CC BY
88
УДК 539.42
Иерархия микротрещин при циклическом и статическом нагружении
Л.Р. Ботвина1, А.И. Болотников1,2, И.О. Синев1,2
1 Институт металлургии и материаловедения им. А.А. Байкова РАН, Москва, 199334, Россия 2 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Представлены результаты анализа литературных данных по накоплению усталостных микротрещин в аустенитной и малоуглеродистой сталях, а также результаты собственных исследований эволюции микротрещин в трех конструкционных сталях (стали 20, 45 и 12Х18Н10Т) в процессе растяжения. Рассмотрены критерии, характеризующие процесс формирования и развития поврежденности твердых тел на разных масштабных уровнях. Для описания наблюдаемой смены появления, роста и слияния микротрещин, обеспечивающей иерархическую структуру поврежденности, использована известная модель Лотки-Вольтерры, применяемая при анализе конкурирующих процессов различной природы, и перколяционная модель.
Ключевые слова: иерархия, поврежденность, микротрещины, перколяция, стадийность, усталость
DOI 10.24411/1683-805X-2019-16003
Hierarchical microcracking under cyclic and static loading
L.R. Botvina1, A.I. Bolotnikov12, and I.O. Sinev12
1 Baikov Institute of Metallurgy and Materials Science RAS, Moscow, 199334, Russia 2 Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia
This paper reviews the literature data on the accumulation of fatigue microcracks in austenitic and low-carbon steels, and reports our own investigation results on the evolution of microcracks in three structural steels (steel 20, 45, and 12Cr18Ni10Ti) during tension. The criteria are discussed which characterize damage initiation and propagation in solids at different scale levels. The observed change in the initiation, growth, and coalescence of microcracks, which provides a hierarchical structure of damage, is described using the well-known Lotka-Volterra model for the analysis of various competing processes and the percolation model.
Keywords: hierarchy, damage, microcracks, percolation, staging, fatigue
1. Введение
Конструкционные материалы имеют сложную многоуровневую структуру, содержащую дислокации, вакансии, поры, включения и микротрещины, возникающие в процессе нагружения. Учесть влияние такой многоуровневой структуры на прочностные свойства сложно, поэтому большинство теоретических, а также экспериментальных исследований дают лишь интегральную информацию о ее вкладе в процесс разрушения.
Однако проблема оценки влияния структурных не-однородностей остается, и поэтому в последнее время многочисленные попытки исследователей направлены на развитие многоуровневых моделей, учитывающих иерархическую структуру материалов [1-3]. В работе [4] упор сделан на определение ряда критических параметров, позволяющих переходить на следующий уро-
вень и несущих информацию о процессах, происходящих на предыдущем уровне. Особую важность в этом случае приобретает иерархия микротрещин, определяющих стадийность развития поврежденности перед разрушением.
Авторы [5] с помощью переносного металлографического комплекса в ходе циклических испытаний получают изображения, по которым оценивают изменение интенсивности пикселей в местах с дефектами и, как следствие, судят о кинетике накопления микротрещин. В [6] методом оптической микроскопии изучают кинетику накопления дефектов коррозионной усталости и оценивают остаточный ресурс материала.
Следует отметить, что анализ иерархии микротрещин и структурных уровней развития дефектов был в центре внимания исследователей в 70-90 годах прош-
© Ботвина Л.Р., Болотников А.И., Синев И.О., 2019
лого века, в рамках интенсивного изучения проблемы малых усталостных трещин, имеющих аномально высокую скорость распространения. В работе [7] автор выделил три вида микротрещин: 1) микроструктурно короткие трещины, размер которых сопоставим с размером зерна металла исследуемого образца; 2) физически малые трещины, размер которых не превышает 500 мкм; 3) длинные трещины размером более 500 мкм, для описания поведения которых применима механика упругопластического разрушения. Трещины различных групп отличаются по кинетике роста [8].
В это же время широко обсуждаются структурные уровни деформации твердых тел [9], иерархические распределения трещин [10, 11], закономерности их развития и взаимодействия на разных масштабных уровнях [12-14]; рассматривается поранговое развитие дефектов и микротрещин в металлических образцах [15] и горных породах [13].
Настоящая работа выполнена в развитие этих исследований с целью изучения общих закономерностей формирования иерархической структуры в металлических образцах при циклическом и статическом нагружении.
2. Материалы и методы исследования
Для количественного анализа иерархии циклической поврежденности были использованы данные [16, 17]. Изучение закономерностей эволюции микротрещин при статическом нагружении было выполнено на образцах из конструкционных сталей 20, 45 и 12Х18Н10Т. Использование реплик или прямого наблюдения полированной поверхности образцов под микроскопом в процессе остановок испытания позволило наблюдать микротрещины, формирующиеся на различных стадиях нагружения, а также получать количественную информацию о закономерностях эволюции микротрещин в процессе нагружения.
Испытания на растяжение плоских образцов толщиной 5 мм с концентратором напряжений в виде выточек, заканчивающихся отверстием диаметром 6 мм (тип IX по ГОСТ 25.502), а также испытания плоских образцов (170x40x5 мм) проводили на машине 1ш^оп 3382 со скоростью деформирования 0.5 мм/мин. Химический состав и механические свойства исследуемых сталей приведены в табл. 1.
Нагружение образцов чередовали с остановками, в процессе которых с помощью оптического микроскопа Olympus GX51, снабженного цифровой видеокамерой, получали фотографии микротрещин, наблюдаемых на полированной поверхности образцов в непосредственной близости от выточек.
