CC BY
75
УДК 621.316.925:51
Ю.Я. ЛЯМЕЦ, Д.В. КЕРЖАЕВ
ИЕРАРХИЯ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В МЕТОДОЛОГИИ ОБУЧЕНИЯ РЕЛЕЙНОЙ ЗАЩИТЫ
Информационная база релейной защиты представляет собой совокупность замеров электрических величин на интервале наблюдения; она еще включает в себя априорные сведения о структуре и параметрах имитационных моделей наблюдаемого энергообъекта. Релейная защита, как и любая другая интеллектуальная система, обращается со своей информационной базой так, как ее этому предварительно научили. Задание уставок, как принято называть такую процедуру в релейной защите, прежде обходилось без общей теории. В настоящей статье развивается концепция, согласно которой учителями служат имитационные модели, а местом обучения - уставочное пространство, пространство замера, в котором отображаются замеры электрических величин. Целью обучения является распознавание отслеживаемых режимов (а-режимы). В уставочном пространстве им противостоят альтернативные режимы (P-режимы). Срабатывание защиты в p-режиме недопустимо, что придает противостоянию режимов антагонистический характер.
В ООО «Исследовательский центр “Бреслер”» разработка микропроцессорных защит выполняется на основе развиваемой здесь же информационной теории релейной защиты, основные положения которой и результаты ее внедрения докладывались на конференциях СИГРЭ, начиная с 1999 г., а также на конференциях PSP (Словения) с 2000 г. [1-7].
Инструментом информационной теории стал информационный анализ, который на первом этапе исследования применялся для оценивания распознаваемости коротких замыканий как физического свойства защищаемого объекта, а далее - для решения тех задач теории уставок, которые касаются обучения защит [8, 9]. Попытки построить процесс обучения в многомерном пространстве с помощью методов вычислительной геометрии не дали практически ощутимых результатов. Их удалось получить в более подходящем для релейной защиты представлении многомерного пространства как совокупности уставочных плоскостей [10, 11]. Именно такой принцип обучения защиты, связанные с ним понятия и соответствующий инструментарий информационного анализа составляют содержание настоящей статьи. Что касается возможных приложений, основное внимание обращается на проблему построения отображений объектной области параметров имитационной модели на плоскость замера. Полученный при этом результат представляется особенно важным для дальнейшего развития теории обучения релейной защиты, в связи с чем он представлен в виде теорем о граничных условиях для отображений.
Теоретические основы обучения релейной защиты. Рассмотрим имитационную модель защищаемого объекта. Она формирует замер z , осуществляя преобразование z = F(x); x е G, z e S; x - m -мерный вектор параметров модели; z - «-мерный вектор уставочного пространства; G - заданная об-
ласть определения варьируемых параметров; S = F(G) - отображение области G в уставочном пространстве.
Одна из основных задач, решаемых в процессе обучения РЗ, имеет отношение к известной из вычислительной геометрии проблеме тесселяции (при п = 2 -триангуляции) и формулируется следующим образом. Даны имитационные модели Fa, Fp и объектные области Ga и Gp. Требуется определить границу (оболочку) L собственной a-области Saa = Sa \ Sp, где Sa =Fa (Ga), Sp =Fp (Gp).
К поставленной задаче примыкает ряд сопутствующих задач. Первая - определение объектной гиперповерхности GaL - оригинала границы L, связанного с нею соотношением L = Fa (GaL). Вторая - определение информационной ценности отдельных координат z{ замера z и построение на этой основе иерархической цепочки Zj...zn..., устанавливающей правило наращивания порядка уста-вочного пространства с построением последовательности областей S^a, п=1,2,...
В зависимости от соотношения чисел m и п различаются недоопределенные (m > п), определенные (m = п) и переопределенные задачи (m < п ), что соответствует представлениям о системе п уравнений F(x) = z с m неизвестными
Xj, j = 1, m . Практическое значение имеет соотношение m > п — 1.
Сведем центральную задачу к поиску условного экстремума координаты zn (x) замера z(x) при фиксации всех прочих координат
zn (x) ^ extr, x е G, (1)
zv (x) = cp = const, p = 1, п — 1. (2)
Построим соответствующую функцию Лагранжа
п—1
L(x, X) = zn (x) + —Xp (zp (x) — Cp),
p—1
где X - множители Лагранжа.
