихся на имитационных моделях и экспериментах, заключается в следующем: 1) активно используемая идея рандомизации имитационного эксперимента позволяет сложные по структуре и качеству переменных детерминистические модели свести к простым стохастическим моделям; 2) некоторые статистические методы и соответствующие алгоритмы были адаптированы к многооткликовым моделям; 3) основное внимание уделено методам имитационно-статистической аппроксимации, которые необходимы для решения практических задач, связанных с исследованием задач ЭС; 4) реализован диалоговый режим сопряжения различных этапов имитационных исследований; 5) построены многооткликовые регрессионные модели экономики страны, регионов.

I. Основные принципы имитационного моделирования в исследованиях развития ЭС Известно, что для познания сложных систем (любого типа) и управления ими важно установить класс методов и моделей. В связи с этим выделено три метода моделирования: оптимизационный, статистический и имитационный в особенности. Сущность имитационного моделирования состоит в реализации на ЭВМ процесса-оригинала в виде последовательности событий, операций и т.д. с сохранением их логической структуры и протекания во времени, а атрибут «имитационный» используется всякий раз, когда речь идет о машинных экспериментах с моделью. Тем самым акцент делается не на модели как таковой, ее свойствах, типе и т.п., а на формах ее использования, работы с ней.

Особое внимание уделяется необходимости применения машинных имитационных экспериментов, для которых сформулированы основные принципы построения моделирующих алгоритмов с целью решения конкретных задач аппроксимации сложных моделей ЭС. Рассмотрены следующие типы аппроксимирующих моделей: 1) детерминистическая аппроксимация; 2) классическая регрессия; 3) регрессионные модели второго рода (подробнее см. в [1, 2]).

II. Анализ и планирование имитационных экспериментов Предложен оригинальный способ построения мно-гооткликовых аппроксимирующих моделей, позволяющий легко учитывать различные структуры откликов. Рассматриваются некоторые частные, но важные в имитационных экспериментах варианты модели:

у. = ц(х,, @)+£г, i = 1, п , (1) где Ут = (ух,...,ук) - зависимые переменные (отклики); Хт = (х,..., хк ) - независимые переменные; г]т (X, ©) = (п (х, ©),..., г/г(х, ©)) - заданные функции; - случайные ошибки, удовлетворяющие стандартным требованиям:

Блок-схема имитационного метода статистической аппроксимации

Е[е, ] = 0, Е\е1ет1 ] = С(х,), Е[е,еп] =

= 0, I* \С (х, 0, 0т =(в1,...,вт ) (оценки параметров типа наименьших квадратов), , = 1,п- количество наблюдений, у = 1,1 - количество откликов. Известно, что при линейной параметризации 7 (Хг, 0) = (х)0

/Т(х) = (/(х),...,/(х)) - наилучшие линейные несмещенные оценки (н.л.н.о.) имеют вид [2]:

© = M-Y],

n n _

Mjj = £ wf (x, f (x, \ Y = £ WjJ, (x,), j = 1, l ,=1

i=1

0 = M Y,

«Упрощенные» оценки для случая диагональных матриц совпадают с оценками метода наименьших квадратов, их дисперсионная матрица равна

В^(0) = М-. Легко показать, что оценки 0 хуже в смысле значений их дисперсии, чем точные н.л.н.о., в

(2)

частности:

где

DAe)> D(<9),

где

П П

М = п- ^ F(х, ^т (х,), У =п- ^ F(х, )у,,

1=1 1=1 ■

^ = С- (х,), F(x) = (f1 (х),...,/(х)).

Дисперсионная матрица В(0) оценок 0 обрат-на матрице М (последняя предполагается невырожденной).

Для регрессионных задач, используемых в имитационных экспериментах, формула (2) приводит к алгоритмам, практически не осуществимым даже на современных ЭВМ (размерность матрицы М чрезмерно велика).

В работе автором были получены различные модификации (2), учитывающие структуру регрессионных задач и приводящие к резкому сокращению объема вычислений.

Получен ряд формул, упрощающих расчеты для случая, когда все отклики имеют одинаковую структуру / (хг ) = /(хг), у = 1,1,1 = 1, п . В частности, показано, что при с (хг ) = с (х) можно воспользоваться

обычными н.л.н.о. для каждого отклика в отдельности, которые и приведут к н.л.н.о. для исходной задачи, а дисперсионную матрицу можно подсчитать по форму-

В- (в) = Мд - МММ - положительно определенная матрица, у = к = 1,1. Однако для большинства реальных задач вклад члена оказывается несущественным. Легко оценить отличие дисперсионной матрицы «упрощенных» оценок от дисперсионных матриц точных н.л.н.о.