Путем обработки снимков с помощью программы анализа изображений оценивали среднюю длину Lm и плотность n микротрещин на разных стадиях нагружения. При этом учитывали трещины длиной не менее 5 мкм (трещины меньшей длины трудноотличимы от крупных пор или цепочек пор). По результатам измерений оценивали относительную площадь S , занятую микротрещинами и определяли концентрационный k-критерий поврежденности [14], представляющий собой отношение среднего расстояния между трещинами перед макроразрушением образца к их средней длине:
k =
R
c-i/3
(1)
Ьт Ьт
где R = с — среднее расстояние между микротрещинами; Ьт — средняя длина микротрещин; с — плотность микротрещин.
Авторы [14] при изучении процесса накопления суб-микротрещин в полимерах обнаружили, что при приближении к моменту разрушения концентрация дефектов возрастает, а их средний размер становится соизмеримым с расстоянием между ними. Для оценки критического значения предложенного ¿-критерия они использовали результаты анализа характеристик взаимодействия трещин, представленные в [18]. Согласно [18] взаимодействие двух плоских коллинеарно расположенных трещин в упругой среде начинается в тот момент, когда отношение расстояния между трещинами к их длине а/Ь становится меньше 3. Экспериментальные оценки критерия а/Ь в полимерных образцах совпали с прогнозируемыми значениями. Таким образом, при а/Ь > 3 трещины изолированы и не влияют друг на друга, а при а/Ь < 3 — взаимодействуют и сливаются.
В данной работе для оценки параметра к использовали модифицированное соотношение [19-21]: 1
k=
LmJn'
(2)
в котором кубический корень из числа дефектов был
Таблица 1
Химический состав и механические свойства исследуемых сталей
Марка стали Химический состав, мас. % Механические свойства
C Si Mn Ni Cu Cr S, % o0 2, МПа ов, МПа
Сталь 20 0.17 0.21 0.36 0.04 0.07 0.05 37.0±2.5 283±4.7 435.3±4.2
Сталь 45 0.43 0.25 0.55 0.05 0.11 0.11 24.7±2.7 342± 12.5 641.7±22
12Х18Н10Т 0.07 0.28 0.91 9.52 0.36 18.00 69.6±3.0 211.7±4.6 593±6.1
Рис. 1. Зависимости плотности усталостных микротрещин длиной 40 (1), 100 (2), 300 мкм (3) в образцах из нержавеющей стали 316L от относительного числа циклов нагружения [12] (а) и числа усталостных микротрещин N длиной 20-200 мкм на площади 25 мм2 (1), длины (2) и глубины (3) макротрещины в нержавеющей стали 304 [22] (б)
заменен на квадратный, поскольку анализировали поврежденность на поверхности полированного образца.
Кроме того, строили кумулятивное распределение микротрещин по их длине на разных этапах разрушения и оценивали показатели степенного Ь и экспоненциального с соотношений, аппроксимирующих полученные кривые.
3. Иерархия усталостных микротрещин
Об иерархии поврежденности аустенитной стали 316L на различных стадиях усталости свидетельствуют зависимости среднего размера трещин, равного 40, 100 и 300 мкм от относительного числа циклов (рис. 1, а) [12], которые позволяют по числу микротрещин на локальном участке поверхности усталостного образца судить о закономерностях перехода от одного уровня накопления дефектов к другому.
Из рис. 1, а следует, что возникновению микротрещины каждого последующего среднего размера или ранга предшествует накопление дефектов предыдуще-
го ранга, а ускоренное развитие последующего ранга микротрещин начинается после снижения числа микротрещин предшествующего размера или достижения некоторого постоянного их числа. Так, развитие микротрещин второго ранга размером ~100 мкм начинается после резкого снижения числа дефектов первого ранга размером 40 мкм. Ускоренное развитие трещины третьего ранга длиной 300 мкм связано с достижением постоянного числа микротрещин второго ранга размером 100 мкм. Начало ускоренного роста трещины при достижении максимального числа дефектов подтверждают кривые на рис. 1, б.
Подобный эффект противофазного изменения длин усталостных микротрещин был обнаружен при анализе результатов исследования эволюции поврежденности цилиндрических образцов из малоуглеродистой стали [16], изученной методом реплик, снятых с поверхности образцов на различных стадиях разрушения.
На рис. 2, а показаны зависимости концентрации усталостных микротрещин различной длины от относительной долговечности, построенные с использованием
Рис. 2. Изменение концентрации микротрещин различной длины длиной менее 100 (1), от 100 до 500 (2) и более 500 мкм (3) в функции относительной долговечности , а также кривая изменения концентрационного критерия k (а) и кумулятивное
распределение числа микротрещин по их длине на различных стадиях усталостного разрушения (б)
Рис. 3. Картины микротрещин, наблюдаемых на полированной при относительной деформации 0.35 (а), 0.78 (б) и 0.95 (в)
картин поврежденности, приведенных в работе [16], и позволяющие выделить три основных стадии развития поврежденности: стадию образования микротрещин (I), их слияния (II) и ускоренного развития перед формированием макротрещины (III). Из приведенного рисунка видно, что концентрация микротрещин, длина которых не превышает 100 мкм (т.е. двух-трех размеров зерен), на ранних стадиях циклического нагружения растет, достигает своего максимума при значении относительной долговечности близкой к 0.43 Щ/Щ, а потом снижается.
В то же время количество микротрещин с длиной более 100 мкм растет, что свидетельствует о слиянии малых микротрещин [19, 21]. Начало слияния микротрещин при переходе от стадии I к стадии II подтверждается снижением концентрационного к-критерия, который достигает критического значения к = 3.