Стационарные точки этой функции, дающие решение задачи (1), (2), определяются системой m + п — 1 уравнений, в том числе m уравнений (j = 1, m )
dLxX) = aza(x) + -Xp azp(x) = 0
dXj dXj p—1 dXj
и п — 1 ограничений (2). В отличие от системы F(x) = z, составленной для
произвольного замера z, система (2), (3), относящая к границе L, всегда оп-
ределена. Отсюда следует утверждение 1 (теорема о соразмерности границы и ее оригинала): оригинал границы уставочной области имеет ту же размерность, что и сама граница.
Важнейший частный случай: двумерное уставочное пространство - плоскость (п = 2). Здесь задача (1), (2) принимает вид:
z2 (x) ^ extr, x е G, zj (x) = Cj = cons t,
а ее решение (3) -
Мї> + х,ад = о.
Ox :
Ox :
Вытекающее отсюда соотношение dz2(x) &2(x)
Ox :
dxk
dz1 (x) dz1 (x)
j = 1, m; k = 1, m ; k Ф j .
dx.
dxk
приводит к утверждению 2 (теорема о коллинеарности производных замера): в граничной точке уставочной области векторы частных производных замера по параметрам, изменяющимся вдоль границы, коллинеарны.
Вариант данного случая - комплексная уставочная плоскость с замером ^(х). Коллинеарность векторов производных в таком варианте интерпретируется следующим образом
_ (х)
Im
dx-
д Z (x)
dx.
= 0.
(4)
Построение границы области отслеживаемых режимов для традиционного замера сопротивления как этап обучения реле сопротивления. Участки границы различаются числом варьируемых параметров имитационной модели, хотя вся граница в целом и каждый из участков в отдельности представляют собой (п-1)-мерные уставочные подпространства. Пусть AL(k) - k-параметрический участок границы, k < m . Его оригинал AG(k) = F-1(AL(k)) -область, вложенная в k -мерное объектное подпространство, но в соответствии с теоремой о соразмерности представляющая собой при всех k > п — 1 подпространство одной и той же размерности п — 1.
Теоретические положения, изложенные в предыдущем пункте, можно проиллюстрировать на примере простейшей трехпараметрической (m=3) имитационной модели электропередачи (рис. 1). Возьмем в качестве примера традиционное реле сопротивления, реагирующее на текущий замер Zтк = Uтк /1тк. В данном случае место обучения - комплексная уставочная плоскость Zтк = Ктк + jXтк, т. е. п = 2 ; Z1 = Ятк, Z2 = Хтк.
Варьируемые параметры - индуктивные сопротивления участка линии до места замыкания x = Xкз, приведенное переходное сопротивление y = X z Rfj(Xz — x), где Xz - сопротивление всей линии, и вещественная часть сопротивления предшествующего режима r = Rпд = Re Z пд;
Zпд = Uпд/1пд = Кпд + jXпд . В данной модели Rпд = (X /2) ctg(5/2) , где 5 -угол передачи, Xпд = Xz /2 = const.
Ee —
Рис. 1. Простейшая имитационная модель объекта (а) и область определения ее параметров (б)
г
В трехмерном объектном пространстве с координатами x, у, г задается область определения а-режимов, имеющая форму параллелепипеда с размерами, устанавливаемыми длиной защищаемой зоны Xзн, предельным значением переходного сопротивления и минимальным абсолютным значением сопротивления гтт = (X^ / 2)с^(5тах/2); принимается, что |5т1^ = 5тах .
Для трехмерного объектного пространства отображения ребер параллелепипеда - годографы, т.е. геометрические места вектора Zтк, изменяющегося в функции одного параметра. Соответствующие граничные линии в уставочном пространстве назовем однопараметрическими. Двухпараметрические граничные линии строятся при варьировании двух объектных параметров, при этом их оригиналы располагаются на гранях области Gа . Для определения двух-, а тем более, трехпараметрических линий применяется теорема о коллинеарности производных вектора замера по параметрам.
