CC BY
62
В.М.Свинин
Имитационное моделирование динамики процесса концевого фрезерования с модулируемой скоростью резания
Процесс фрезерования, широко используемый в современном машиностроительном производстве, часто сопровождается динамической неустойчивостью. Особенно это характерно для черновой обработки удлиненными концевыми фрезами деталей сложной пространственной формы. Возникающие автоколебания вызывают повышенные нагрузки в несущей системе и приводах станка, снижают стойкость и прочность инструмента, качество обработанной поверхности. Одним из перспективных путей повышения устойчивости процесса фрезерования является использование периодически изменяемой (модулируемой) скорости резания [1]. Для реализации этого способа обработки было спроектировано и изготовлено специальное устройство к горизонтально-фрезерному станку, которое позволяет кинематически модулировать скорость вращения концевого инструмента отклоняющейся по амплитуде более чем на 40% от средней, с её изменением один или два раза за оборот шпинделя [2].
Эффективность гашения автоколебаний при использовании модулированной скорости резания удобно исследовать имитационным моделированием на ЭВМ. Для этого нужна механико-математическая модель динамики процесса резания. Применительно к концевому фрезерованию имитационные модели имеются [3-9 и др.]. Однако они предназначены для работы инструмента с постоянной скоростью резания. В случае применения модулированной скорости их нельзя использовать, главным образом, из-за невозможности правильного учета толщины срезаемого слоя и запаздывания следа на поверхности резания от прохода предыдущего зуба, имеющего наибольшее влияние на развитие и поддержание автоколебаний. В этой связи возникла необходимость разработки нижеприведенной модели.
Как показывают опыт и результаты исследований (3-6, 8-10 и др.], при обработке жестких деталей стандартными концевыми фрезами малых и средних диаметров (наиболее часто используемых на практике), а также удлиненными фрезами, возникновение интенсивных изгибных автоколебаний обычно происходит в самом инструменте. Поэтому модель рассматриваем как одномассовую динамическую систему с двумя степенями свободы (рис. 1). Приведенная масса располагается на оси фрезы в точке, соответствующей середине ширины фрезерования. Виброперемещения фрезы по ширине контакта с деталью полагаем одинаковыми.
Введем две правые прямоугольные системы координат: неподвижную для станка ОХ стУа11'/а11 и вращающаю-щуюся вместе с фрезой ОХУ2 . Центр О обеих систем координат расположен на расстоянии Ь от переднего торца фрезы. Оси Уст и У совпадают с осью фрезы, их положительное направление примем от торца шпинделя к
столу станка. Ось Хст совмещена с осью стола при положительном направлении навстречу продольной подаче стола. Система ОХ2 ориентирована относительно фрезы таким образом, что ось 2 лежит в плоскости, проходящей через ось фрезы и вершину одного из винтовых зубьев, которому условно присвоен номер один.
Модель динамических перемещений фрезы в системе координат ОХУТ основывается на решении дифференциальных уравнений, записанных для осей I и 2:
г,
Рис. 1. Доминирующая колебательная система при концевом фрезеровании: Сх, Сг - изгибная жесткость фрезы по соответствующим осям; кх, кг - коэффициенты демпфирования фрезы
ш"+кх'+Сх=Рх: ш" + кг' + Сг=Р2,
где т - приведенная масса; к - коэффициент демпфирования; С - изгибная жесткость фрезы; х", г" - виброускорения; х', 2 - виброскорости; х, г - виброперемещения; Рх , Р7 - мгновенные силы, действующие на приведенную массу фрезы.