Смена режима развития микротрещин отражается и на характере кумулятивных распределений [19, 21, 23] длин микротрещин (рис. 2, б). Из рисунка видно, что наибольшее число микротрещин X N накапливается до достижения относительной долговечности, равной N/N1 = 0.43. При большей долговечности прирост кумулятивного числа микротрещин значительно уменьшается, поскольку основной вклад в поврежден-ность вносит процесс слияния дефектов. Эти изменения приводят к смене функциональных зависимостей, описывающих кумулятивные распределения: на ранних стадиях усталости (при NN = 0.17 и 0.43) они описываются экспоненциальными соотношениями вида (сплошные кривые на рис. 2, а):
X N = А - ехр(-с/), (3)
которые переходят в степенные соотношения на финальной стадии разрушения (при NN = 0.97):
N ~ ВГЬ ^ N = В - Ьс^ I. (4)
поверхности образца из стали 20 на разных стадиях растяжения
С развитием поврежденности показатели в этих соотношениях уменьшаются.
4. Иерархия микротрещин при растяжении
4.1. Анализ картин микротрещин
На рис. 3 представлены картины микротрещин, полученные на различных стадиях растяжения образцов с выточками из стали 20. Видно, что с увеличением относительной деформации плотность и длина трещин возрастают, начинается их взаимодействие и увеличивается раскрытие. Подобные картины получены для стали 45 и 12Х18Н10Т.
Результаты количественного анализа картин микротрещин, выполненного в трех точках поверхности образца при отмеченных значениях деформации £*), показаны на рис. 4 и 5. На рис. 4, а-в представлены изменения плотности микротрещин, на рис. 4, г-е — зависимости напряжения, концентрационного к-критерия и общей площади поврежденной поверхности от относительной деформации растяжения для образцов из трех конструкционных сталей.
Как видно из рис. 4, а - в, для всех сталей изменение плотности микротрещин различной длины, большей одного ^ ~ 30-50 мкм) и двух размеров зерен, обнаруживает немонотонный, но подобный характер деформационной зависимости, выраженный в начальном увеличении плотности микротрещин до максимального значения и последующего ее снижения. Микротрещины третьего ранга, большие двух размеров зерен (длиной от 50 до 100 мкм), в образцах из стали 20 и 45 появляются после достижения максимального значения плотности в результате слияния более коротких микротрещин, причем их плотность либо снижается (сталь 20), либо растет (сталь 45), подтверждая противофазное развитие малых и длинных трещин. В образцах из не-
ржавеющей стали (рис. 4, в) на всех стадиях деформации присутствуют трещины различной длины, однако меняется их плотность, обнаруживая противофазный характер для трещин, больших одного и двух размеров зерен. Важно отметить, что первый максимум плотности коротких микротрещин в нержавеющей стали сдвинут влево по оси деформации, т.е. появляется раньше, чем в сталях 20 и 45.
Изменения с увеличением деформации концентрационного критерия k и относительной площади повреждений 5 * (рис. 4, д-е) отражают эволюцию картин микротрещин, в результате слияния которых k снижается, а 5 * растет. В образцах из нержавеющей стали начало ускоренного увеличения параметра 5 * и снижения критерия k наблюдается при меньшей деформации, чем в других исследуемых сталях, хотя микротрещины, близ-
кие размеру зерен, во всех материалах появляются при близких значениях 8 *. Кроме того, критерий k в этой стали изменяется в более узком диапазоне по сравнению с его изменением для сталей 20 и 45, и его критическое значение, равное 3, характеризующее начало процесса слияния микротрещин, достигается на более ранней стадии деформации.
Описанные изменения характеристик поврежден-ности позволяют выделить три стадии накопления повреждений в исследуемых сталях — стадию образования и накопления микротрещин (I), их слияния (II), ускоренного роста и раскрытия перед формированием макротрещины (III). Переход от стадии I к стадии II сопровождается снижением плотности малых и средних дефектов, а также критерия k ниже значения 3 для сталей 20 и 45, следствием чего является образование
п, мкм
%
0.0 0.2 0.4 0.6 0.
Рис. 4. Изменение плотности микротрещин различной длины (а-в), а также напряжения, ^критерия и относительной площади £*, занятой микротрещинами, (г-е) в функции относительной деформации 8* для стали 20 (а, г), 45 (б, д) и 12Х18Н10Т (в, е)
микротрещин третьего ранга при дальнейшем деформировании образцов на стадии III. Переход от стадии II к стадии III сопровождается выходом на плато параметра k для всех исследуемых сталей, который принимает значения, близкие к 1. В то же время общая концентрация микротрещин изменяется мало, а площадь поврежденной поверхности S * растет, что свидетельствует о раскрытии микротрещин.
В аустенитной стали критерий k изначально принимает значение 2.6, что свидетельствует о раннем начале процесса слияния микротрещин. Трещины третьего ранга в данном случае появляются с самого начала деформирования образца, причем средняя длина микротрещин на начальной стадии разрушения более чем в 3 раза превышает среднюю длину трещин в углеродистых сталях на стадии I деформирования.
В табл. 2 значения относительной деформации, соответствующие характеристикам поврежденности при
En 1
10-1
10-2
10-3
10-4
En 1
10-1
10-2
10-3
10-4
En
10-1
10-2
10-3
10-4
Рис. 5. Кумулятивные распределения числа микротрещин по длине в стали 20 (а), 45 (б) и 12Х18Н10Т (в)
29
переходах от стадии I к стадиям II и III, отмечены звездочкой.
