CC BY
11
Чилап А.Я., Салихова А.Ф.
ИГРОВАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ЧИСЛА АБИТУРЕНТОВ ВУЗА
Модель рынка образовательных услуг рассматривается с точки зрения математической игры. Ключевые слова: рынок образовательных услуг, подготовка по специальности, прогнозирование числа абитуриентов.
Поскольку школьное образование обязательное и почти полностью бесплатное, а распределение детей по школам в основном проходит по принципу «ближе к дому», то на этом уровне говорить о рынке образовательных услуг, по-видимому, не приходится. Что касается вузов и внебюджетной формы подготовки специалистов, то здесь вопрос о рынке вполне уместен. Участниками такого рынка являются с одной стороны вузы, а с другой - абитуриенты на стадии поступления в вуз и студенты платники на стадии самого обучения. В данной заметке рассматривается модель первой стадии, а стороной предоставляющей услуги - какой-либо один вуз среди вузов некоего города (региона), предлагающих подготовку по данной специальности.
Как привлекаются абитуриенты в вуз - общеизвестно. Вуз рекламирует себя, информируя потенциальных будущих студентов о преимуществах обучения выбранной специальности именно в нем перед другими вузами и объявляет для поступающих по платной форме стоимость обучения х.
Ценностью для вуза при этом является количество поданых заявлений о приеме Ь (х; у), где у-приемлемая для абитуриента такая стоимость. Никаких коалиций среди решивших подать заявления естественно не возникает и вузы, конечно, тоже не кооперируются заранее, не распределяя, кому из них какая часть абитуриентов достанется и у кого какая плата должна быть назначена. Ценностью для абитуриентов является само поступление в вуз. А поскольку для значительной их части поступление именно в данный вуз не самоцель (их основным критерием выбора является соотношение между х и у), то реальной стороной, заинтересованной в величине Ь (х; у) в том смысле, что сколько заявлений будет подано в данный вуз, столько остальные вузы не досчитаются, является множество этих других вузов. Следовательно, каков выигрыш Ь (х; у) данного вуза,
таковы потери других вузов. Это можно также интерпретировать как потери L (x; у) на данный вуз соответствующего числа заявлений из всего множества заявлений. Нечестные приемы типа компрометации в глазах абитуриентов одними вузами других, и в частности данного, исключены.
Итак, как сторонам заранее определиться до объявления х? Очевидно, х и у должны принадлежать некоторому диапазону [а, b] (b>a). Таким образом, имеем две стороны, для одной из которых (данного вуза) L (x; у) - выигрыш, который он хотел бы максимизировать за счёт выбора х, а для другой (остальные вузы) - та же функция L (x; у) - проигрыш, который она хотела бы минимизировать за счет выбора абитуриентами у. Такая коллизия является в математике игрой двух лиц с нулевой суммой (сколько выигрывает одно лицо, столько проигрывает другое).
Если интервалы [а, b] для х и у дисконтировать, т.е. оставить для х и у конечные множества их значений {х*} (i = l,2,...,m), {yj} (i = 1,2,...,n), то такая игра называется матричной. В ней вместо функции выигрыша (1-го игрока) L (x; у) (и одновременно проигрыша 2-го игрока) фигурирует матрица:
(¿11 ¿12 ■■■ ¿1 п\
¿21 ¿22 — ¿2 п 1
¿ml ¿m2 ■■■ ¿mn'
Элементы этой матрицы могут быть взяты из опыта приема прошлых лет или спрогнозированы (что ненадежно). От свойств этой матрицы, т.е. соотношения чисел Ljj, существенно зависит оптимальность решения.
Эта оптимальность в теории определяется как такие векторы p°=(p°1>■ ’P°m), ...%) (вероятности выбора игроками соответст-
венно строк, т.е. величину и столбцов, т.е. величину^, которые обеспечивают так называемую ситуацию равновесия, определяемую равенством:
т п т п
E(P°,Q°) = min тах ^ ^ PiQjLij ~ шах min ^ ^ PiRj^ij = v > (*)»
i=1У=1 i=17=1
где P и Q - векторы (также как PVQ0) из множества векторов {P} и {Q} соответственно (принцип максимина). Здесь через E(P°,Q°) обозначены выражения слева и справа последующего равенства. Это математическое ожидание выигрыша 1-го игрока v, называется значением игры. Это та величина, которую получит 1 -й и потеряет 2-й игрок, если они сделают
выборы Р°и (^° соответственно. Смысл такого понятия оптимальности в том, что равенство (*) эквивалентно системе неравенств
Е(Р, (]°) < Е(Р°, Е(Р°, (}) (V)
или эквивалентной им системе
Е(хиО°)<у<Е ,у.)(г=1,т,]=1,п) , V),
т.е. если 1-й игрок отступит от оптимального выбора, он может получить только меньше V, а если от оптимального выбора отступит 2-й игрок, то он может потерять только больше V.