Точные аналитические выражения составляющих силы резания при фрезеровании в функции времени пока никем не получены. Однако численные значения силы в любой момент времени могут быть определены при помощи имитационного моделирования [3-11]. Режущие зубья фрезы на ширине фрезерования В условно рассекают плоскостями, перпендикулярными ее оси и отстоящими друг от друга на расстоянии Воя . Тем самым каждый зуб фрезы на ширине
фрезерования В можно представить состоящим из ряда режущих элементов (рис. 2), Так как длина каждого элемента невелика, изменением толщины среза по его длине пренебрегают. Нагрузку резания, распределенную вдоль зуба фрезы, заменяют системой элементарных сил, приложенных по середине режущих элементов. Для каждого элемента, находящегося в контакте с заготовкой, определяют мгновенные значения толщины среза и скорости резания, а затем рассчитывают действующие на него силы. Суммы проекций элементарных сил резания на выбранные координатные оси представляют собой полные силы, действующие на фрезу в целом в данный момент времени. Затем фрезе дают небольшой угол поворота, соответствующий периоду Л1 времени ее работы, и расчет повторяют. Таким образом определяется изменение всех составляющих силы резания за оборот фрезы.
Каждый режущий элемент характеризуется составным номером (у, О , где у - номер зуба, / - номер элемента у -го зуба. Зубья нумеруются по порядку входа в контакт с обрабатываемой заготовкой: сначала входит первый зуб,
затем второй и т.д. Нумерация элементов вдоль лезвия зуба начинается в точке А и заканчивается в точке С (см. рис. 2). Угловое положение / -го элемента у -го зуба задается относительно первого элемента первого зуба и обозначается углом (р : (этот угол автоматически учитывает задаваемую переменность шага между зубьями). На рис, 2 показан угол (р2, для первого элемента второго зуба. Таким образом, достаточно определить положение в пространстве первого элемента первого зуба для нахождения положения всех остальных элементов.
На рис. 3 показаны мгновенные силы, действующие на элемент, и параметры, характеризующие его угловое положение, если смотреть со стороны торца рабочей части,
Элемент считается находящимся в контакте с заготовкой, если его угловое положение (рК ^. отвечает следующему условию:
(Ркмт ^ <Рк], — Рк мах -где (ркмт , (ркмлх ~ соответственно минимальный и максимальный углы контакта фрезы с заготовкой.
Мгновенную толщину среза а. 1 для каждого элемента, участвующего в резании, можно представить суммой следующих величин:
Режущая часть фрезы
Рис. 2. Схема разделения режущей части фрезы на отдельные элементы: В - ширина фрезерования; Вэл - ширина режущего элемента
7
X
Подача ^-
Рис. 3. Силы, аействующие на режущий элемент: Рощ„ Ррадц; -мгновенные силы резания, действующие на 1-й элемент ¡-то зуба; <Рч, - угол контакта по элемент /-го зуба; <рК1,1 - угол контакта 1-го элемента 1-го зуба
^ 1.1 ~ аш>м .и а«иГ>р ¡.) абисн '^.¡-1.1 '
где аиом - номинальная толщина среза; атб - приращение толщины среза вследствие виброперемещений фрезы; абиен, 1 - приращение толщины среза вследствие радиального биения зуба; , - след на поверхности
резания, оставленный элементом, расположенным на предыдущем зубе. Номинальная толщина среза находится по общепринятой формуле
где 8Ш . - величина мгновенной подачи на ] -ый зуб.
Величина 8Ш / отличается от величины номинальной подачи на зуб , если резание происходит с переменной скоростью или инструмент имеет переменный шаг зубьев. В общем случае, величина мгновенной подачи на у -ый зуб прямо пропорциональна его угловому шагу (<р х—<р и соотношению мгновенных скоростей резания Ум /,! и
V •
м./ •
\2ФР/ 2я)\ъ.1 -<Р;-иУКп/УМЛ
Направление движения фрезы ---^
Рис. 4. Определение мгновенной подачи на зуб при модуляции скорости фрезерования: 1 - теоретическая траектория движения элементов; 2 - траектория движения элемента в случае уменьшения скорости резания; 3 - траектория движения элемента в случае повышения скорости резания; 4 - мгновенный угол контакта
где 2фр - количество зубьев фрезы.