В [3,4], например, обсуждаются и анализируются возможности использования в имитационных экспериментах ряда известных методов отбора значимых переменных, в частности: метод случайного баланса, метод последовательного отсеивания, метод шаговой регрессии, методы главных компонентов и факторного анализа. Основное внимание уделяется экспериментальной задаче:

ф = Arg min £ (y , - FT (x, )pf

i=1

(3)

d 1 (x, bt - FT (x, ф),

где фа = nßa, nT n = S, или близкий к ней

* л T

n = Arg min n n при условии, что

n

min £ (y, - FT(x,ypjd-(x,iy, - FT(x,ф)<

т Т 'х,) Т (х,

,=1

Таким образом, удается избавиться от обращения матрицы размера (Iхт)х(1хт), обращая лишь

матрицу размера т х т ■

Найдены приближенные формулы вида

,=1

n

леd((0)= d(x)®m~\ где m- = £f(x, f (x,). (x)y.

M- = wjmj, Mj = -

w

jk

ww

(mjlmjkm-1)

1=1

При использовании рандомизированных планов возникает вопрос о вероятности обнаружения всех

значимых переменных (жа * 0). В общем случае,

решение этой задачи неизвестно. В [5] найдена нижняя граница вероятности обнаружения значимых переменных в многооткликовой ситуации (1) с

j Ф k, mjk =£Jfj(xi )fT (x ) для недиагональных fj (x) (xl,..., хщ )> £ mj m

,=i

блоков матрицы В(0) ■

На стадии подбора тех или иных регрессионных моделей, когда к точности оценок не предъявляются высокие требования, можно обсудить свойства обычных одномерных н.л.н.о. («упрощенных») 0 , примененных к задаче с коррелированными откликами, т.е.

j=i

Оказывается [1], что при использовании и-уровневого рандомизированного плана

£ = p = u_1, |xOT| < l| имеет результат:

lim ps{ö)< 1 -u q, где р - вероятность выбора /'-го уровня (уровни выбираются независимо); ps(ö) - вероятность обнаруже-

х

х

ния всех S значимых переменных; 8 - определяет «величину» ошибки (1): sj = 8yi, где у - нормированная случайная величина

q = п - S - lgи{т - S + l).

Автором предложен метод шагового окаймления [1]. По идее он близок методу Эфроимсона (т.е. чередование этапов присоединения и отбрасывания параметров).

Пусть при тех же предположениях об ошибках, что и в (1),

у,- = fT (л )р+Фт {х .

Ь т=(ф т у )=

= Arg min J (yt - fT {x, }р-фТ {x, ут )

i=1

и пусть

Щг (Уг - РТ (хг ]Р-фФ (хг (р* =

= Атп ^ (Уг - РТ (хг )рт Щ {уг - Рт (хг )р).

Р г=1

Тогда при отбрасывании параметров т обобщенная сумма квадратичных отклонений (см. (3)) увеличится на тТ'Иффт*, где В# - та часть дисперсионной

матрицы, которая относится к параметрам т. При включении в (1) новой группы параметров обобщенная сумма квадратичных отклонений уменьшится на величину

{?ф-Mp Jh-1 (Уф-Mp )

где

п

Y = Тиф{Хг )W,y, >

i=1

п

Mf = МТф = ^ф{хг )w,FT {хг)

i=1

H = Мфф - МфМ})Mff.

n

Mf=ZF{X, W {x),

i=1

n

Mff = £ F {x hFT {X, )

III. Имитационное прогнозирование развития ЭС

Оценка и поиск значений, характеризующих структуру ЭС, могут осуществляться последовательно. Если исходными данными принимаются структура и уровни производства народнохозяйственной продукции и услуг в рассматриваемом году, полученные из межотраслевого баланса, то на первом этапе исследования такой последовательности анализ устанавливает соответствие между структурой народнохозяйственной продукции и услуг, на втором этапе - соответствие между отдельными типами подсистем ЭС.

Известно, что главным связующим звеном между отраслевой моделью развития экономики и оптимизационной моделью развития ЭС является модель прогнозирования энергопотребления. Такая модель должна формализовать объективные закономерности роста энергопотребления при стратегиях развития экономики страны, т.е. аппроксимировать функциональные зависимости между динамикой основных макроэкономических показателей и используемыми при прогнозировании характеристиками энергопотребления.

В работе состав макроэкономических переменных определяется структурой межотраслевой модели экономического роста. Помимо динамики национального

дохода ( х ) он включает динамику валового продукта наиболее энергоемких отраслей народного хозяйства - металлургии (х2), машиностроения (х3), транспорта (х4) и сельского хозяйства (х5).

Прогнозируемые характеристики энергопотребления давались динамикой потребности народного хозяйства в конечной энергии с разбивкой по основным энергопотребляющим процессам и направлениями использования энергии (средне- и низкотемпературные, высокотемпературные, нестационарные силовые, электротехнические, осветительные процессы) -

всего тринадцать показателей (у,..., у13).

Особенностью предлагаемого метода прогнозирования является то, что здесь речь идет о прогнозировании значений (у,..., у13) не каждого в отдельности,

а как системы взаимозависимых переменных, при этом связь между переменными х и у имеет следующий вид:

к к 1-1 = ТвХ+Твггхп +Т0Лп9У, (4)

т=0

r=0

7=1 7*j

где ] - номер зависимой (прогнозируемой) переменной у; г = 1, п - число реализаций значений х и у; k -количество независимых (макроэкономических) переменных х; q = (к + 1)(к + 2)/2к; в- неизвестные параметры.