4.2. Кумулятивные распределения длин микротрещин
Стадийность эволюции поврежденности нашла отражение и в изменении характера кумулятивных распределений длин трещин (рис. 5), которые, как это было отмечено ранее [23], на начальной стадии I лучше описываются экспоненциальной функцией (3), а на стадии предразрушения — степенной (4), R2 > 0.9 в обоих случаях. Причем показатели с и b в этих соотношениях, как следует из табл. 2, снижаются с увеличением деформации, подобно снижению параметра k, и в значительной степени зависят от материала.
Кумулятивные распределения длин микротрещин обнаруживают также различие эволюции накопления поврежденности в стали 20 и сталях 45 и 12Х18Н10Т. В стали 20 максимальное накопленное число дефектов снижается на финальной стадии разрушения, тогда как в других сталях увеличивается, т.е. образование микротрещин происходит на всех стадиях развития повреж-денности.
4.3. Взаимосвязь характеристик поврежденности с коэффициентом деформационного упрочнения
Отмеченные особенности изменения характеристик поврежденности исследованных сталей при растяжении, как было обнаружено, являются следствием различного характера процесса деформационного упрочнения, развивающегося в сталях с ферритной и аусте-нитной структурой и характеризуемого коэффициентом деформационного упрочнения.
На рис. 6, а показаны деформационные зависимости k-критерия для исследуемых сталей, хорошо описываемые степенными уравнениями вида
k = AsTm (5)
с показателями m, зависящими, как следует из рис. 6, б, от коэффициента деформационного упрочнения стали n.
Подобные степенные зависимости от деформации проявляют и характеристики кумулятивных распределений c и b, причем показатели этих зависимостей тем меньше, чем выше коэффициент деформационного упрочнения. Это означает существование взаимосвязи параметров k, c и b, показанной на рис. 7. Из графиков следует, что концентрационный критерий и показатели в соотношениях, описывающих кумулятивные распределения микротрещин по длинам, связаны линейным соотношением с высоким показателем достоверности аппроксимации (R2 > 0.92).
5. Иерархия разломов горных пород, акустических и сейсмических событий
При разрушении горных пород, как и в сталях, наблюдается иерархический характер формирования
10 100 l, мкм
Характеристики поврежденности образцов из трех конструкционных сталей с напряжений на разных стадиях разрушения
Таблица 2 концентраторами
Марка стали а, МПа 8* 5*, % Lm, мкм k Ь с
Сталь 20 285 0.35 0.688 12.990 7.720 4.753 0.172
399 0.50 1.511 21.311 4.207 4.094 0.096
459 0.65* 3.272 28.662 2.568 2.877 0.081
483 0.78 8.046 39.702 1.410 2.615 0.038
485 0.80* 9.532 42.550 1.310 2.506 0.030
489 0.84 15.994 56.243 1.304 2.524 0.028
450 0.95 34.572 72.352 1.205 2.568 0.027
Сталь 45 292 0.29 0.372 12.275 6.118 3.312 0.131
420 0.42* 1.116 16.789 4.242 2.988 0.100
558 0.57 2.068 34.359 3.048 2.805 0.079
642 0.73* 6.226 40.801 1.806 2.728 0.040
695 0.95 30.155 56.102 1.019 2.289 0.035
12Х18Н10Т 409 0.25 2.100 43.691 2.596 2.728 0.032
471 0.33* 3.366 57.121 2.179 2.654 0.030
523 0.44 3.955 62.381 1.904 2.391 0.025
553 0.50* 5.047 64.413 1.772 2.154 0.023
620 0.72 16.813 86.334 1.300 1.683 0.021
622 0.74 19.035 88.921 1.279 1.685 0.019
653 0.95 36.276 127.218 1.074 1.759 0.017
КДУ
0.38
0.47
0.52
КДУ — коэффициент деформационного упрочнения.
трещин или разрывов [13, 19, 24]. Так, по мнению С.И. Шермана [13], первоначально возникшая система разрывов первого ранга по мере роста деформации в сдвиговой зоне развивается и длины трещин увеличиваются. При достижении предельной плотности разрывов первого ранга дальнейшее развитие всей системы становится невозможным, поскольку преимущество
роста получают отдельные трещины, снимая напряжения с трещин, попавших в область их влияния. В результате снижения количества активных трещин и роста их длины формируется система разрывов более высокого ранга.
Иерархия образования трещин приводит к противофазному изменению числа акустических сигналов [25,
7-
5-
3-
1-
1 \к=Ъ.95Ъг~2т 2 \
к = 1.0948-1 49^хХ к=3
к= 1.0598-°
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Рис. 6. Зависимость ^-критерия от относительной деформации (а) для стали 20 (1), 45 (2) и 12Х18Н10Т (3) и зависимость показателя т в соотношении (5) от коэффициента деформационного упрочнения (б) для гладких образцов (1) по данным [23] и образцов с выточками (2)
26], зарегистрированных в процессе разрушения, наиболее заметному при локализации разрушения и связанному со снижением относительного числа слабых сигналов и ростом сильных событий с большой магни-тудой.
В работе [27] была обнаружена иерархия и в последовательности сейсмических событий, отражающая закономерности множественного разрушения земной коры. Для этого был использован параметр 5, предложенный авторами работы [28] и равнозначный по физическому смыслу мере поврежденности, предложенной Л.М. Качановым и Ю.Н. Работновым.
