CC BY
2iKi CARXLI ROBOTUN UMUMi RiYAZi MODELi
SOMODOVA SOKiNO HOBiB q.
"Umumi va tatbiqi riyaziyyat" kafedrasinin dosenti, Azarbaycan Dovlat Neft va Sanaye
Universiteti. Baki, Azarbaycan.
HUSEYNOVA AYGUN NAZiM q.
"Komputer muhandisliyi" kafedrasinin dosenti, Azarbaycan Dovlat Neft va Sanaye Universiteti.
Baki, Azarbaycan.
Xulasa. Qarxin diametri, garxlar arasindaki masafa vd agirliq markazinin hundurluyu kimi fiziki parametrlar robotun idaraolunma qabiliyyatina guclu tasir gostarir va bu olgularin tanzimlanmasi robot platformasinin dayamqligma ahamiyyatli tasir gostara bilar. Buna gora da, iki garxli robotun inki§afi umumi iki garxli robotun riyazi modeli ila ba§lamalidir. Bela bir model robotun fiziki layihasini malumatlandirmaq ugun muxtalif handasi parametrlari proqram simulyasiyasinda sinaqdan kegirmaya imkan veracak.
Agar sozlzr: iki garxli robot, naviqasiya, kinematik model, xarakteristik gargiva.
Harakatin iki asas komponenti naviqasiya va balansdir. Naviqasiya u9un talab olunan riyazi model iki 9arxli robotun kinematik modelidir. Balans u9un riyazi model tars pendulumdur. Tam riyazi model bu iki tanliyi birla§dirir.
Sabit 9arxlari va diferensial oturuculu iki 9arxli robot u9un harakatin kinematik modeli avvalca robotun harakati nazara alinmaqla, sonra isa muvafiq mahdudiyyatlar tatbiq edilmakla, suru§madan yuvarlanmaqla va takar mustavisina uygun olmayan takarlarda muayyan edilmi§dir.
Sabit 9arxlari olan iki 9arxli robotun kinematik modeli 9arxlarin [13]-da tasvir olundugu kimi harakatini nazara alaraq hazirlanmi§dir. Birincisi, robotlarin atraf muhita nisbatan yeri robota va onun atrafina xarakteristik 9ar9ivasi tayin edilmakla va qlobal xarakteristik 9ar9ivasina nisbatan robotlarin yeri va oriyentasiyasinin muayyan edilmasi ila tasvir edilmi§dir. Har iki xaraktersitik 9ar9iva ixtiyari olaraq muayyan edilmi§ man§aya malik ola bildiyindan, robotun kutla markazi sadala§dirma maqsadlari u9un robotun xarakteristik 9ar9ivasinin man§ayi u9un se9ilmi§dir. Robotun kutla markazinin 9arxlar arasinda barabar masafada yerla§diyi va hundurluyunun naviqasiya u9un ahamiyyatsiz oldugu giiman edilir (§akil 1).
§akil 1. Qlobal Xarakteristik £ar9ivada Diferensial Oturuculu Robotun Xarakteristik £ar9ivasi
Robotun atraf muhita nisbatan yerini va oriyentasiyasini muayyan etmak ифип u9 umumila§dirilmi§ koordinat talab olunurdu. §akil 1.1-a istinad edarak, robotun yerini tayin etmak U9un (x, y) koordinatlari, в bucagi isa qlobal xarakteristika 9ar9ivasina nisbatan robotun oriyentasiya bucagini gostarmak U9un se9ilmi§dir. Bu U9 koordinat bir xarakteristik 9ar9ivadan digarina oturmani asanla§dirmaq U9un bir vektorda (tanlik 1.1) birla§dirilir.
rXn
У \-в
(11)
1.2-ci tanlikda gostarilan ortoqonal firlanma matrisi robotun harakatini qlobal xarakteristika 9ar9ivasina 9akmak U9un istifada edilmi§dir.
R(0)
cosd sind 0 —sind COS0 0
0
0
1
(12)
Robotun harakatini (suratini) qlobal xarakteristika 9ar9ivasi baximindan muayyan etmak U9un tanlik 1.3-da gostarildiyi kimi movqe vektorunun toramasi goturulur. Sonra xarakteristika 9ar9ivasinda robotun harakatini tanlik 1.4-da tayin etmak u9un firlanma matrisi ila vurulur.
f =
= RmG
(1.3)
(14)
Robotun qlobal xarakteristika 9ar9ivasindaki harakati 1.5-ci tanliyi alda etmak u9un firlanma matrisinin tarsini robotun suratina avvalcadan vurmaqla muayyan edilmi§dir.