Обучение релейной защиты может быть представлено в виде рекурсии по k , начиная со значения k = 0 , т.е. с отдельных режимов - вершин объектной
области. Далее k = 1, это ребра объектной области, затем k = 2, m — 1 - грани второго и последующих порядков, и, наконец, отображается вся объектная область при k = m . Аналитическое преобразование Е отображает объектное подпространство без каких-либо ограничений. Ограничения могут быть учтены позднее при сопряжении участков границы. Начиная с п -мерной грани, поиск
оригинала производится в соответствии с условием коллинеарности производных замера по варьируемым параметрам.
Более общую методику построения границы дает применение обратной рекурсии: от к = т к k = п — 1. С этой точки зрения можно говорить о прямом и инверсном методе обучения релейной защиты. Рассмотрим трехпараметрический замер (т = 3, п = 2)
Общее уравнение замера будет иметь вид
г, , ч 2 пд (г )(У + }Х)
Z тк(x, У, Г) = ™ л+----, (5)
2пд (г) + У
2 пд (Г) = Г + }Х пд , Х пд =
с производными по параметрам
д2тк пд (г)
д Х 2пд (Г) + У
д 2 тк = 2 Пд(Г )(2 Пд(Г) — }х)
д У (2пд (г) + у)2 :
д2 тк = д2тк = У( У + }Х)
д Г д2пд (2пд (Г) + У)
2
(6)
(7)
(8)
Заметим, что при г ^ ±<х>
аг§ ^=тк- ^ 90 , (9)
д х
д 7
аг^^!^ ^ 0, (10)
ду
д2
аг§ ^ аг^( х/ у), (11)
д г
а при вариациях п в конечных пределах фазовые соотношения определяются отношениями производных (6)-(8)
д 2 тк
д х = пд (Г)(2пд (Г) + У)
д 2 тк У(У + }Х)
К1 = -дХ. =*-пд^_вд^/ , (12)
д г
д 2 тк
К =_д^ = 2 пд (Г № пд (Г) — }Х) (13)
_2 д 2 тк у( У + }х) ’
д г д 2
К3 =-дх- = Кь = }(2пд(Г) + У) , (14)
д2тк К2 2пд (Г) — }Х
д У
из которых независимы только два. Условие коллинеарности производных (4)
1т К = 0, 1 = 1,2,3 (15)
даёт три уравнения относительно варьируемых параметров. Соответственно для 1 = 1, 2, 3 :
У2 Г + УГ 2 — Хп2д У + Хпд ХУ + 2Хпд ХГ = 0, (16)
хГ 2 + ХУГ + Хпд х 2 — 2 Хпд УГ — Хп2д х = 0, (17)
г 2 + УГ — X пд х + Хп2д = 0. (18)
Преобразованием системы уравнений (16)-(18) можно получить:
У = —г , (19)
а (7) и (8) можно преобразовать к виду
(х — Хпд )2 + г 2 = 0. (20)
Система уравнений (19), (20), несмотря на свою неопределенность, допускает решение в единственной точке объектного пространства х = Хпд,
у = г = 0 . Однако значение г = 0 не входит в объектную область G . Отсюда следует вывод, что граница Ь не располагает ни одним отображением внутренних режимов области G. Все отображения могут принадлежать только оболочке этой области. Иначе говоря, граница Ь не имеет ни одной трехпараметрической точки, и, следовательно, на очереди поиск двухпараметрических участков границы, для чего необходимо рассмотреть режимы каждой из шести граней области G.
Особое значение г = ±<х>, входящее в область G , не изменяет данного вывода: как видно из (9)-(11), при неограниченном росте параметра г имеет место коллинеарность только двух производных из трех.
Каждая грань вначале ассоциируется с автономным (т — 1) -мерным объектным подпространством; ограничения учитываются позднее, после получения уравнения оригинала границы, создаваемой полным подпространством. Отображения граней на предполагаемую границу Ь предстоит сравнить между собой. Если же окажется, что условия коллинеарности не формируют границу всей уставочной области ^, то от граней придется перейти к отображениям ребер, т.е. к однопараметрическим участкам границы.
Рассмотрим пример рассуждений при анализе двух граней объектной области параметров.