Отыскание величины S7M , можно также организовать с помощью файла прямого доступа. Файлы такого типа
позволяют осуществить запись массивов практически неограниченной длины и считывать любой элемент массива независимо от его положения. Величину S7M . можно вычислить для каждого режущего элемента по следующей формуле (рис. 4.):
S2mj ~ Srjj.i ~ V/./1
где Snji - перемещение рассматриваемого элемента в направлении подачи за весь период работы на соответствующем угле контакта с заготовкой; Snj_n - аналогичное перемещение предыдущего элемента при том же угле контакта с заготовкой.
Величины Snj ¡ и Snj_t ¡ постоянно записываются в файл прямого доступа для всех участвующих в резании элементов при всех угловых положениях зубьев. Величина авибр.. определяется по формуле
a«u6Pj,i ={-Х- sincpj, - Z • coscpjX
где X, Z - мгновенные величины виброперемещений фрезы по соответствующим направлениям.
Распределение радиального биения между зубьями и по длине их винтовых лезвий носит случайный характер. Оно определяется погрешностями заточки и закрепления инструмента на станке и является предметом отдельного исследования. С учетом гипотезы о наибольшем влиянии смены баз при заточке и закреплении концевых фрез на станке на характер радиального биения зубьев в модели приняты следующие допущения:
1. Биение задается для каждого зуба отдельно в виде величины биения первого элемента.
2. Величина радиального биения изменяется вдоль лезвия зуба по линейному закону от первого элемента данного зуба до первого элемента следующего зуба. Биение любого режущего элемента определяется в соответствии с его угловым положением1.
3. Биение считается положительной величиной, если элемент смещен в направлении от оси фрезы.
4. Биение предыдущего зуба учитывается в величине следа,
При работе с постоянной скоростью резания фрезами, имеющими постоянные угловой шаг между зубьями и угол их наклона, след представляют как функцию виброперемещений [3-5]:
s = f(x[t-T„Jz[t-T„J,
где X, Z - виброперемещения фрезы; t - текущий момент времени; Тпов - время поворота фрезы на один зуб. Переменная скорость резания или непостоянство шага между зубьями приводит к флуктуации времени запазды-
ре-
Рис. 5, Схема образования следа
] По результатам измерений экспериментальной фрезы в модели может быть принят и иной характер изменения
Рассчитанная • величина следа Радиус-вектор элемента
Идеальная поверхность оезания
Зуб фрезы
Реальная поверхность
вания следа Тпов и невозможности его определения.. Поэтому была разработана специальная методика расчета величины следа [12]. В ней принято, что для рассматриваемого режущего элемента след, оставленный предыдущим элементом, есть расстояние между идеальной и реальной поверхностями резания, измеренное вдоль радиуса-вектора к оси фрезы (рис. 5). При этом под идеальной поверхностью резания понимается траектория движения режущего элемента в случае отсутствия колебаний и биения. Реальная поверхность резания образуется с учетом действия вышеуказанных факторов. При определении следа также учитывается возможность нарушения контакта зуба с заготовкой.
В разработанной модели использованы следующие формулы для определения величины следа ,: если толщина среза для данного элемента больше нуля,
^]./ ~ ^вибр/ .1 •
если толщина среза нулевая (или элемент вышел из контакта с заготовкой),
3/.1 " ашЩ],1 + ^./-/,; • где 5 ^ - величина следа, оставленного предыдущим элементом.
Полученное значение следа рассматриваемого элемента и соответствующий ему угол контакта также, как и перемещение , записываются в файл прямого доступа. Поиск следа предшествующего элемента с использованием файла прямого доступа производится по следующему алгоритму. Находят два смежных угла <рт{п и (ртях, один из которых ((ртт ) меньше угла контакта рассматриваемого элемента <рК/1, а другой ((ртАХ) - больше. Затем по методу линейной интерполяции определяют искомую величину следа ,:
= + (52 - 5,) ■■ {(рК], - (ртт )/{(ртм - <ртт),
где , - след, оставленный предыдущим элементом соответственно на углах контакта (ртлх, (ршп.