^g = R-1mR
(1.5)
Robotun harakatini muayyan etmak u9un bu harakati yaradan robotun fiziki komponentlari nazardan ke9irilmi§dir. Robotun 9arxlarinin radiusu surati va qat edilan masafani muayyan edir. £arx donarkan, 9arx va yer arasindaki alaqa noqtasi 9arxin sathi boyunca firlanir. £arxda ba§langic movqeyi noqtalari ila onun son movqeyi arasindaki qovs uzunlugu §akil 2-da gostarildiyi kimi 9arxin firlanma markazinin qat etdiyi masafaya barabardir. Riyazi olaraq qovs uzunlugu 9arxin radiusunun firlanma bucaginin hasilina barabardir va 1.6-ci tanlik ila muayyan edilir.
x(t) = ry(t)
(16)
§akil 2. £arxin donduyu zaman uzarindaki sath qovsu 9arxin qat etdiyi masafaya barabardir [14].
§akil 3. Tangensial surat va bucaq momentumu arasinda alaqa
§akil 3-da gostarildiyi kimi, firlanma markazinin tangensial surati 9arxin radius ila bucaq suratinin hasilina barabardir.
v = x = гш (1.7)
Bucaq surati 9arxin firlanma bucaginin ilk toramasidir [14].
= К (1.8)
Tam firlanma periodu arzinda tam dovr 2^-dir. 1.9-cu tanliya baxin.
(1.9)
Bu o demakdir ki, tam dovrdan sonra firlanma qat edilan masafani gostarmak u9un firlanma sayina vurulmalidir. Qiymatlandirmani asanla§dirmaq u9un model tam 9arx firlanmasindan daha az firlanma asasinda i§lanib hazirlanmi§dir va sonradan 9oxlu firlanma prosesi tatbiq edilmi§dir.
§akil 4. £arxlar va robotun markaz noqtasi arasindaki masafa
Robotun harakatina tasir edan son fiziki parametr 9arxlar ila robotun kutla markazi arasindaki masafa, yani §akil 4-da gostarilan va l olaraq tayin olunmu§ С - dir. Bu, qlobal xarakteristika 9ar9ivasindaki harakati tanlik 1.10-da gostarildiyi kimi tayin etmaya imkan verir, buraya qlobal xarakteristika 9ar9ivasindan harakat bucagini muayyan etmak u9un ш daxil edilir.
(G =f(l,r,e,^1,^) (1.10)
1.3-cu tanliyi xatirlayaq, burada x markaz noqtasinin suratini x oxu boyunca, у surati y oxu boyunca, 6 isa qlobal va robotun xarakteristika 9ar9ivalari arasindaki bucaq farqini tamsil edir. £arx mustavisi §akil 4-da gostarilan x oxuna paralel 9arxin markazindan ke9an bir mustavi kimi muayyan
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
edilmi§dir. Buna göre da robotun harakati normal harakatin qar§isini almaq ûçûn mahdudlaçdirildigi ûçûn y oxu istiqamatinda sürat sifir, yani y=0 olmalidir.
X oxu istiqamatinda sürat, markazda mü§ahida olundugu kimi har çarxin süratlari cami kimi müayyan edilmi§dir. x-i müayyan etmak ûçûn çarxlardan biri harakatsiz saxlanilib, digari isa firladilir, bu, §akil 5-da göstarildiyi kimi firlanan çarxin Ani Firlanma Markazinin harakatsiz çarx atrafinda oldugunu nûmayiç etdirir. С har iki çarxin ortasinda, firlanma radiusunun yarisinda yerlaçdiyindan, firlanan çarxin yaratdigi sûratin yalniz yarisini hayata keçira bilir. Buna göra da har
i
çarxdan gal an sûratin komponenti - rœ - ya barabardir.
i
X =-r(toi + Ш2)
(1.11)
1.11 -ci tanlik çarxin birinin bir istiqamata, digarinin isa aks istiqamata firlanmasi halini nazara alaraq tasdiq edilmiçdir. Har iki çarxin eyni sûrata malik oldugunu farz etsak, o zaman diferensial ötürücü robotu daira boyunca firlanmali va С tarafindan qabul olunan +XR istiqamatinda sürat sifir olmalidir. Süratin istiqamati va böyüklüyü haqqinda farziyyani 1.11 -ci tanlik ila uygunlaçdirsaq açagidaki tanlik alinir.