Алгоритмы решения матричных игр известны. Основной их них -симплекс-метод. За исключением игр размера (2 X п), (т X 2) и (3 Х3) все они требуют компьютерной реализации.
Так, например, можно убедиться, что решение матричной игры, полученное по стандартному алгоритму, следующее:
/30 29 26 21 14\
29 30 29 26 21
26 29 30 29 26
21 26 29 30 29
\14 21 26 29 30/
оптимальная стратегия 1-го (максимизирующего) игрока - т.н. «чистая». Он должен выбрать третью строку А оптимальная стратегия2-го (минимизирующего) игрока «смешанная». Он должен с вероятностью q выбрать 1-й столбец и с вероятностью 1-^ - пятый, где 0,375<д< 0,625. При этом v=26.
Для дальнейшего, однако, целесообразно не дисконтировать функцию выигрыша Ь (х;у), а проанализировать ее реальные свойства применительно к рассматриваемой модели и на основе этого анализа указать принципиальный вид решения игры с Ь (х;у)(х, уе[а,Ь]) - т.н. игры на квадрате, из которого и без компьютерного решения будет ясен принципиальный вид решения соответствующей матричной игры.
Так, прежде всего, если приемлемая для абитуриентов стоимость обучения у совпадет с объявляемой институтом стоимостью х, то нет вопросов. Ясно, что при этом число поданых заявлений будет наибольшим. Если у<х, число заявлений будет тем меньше, чем меньше у. Если у>х, тодля части абитуриентов не это обстоятельство будет решающим фактором. При у> х для них более существенными могут стать другие крите-
рии, например, данный вуз слишком далеко от дома или в нем нет общежития и они предпочтут другой вуз, т.е. Ь (х; у) тоже уменьшится.
Кроме того, причиной такого уменьшения функции Ь может быть следующий психологический аспект. Если я готов платить у и в большинстве других вузов расценки примерно таковы, а в данном вузе они заметно ниже (х<у), то это значит, что в этот вуз подают меньше заявлений, что, видимо, связано с неудовлетворенностью тех, кто в нем оказался. Примером аналога такого поведения является существовавший до недавнего времени в Париже магазин «Тати», где отоваривались в основном мигранты и цены были существенно меньше. А французы считали его посещение ниже своего достоинства и предпочитали переплачивать, но делать покупки в других магазинах.
Далее видно, что если отклонение у от х незначительно, то и отличие Ь (х; у) от наибольшего значения также будет незначительным, увеличиваясь тем больше, чем больше будет отклонение у от х. Следовательно, функция выигрыша Ь (х; у) должна быть выпуклой вверх, имея форму холма, вытянутого вдоль диагонали х=у квадрата [а, Ь] X [а, Ь] с круто падающими к основанию склонами. Очевидно также, что Ь (х; у) должна быть дважды непрерывно дифференцируемой.
Решение игр с такими свойствами, но выпуклой вниз функцией Ь (х; у) (ложбина) известно. Это выбор вторым игроком чистой стратегии у из интервала (а, Ъ), а первым - смешанной стратегии, состоящей из выбора крайней стратегии х=а с вероятностью р и крайней стратегии х=Ь с вероятностью 1-р (0<р<1), где у и р зависят уже от конкретной Ь. Ясно, что для нашей, выпуклой вверх L, стратегии игроков меняются местами, т.е. смешанной указанного типа станет стратегия 2-го игрока, а стратегия 1-го игрока будет чистой: х = х0.Это определит и аналогичный вид стратегий соответствующей дисконтированной (матричной) игры, что и видно из приведенного выше примера. Таким образом. если бы элементы матрицы примера были десятками заявлений, то оптимальным для института
было бы назначить стоимость обучения в условных единиц. При этом
ожидаемое число заявлений было бы равно 260.
Заметим, что в соответствующей матричному примеру не дисконтированной игре с Ь (х; у) = 30 - (х — .у)2(х, уе [1; 5]) оптимальным для данного вуза (стратегия 1-го игрока) было бы назначить х = 3, а абитуриентам ориентироваться на оптимальную для них стратегию: с вероятностью У платить наименьшую цену у = 1 и с той же вероятностью - наибольшую
цену: у = 5. При этом вуз мог бы ожидать получения 26 единиц полезности, т.е. 260 заявлений.
Зарегистрирована 21.09.2011.