В разработанной математической модели также учитываются виброперемещения фрезы, касательные к поверхности резания. Эти вибрации приводят к изменению мгновенных углов контакта режущих элементов (рис. 6). Величину действительного угла контакта (ркд ,. можно найти по формуле
Фкдр =*&Ш>!2)-Я*<РК» +2сгЖ&2)-С08<рк„+Хст))1 где О - диаметр фрезы.
Данный угол контакта используется для расчета номинальной толщины среза. Принимается также, что если для рассматриваемого элемента этот угол в текущий момент времени / меньше угла в момент времени / - А/, то этот
Рис. 6. Влияние виброперемещений на угол контакта элемента: (рки, (рк()-; - номинальный и действительный утлы
контакта режущего элемента; 2СП), Xап - виброперемещения фрезы
Вибрационный след
Рис. 7. Схема внедрения режущего клина в обрабатываемый материал: ЛРрад, ЛРокр - радиальная и окружная силы, действующие на задней поверхности инструмента; (X - задний угол
элемент не работает (не снимает слой металла), хотя и может находиться в пределах угла контакта с заготовкой. В этом случае силы, действующие на рассматриваемый элемент, отсутствуют. Для записи углов контакта каждого режущего элемента также применяется файл прямого доступа.
Далее, используя экспериментальные зависимости или формулы теории резания металлов, по найденным значениям мгновенной толщины среза для каждого режущего элемента определяют величину мгновенных составляющих силы резания: окружной Рокрf i, радиальной Ppad,t и осевой Рос/Г
При обработке с вибрациями силы резания дополнительно изменяются, в основном, вследствие действия двух факторов: непостоянства условий контакта по задней поверхности режущего клина и запаздывания изменения силы резания по отношению к изменению толщины среза. ,
При внедрении зуба в металл на его задней поверхности возникают силы, препятствующие внедрению, и силы трения. Для упрощения выкладок можно условно принять синусоидальную форму поверхности следа (рис. 7). Возможны три вида контакта по задней поверхности инструмента с обрабатываемой деталью: по прямой АВ (износ инструмента отсутствует); по ломаной ADC (AD - длина площадки износа); по прямой АО (АО - длина площадки износа).
Дополнительные силы ЛРра(), АРокр можно определить следующим образом [13]:
АР Раб = Н, -S(h? ■ Вэл ; АРокр = АР ра0 • ц , где На - контактная жесткость (для стали На ^1000 Н/мм5 [13]); £ - площадь фигуры внедрения; // - коэффициент трения (для стали ju =0,3),
S(pU2 - это площадь, ограниченная с одной стороны вибрационным следом, с другой - задней поверхностью инструмента (в том числе с учетом площадки износа). Например, в случае отсутствия износа инструмента площадь внедрения является площадью фигуры АЕВ, где "ЙГи'¡Е/Г- дуги, определяющие вибрационный след на поверхности резания (см. рис. 7).
Очевидно, что длина отрезка ЕЕХ равна величине вдавливания режущего элемента в обрабатываемый материал. Для того, чтобы ее определить, необходимо для работающего элемента в каждый момент времени регистрировать положение по радиусу-вектору режущей кромки А и при её максимальном смещении вычислять длину ЕЕ]. Затем произвести расчет сил на задней поверхности. Для записи положений точки А удобно использовать файл прямого доступа. В этот же файл записывается угол контакта режущего элемента <рК/ i для каждого положения точки А .
Длина отрезка АЕ]
AEj = R ■ [<рк р - (рк jj max),
где R - радиус фрезы; <рк jimax - угол контакта элемента в тот момент, когда режущая кромка занимала положение
на радиусе-векторе, отвечающее точке Е на рис. 7.