На рис. 8 представлены результаты оценки (с использованием данных каталога [29]) параметра 5, характеризующего процесс подготовки землетрясений в Северной Калифорнии и представляющего весовую сумму основных событий за период времени (^ - ^, ¿) с магнитудами, изменяющимися в интервале (М, М) [28]:
5^: М, М, 5, а, в) = Х10Р(М'-а), (6)
где s, а, в — постоянные. Для в = 6/3 функция 5 пропорциональна суммарной длине разрывов, образовавшихся в результате произошедших землетрясений, а при в = 2 6/ 3 — общей площади несплошностей (Ь — наклон графика повторяемости). Средняя длина разрушений пропорциональна отношению З/Щ, а среднее расстояние между ними пропорционально N для случая их равномерного распределения.
Как и в случае накопления повреждений в металлических образцах (рис. 1, 2, 4), сейсмическая активность оценивалась в различных интервалах магнитуд, пропорциональных длине разлома. Приведенные на рисунке значения параметра 5, характеризуют сейсмическую активность в интервалах магнитуд от 4.9 до 7.2 (а), от 4.9 до 6.4 (б, в) и от 4.9 до 6.0 (г). При построении графиков на рис. 8 в качестве основного события, происходящего в момент времени t - t3 = 0 (где ^ — время землетрясения) выбраны землетрясения с магнитудами в интервалах 6.6-7.2 (рис. 8, а, б) и 6.0-6.4 (рис. 8, в, г).
Таким образом, рассмотрены события, отвечающие различным уровням сейсмической активности, превышающим нижний порог по магнитуде 4.9, выбранный в соответствии с наилучшей представительностью событий малых энергий, имеющихся в каталоге [29]. По оси абсцисс на рис. 8 отложено время до землетрясений; вертикальная черта на графиках соответствует моменту землетрясения. Из рисунка следует [27], что начало ускоренного роста параметра 5, соответствующего высоким магнитудам, совпадает со временем снижения
5, характеризующего более низкие магнитуды. Такая же закономерность наблюдается и на графиках, представленных на рис. 8, в, г и полученных для землетрясений с более низкими магнитудами. Это позволяет заключить, что образованию магистрального разрыва при землетрясении предшествует накопление более мелких разрывов, взаимодействие и слияние которых приводит к землетрясению. Подобный процесс происходит на разных масштабных уровнях (или в разных диапазонах магнитуд), вызывая чередование снижения и увеличения параметра 5.
6. Иерархические модели развития поврежденности
6.1. Модель Лотки-Волътерры
Для описания наблюдаемой смены появления, роста и слияния микротрещин, обеспечивающей иерархическую структуру поврежденности, может быть использована известная модель Лотки-Вольтерры [30], первоначально предложенная для описания динамики взаимодействующих биологических популяций, а затем распространенная на многие другие области знаний, в том числе экономику, социологию и политику.
Модель Лотки-Вольтерры описывает взаимодействие двух видов популяций — хищников (численностью Р) и жертв (численностью Щ. При отсутствии хищников, число жертв увеличивается по закону:
Рис. 7. Взаимосвязь параметра к с показателями с (а) и Ь (б) в соотношениях (3) и (4): сталь 20 (1), сталь 45 (2), 12Х18Н10Т (3). Я2 > 0.92
Рис. 8. Зависимости изменения 5-функции для интервалов магнитуд 4.9-7.2 (а), 4.9-6.4 (б), 4.9-6.3 (в), 4.9-6.0 (г), построенные для трехлетнего интервала до землетрясений в Северной Калифорнии. Момент землетрясения отмечен точкой 0 на оси абсцисс, магнитуды землетрясений равны: 0 — 6.6 (02.1941), о — 7.2 (12.1954), I — 6.8 (11.1976), а — 7.2 (11.1980), А — 7.1 (10.1989), • — 7.1 (04.1992), — — 7.1 (09.1994), — 6.0 (12.1948), а — 6.0 (10.1951), — — 6.3 (03.1959), а — 6.2 (04.1984), I — 6.0 (07.1987), • — 6.2 (08.1991) [19, 27]
где а1 = а1Ь -аы, причем а1Ь учитывает естественную рождаемость жертв, а аы — их естественную смертность. При благоприятных условиях существования жертв а1 > 0, а число хищников, вследствие малого числа жертв в начале процесса, сокращается, и скорость уменьшения их численности определяется соотношением
^ = -«2- (8)
Согласно [31], эти уравнения могут быть приведены к следующим соотношениям, описывающим отклонения числа хищников и жертв от положения равновесия:
&2П 2 /л
—5" + ш0 п = 0,
^2
(9)
& Р 2 А + ш0 Р = 0,
(10)
где п — отклонение числа жертв от положения равновесия; р — отклонение числа хищников от положения равновесия; t — время; ш0 — величина, зависящая от естественного прироста и убыли хищников и жертв.
Используем уравнения (9), (10) для описания динамики развития поврежденности в процессе усталостного разрушения малоуглеродистой стали (рис. 2). Примем микротрещины большой длины в качестве «хищников», а малые микротрещины в качестве ««жертв». Число больших трещин примем зар, малых — за п, а равновесное число микротрещин примем равным 0. В качестве времени t используем относительное число циклов на-
гружения N N. Тогда, согласно модели и уравнениям (9), (10), число микротрещин будет меняться по следующим законам:
d2 п
^ N/NÍУ d2 р
- + ш2 п = 0,
- + ш2 п = 0.
(11)
(12)
^ N/Nf)2
Решение этих уравнений отвечает следующим соотно-
шениям:
п = п0 cos
р = ро cos
N 1N
N
ю2 — + ф2
N
(13)
(14)
где п0, ю1? ф, и р0, ю2, ф2 — коэффициенты, зависящие от материала и условий испытаний.