ii x = -т(ш1 + ш2) =-т(ш — ш) = 0
(112)
Çakil 5. Birinci çarx sabit saxlandiqda ikinci çarx uçun Firlanma Markazi
ш2 taxminan qovsu boyunca saat aqrabinin aksi istiqamatinda harakat etdiyina gora, С noqtasindaki firlanma surati robot govdasinin §akil 1.5-da gostarilan 2l radiuslu firlanan çarx va disk w2-nin uzarindaki noqtasi kimi hesablanir. Disk firlanma komponenti 1.6-ci, 1.7-ci va 1.8-ci tanliklardan istifada edilmakla açagidaki tanlik ila muayyan edilmi§dir.
Mdisk = Y
vdisk
(1.13)
rdisk rdisk
Diskin markazinin tangensial surati w2-nin tangensial suratina barabardir, yani
Vdisk = = (гш)Ш2 (114)
Bu, 9arxin parametrlari va saat yonunun aksina firlanma istiqamati baximindan tanlik 1.13-u a§agidaki formada yaza bilarik:
Mdisk = -
(Г<я)ш2
21
(115)
1.15-ci tanlik robotun xarakteristika 9ar9ivasinin ш2 sababi ila qlobal xarakteristika 9ar9ivasinin bucagini aks etdirir. ш1 ila bagli bucaq eyni §akilda hesablanir.
Mdisk
21
(1.16)
£unki +XR istiqamatinda firlanma diskinin saat aqrabi istiqamatinda firlanmasi ila naticalanir. Sonradan, xarakteristika 9ar9ivalari arasinda oriyentasiyanin umumi dayi§masini muayyan etmak u9un ikisi camlanir, naticada a§agidaki tanlik alinir.
е=-(ш1-ш2) (1.17)
Buna gora robotun harakati a§agidaki kimi tasvir edilmi§dir.
4 =
-(Ш1 + Ш2) 0
(1.18)
Firlanma matrisinin tarsini goturmak (tanlik 1.2), naticani va tanlik 1.18-i tanlik 1.5 ila alaqalandirsak robotun harakatinin tanlik 1.19-da gostarilan qlobal xarakteristika 9ar9ivasina nisbatan tasviri ila naticalanar.
^ = R-imR =
cos6 -sind 0 sind 0
cose 0 0 1
-(Ш1 + Ш2)
~(Ш1-Ш2)
(1.19)
Harakat mahdudiyyatlari. Tasvir edildiyi kimi, 9arxin ufuqi sathda oz diski boyunca harakat etmasi u9un iki mahdudiyyat tatbiq olunur, 9arx suru§madan yuvarlanmalidir va 9arx mustavida normal harakat eda bilmamalidir. £arxin daxili sarbastlik daracalarina gora yalniz sabit va idara olunan 9arxlar harakat kinematikasina tasir gostarir [13]. Verilanlara asasan, sabit 9arxlar sabit takarli robotlar u9un hazirlanmi§ mahdudiyyat tanliklari ila iki 9arxli avtomobil u9un an boyuk manevr qabiliyyatini tamin edir.
0
Çakil 6. Sabit çarxlari olan dörd takarli diferensial ötürücü robotun sol ön takarinin yuxaridan
görünü§ü va robotun markaz nöqtasi [13].
Çarxin markaza va robotlarin koordinat çarçivasina nisbatan orientasiyasi Çakil 6-da göstarilmi§dir. Çarxin markaza nisbatan mövqeyi qütb koordinatlarinda birlaçan S bucaginda markazdan l masafasi kimi müayyan edilmi§dir. Çarx müstavisi ila §assi arasinda ß ila müayyan edilan bucaq sabit çarx ^ün dayiçmaz qalir. 1.2-ci çakilda göstarildiyi kimi Çarxin üfüqi oxu atrafinda firlanmasi, tanlik 1.6 ila verilmi§ zaman funksiyasidir:
x(t) = y(t)r
(120)
Çakil 7. §akil 1.4-da göstarildiyi kimi +Xr istiqamatinda harakat edan birinci çarxin ön görünü§ü.
Çakil 8. §akil 2.4-da göstarildiyi kimi +Xr istiqamatinda harakat edan ikinci çarxin ön görünü§ü.