Режимы замыкания в конце зоны (х = Хзн), 1 = 2 . Из (17) получаем уравнение линии - оригинала границы
У(г ) = 1
2 Хпд — ХзН
ХпдХзн (Хзн — Хпд )
(21)
Для примера возьмем следующие данные:
Хзн = Хпд, (22)
Утах = Гт1п = Г(5тах) = —Г(5тт) , (23)
зн
Г
Условие (22) приводит (21) к равенству y _ r , выполняющемуся при условии (23) в единственной точке рассматриваемой грани. Последующий анализ показывает, что отображение режима x _ Хзн, y _ ymax , r _ rmin принадлежит собственной границе подпространства x _ Хзн, y ^ var , r ^ var , но не границе L области S, т.е. отображение располагается внутри области.
Для грани cdfe, на которой наблюдается максимальное переходное сопротивление, запишем уравнения (5), (6) и (8)
v , ч Zпд(r)(ymax + JX)
Z тк(X, ymax, r) _ * .-------- (24)
Zпд (r) + ymax
д Z тк = •JZ пд (25)
д X Z пд + ymax’
дZтк = дZтк = ymax ~ (ymax + JX) (26)
д r дZ (Z + y )2 "
—пд \_пд -'max/
После некоторых преобразований уравнение линии-оригинала в плоскости cdfe :
y (X2 — r( y + r))
X__ * ma^ пд___w max_____(27)
Xпд (ymax + 2r) ,
а после подстановки (27) в (24) получаем уравнение двухпараметрического участка граничной линии области отслеживаемых режимов при y _ ymax (рис. 2):
Z=
(r + jX пд ) • У,
1 + j
Xпд - r (r + У max ) Xпд (2r +
r + У max + jX п
Поиск всех участков границы области S производится по описанной процедуре. Результатом станут границы в уставочном (рис. 2) и объектном (рис. 3) пространствах при заданных размерах области Ga, Хзн=ХЕ/2, ymax = rmin = -\/3Xz /2.
Границы области отслеживаемых режимов для адаптивного замера сопротивления. В предыдущем пункте обучению подвергалось реле сопротивления, реагирующее на замер Z тк. Представляет интерес сопоставление полученных результатов с теми, что могут обеспечить замеры на иных комплексных плоскостях. Размерность остается прежней: n = 2 , но выбранный на этот раз новый замер Z та = Uтк /1 ав формируется из напряжения текущего режима и токовой аварийной составляющей 1 ав = 1 тк -1 пд, где 1 пд - ток предшествующего режима. Реле, реагирующее на замер Zта, адаптируется к предшествующему режиму. Отметим информационные отличия Zта от Zтк. Для Zтк предшествующий режим попадает в список альтернативных режимов (р -режимы). Замер Z та от этой проблемы избавлен. Кроме того, в информационном плане поведение тока 1 пд вызывает нарекания: он скачкообразно изменяет свою фазу при изменении направления передачи мощности - переходе угла передачи 5 через нулевое значение (рис. 4). Ток 1ав таким недостатком не страдает. Правда, его
фаза зависит от переходного сопротивления , но без скачков. Разумеется, замер ^тк в двухпроводной линии обладает неоценимым преимуществом перед иными замерами при металлических замыканиях, когда он сам по себе отстроен от влияния предшествующего режима.
Двухпараметрический участок границы
0.5Xг Л/3Хг/2 ХЕ
Рис. 2. Отображение ребер объектной области на уставочной плоскости
і- 0 -10? -20? -30? -40? -50? -60?
0
Xзн
Рис. 3. Оригинал границы уставочной области: а - оригинал двухпараметрического участка; б - оригинал всей границы (выделено жирной линией)
8
0
а
Рис. 4. Отображение объектных ребер и граничные линии области Пунктирные кривые - двухпараметрические отображения
В имитационной модели по рис. 1 аварийная составляющая тока выражается через ток и сопротивление предшествующего режима
т _ —пд 7Хкз I
-ав Г » -ПД’
]Х кз +----------
и \Г \Г
Х 2 - Х кз
где — пд _ Шпд > и _ипд _итк . Вводя обозначения X _ Хкз , у _ Х Х -
—пд _ г + ]Хпд , г _Я пд, Хпд _ Х2 /2, получаем выражение замера
2 та (Х,У,г) =
2 Пд (г)( у + іХ)
2пд (г ) - ІХ
Воспользуемся описанной выше инверсной процедурой обучения реле.