В качестве микротрещин малого размера примем микротрещины размером, меньшим 100 мкм (меньшим 2-3 размеров зерен), в количестве п2 штук, а в качестве микротрещин большого размера примем микротрещины размером от 100 до 500 мкм в количестве п, штук. Тогда из уравнений (13), (14) следует:
п, = 100cos
N
1.5— + 4.5
N
п2 = 35 + 14cos
^ + 8.5
Nf
(15)
(16)
Расчетные данные по этим уравнениям представлены на рис. 9 сплошными линиями. Видно, что они согласуются с данными эксперимента, показанного точками.
Таким образом, процесс развития микротрещин, как и многие другие явления в природе, проявляет эволюционный характер.
Рис. 9. Сравнение расчетных по уравнениям (15) и (16) зависимостей числа малых (1) и больших (2) усталостных микротрещин от относительного числа циклов с экспериментальными данными, показанными точками
6.2. Перколяционная модель
Моделированием процессов разрушения с использованием теории перколяции занимались многие исследователи. Авторы работ [26, 27] использовали этот подход для теоретического анализа закономерностей множественного разрушения твердых тел, в [32-35] были предложены перколяционные модели роста дефектов. В [36], вероятно, впервые перколяционный подход был применен к анализу развития реальной поврежденности образцов из малоуглеродистой стали, и было отмечено, что границы стадий процесса разрушения можно рассматривать в качестве порогов перколяции дефектов на различных иерархических уровнях. Возможность рассмотрения нескольких порогов перколяции при развитии разрушения обсуждается и в работе [37].
В [35] вероятность протекания Р(р) определяется
как
Р(р) = (р - Рсг)Р, (17)
где р — некоторая величина, характеризующая исходное состояние системы; рсг — порог перколяции, при котором вероятность перколяции становится больше 0; в — критический индекс. Это означает, что для оценки вероятности перколяции (протекания) необходимо определить порог перколяции рсг и найти критический индекс в в соотношении (17). При этом необходимо
Рис. 10. Деформационные зависимости вероятности перколяции, полученные согласно соотношениям (19), (20) при формировании картин поврежденности в стали 20 (а) и 12Х18Н10Т (б)
учесть, что развитие процесса накопления микротрещин в металлах сопровождается появлением, по крайней мере, трех порогов перколяции, первый из которых рсг1 связан с коалесценцией пор в полосах скольжения и образованием внутризеренных микротрещин, второй порог рсг2 обусловлен слиянием микротрещин, больших размера зерен перед образованием макротрещины, а третий рсг3 соответствует началу нестабильного роста макротрещины.
Для оценки порогов перколяции используем данные по поврежденности образцов из стали 20 и 12Х18Н10Т при растяжении (табл. 2, рис. 4), в частности значения относительной площади поврежденной поверхности £сг1 на стадии образования микротрещин, равных размеру зерна, и на стадии слияния микротрещин перед образованием макротрещины Scr2. Значение Scr1 соответствует относительной площади поврежденной поверхности, при которой трещины можно отличить от других дефектов и подсчитать их площадь, а значение Scr2 отвечает точке резкого увеличения скорости роста поврежденной поверхности вследствие слияния микротрещин (рис. 4), которая может быть оценена при построении кривой поврежденности в логарифмических координатах. За третий порог перколяции принята максимальная величина 5, равная площади поврежденной поверхности Scr3 перед началом нестабильного роста макротрещины.
Так как вероятность события является величиной, принимающей значения от 0 до 1, то в случае нескольких порогов перколяции уравнение (17) должно быть изменено таким образом, чтобы вероятность перко-ляции для каждого подуровня принимала значения от 0 до 1, что было достигнуто путем нормировки соотношения (17):
( „_„ Лв
Р( Р) =
Р _ Рсг1
(18)
ч рсг2 рсг1 _
Подставив в уравнение (18) определенные ранее пороги перколяции, получим следующие соотношения:
( S _ £ ^
Р-п(£) =
,(£) =
сг1
£сг2 £
сг1
£ _ £
сг2
\PlI-I]
ч £сг3 £сг2 J
(19)
(20)
В уравнении (19) величина 5 меняет свои значения от Ясг! до ^й> откуда слeдуeт, что при £ = ^ Р-п (£сг1) = = 0, а при £ = Бсг2 Р1-11(£сг2) = 1 при любых значениях Р1-п. В выражении (20) при £ = Бсг2 вероятность перколяции рп-ш( £сг2) = 0, а при Я = £СТ3 Рп-ш( £сг3) = 1 независимо от значения Р11-ш.
Значения критических индексов в, полученные путем анализа зависимостей площади поврежденной поверхности от относительной деформации с использова-
нием экспериментальных данных табл. 2, составили Р1-п = 0.58 и Р11-ш = 0.56 для стали 20 и Р1-п = 1.1 и Ри-ш = 1-25 для стали 12Х18Н10Т. Кривые вероятности перколяции, построенные с использованием оцененных критических показателей, представлены на рис. 10.
7. Обсуждение результатов
Сравнение иерархии микротрещин в условиях усталости и растяжения показывает, что преодоление микротрещинами размера 1-3 зерен приводит к изменению процесса накопления дефектов. Хотя при растяжении противофазное развитие повреждений наблюдается не всегда, накопление максимального числа малых трещин как при усталости, так и при растяжении является показателем смены режима процесса и его переходом на стадию интенсивного развития поврежденности при достижении критического числа циклов или критической деформации.