Mahdudiyyatlik tanliklarini yazmaq ^ün §akil 7 va Çakil 8-da göstarildiyi kimi robotun har bir çarxinin harakat oxunun ön hissalari nazara alinir. Takarin markazinin müsbat Xr istiqamatinda harakat etmasi üçün müsbat Yr oxunda olan takar saat aqrabi istiqamatinda, manfi Yr oxunda olan
ikinci takar isa saat aqrabinin aksina firlanmalidir. Buna göra da, C ila birinci çarxin markazi ft
arasindaki bucaq - va takar müstavisinin normali ila markaz nöqtasi olan ß arasindaki bucaq isa sifirdir va ikinci takar ^ün bu S = —ft va ß = —n olur.
Sabit çarxin harakati ciddi §akilda müstavi boyunca va yerla tamas nöqtasi atrafinda firlanma ila mahdudlaçir [13]. Çarxin müstavi boyunca bütün harakatin ekvivalent miqdarinda firlanmasi ila mü§ayiat olunmasini tamin etmak üçün (§akil 1.2-a baxin) açagidaki tanliyi yaza bilarik.
[sin(5 +ß) — cos(5 +ß) — lcosß]R(e)$G = rw(t)
(1.21)
Burada w(t) 1.8-ci tanlik ila müayyan edilir. Tanlik 1.21-da solda olan vektorun ^ komponenti R(6)Çg ifadasi ila qlobal xarakteristika sistemindan robotun xarakteristik çarçivasindaki müstavi boyunca harakata çevrilmiç x,y va à töhfasini ortaya çixarir. Sagdaki termin çarxin firlanmasini göstarir, yani 1.21-ci tanlikda çarx müstavi boyunca mahdud harakati tamsil edir, hamçinin bütün
ОФ "Международный научно-исследовательский центр "Endless Light in Science"
harakat 9arxin firlanmasi ila bagli olmalidir. Sürü§ma olmadan yuvarlanmaqdan alava, takar sürü§mamali va müstaviya ortoqonal harakat etmamalidir. Bunun asasinda da a§agidaki tanlik ortaya 9ixir.
[cos(5 + ß) sin(S + ß) lsinß]R(0)^G = 0 (1.22)
Hesablamagi asanla§dirmaq ü9ün har bir 9arx ü9ün mahdudiyyatlar alava olunur.
J =
sin(5x + ßi) — cos(S1 + ßt) — Icosßt sin($2 + ß2~) — COS(Ö2 + ß2) — IcOSß:,.
(123)
Bütün 9arxlar ü9ün sürü§ma mahdudiyyati olmadan harakati aks etdirir
5 =
cos(5x + ß2) sin(ö1 + ß2) — Isinßi COs(Ö2 + ß2) Sin(Ö2 + ß2) — lsinß2
(1.24)
Bütün 9arxlar ü9ün müstaviya ortoqonal harakat mahdudiyyatlari tamsil edilir. Bunlari robotun xarakteristika 9ar9ivasina tatbiq etmakla a§agidakilar alinir.
JR(e)tG = KQ (1.25)
SR(e)tG = 0 (1.26)
-=^ (127)
n = P (128)
1.25 va 1.26-ci tanliklar, 1.27 va 1.28-ci tanliklarda uygun olaraq göstarilan 9arxin radiuslarinin va 9arxin bucaq süratlarinin matrislarinin aks olundugu qlobal xarakteristik sistemindaki mahdudiyyat tanliklaridir.
Kvadrat olmayan J matrisinin tarsini tapmagi talab edan qlobal xarakteristika 9ar9ivasi hesablamasinda robotun harakatini göstarmak ü9ün a§agidaki tanlik yazilir.
= R-1(0)J-1KQ (1.29)
A§agidaki ifada, [15]-da göstarilan aks matrisin tapilmasi ila hayata ke9irilir, burada B kvadrat olmayan matrisdir va BH ifadasi B-nin harakatini dayi§dirir.
B+=(BHB)-1BH (1.30)
1.25-ci tanlik va 1.19-cu tanlik arasinda ox§arliq mövcuddur, bu da 1.23-cü tanliyin tarsinin 1.18-ci tanlik oldugunu göstarir. Tanlik 1.18 robotun xarakteristika 9ar9ivasindaki harakatini tasvir etdiyina göra, ekvivalentlik adlanir. Buna göra da, tanlik 1.19 sabit 9arxlari olan iki 9arxli diferensial ötürücü robotun harakati ü9ün kinematik modelini, 1.26-ci tanlik isa sistemin va onun i§ sahasinin manevr qabiliyyatini qiymatlandirmak ü9ün yolu göstarir.