В результате исследования оказалось, что все найденные двухпараметрические граничные линии ер и is принадлежат собственно граням, но не всей области Ga в целом, т.е. они проходят внутри отображения 8а . Имеется еще одно отличие замера г та от рассмотренного выше 2тк . Оригинал граничной линии проходит у 2та только по ребрам области Ga (рис. 5), но в точке д совершается скачкообразный переход с одного ребра на другое; обратим внимание на их разнородность: у одного г ^ уаг (ребро dh), а у другого х ^ уаг (ребро gh).
Противостояние режимов при обучении релейной защиты. Для замеров, рассмотренных в предыдущих пунктах, сформулируем задачу построения собственной области реле, реагирующего на замер 2тк или гта .
ч и
О,
Рис. 5. Оригинал границы уставочной области адаптивного замера
Собственная область 5аа определяется удалением из области 5а ее части 5ар, общей с областью £р:
5аа = 5а \ 5ар , 5ар = 5а ^ 5р ,
где 5р = Р(Ср). Области Оа и Gp определены в одном и том же трехмерном объектном пространстве с координатами X, у, г . Область Gp отличается от Gа диапазоном изменения параметров; они разграничены координатой х = Хзн - сопротивлением на границе зоны защиты, кроме того, с области Gp снимается верхнее ограничение по параметру у (рис. 6). у е [0; да) Жирной линией обведен оригинал границы Хр уставочной области 5р - отображения объектной области Gp.
Замер ^тк. Отображения в уставочной плоскости ^тк рассматривались выше применительно к принятой имитационной модели электропередачи. Оказалось, что отображение 5 области G, ограниченной по параметру г реальным значением гт1П = -у/зХ^ /2 (|г| > гт1П), трехпараметрическим участком границы не располагает. Двухпараметрические отображения обнаружились, но лишь в верхней грани области Ga , ограниченной по параметру у значением утах = гт1П , а без этого ограничения - еще и в передней грани при г = -гт1п .
Правда, здесь примешалось явление неопределенности, заключающееся в том, что множество режимов
у( х) = -
Х + Гшп + -
отображается единственным граничным замером. Это критическая точка
^ тк, кр = ](Хпд + г 2 / Хпд ) .
8
а
5
ь
г г
шт шт
оР,
Рис. 6. Объектная область альтернативных режимов - КЗ вне зоны
Без верхнего ограничения по у, как в р -режимах (рис. 6), верхняя грань поднимается настолько, что становится геометрическим местом предшествующих режимов с их зависимостью от единственного параметра г . Отображения
этих режимов располагаются на границе Хр области = Е^р) (рис. 7).
На долю двухпараметрических отображений достается единственная точка ^тк кр . Остающуюся часть границы £р образуют годографы ребер Ьу ,
Уу , ЬхЬгх> и А области (рис. 6 и 7).
Замер ^та . При рассмотрении замера 2та на границе объектной области альтернативных режимов помимо той же объектной линии Ь1у1 , что и на
рис. 6, на левой боковой грани имеется еще одно геометрическое место режимов is (рис. 8), создающее двухпараметрический участок границы (рис. 9). Уравнения участков при Хзн = Хпд .
У(г) = -Хвд / Г , ^та (г) = А(Хпд / Г 2)(Г + ]Хпд )2 .
Отображения предшествующих режимов на плоскости ^ та удалены в бесконечность. Граница £р устремляется к ним вдоль годографов ребер А<х> и Ь1да .
Сопоставляя полученные результаты, можно сделать вывод, что адаптивные реле сопротивления демонстрируют лучшее заполнение уставочной плоскости. Коэффициент заполняемости П = «аа / «а , равный отношению площади
режимов (КЗ в зоне) на плоскости текущего замера
Ои
X з,
X V
Рис. 8. Оригинал границы замера 2та в объектной области альтернативных режимов
ж
V
V
X
собственной области ко всей области отображений а -режимов, в приведенных выше примерах составляет у адаптивного реле 47% против 24% у традиционного реле. Но главный вывод состоит все же в том, что эти реле не исключают, а дополняют друг друга, проявляя наилучшую распознающую способность в различных режимах.