В процессе исследования было выделено не более трех рангов микротрещин, поэтому ступенчатая кривая накопления трещин (рис. 11, а), предполагаемая в [38] как проявление многоранговой иерархической повреж-денности, не была получена. Но подобную кривую построили авторы [15] по данным изучения наноразмер-ных дефектов, наблюдаемых на поверхности молибдена при постоянной нагрузке (рис. 11, б).
Дефекты имели вид пирамидальных ямок размером в десятки нанометров, концентрация которых возрастала до достижения критического значения, после чего она снижалась и возникали дефекты большего размера. Поскольку этот процесс повторялся несколько раз до разрушения образца, появлялась ступенчатая временная зависимость размера дефекта. Авторы заключили, что на поверхности нагруженного молибдена сформировалась иерархическая система дефектов, количество рангов которой растет с течением времени, причем при предельной концентрации дефектов среднее расстояние между ними становится приблизительно равным их размеру. Этот результат противофазного изменения концентрации нанодефектов был подтвержден изучением поврежденности поверхности меди [39]. И в этом случае увеличение концентрации более крупных наноде-фектов сопровождалось уменьшением концентрации более мелких.
Приведенные примеры показывают, что противофазное изменение концентрации дефектов, проявляющееся как на глобальном, так и на наноуровне, скорее всего, является проявлением общей эволюционной закономерности природных процессов. Проявление этой закономерности, однако, не исключает влияния на нее свойств материала объекта и, в частности, как это было показано выше, коэффициента деформационного упрочнения, являющегося важной характеристикой материала. Поскольку в [40] было введено понятие «иерар-
"'и® ® ® ®
1 _ Nc(lc)
N2 _ ^тах -i Образование
Рис. 11. Стадийность накопления дефектов нескольких рангов ^ — число дефектов, d — размер) [38] (а) и результат экспериментального исследования временной зависимости глубины дефекта на поверхности образца из молибдена при постоянной нагрузке [15] (б)
хической механики разрушения», можно полагать, что представленные исследования выполнены в рамках «иерархической механики накопления повреждений».
8. Заключение
Таким образом, иерархия разрушения на различных масштабных уровнях приводит к изменению параметров поврежденности к, Ь(с) и 5* и проявляется в чередовании процессов накопления и развития несплошнос-тей, отражающихся на закономерностях акустической и сейсмической активности.
Значения параметров поврежденности определяются коэффициентом деформационного упрочнения исследуемого материала.
Предложены соотношения, описывающие деформационную зависимость параметров поврежденности и их взаимосвязь с коэффициентом деформационного упрочнения, рассмотрены иерархические модели на-
копления повреждений. Показано, что противофазное изменение концентрации дефектов, проявляющееся как на глобальном, так и на наноуровне, является, по-видимому, проявлением общей эволюционной закономерности природных процессов.
Работа выполнена в рамках государственного задания № 075-00746-19-00.
Литература
1. Зуев Л.Б., Баранникова С.А., Лунев А.Г. От макро к микро. Масштабы пластической деформации. - Новосибирск: Наука, 2019.
2. Панин В.Е., Панин С.В., Почивалов Ю.И., Смирнова А.С., Еремин А.В. Структурно-масштабные уровни пластической деформации и разрушения сварных соединений высокопрочных титановых сплавов // Физ. мезомех. - 2018. - Т. 21. - № 4. - С. 33-44. -doi 10.24411/1683-805X-2018-14004.
3. Коноваленко И.С., Смолин А.Ю., Псахъе С.Г. Многоуровневое моделирование деформации и разрушения хрупких пористых материалов на основе метода подвижных клеточных автоматов // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 5. - P. 29-36.
4. Псахъе С.Г., Шилъко Е.В., Смолин А.Ю., Димаки А.В., Дмитриев А.И., Коноваленко Иг.С., Астафуров С.В., Завшек С. Развитие подхода к моделированию деформирования и разрушения иерархически организованных гетерогенных, в том числе контрастных, сред // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 3. - С. 27-54.
5. Гончар А.В., Руденко А.Л., Мишакин В.В. Исследование развития микропластических деформаций и формирования полос скольжения при усталостном нагружении // Вест. науч.-тех. разв. - 2011. -№ 10. - С. 50.
6. Beretta S., Lo Conte A., Rudlin J., Panggabean D. From atmospheric corrosive attack to crack propagation for A1N railway axles steel under fatigue: Damage process and detection // Eng. Fail. Anal. B. -2015. - V. 47. - P. 252-264.
7. Miller K.J. The behaviour of short fatigue cracks and their initiation part II—A general summary // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. -1987.- V. 10. - No. 2. - P. 93-113.
8. Smith R.A. On the short crack limitation of fracture mechanics // Int. J. Fract. - 1977. - V. 13. - No. 5. - P. 717-720.
9. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 254 с.
10. Садовский М.А. Иерархическое распределение отдельностей твердых материалов // Препр. Ин-та физики земли им. О.Ю. Шмидта, 1984. - Т. 7. - 20 c.
11. Садовский М.А. О естественной кусковатости структуры горных пород // Докл. АН СССР. - 1979. - № 247. - C. 829-840.
12. Magnin T., Coudreuse L., Lardon J. A quantitative approach to fatigue damage — Volution in fcc and bcc stainless steels // Scripta Metall. - 1985. - V. 19. - P. 1487-1490.
13. Шерман С.И. Физические закономерности формирования разломов земной коры. - Новосибирск: Наука CO, 1977. - 103 c.
14. Журков С.Н., Куксенко В.С., Слуцкер А.И. Образование субмикроскопических трещин в полимерах под нагрузкой // ФТТ. - 1969. -Т. 11. - № 2. - С. 296.