Для более простого вычисления S(/luc можно заменить дуги ЙГи на отрезки АЕ и ЕО.
Таким образом, площади фигур внедрения в зависимости от вида контакта по задней поверхности будут опреде-ляться следующими выражениями:_
контакт по прямой АВ
= АЕХ • ЕЕХ - 2 • • (sinа • sin/?)/(sin(;r - а - /?)); контакт по ломаной ADC
S0m. = АЕ, • Щ - (2 • АЕХ- AD) ■ (sin а • sin p)l(sm{n-аг->?)):
контакт по прямой ДО
^фиг - АЕХ- ЕЕ j. Принимается, что треугольник ЛЕО - равнобедренный. Для вычисления величины угла ¡3 используется формула
р - arctg(EE, / АЕ]).
После определения сил АРрад и АР их складывают с соответствующими силами резания, действующими по
передней грани каждого элемента. Учет запаздывания изменения силы резания по отношению к изменению толщины среза можно оценить в первом приближении с помощью постоянной времени стружкообразования [13]:
T^(m/n)-(a-kJV),
где m/и - коэффициент; при динамических условиях резания т/я =1... 1,5; а - толщина среза; ка - усадка
стружки; V - скорость резания.
Усадка стружки определяется по эмпирической степенной формуле [14]:
где Ск, ха, xv - коэффициент и показатели степеней, полученные экспериментально.
Для учета запаздывания силы резания в процессе моделирования мгновенные силы, действующие на все элементы, рассчитываются для толщин среза, соответствующих моменту времени t — T . Процедура их отыскания выполняется с помощью файла прямого доступа и включается после поворота фрезы на один зуб.
Вычисленные таким образом силы резания, действующие в данный момент времени t на всех работающих элементах, необходимо спроецировать на оси вращающейся и неподвижной систем координат. Проекции элементарных сил в системе OXYZ определяются как
p,,zjj = Рокрр sinq.>/;. + Ppadt¡ coscp; РжХр = -Рокр., cos(pt i + Ррадр. sincp. Подобным же образом с учетом мгновенного угла поворота фрезы определяют проекции сил в системе OXcmYcmZcm. Затем полученные проекции сил суммируются. Суммарные силы в системе координат станка позволяют оценить мгновенную нагрузку на элементы технологической системы. Моменты сил относительно осей системы OXYZ определяют мгновенные значения крутящего и изгибающих фрезу моментов. Они необходимы для расчета механических напряжений в опасном сечении фрезы и оценки ее прочности [10]. Суммарные силы Рх и Pz в системе OXYZ используются для численного решения дифференциальных уравнений, определяющих виброперемещения фрезы. Далее к текущему моменту времени t прибавляется шаг интегрирования At (принятый равным одной сотой периода собственных колебаний концевой фрезы) и рассчитывается угол контакта (в рад.) первого элемента первого зуба согласно следующей зависимости:
60 А Л л /
Фк 11 ~60о* — coswí + —— - 2п(поб -1), w w
где о)0 - номинальная угловая скорость вращения фрезы (рад/с); соа - амплитуда модуляции скорости вращения (рад/с); w - количество колебаний скорости вращения за 2п секунд; поб - номер текущего оборота.
Затем цикл повторяется: выполняется расчет мгновенных толщин среза, сил резания и т.д. На основе разработанной механико-математической модели создана программа на алгоритмическом языке Тур-боБейсик версии 1.1. В результате расчета программа выдает графики изменения во времени составляющих силы резания и виброперемещений фрезы в обеих системах координат, а также крутящего и изгибающего моментов в системе координат OXYZ.