Задачи, связанные с обучением релейной защиты, имеют прочную математическую основу и формулируются в терминах двух пространств - объектного и уставочного. Центральная задача заключается в определении границ уставочных областей - отображения объектных областей существования режимов, отслеживаемых и, отдельно, альтернативных; результатом ее решения становится собственная уставочная область, в которой разрешается срабатывание релейной защиты. Методы обучения реле, как можно судить по рассмотренным примерам, универсальны. Существенно, что они не сводятся к двухмерному уставочному пространству, хотя теория многомерных реле нуждается в отдельном представлении.
Литература
1. Efremov V. Program set for the analysis of disturbances and fault location in transmission lines DISAN/LOCATOR / V. Efremov, Y. Liamets, N. Podshivalin, V. Iljin, G. Nudelman: CIGRE Conf. Report. Florence, 1999. P. 1-7.
2. Liamets Y. Relay protection with extreme fault identification / Y. Liamets, E. Efimov, V. Efremov, V. Iljin, A. Pavlov, N. Podshivalin, G. Nudelman, J. Zakonjsek: PSP2000 Power System Protection Conf. Bled, 2000. P. 1-12
3. Liamets Y. The principle of relay protection information perfection / Y. Liamets, E. Efimov, G. Nudelman, J. Zakonjsek: CIGRE, SC 34 Colloquium and Meeting, Session Papers. Sibiu, 2001. P. 1-6.
4. Liamets Y. Informational analysis - new relay protection tool I Y. Liamets, S. Ivanov, A. Pod-chivaline, G. Nudelman, J. Zakonjsek; Proc. 13th Int. Conf. Power System Protection. Bled, 2002. P. 197-210.
5. Liamets Y. Informational tasks of relay protection I Y. Liamets, A. Podchivaline, A. Chevelev, G. Nudelman, J. Zakonjsek. CIGRE SC B5 Colloquium and Meeting. Sydney, 2003. P. 1-3.
6. Liamets Y. Universal relay I Y. Liamets, A. Podchivaline, G. Nudelman, J. Zakonjsek: Proc. 14th Int. Conf. Power System Protection. Bled, 2004. P.1-12.
7. Liamets Y. The phenomena of uncertainty and ambiguity in identification of faults in electrical systems I Y. Liamets, S. Ivanov, G. Nudelman: CIGRE Conf. Report. Calgary, 2005. P. 311-313.
S. Liamets Y. Equivalent transforms of models, conditions and measurements in relay protection I Y. Liamets, A. Podchivaline, A. Chevelev, G. Nudelman, J. Zakonjsek: Proc. Sth Int. Conf. Developments in Power System Protection. Amsterdam, 2004. P. 76-79.
9. Liamets Y. Interval transform of information and its applications in relay protection I Y. Liamets, A. Podchivaline, S. Ivanov, G. Nudelman: Proc. Int. Conf. IEEE St-Petersburg PowerTech. Saint-Petersburg, 2005. P. 1-5.
10. Пат. 2247456 Российская Федерация МПК7 H 02 H 3I40. Способ релейной защиты энергообъекта I Ю.Я. Лямец Е.Б. Ефимов, Г.С. Нудельман, 2005, Бюл. № 6.
11. Пат. 224S077 Российская Федерация МПК7 H 02 H 3I40. Способ дистанционной защиты линии электропередачи! Ю.Я. Лямец, Г.С Нудельман, Е.Б. Ефимов, В.А. Ефремов, 2005, Бюл. № 7.
ЛЯМЕЦ ЮРИЙ ЯКОВЛЕВИЧ родился в 1940 г. Окончил Новочеркасский политехнический университет. Доктор технических наук, профессор кафедры теоретических основ электротехники Чувашского государственного университета, заслуженный изобретатель России. Область научных интересов - релейная защита, теоретическая электротехника. Автор более 300 научных работ.
КЕрЖаЕВ ДМИТРИЙ ВИКТОРОВИЧ родился в 1982 г. Окончил Чувашский государственный университет. Магистр по специальности энергетика, аспирант Чувашского университета. Область научных интересов - релейная защита, теоретическая электротехника. Автор 15 научных работ.