Pendulum Kinematik Modeli. iki 9arxli robot, platformanin "ön" va "arxa" hissalarinin salinmasina imkan veran platforma dayaqlarinin daxili olmasi sababindan tabii olaraq qeyri-sabitdir. iki 9arxli robota qura§dirilmi§ har hansi alat ü9ün dayaniqli gövda alda etmak ü9ün platforma ц ila müayyan edilmi§ maqbul §aquli daraca daxilinda balansla§dirilmalidir. Balans takarlari harakat etdirarak platformanin gövdasina güc tatbiq etmakla alda edilir va saxlanilir. [16]-a istinad edarak kinematik tanliklar müayyan edilacak, dinamik tanliklar i§lanib hazirlanacaq, sonra isa natica takarin
у firlanmasi va platformalarin §aquli ^-dan bucagi baximindan tarazliq tanliklarini tamamlamaq u9un istifada olunacaq.
§akil 9. Platformanin Xarakteristika £ar9ivasi
§akil 10. Robotun Xarakteristika £ar9ivasi
§akil 11. 9arxin platforma bucagina qayitmasi (§aquli bucaq)
§akil 11-da talab edilan giri§ (motor ani) va 9ixi§ (§aquli bucaq) dayi§anlarini tasvir edilib. Platformanin xarakteristika 9ar9ivasi §akil 9-da va robotun xarakteristik 9ar9ivasi §akil 10-da gostarildiyi kimi muayyan edilmi§dir, buna gora da platforma balansla§dirildiqda iki z oxuna uygun olmalidir. Buna gora da ц bucagi maqbul xata sarhadi daxilinda mumkun qadar sifira yaxin olmalidir. Firlanma momenti (r) va §aquli bucaq arasindaki alaqa, har ikisi u9un kinematik tanliklari muayyan etmak u9un 9arxin govdasi va platformanin sarbast govda diaqrami da daxil olmaqla, dinamik tanliklarin i§lanib hazirlanmasi va oturulmanin muayyan edilmasi ila hesablanir.
Natica. Robotun qlobal xarakteristika çarçivasina nisbatan harakatini tayin edan 1.19-cu tanlik, bu maqalanin ahata dairasindan kanarda olan tahlil va yoxlanilmasi uçun qlobal muhit talab edir. Bununla bela, oturma tanliklari, riyazi model kimi i§lama qabiliyyatini muayyan etmak uçun Matlab-da addim va impuls funksiyasindan istifada etmakla sinaqdan keçirilmi§dir.
ÎSTÎFADa OLUNAN 9D9BÎYYAT
1. Y. Zhou and Z. Wang, "Robust motion control of a two-wheeled inverted pendulum with an input delay based on optimal integral sliding mode manifold," Nonlinear Dynamics, vol. 85, no. 3, pp. 2065-2074, 2016.
2. N. Esmaeili, A. Alfi and H. Khosravi, "Balancing and Trajectory Tracking of Two-Wheeled Mobile Robot Using Backstepping Sliding Mode Control: Design and Experiments," Journal of Intelligent & Robotic Systems; Dordrecht, vol. 87, no. 3-4, pp. 601-613, September 2017.
3. M. Onkol and C. Kasnakoglu, "Modeling and Control of a Robot Arm on a Two Wheeled Moving Platform," Applied Mechanics and Materials, Vols. 789-790, pp. 735-741, September 2015.
4. C. Kasnakoglu and M. Onkol, "Adaptive Model Predictive Control of a Two-wheeled Robot Manipulator with Varying Mass," Measurement and Control, vol. 51, no. 1-2, pp. 38-56, 16 March 2018.
5. C.-F. Juang,. M.-G. Lai and W.-T. Zeng, "Evolutionary Fuzzy Control and Navigation for Two Wheeled Robots Cooperatively Carrying an Object in Unknown Environments," IEEE Transactions on Cybernetics, vol. 45, no. 9, pp. 1731-1743, September 2015.
6. M. M. Rahman, Ashik-E-Rasul, H. Nowab. Md. Aminul , M. Hassan, I. M. a. Hasib and K. M. R. Hassan, "Development of a two wheeled self balancing robot with speech recognition and navigation algorithm," in International Conference on Mechanical Engineering, BUET, Dhaka, 2016.
7. M. Stillman, J. Olson and W. Gloss, "Golem Krang: Dynamically stable humanoid robot for mobile manipulation," in IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA), Anchorage, AK, USA, 2010.
8. H. W. Jones, "The Recent Large Reduction in Space Launch Cost," in 48th International Conference on Environmental Systems, Albuquerque, New Mexico, 2018.