Библиографический список
1, Свинин В.М. Гашение автоколебаний при фрезеровании путем периодического изменения скорости резания II Перспективные направления развития машиностроения Забайкалья: Тез. докл, региональной научн.-техн. конф. - Чита: ЧитПИ. - 1991, - С. 15-16,
2. А, с, 1646708, СССР, МПК В23В 47 /04, Устройство для вибрационного резания / В.М. Свинин, АЯ, Калашникова, Ю.Н, Ермилов, Н,Н, Грушева, В,В, Степанов, - № 4640820 / 08; Заявл, 25. 01, 89. Опубл. 07. 05, 91. Бюл. № 17. - 7 с,
3. Жарков И,Г,, Маркушин Е.М, Теоретическое исследование вибраций при резании металлов (построение математической модели процесса) II Исследование обрабатываемости жаропрочных и титановых сплавов: Межвуз. сб, научн, тр. - Куйбышев: КуАИ, 1973.
- Вып. 1. - С. 134-145.
4. Жарков И. Г. Вибрации при обработке лезвийным инструментом. - Л: Машиностроение, Лэнингр, отд-ние, 1986. - 184 с,
5. Бурмистров Е. В, Исследование вибрации при концевом фрезеровании высокопрочных сталей на станках с ЧПУ II Труды Куйбышевского авиационного института, - Куйбышев: Куйбышевский авиац. институт, 1986. - № 140, - С. 98-111.
6. Городецкий Ю. Н., Стребуляев С. Н, Динамика процесса концевого фрезерования в станках с ЧПУ / Деп, в ВНИИТЭМР, №45-мш 89, Редколлегия журнала «Станки и инструмент», - М„ 1988. - С. 16-22,
7. Кочегаров Б, Е. Моделирование процесса резания концевыми фрезами. - Владивосток: Дальневост, техн. ун-т, 1996, - 14 с, / Деп, в ВИНИТИ 02.04.96, № 1078-В96.
8. Исмаил Бастами. Увеличение устойчивости к вибрациям тонких концевых фрез II Конструирование и технология машиностроения,
- 1986. - №4. - С. 100-108.
9. Altintas Y. Modeling approaches and software for predicting fhe performance of milling operations at MAL-UBC II Machining science and technology, - 2000. - vol.4, - №3, - pp. 445-478.
10. Свинин В. M, Исследование устойчивости движения и оптимизация технологических параметров при черновом концевом фрезеровании, Дис, ,., канд, техн. наук, - Л: ЛПИ, 1980. - 341 с,
11. Свинин В. М„ Переломов Н, Г, К вопросу о расчете сил резания при концевом фрезеровании быстрорежущими фрезами II Повышение эксплуатационных свойств оснастки, машин и режущего инструмента технологическими методами: Тез. докл. научн,-техн. конф, - Иркутск, 1979. - С, 95-97.
12. Свинин В. М„ Капшунов В. В, К вопросу о нахождении следа при моделировании концевого фрезерования II Вестник ЧитГТУ. -1999, - № 12. - С, 126-130.
13. Кудинов В. А, Динамика станков. - М,: Машиностроение, 1967. - 360 с.
14. Свинин В.М., Кузнецов В.Ю., Переломов Н.Г. Влияние режимов резания и геометрии инструмента на усадку стружки II Метамо-реж. и контрольно-изм, ин-т. "Экспресс-инф,», НИИмаш, 1980. - № 4.
В.Е.Гозбенко
Динамические свойства двухмерных систем с дополнительными связями
В практической деятельности при выборе и расчете систем генерирования колебаний, в вибрационных машинах часто возникает потребность путем изменения параметров повлиять на спектр динамических свойств системы в целом. В этих случаях исходной отправной точкой становится рассмотрение базовой модели, На рис. 1 представлена расчетная схема вибростенда [1] с двумя степенями свободы. Отметим, что описание движения может быть представлено в системе обобщенных координат х,, х2, а также через координаты движения центра масс х и (р ,
Ф
/Л
Рис. 1. Базовая расчетная двухмерная модель
I. Система координат х и (р. Полагая, что возмущение носит кинематический характер [ух, у2) и используя обычный формализм составления математических моделей, получим систему дифференциальных уравнений