Для проверки эффективности предложенного метода прогнозирования и алгоритма получения оценок параметров уравнений вида (4) был выполнен следующий эксперимент.

Для трех макроэкономических показателей -национального дохода, валовой продукции промышленности и сельского хозяйства - были получены ряды их отчетных и плановых значений и принята гипотеза о их изменении в течение прогнозного периода. Соответствующая этому потребность народного хозяйства в конечной энергии - суммарная и по трем основным видам процессов (силовым, высоко- и низкотемпературным).

По отчетным и плановым значениям макроэкономических показателей и энергопотребления описанным выше методом были найдены коэффициенты в

г=1

Иллюстрация адекватности прогнозных характеристик энергопотребления

Зависимые переменные Абсолютная ошибка аппроксимирующей модели вида (4) Абсолютная ошибка регрессионной модели, построенной обычным методом наименьших квадратов (модель вида (2))

У\ 0,03 3,09

У 2 0,02 1,796

Уз 0,0046 0,207

(параметры) системы нелинейных регрессионных уравнений (4), описывающей функциональную зависимость между указанными величинами. Затем в эту систему уравнений были подставлены прогнозные значения макроэкономических показателей и вычислены прогнозные значения рассматриваемых характеристик энергопотребления.

Полученные результаты свидетельствуют об эффективности предложенного метода прогнозирования, поскольку он: 1) позволяет снимать функциональные зависимости с достаточной для целей прогнозирования точностью - до 1% (в таблице дана иллюстрация точности построенных аппроксимирующих моделей, представленных для наглядности в абсолютных величинах); 2) получаемые этим методом прогнозируемые характеристики энергопотребления соответствуют результатам, полученным гораздо более детальным и трудоемким методом прямого расчета потребности.

Построенные характеристики в данном случае предназначены не только для предугадывания тенденций энергопотребления и прогнозирования его перспективных уровней, но и для объяснения взаимосвязей рассматриваемых экономических показателей в рамках ЭС.

Проведенные исследования позволяют, кроме то-

го, выделить существенные особенности технологии исследования реальных систем ЭС, а именно: во-первых, в исследование была внесена концепция случая, что позволило избавиться от необходимости стабилизировать мешающие факторы (переменные параметра); во-вторых, использование имитационных методов предполагает четкую логическую схему для всех проводимых операций, которая позволит избегать «ловушек», в которые нередко попадают исследователи из-за слишком большого увлечения эмпиризмом или, наоборот, из-за теоретических предрассудков; в-третьих, представляется возможным проводить сопоставление методов исследования - активного и пассивного имитационных экспериментов. Причем, успех активного имитационного эксперимента определяется хорошей организованностью (сняты нарушения тех предпосылок, на которых базируется, например, статистический анализ), а также тем, что исследователь активно вмешивается в ход эксперимента, заранее разрабатывая его стратегию. В случае же пассивного имитационного эксперимента исследователь обрабатывает информацию методами многомерного регрессионного анализа данных, полученных в результате имитации условий функционирования энергетических систем.

Библиографический список

1. Елохин В.Р., Евтеев В.К. Имитационный метод статистической аппроксимации производственных систем. Иркутск: Изд-во ИрГСХА, 2009. 146 с.

2. Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971. 312 с.

3. Hocking R.R. The analysis and selection of variables in linear regression / R.R. Hocking // Biometrica. 1976. V. 32, №2. P. 1-49.

4. Малолеткин Т.Н., Мельников Н.Н., Ханин В.М. Об алгоритмах выбора наилучшего подмножества признаков в регрессионном анализе // Вопросы кибернетики. Теоретические проблемы планирования эксперимента (отсеивающие эксперименты). М., 1977. Вып. 35. С. 110-124.

5. Мешалкин Л.Д. Два замечания о поисковых экспериментах типа случайного баланса // Вопросы кибернетики. Теоретические проблемы планирования эксперимента (отсеивающие эксперименты). М., 1977. Вып. 35. С.135-148.

УДК 62-50

КОМПРОМИССНЫЕ НАСТРОЙКИ УПРАВЛЯЮЩИХ УСТРОЙСТВ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

© А.А. Ешенко1

Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Сложную многомерную теплоэнергетическую систему возможно расчленить на несколько контурных комбинированных или с одной обратной связью систем. При синтезе управляющих устройств должны удовлетворяться требования качества, устойчивости при заданном статизме. Отсюда вытекает необходимость компромиссной структуры и настройки регуляторов. Введен метод эквивалентных уравнений с точки зрения формы переходных про-

1Ешенко Анатолий Андреевич, кандидат технических наук, профессор кафедры электропривода и электрического транспорта, тел.: (3952) 405128, (3952) 427196, e-mail: [email protected]

Eshenko Anatoly, Candidate of technical sciences, Professor of the Department of Electric Drive and Electric Transport, tel.: (3952) 405128, 427196, e-mail: [email protected]