15. Веттегренъ В.И., Рахимов С.Ш., СветловВ.Н. Изучение динамики субмикродефектов на поверхности нагруженного молибдена при помощи туннельного профилометра // ФТТ. - 1996. - Т. 38. -№ 4. - С. 1142-1148.
16. Suh C.M., Yuuki R., Kitagawa H. Fatigue microcracks in a low carbon steel // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. - 1985. - V. 8. - No. 2. -P. 193-203.
17. Zhao Y.X., Gao Q., Wang J.N. Evolution of short fatigue crack lengths and crack density: Two approaches // Fatigue Fract. Eng. Mater. Struct. - 2000. - V. 23. - No. 11. - P. 929-941.
18. Панасюк В.В., Лозовий Б.Л. О распространении двух трещин неравной длины // ДАН УССР. - 1962. - Т. 11. - С. 1444-1447.
19. Ботвина Л.Р. Разрушение: кинетика, механизмы, общие закономерности. - М.: Наука, 2008. - 334 с.
20. Тютин М.Р., Ботвина Л.Р., Синев И.О. Об изменении физических свойств и поврежденности мало- и среднеуглеродистых сталей в процессе растяжения // Металлы. - 2018. - № 4. - С. 79-85.
21. Botvina L.R., Soldatenkov A.P. On the сопсеп1хайоп CTiterion of fracture // Met. Nov. Tech. - 2017. - V 39. - No. 4. - P. 477-490.
22. De Vries M.I., Tjoa G.L., Elen J.D. Effects of neutron irradiation on low-cycle fatigue and tensile properties of AISI type 304 stainless steel at 298 K // Fatigue Eng. Mater. Struct. - 1979. - V. 1. - P. 11591712.
23. Ботвина Л.Р., Петерсен Т.Б., Жаркова Н.А., Тютин М.Р., Будуе-ва В.Г. Акустические свойства малоуглеродистой стали на различных стадиях разрушения // Деформация и разрушение материалов. - 2005. - № 4. - C. 35-41.
24. Ботвина Л.Р., Завьялов А.Д. Междисциплинарные проблемы физики и механики разрушения: от металлов до горных пород. Ч. 2. Критерии разрушения // Деформация и разрушения материалов. - 2018. - № 5. - C. 2-12.
25. Соболев Г.А., Пономарев А.В. Физика землетрясений и предвестники. - М.: Наука, 2003. - 270 с.
26. Томилин Н.Г. Иерархические свойства акустической эмиссии при разрушении горных пород. - СПб.: ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН, 1997. - 33 с.
27. Ботвина Л.Р., Опарина И.Б., Новикова О.В. Анализ процесса накопления повреждений на различных масштабных уровнях // Металловедение и терм. обработка металлов. - 1997. - № 4. -С. 17-22.
28. Keilis-Borok V.I., Malinovskaya L.N. One regularity in the occurrence of strong earthquakes // J. Geophys. Res. - 1964. - V. 69. -P. 3019-3025.
29. ANSS Composite Earthquake Catalog [Electronic resource]. http:// www.ncedc.org/anss/.
30. Lotka A.J. Analytical note on certain rhythmic relations in organic systems // Proc. Natl. Acad. Sci. - 1920. - No. 6. - P. 410-415.
31. Челидзе Т.Л., Колесников Ю.М. Моделирование и прогноз процесса разрушения в рамках теории протекания // Изв. АН СССР Физика Земли. - 1983. - V. 5. - С. 209-213.
32. Nishiuma S., Miyazima S. Crack growth and percolation in anisotro-pically rolled thin plate // Phys. A. Stat. Mech. Appl. 1999. - V. 266. -P. 209-213.
33. Baskin E.M., Entin M. V. Size effect in a percolation model of interconnect failure // Microelectron. Eng. 2000. - V. 50. - P. 335-340.
34. Maragoni L., Talreja R. Transverse crack formation in unidirectional plies predicted by means of a percolation concept // Compos. A. Appl. Sci. Manuf. - 2019. - V. 117. - P. 317-323.
35. Chelidze T.L. Percolation and fracture // Phys. Earth Planet. Int. -1982. - V. 28. - P. 93-101.
36. Челидзе Т.Л. Теория перколяции и критерии разрушения // Успехи механики. - 1985. - V. 3. - № 8. - С. 39-55.
37. Neimark A. V. Multiscale percolation systems // Sov. Phys. - 1989. -V. 96. - P. 1386-1396.
38. Ботвина Л.Р., Опарина И.Б. Закономерности процесса повреждаемости при различных условиях нагружения // ФХММ. -1993. - № 4. - С. 13-23.
39. Килиан Х.Г., Веттегрень В.И., Светлов В.Н. Иерархия ансамблей дефектов на поверхности нагруженной меди // ФТТ. - 2001. -V. 42.- № 11. - С. 2107-2111.
40. Saether E., Shlomo T. А Hierarchical Approach to Fracture Mechanics // Tech. Rep. NASA Langley Res. Cent. - No. NASA/TM-2004-213499. - P. 1-24.
Поступила в редакцию 15.11.2019 г., после доработки 15.11.2019 г., принята к публикации 03.12.2019 г.
Сведения об авторах
Ботвина Людмила Рафаиловна, д.т.н., проф., гнс ИМЕТ РАН, l.botvina@mail.ru
Болотников Алексей Игоревич, инж.-иссл. ИМЕТ РАН, студ. МГТУ им. Н.Э. Баумана, kubikmaster@yandex.ru Синев Иван Олегович, инж.-иссл. ИМЕТ РАН, студ. МГТУ им. Н.Э. Баумана, ivan-sinev@yandex.ru
